«ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА» Содержание ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ ВВЕДЕНИЕ РАЗДЕЛ I. НАЧИСЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ 1.1 Простые проценты РАЗДЕЛ II. НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ 2.1 Сложные проценты 2.2 Непрерывные проценты ЧАСТЬ II. АНАЛИЗ ФИНАНСОВЫХ ПОТОКОВ ВВЕДЕНИЕ РАЗДЕЛ I. ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ 1.1 Финансовые ренты (аннуитеты) 1.2 Виды финансовых рент 1.3 Формулы наращенной суммы 1.4 Формулы современной величины 1.5 Зависимость между современной величиной и наращенной суммой ренты 1.6 Определение параметров финансовой ренты 1.7 Другие виды постоянных рент 1.8 Анализ переменных потоков платежей 1.9 Конверсия аннуитетов ^ РАЗДЕЛ II. КРЕДИТНЫЕ ОПЕРАЦИИ 2.1 Долгосрочные кредиты 2.2 Доходность ссудных и учетных операций, предполагающих удержание комиссионных.2.3 Форфейтная кредитная операция 2.4 Ипотечные ссуды 2.5. Льготные займы и кредиты ^ РАЗДЕЛ III. ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ В ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 3.1 Определение оптимального уровня денежных средств 3.2. Показатели эффективности производственных инвестиций.. 3.3. Аренда оборудования (лизинг) ^ РАЗДЕЛ IV. ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 4.1. Неопределенность размеров платежа 4.2. Риск невозврата ЗАКЛЮЧЕНИЕ ГЛОССАРИЙ. ^ ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ Введение Любая финансовая, кредитная или коммерческая операция предполагает совокупность условий, согласованных ее участниками. К таким условиям относятся: сумма кредита, займа или инвестиций, цена товара, сроки, способы начисления процентов и погашения долга и т.д. Совместное влияние на финансовую операцию многих факторов делает конечный ее результат неочевидным. Для его оценивания необходим специальный количественный анализ. Совокупность методов расчета и составляет предмет курса, который можно назвать «Финансовые и коммерческие расчеты», «Финансовая математика», «Высшие финансовые вычисления». В курсе рассматриваются финансовые вычисления, необходимые для анализа сделок, включающих три основных элемента - размер платежа, срок и ставку процентов. Количественный финансовый анализ имеет целью решение широкого круга задач от элементарного начисления процентов до анализа сложных инвестиционных, кредитных и коммерческих операций. К этому кругу задач можно отнести: _ измерение конечных финансовых результатов операции для каждой из участвующих в ней сторон; _ сравнение эффективности различных операций; _ выявление зависимости конечных результатов от основных параметров операции, сделки, контракта; _ разработка планов выполнения финансовых операций; _ расчет параметров эквивалентного изменения условий контракта. Данное пособие предполагает систематизированное изложение основных понятий и методов финансовых вычислений и является введением в финансовую математику. В пособии рассматриваются основные понятия, которыми оперируют в финансовых вычислениях, такие как процент, ставка процента, учетная ставка, современная (текущая) стоимость платежа и т.д., методы наращения и дисконтирования платежей, принципы, лежащие в основе финансовых вычислений, современная практика расчетов. Настоящее пособие охватывает первую часть курса, состоящего из двух дисциплин: «Основы финансовых расчетов» и «Анализ финансовых потоков». В «Анализе финансовых потоков» будут даны основы количественного анализа последовательности (потоков) платежей, в частности, - финансовых рент (аннуитетов). Потоки денежных платежей часто встречаются в практике. Например, регулярные взносы для формирования какого-либо фонда (инвестиционного, страхового, пенсионного, для погашения долга), периодическая уплата процентов, доходы по облигациям или ценным бумагам, выплата пенсий, поступление доходов от коммерческой или предпринимательской деятельности, налоговые платежи и т.д. Полнее с методами расчетов, разработанными для анализа различных видов финансовых рент (в том числе с переменными размерами платежей), можно познакомиться в специальной литературе и, в частности, в книге Е.М.Четыркина, указанной в разделе «Литература». Такие методы имеют важное значение в практике финансовых расчетов и позволяют определить как обобщающие характеристики рент (наращенную сумму, текущую стоимость), так и отдельные их параметры. Материал пособия имеет общий характер и может быть применен в расчетах часто встречающихся на практике финансовых операций: расчете кредитных и коммерческих операций, эффективности предпринимательской деятельности. ^ «ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ» Тематический план Наименование Разделов и тем Всего Часов Аудиторные занятия (лекции и практические) 1 2 3 Тема 1. Введение. Содержание курса Раздел I. Начисление простых процентов Тема 2. Простые проценты и процентные ставки, практика начисления простых процентов. Дисконтирование и учет по простым ставкам. Примеры. Раздел II. Начисление сложных процентов Тема 3. Сложные проценты. Ставка сложных процентов. Формула наращения по сложным процентам. Виды сложных ставок. Тема 4. Непрерывные проценты. Сила роста. Наращение и дисконтирование. Тема 5. Эквивалентность процентных ставок. 2 14 8 2 6 2 10+4 6+2 2 4+2 ВСЕГО: 32 32 Содержание тем Тема 1. Введение. Содержание курса Время как фактор стоимости в финансовых и коммерческих расчетах и его учет с помощью процентных ставок. Цели, задачи, литература. Раздел I. Начисление простых процентов Тема 2. Простые проценты Простые проценты и процентные ставки (ставка процента и учетная ставка). Формула наращения по простым процентам. Практика начисления простых процентов. Простые переменные ставки. Реинвестирование по простым процентам. Дисконтирование и учет по простым ставкам. Сопоставление ставки наращения и учетной ставки. Примеры, задачи. Приложения: Конвертация валюты и начисление простых процентов. Расчет доходности операций с двойной конвертацией. Определение критических точек. Движение денежных средств на расчетном счете и банковская практика расчета процентов. Определение суммы, выдаваемой при закрытии счета. Методы расчетов при погашении краткосрочной задолженности частичными платежами (актуарный метод и метод торговца). Сопоставление процентных ставок при различных условиях контрактов. Объявленная ставка и реальная доходность кредитора в потребительском кредите. Раздел II. Начисление сложных процентов Тема 3. Сложные проценты Ставка сложных процентов. Формула наращения по сложным процентам. Сравнение наращенных величин при применении ставок простых и сложных процентов для различных периодов времени. Формула наращения по сложным процентам, когда ставка меняется во времени. Формула удвоения суммы. Три метода начисления процентов при дробном числе лет. Номинальная и эффективная ставки процентов. Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов и сложной учетной ставке. Номинальная и эффективная учетные ставки процентов. Примеры, задачи. Приложения: Конвертация валюты и начисление сложных процентов. Расчет доходности. Определение критических точек. Расчеты простых и сложных процентов в условиях инфляции (брутто-ставки и ставки реального наращения). Учет налогов. Расчет средней ставки (доходности) за период в случае переменных ставок простых и сложных процентов. Расчет средней ставки при одновременном участии в нескольких операциях с разными условиями. Расчет срока ссуды и процентных ставок. Примеры. Тема 4. Непрерывные проценты Сила роста. Наращение и дисконтирование. Рассмотрение частного случая, когда сила роста меняется скачком. Вывод формулы для произвольного закона изменения силы роста. Связь дискретных и непрерывных процентных ставок. Тема 5. Эквивалентность процентных ставок Формулы, устанавливающие эквивалентность между различными видами ставок. Конверсия платежей, изменение условий контрактов. Примеры, задачи. Форвардная процентная ставка, теории временной структуры процентных ставок. Кривая доходности. Раздел I. Начисление простых процентов 1.1 Простые проценты Время как фактор в финансовых и коммерческих расчетах В практических финансовых и коммерческих операциях суммы денег обязательно связываются с некоторыми конкретными моментами или интервалами времени. Для этого в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность поступлений денежных средств или их выплат. Фактор времени играет не меньшую роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость учета фактора времени определяется принципом неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. Дело в том, что даже в условиях отсутствия инфляции и риска 1 млн. руб., полученных через год, не равноценен этой же сумме, поступившей сегодня. Неравноценность определяется тем, что теоретически любая сумма денег может быть инвестирована и принести доход. Поступившие доходы в свою очередь могут быть реинвестированы и т.д. Следовательно, сегодняшние деньги в этом смысле ценнее будущих, а будущие поступления менее ценны, чем современные. Очевидным следствием принципа «неравноценности» является неправомерность суммирования денежных величин, относящихся к разным моментам времени. Подобного рода суммирование допустимо лишь там, где фактор времени не имеет значения - например, в бухучете для получения итогов по периодам и в финансовом контроле. В финансовых вычислениях фактор времени обязательно учитывается в качестве одного из важнейших элементов. Его учет осуществляется с помощью начисления процентов. Проценты и процентные ставки Под процентными деньгами или, кратко, процентами в финансовых расчетах понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой форме: в виде выдачи денежной ссуды, продажи в кредит, помещении денег на сберегательный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигаций и т.д. В какой бы форме не выступали проценты, это всегда конкретное проявление такой экономической категории, как ссудный процент. При заключении финансового или кредитного соглашения стороны (кредитор и заемщик) договариваются о размере процентной ставки - отношения суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени к величине ссуды. Интервал времени, к которому относится процентная ставка, называют периодом начисления. Ставка измеряется в процентах, в виде десятичной или натуральной дроби. В последнем случае она фиксируется в контрактах с точностью до 1/16 или даже 1/32. Начисление процентов, как правило, производится дискретно, т.е. в отдельные (обычно равноотстоящие) моменты времени (дискретные проценты), причем, в качестве периодов начисления принимают год, полугодие, квартал, месяц. Иногда практикуют ежедневное начисление, а в ряде случаев удобно применять непрерывные проценты. Проценты либо выплачиваются кредитору по мере их начисления, либо присоединяются к сумме долга. Процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга называют наращением или ростом первоначальной суммы. В количественном финансовом анализе процентная ставка применяется не только как инструмент наращения суммы долга, но и в более широком смысле - как измеритель степени доходности (эффективности) финансовой операции или коммерческо-хозяйственной деятельности. В практике существуют различные способы начисления процентов, зависящие от условий контрактов. Соответственно применяют различные виды процентных ставок. Одно из основных отличий связано с выбором исходной базы (суммы) для начисления процентов. Ставки процентов могут применяться к одной и той же начальной сумме на протяжении всего срока ссуды или к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. В первом случае они называются простыми, а во втором - сложными процентными ставками. Процентные ставки, указываемые в контрактах, могут быть постоянными или переменными («плавающими»). Плавающие ставки часто применяются во внешнеэкономических операциях. В этом случае значение ставки равно сумме некоторой изменяющейся во времени базовой величины и надбавки к ней (маржи). Примером базовой ставки может служить лондонская межбанковская ставка ЛИБОР (LIBOR - London interbank offered rate) или московская межбанковская ставка МИБОР. Размер маржи определяется целым рядом условий (сроком операции и т.д.). Судя по мировой практике, он обычно находится в пределах 0,5-5%. В контракте может использоваться и переменный во времени размер маржи. Теперь мы рассмотрим методы анализа сделок, в которых предусматриваются разовые платежи при выдаче и погашении кредита или депозита. Задачи такого анализа сводятся к расчету наращенной суммы, суммы процентов и размера дисконта, современной величины (текущей стоимости) платежа, который будет произведен в будущем. Формула наращения по простым процентам Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов инвестированных средств) понимается первоначальная ее сумма вместе с начисленными на нее процентами к концу срока. Пусть P первоначальная сумма денег, i - ставка простых процентов. Начисленные проценты за один период равны Pi, а за n периодов - Pni. Процесс изменения суммы долга с начисленными простыми процентами описывается арифметической прогрессией, членами которой являются величины P, P+Pi=P(1+i), P(1+i)+Pi=P(1+2i) и т.д. до P(1+ni). Первый член этой прогрессии равен P, разность Pi, а последний член определяемый как S=P(1+ni) (1) и является наращенной суммой. Формула (1) называется формулой наращения по простым процентам или, кратко, формулой простых процентов. Множитель (1+ni) является множителем наращения. Он показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы. Наращенную сумму можно представить в виде двух слагаемых: первоначальной суммы P и суммы процентов I S=P+I, (2) где I=Pni. (3) Процесс роста суммы долга по простым процентам легко представить графически (см. Рис. 1). При начислении простых процентов по ставке i за базу берется первоначальная сумма долга. Наращенная сумма S растет линейно от времени. Пример 1. Определим проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна 100000 руб., срок долга 1,5 года при ставке простых процентов, равной 15% годовых. I=100000 •1,5 •0,15=22500 руб. - проценты за 1,5 года S=100000+22500=122500 руб. - наращенная сумма. S 1 n } Pi Pni P Рис. 1. Наращение по простой процентной ставке Практика начисления простых процентов Начисление простых процентов обычно используется в двух случаях: (1) при заключении краткосрочных контрактов (предоставлении краткосрочных кредитов и т.п.), срок которых не превышает года (n≤1); (2) когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются. Ставка процентов обычно устанавливается в расчете за год, поэтому при продолжительности ссуды менее года необходимо выяснить какая часть процента уплачивается кредитору. Для этого величину n выражают в виде дроби n=t/K, где n - срок ссуды (измеренный в долях года), K - число дней в году (временная база), t - срок операции (ссуды) в днях. Здесь возможно несколько вариантов расчета процентов, различающихся выбором временной базы K и способом измерения срока пользования ссудой. Часто за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней в каждом). В этом случае говорят, что вычисляют обыкновенный или коммерческий процент. В отличие от него точный процент получают, когда за базу берут действительное число дней в году: 365 или 366. Определение числа дней пользования ссудой также может быть точным или приближенным. В первом случае вычисляют фактическое число дней между двумя датами, во втором - продолжительность ссуды определяется числом месяцев и дней ссуды, приближенно считая все месяцы равными, содержащими по 30 дней. В обоих случаях дата выдачи и дата погашения долга считается за один день. Подсчет точного числа дней между двумя датами можно осуществить на компьютере, взяв разность этих дат, или с помощью специальной таблицы, в которой представлены порядковые номера дат в году. Комбинируя различные варианты временной базы и методов подсчета дней ссуды, получаем три варианта расчета процентов, применяемые в практике: (1) точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365) - британский; (2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (365/360) - французский; (3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360) - германский. Вариант расчета с точными процентами и приближенным измерением времени ссуды не применяется. Простые переменные ставки Как известно, процентные ставки не остаются неизменными во времени, поэтому в кредитных соглашениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. В этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид S = P(1+n1i1+n2i2+...) = P(1+Σntit), (4) где P - первоначальная сумма (ссуда), it- ставка простых процентов в периоде с номером t, nt- продолжительность периода t - периода начисления по ставке it. Пример 2. Пусть в договоре, рассчитанном на год, принята ставка простых процентов на первый квартал в размере 10% годовых, а на каждый последующий на 1% меньше, чем в предыдущий. Определим множитель наращения за весь срок договора. 1+Σntit= 1+0,25•0,10+0,25•0,09+025•0,08+0,25•0,07 = 1,085 Реинвестирование по простым процентам Сумма депозита, полученная в конце обозначенного периода вместе с начисленными на нее процентами, может быть вновь инвестирована, хотя, скорее всего, и под другую процентную ставку, и этот процесс реинвестирования иногда повторяется неоднократно в пределах расчетного срока N. Тогда в случае многократного инвестирования в краткосрочные депозиты и применения простой процентной ставки наращенная сумма для всего срока N вычисляется находится по формуле S = P(1+n1i1)(1+n2i2) ••• = , (5) )1(1ttmtinP+Π=где n1, n2,..., nm- продолжительности последовательных периодов реинвестирования, Nnttm==Σ1, i1, i2,..., im- ставки, по которым производится реинвестирование. Дисконтирование и учет по простым ставкам В практике часто приходится решать задачу обратную наращению процентов, когда по заданной сумме S, соответствующей концу финансовой операции, требуется найти исходную сумму P. Расчет P по S называется дисконтированием суммы S. Величину P, найденную дисконтированием, называют современной величиной (текущей стоимостью) суммы S. Проценты в виде разности D=S-P называются дисконтом или скидкой. Процесс начисления и удержания процентов вперед (в виде дисконта) называют учетом. Дисконт как скидка с конечной суммы долга может определяться через процентную ставку или в виде абсолютной величины. Таким образом, в практике используются два принципа расчета процентов: (1) путем наращения суммы ссуды и (2) устанавливая скидку с конечной суммы долга. В большинстве случаев фактор времени учитывается в финансовых контрактах именно с помощью дисконтирования. Величина P эквивалентна сумме S в том смысле, что через определенный период времени и при заданной ставке процентов она в результате наращения станет равной S. Поэтому операцию дисконтирования называют также приведением. Но понятие приведения шире, чем дисконтирование. Приведение - это определение любой стоимостной величины на некоторый момент времени. Если некоторая сумма приводится к более ранней дате, чем текущая, то применяется дисконтирование, если же речь идет о более поздней дате, то - наращение. Известны два вида дисконтирования: математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. Математическое дисконтирование. Этот вид дисконтирования представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды. Если в прямой задаче S=P(1+ni), то в обратной PSni=+11. (6) Дробь в правой части равенства при величине S называется дисконтным множителем. Этот множитель показывает какую долю составляет первоначальная сумма ссуды в окончательной величине долга. Дисконт суммы S равен D=S-P. (7) Банковский или коммерческий учет. Операция учета (учета векселей) заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю или другому платежному обязательству покупает его у владельца (являющегося кредитором) по цене ниже той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т.е. приобретает (учитывает) его с дисконтом. Для расчета процентов при учете векселей применяется учетная ставка, которую мы обозначим символом d. По определению, простая годовая учетная ставка находится как dSPSn=−. (8) Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, равен D=Snd, (9) откуда P=S-D=S-Snd=S(1-nd). (10) Множитель (1-nd) называется дисконтным множителем. Срок n измеряет период времени от момента учета векселя до даты его погашения в годах. Дисконтирование по учетной ставке производится чаще всего при условии, что год равен 360 дням. Наращение по учетной ставке. Учетная ставка может использоваться для наращения, т.е. для расчета S по P. В этом случае из формулы (10) следует, что SPnd=−11. (11) Сравнение ставки наращения и учетной ставки. Операции наращения и дисконтирования по своей сути противоположны, но ставка наращения и учетная ставка могут использоваться для решения обеих задач. В этом случае, в зависимости от применяемой ставки, можно различать прямую и обратную задачи. Прямая и обратная задачи Ставка Прямая задача Обратная задача наращения I наращение: S=P(1+ni) Дисконтирование: P=S/(1+ni) учетная d дисконтирование: P=S(1-nd) Наращение: S=P/(1-nd) Совмещение начисления процентов по ставке наращения и дисконтирования по учетной ставке. В том случае, когда учету подлежит долговое обязательство, предусматривающее начисление простых процентов на первоначальную сумму долга, необходимо решить две задачи: (1) определить конечную сумму долга на момент его погашения; (2) рассчитать сумму, получаемую при учете, путем дисконтирования конечной суммы долга, применяя учетную ставку, действующую в момент учета. Решение двух этих задач можно записать в виде одной формулы, содержащей наращение по ставке простых процентов, фигурирующей в долговом обязательстве, и дисконтирование по учетной ставке: P2=P1(1+n1i)(1-n2d), где P1- первоначальная сумма ссуды, P2- сумма, получаемая при учете обязательства, n1- общий срок платежного обязательства, в течение которого начисляются проценты, n2- срок от момента учета до погашения долга. Пример 3. Платежное обязательство уплатить через 100 дней 2 млн. руб. с процентами, начисляемыми по ставке простых процентов i=20% годовых, было учтено за 40 дней до срока погашения по учетной ставке d=15%. Требуется определить сумму, получаемую при учете. Решение. P221100365021403600152074=+−=(,)(,),млн. руб. Отметим, что при наращении здесь использовалась временная база 365 дней, а при дисконтировании - 360. Определение продолжительности ссуды. Иногда задача ставится таким образом, что требуется найти временной интервал, за который исходная сумма при заданной ставке процентов вырастет до нужной величины, или срок, обеспечивающий определенный дисконт с заданной величины. Другими словами, речь идет о решении формул (1) и (10) относительно n. При использовании простой ставки наращения i из (1) получаем ^ nSPPi=−, (12) а при учетной ставке d из (10) имеем nSPSd=−. (13) Формулы (12) и (13) дают срок, измеряемый в годах, но простые ставки в основном используются в краткосрочных операциях, когда срок исчисляется днями. В этом случае срок финансовой операции в днях выражается как t=nK, (14) где K - временная база. Определение уровня процентной ставки. Уровень процентной ставки может служить мерой доходности операции, критерием сопоставления альтернатив и выбора наиболее выгодных условий. Из тех же формул (1) и (10) получаем ставку наращения i и учетную ставку d iSPPnSPPtK=−=−, (15) dSPSnSPStK=−=−, (16) где использовалось соотношение (14). Напомним, что срок n в двух формулах имеет разный смысл: в первом случае это весь срок операции, а во втором - оставшийся срок до погашения. Пример 4. Определить доходность операции для кредитора, если им предоставлена ссуда в размере 2 млн. руб. на 100 дней и контракт предусматривает сумму погашения долга 2,5 млн. руб. Доходность выразить в виде простой ставки процентов i и учетной ставки d. Временную базу принять равной K=360 дней. Решение. iSPPtK=−=−⋅=252210036009,,, т.е. 90%, dSPStK=−=−⋅=252251003600,,,72, т.е. 72%. Иногда размер дисконта в контрактах фиксируется за весь срок ссуды в виде доли (или процента) от суммы погасительного платежа. Таким образом, уровень процентной ставки здесь задается в неявном виде. Но нетрудно вывести формулы, с помощью которых значения этих ставок можно вычислить. Пусть S - размер погасительного платежа, dn- доля этого платежа, определяющая величину дисконта за весь срок ссуды n. Требуется определить каким уровням годовых ставок i и d эквивалентны такие условия. Итак, S - сумма возврата в конце срока ссуды, P=S(1-dn) - реально выдаваемая ссуда в момент заключения договора. iSPPnSSdSdnddnnnnn=−=−−−=−()()(),111 (17) dSPSnSSdSndnn=−=−−=().1 n (18) Пример 5. Кредитор и заемщик договорились, что из суммы кредита, выданного на 200 дней, сразу удерживается дисконт в размере 25% указанной суммы. Требуется определить цену кредита в виде простой годовой учетной ставки d и годовой ставки простых процентов i. Считать временную базу K равной 365 дням. Решение. ddnn===025200365045625,/, , т.е. 45,625%, iddnnn=−=−=(),(,)/,10251025200365060833, т.е. 60,833%. Раздел II. Начисление сложных процентов 2.1 Сложные проценты Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов. Формула наращения по сложным процентам Пусть первоначальная сумма долга равна P, тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит P(1+i), через 2 года P(1+i)(1+i)=P(1+i)2, через n лет - P(1+i)n. Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов S=P(1+i)n, (19) где S - наращенная сумма, i - годовая ставка сложных процентов, n - срок ссуды, (1+i)n- множитель наращения. В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.). Наращение по сложным процентам представляет собой рост по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен P, а знаменатель (1+i). Отметим, что при сроке n1 - наоборот. В этом нетрудно убедиться на конкретных числовых примерах. Наибольшее превышение суммы, наращенной по простым процентам, над суммой, наращенной по сложным процентам, (при одинаковых процентных ставках) достигается в средней части периода. Формула наращения по сложным процентам, когда ставка меняется во времени В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид SPiiinnknk=+++()()...()1111122 , (20) где i1, i2,..., ik- последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n1, n2,..., nk соответственно. Пример 6. В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% в первые два года, 8% в третий год, 5% в четвертый год. Определить величину множителя наращения за 4 года. Решение. (1+0,3)2(1+0,28)(1+0,25)=2,704 Формула удвоения суммы В целях оценки своих перспектив кредитор или должник может задаться вопросом: через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз при данной процентной ставке. Обычно это требуется при прогнозировании своих инвестиционных возможностей в будущем. Ответ получим, приравняв множитель наращения величине N: а) для простых процентов (1+niпрост.) = N, откуда nNiпост=−1р.. (21) б) для сложных процентов (1+iсложн.)n= N, откуда nNiсложн=+lnln().1. (22) Особенно часто используется N=2. Тогда формулы (21) и (22) называются формулами удвоения и принимают следующий вид: а) для простых процентов niпост=1р., (23) б) для сложных процентов niсложн=+lnln().21. (24) Если формулу (23) легко применять для прикидочных расчетов, то формула (24) требует применения калькулятора. Однако при небольших ставках процентов (скажем, менее 10%) вместо нее можно использовать более простую приближенную. Ее легко получить, если учесть, что ln 2 _ 0,7, а ln(1+i) _ i. Тогда n ≈ 0,7/i. (25) Пример 7. Рассчитать, за сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов равной 10%. Для ставки сложных процентов расчеты выполнить по точной и приближенной формуле. Результаты сравнить. Решение. а) При простых процентах: niпост===110110р., лет. б) При сложных процентах и точной формуле: niсложн=+=+=lnln(),ln(,),,,.2106931471010693147009531018727 = года. в) При сложных процентах и приближенной формуле: n ≈ 0,7/i = 0,7/0,1 =7 лет. Выводы: 1) Одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к совершенно различным результатам. 2) При малых значениях ставки сложных процентов точная и приближенная формулы дают практически одинаковые результаты. Начисление годовых процентов при дробном числе лет При дробном числе лет проценты начисляются разными способами: 1) По формуле сложных процентов S=P(1+i)n, (26) 2) На основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное - простые S=P(1+i)a(1+bi), (27) где n=a+b, a-целое число лет, b-дробная часть года. 3) В ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т.е. S=P(1+i)a. (28) Номинальная и эффективная ставки процентов Номинальная ставка. Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году m. Тогда каждый раз проценты начисляют по ставке j/m. Ставка j называется номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле: S=P(1+j/m)N, (29) где N - число периодов начисления. Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при m разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитывать несколькими способами, приводящими к различным результатам: 1) По формуле сложных процентов S=P(1+j/m)N/τ, (30) где N/τ - число (возможно дробное) периодов начисления процентов, τ - период начисления процентов, 2) По смешанной формуле SPjmbjma=++()(11 ) , (31) где a - целое число периодов начисления (т.е. a=[N/τ] - целая часть от деления всего срока ссуды N на период начисления τ), b- оставшаяся дробная часть периода начисления (b=N/τ-a). Пример 8. Размер ссуды 20 млн. руб. Предоставлена на 28 месяцев. Номинальная ставка равна 60% годовых. Начисление процентов ежеквартальное. Вычислить наращенную сумму в трех ситуациях: 1) когда на дробную часть начисляются сложные проценты, 2) когда на дробную часть начисляются простые проценты 3) когда дробная часть игнорируется. Результаты сравнить. Решение. Начисление процентов ежеквартальное. Всего имеется 283913= кварталов. 1) =+201064913(,/)S= 73,713 млн. руб. 2) =++⋅2010641064139(,)(,) S = 73,875 млн. руб. 3) S=20(1+0,6/4)9= 70,358 млн. руб. Из сопоставления наращенных сумм видим, что наибольшего значения она достигает во втором случае, т.е. при начислении на дробную часть простых процентов. Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m -разовое наращение в год по ставке j/m. Если проценты капитализируются m раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то, по определению, можно записать равенство для соответствующих множителей наращения: (1+iэ)n=(1+j/m)mn, (32) где iэ - эффективная ставка, а j - номинальная. Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением 1)1(−+=mэmji (33) Обратная зависимость имеет вид j=m[(1+iэ)1/m-1]. (34) Пример 9. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки 10% годовых. Решение iэ=(1+0,1/4)4-1=0,1038, т.е. 10,38%. Пример 10. Определить какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12% годовых. Решение. j=4[(1+0,12)1/4-1]=0,11495, т.е. 11,495%. Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов Здесь, также как и в случае простых процентов, будут рассмотрены два вида учета - математический и банковский. Математический учет. В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения S=P(1+i)nи решим ее относительно P PSiSvnn=+=11(), (35) где viinnn=+=+−111()() (36) учетный или дисконтный множитель. Если проценты начисляются m раз в году, то получим PSjmSvmnmn=+=11(/), (37) где vjmjmmnmnmn=+=+−111(/)(/) (38) дисконтный множитель. Величину P, полученную дисконтированием S, называют современной или текущей стоимостью или приведенной величиной S. Суммы P и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через n лет равноценен сумме P, выплачиваемой в настоящий момент. Разность D=S-P называют дисконтом. Банковский учет. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле P=S(1-dсл)n, (39) где dсл - сложная годовая учетная ставка. Дисконт в этом случае равен D=S-P=S-S(1-dсл)n=S[1-(1-dсл)n]. (40) При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта. Номинальная и эффективная учетные ставки процентов Номинальная учетная ставка. В тех случаях, когда дисконтирование применяют m раз в году, используют номинальную учетную ставку f. Тогда в каждом периоде, равном 1/m части года, дисконтирование осуществляется по сложной учетной ставке f/m. Процесс дисконтирования по этой сложной учетной m раз в году описывается формулой P=S(1-f/m)N, (41) где N - общее число периодов дисконтирования (N=mn). Дисконтирование не один, а m раз в году быстрее снижает величину дисконта. Эффективная учетная ставка. Под эффективной учетной ставкой понимают сложную годовую учетную ставку, эквивалентную (по финансовым результатам) номинальной, применяемой при заданном числе дисконтирований в году m. В соответствии с определением эффективной учетной ставки найдем ее связь с номинальной из равенства дисконтных множителей (1-f/m)mn=(1-dсл)n, из которого следует, что dсл=1-(1-f/m)m. (42) Отметим, что эффективная учетная ставка всегда меньше номинальной. Наращение по сложной учетной ставке. Наращение является обратной задачей для учетных ставок. Формулы наращения по сложным учетным ставкам можно получить, разрешая соответствующие формулы для дисконтирования (39 и 41) относительно S. Получаем из P=S(1-dсл)n