Примеры задач оптимизации, связанных с фундаментальными понятиями теории связи

Министерство образования и науки
Республики Казахстан
Казахско — Американский Университет
Факультет «Прикладных наук»
СРС
Тема:  Примеры задач оптимизации, связанных с фундаментальными понятиями теориисвязи.
 
 
 
 
Студент:
Группа:ФПН (РРТ)-5с
Проверил:.
Дата:
Подпись:
Алматы, 2005
Примеры задачоптимизации, связанных с фундаментальными понятиями теории связи.
Приводимые ниже две задачиоптимизации типичны; такого видапроблемы часто возникают при разработке новых систем и устройств связи. Первая из них связана свопросом о наиболее эффективном  использовании   заданного частотного  диапазона
при наличии шума с неравномерным спектром; вторая -с выборомформы импульсного сигнала, обладающего мини­мально возможной полосой частот ипотому наиболее адекват­ного работе по полосно-ограниченному каналу связи. Обеэти задачи имеют самостоятельный интерес; вместе с тем они могутрассматриваться как достаточно простые упражнения по практическомуприменению  вариационного исчисления.
Экстремальная   задача,  связанная   с  пропускной  способностью
канала связи   [24]
Максимальное количество информации, которое может быть передано за единицу времени по каналу связи сполосой частот  f1

                            (3.17)

где s(f) и n(f) —функции спектральной плотности мощности полезного  сигнала и  шума соответственно   [24,  25].
Если спектральныеплотности мощности сигнала и шума являютсячастотно-независимыми в полосе [f1, f2), то получа­ется  еще  более известное  выражение

где  полная мощность сигнала;
                (3.18)
—      полная мощность шума.
Поставим задачу оботыскании спектра плотности мощности полезногосигнала s{f), прикотором (при фиксированной полноймощности сигнала РС = Р и заданной спектральной плотности мощности шума n(f)скорость передачи ин­формации была бымаксимальной. Таким образом, максимум функционала

                    (3.19)

При дополнительном условии
                     (3.20)
Используя терминологию предыдущего раздела, можно говорить что поставленная задача являетсяизопериметрической со свободнымиконцами, причем подынтегральные выражения в  (3.19)  и (3.20)  не  содержат функции  s'(f).
Составив в соответствии сметодом множителей Лагранжа вспомогательный функционал  типа
                (3.21)
выпишем для  него  уравнение Эйлера

откуда
       (3.22)
Подставляя  (3.22) в  (3.20) и учитывая  обозначение (3.18),
находим  значение


Окончательно   оптимальная  форма   спектра   плотности  мощ­ности сигнала  определяется из  выражения
         (3.23)
Как видно, оптимальныйспектр плотности мощности сигнала дополняетспектр плотности мощности шума до константы. Другими словами, энергию передатчика целесообразно распреде­лять в рабочем диапазоне частот неравномерно,направляя ее в  основном в  те участки,  где мощность  шума  мала.
Этот вывод представляет несомненный практический инте­рес, однако он, может быть, сделан поспешно, ведьне доказано, что на экстремали (3.23)действительно достигается минимум. Впрочем, из замечания (3.4) офункционалах, не содержащих производной неизвестной функции (см. § 3.3),немедленно вытекает обоснование того факта, что на функции (3.22) в самом деле реализуется экстремумфункционала (3.21), а вместе с ним ифункционала (3.19) при условии (3.20). Этотэкстремум может быть только максимумом, ибо, при­ближая s(f) впроизвольно малом, но конечном подынтервале интервала (f1,f2) кфункции n(f), взятойс обратным знаком (s(f) n(f)), можносделать значение функционала (3.19) меньшим  любого наперед  заданного  числа.
В связи с записьюприближенного равенства (s(f) -n(f)), целесообразнонапомнить, что по физическому смыслу функции s(f) и n(f) неотрицательны.Решая поставленную задачу формально,мы нигде не вводили условия s(f)≥0, поэтому формула (3.23)действительно дает решение поставленной задачи с учетом физическихограничений, если во всех точках интервала  (f1,f2) выполняется неравенство
           (3.24)
Однако неравенство (3.24)может оказаться нарушенным: этообстоятельство сигнализирует о том, что математическая задачамаксимизации пропускной способности канала R[s(f)] была поставлена некорректно и, чтобы исправить положение, следует к  условию  (3.20) присоединить условие
S(f)>0.     (3.25)
На решениях задачподобного типа мы останавливаться небудем, хотя описанным в [3] методом односторонней вариации успешно  решают  и такие задачи.
Задача   об  отыскании   импульса   с минимальной   эффективной
шириной  спектра
Как правило, передачаинформации по каналам связи осуществляетсяв строго ограниченном частотном диапазоне: вне этого диапазона так называемые «внеполосные» излучения не должны превышать некоторую заданнуюсуществующими нормами величину. Припередаче данных занимаемая полоса частотопределяется во многом формой сигнала-переносчика, поэтому представляет существенный интерес отысканиеформы сигналов конечнойпродолжительности, обладающих мини­мально возможной  полосой частот   [15].
Сказанное,   однако,  нуждается   в   некотором  разъяснении. Обозначиминтересующий нас сигнал-переносчик длительности Т черезy(t),0≤t≤TТогда  его спектр
(3.26)
Преобразование Фурьесигнала конечной продолжитель­ности(3.26) определяет спектр Y(ω),который является функцией комплексного
переменного ω=плоскостицелыми).
Известно, что целыефункции могут обращаться в 0 лишь визолированных точках и никогда на множествах точек, у которых, как говорят математики, «мера большенуля». Примером таких множеств могутслужить отрезок действи­тельной илимнимой оси комплексной плоскости, круг или совокупность фигур на этой плоскости, действительная полуось

                                        0       
                                                    рис.3.11
и т. д. Практически этоозначает, что спектры сигналов конечной продолжительности обладаютбесконечной протяжен­ностью и,следовательно, принципиально неустранимыми внеполосными излучениями. Спектр прямоугольного импульса y(t)=1,0≤t≤T, является в достаточной степени типичным (рис.3.11). Другими словами, не существуетчастотного диапазона, внутри которогопоместился бы целиком спектр прямоу­гольного(да и любого другого) импульса. Вместе с тем ясно, что внеполосные излучения в зависимости от формыимпульса могут  обладать большей или  меньшей  интенсивностью.
Существуют различныеспособы оценки внеполосных излучений.Пожалуй, наиболее распространенный из них — энергетический, при котором интенсивность внеполосных излученийхарактеризуется величиной низкочастотногорабочего диапазона частот критерий ( за­пишем  в виде

 (3.27)
Задаче минимизации величины   посвящена значительнаялитература [26]. Отметим, что для минимизацииотношения (3.27) переходят обычно киной, эквивалентной, задаче. Полагая
(3.28)
решают вопрос о максимизации энергии импульса y(t) в ра­бочей полосе  частот  


 (3.29)
Напомним,   что  в  силу  теоремы  Рэлея     Парсеваля   спра­ведливо  следующее  равенство для  энергии  сигнала:

                            3.30

поэтому  условие  (3.28) эквивалентно  следующему:

3.31
Вариационную задачумаксимизации (3.29) при условии (3.31)сводят к решению так называемого интегрального уравнения [22] относительнонеизвестной функции y{t). Изложениедостигнутых здесь интересных и важных ре­зультатов требует, однако, использования достаточно сложного математического аппарата. В связи с этим используемдругой подход к минимизациивнеполосных излучений, для чего введемпонятие об эффективной ширине спектра, аналогичноедисперсии распределения вероятностей. Попы­таемся перенестихарактеристики законов распределения ве­роятностейслучайных величин на спектры сигналов. Пред­полагая, что выполняется условие (3.28), будем рассматривать неотрицательную функцию

как плотностьраспределения вероятностей p(случайнойвеличины. Так как модуль спектра произвольного вещественного сигнала является четной функцией частоты (см. § 1.2, свойство 1),  т. е.

то среднее значение этойслучайной  величины  равно нулю:


а  ее дисперсия

                  3.23

Положительную величину  назовем эффективнойшириной
спектра сигнала y(t),0≤t≤T, и поставим вопрос о минимизации, или, что эквивалентно,минимизации
в        качестве      дополнительногоусловия      примем
равенство (3.28), которое отражает известное свойство интег­рала от плотности распределения вероятностей (онравен единице). В дальнейшем, однако,будет удобнее использовать эквивалентное  (3.28) равенство  (3.31).
Здесь уместно напомнить,что дисперсия характеризует степень сосредоточенностиплотности p(Чем меньше дисперсия,тем более «узким» является график функции p(. В принципе этафункция в пределе при переходит в5-функцию (для сигналов y(t) конечнойпродол­жительности последнееневозможно). Это обстоятельство и обо­сновывает применениетеоретико-вероятностного критерия — дисперсиик оценке ширины полосы частот, занимаемой сигналом y(t).
Выражение (3.32)преобразуем таким образом, чтобы пред­ставитьего как функционал от y(t). Дляэтого проведем следующиевспомогательные рассуждения, относящиеся к фор­муле  обратного преобразования  Фурье:
                     (3.33)
                        
Продифференцируем  обе  части равенства  (3.33)  по  t:

    (3.34)
Применим теперь теоремуРэлея—Парсеваля к сигналу y’(t),0≤t≤T,.  С  учетом (3.34)  получим
 (3.35)
Сравнив равенства (3.32) и  (3.35),  запишем

Для минимизациифункционала (3.36) при ограничении (3.31)составим  вспомогательный функционал
    (3.37)
Сделаем упрощающеепредположение (оно облегчит, как мы увидим, проверку достаточных условийминимизации): импульс y(t) обладаетчетной симметрией относительно середины отрезка    [О, T] — точки   t=T/2.   Тогда   задачу  минимизации
функционала  (3.37)   можно   заменить  задачей    минимизации функционала
 
при  условии
 (3.39)
Правый конец отрезка [О, Т/2] будем считать свободным, т. е. предполагать, что у{Т/2) может приниматьлюбые зна­чения. Что касается левогокрая интервала — точки t= 0 (равно каки симметричной относительно центра точки t=T), тоздесь определенно  можно  сказать, что y(0)=0,(3.40) хотя в самой постановке задачи нет никакихуказаний отно­сительно поведения y(t) на концах. Однако одно важное обстоятельство с необходимостью приводит к условию(3.40). Дело  в том, что  для  сходимости интеграла

а значит, и существования конечной величины  (см. (3.32)) требуется, чтобы функция приy(t), , имеет разрывы,его спектр убывает на бесконечности какнабесконечности какнепрерывную первую производную, то характер убывания спектра при  т. д. [22]. Внашем случае для сходимости интеграла (3.31) достаточно потребовать, чтобы квадрат модуля спектра как   1/|4 при       1/|).  Это означает, что импульс  должен бытьнепрерывным.
Но из непрерывности функции следует равенствопределов слева и справа в любой точкеее области определения. Например, налевом краю области определения для непрерывного сигнала y(t)  справедливо  равенство
y(t-0) = y(t+ 0),  t=0.
Так как вне отрезка  функция y(t) считается равной 0, справедливость условия (3.40) очевидна. Что касается свободного конца t=T/2, то в силу теоремы 3.3 о подвижных концах(см. § 3.2) применительно к функционалу (3.38) можем записать  соответствующее  ограничение
,   
или
                                                                                               (3.42)
Уравнение Эйлера для функционала (3.38) фактически уже рассматривалосьнами в близкой задаче примера 3.1,оно имеет  вид
y”+λy=0, а  его решение,  содержащее  две произвольные  постоянные,-

 Воспользовавшись  (3.40),  запишем
.
Таким образом, 
Для определения  восполь­зуемся условием   (3.42)  (с учетом  того,  что  с1= 0):

откуда
        (3.43) Следовательно,
               (3.44)
где с2 ицелое число kпока не определены. Отыскание амплитуды с2  не представляет труда и может быть легко осуществлено с помощью подстановки (3.44) в условиенорми­ровки  энергии импульса y{t)  (3.39).
Несколько сложнее найтичисло k. Чтобы выделить из семейства экстремалей (3.44) кривую, которая действительно соответствуетминимуму функционала (3.38), обратимся к до­статочным условиям сильного минимума, приведенным в § 3.3. Условие «а»выполнено, ибо все кривые семейства (3.44) — экстремали. Для проверки условия «б» составим дифферен­циальное уравнение Якоби (3.16), которое в данномслучае принимает вид

т. е. совпадает по формес уравнением Эйлера рассматриваемой задачи.Его  общее  решение
а  решение,  обращающееся   в  0  на  левом  конце,
                       (3.45)
                                                                               
Для выполнения условия ”б” необходимо, чтобы функция  не обращалась в нольни в одной точке отрезка (0, Т/2), кроме точки t=0. легко проверить, что среди всехзначений  удовлетворяющих (3,43),только случаи k=0 и k= -1 
  удовлетворяют  этомуусловию.   Более    «высокочастотные»
 (k=1,   ±2,   ±3,  ...)  синусоиды   (3.45)
обладают дополнительныминулями на   
отрезке (0, T/2). Подставив k=0 в (3.44), получим единственную
кривую, на которой может бытьреализован минимум (3.38),
(3.46)
— полуволну синуса1.Чтобы доказать, что (3.46) действительно является решением нашей задачи, покажем, что выполняется и последний (третий) пункт «в» достаточныхусловий. Дейст­вительно,

Определение константы с2, как ужеговорилось, не вызывает затруднений, онаравна. График импульса с минималь­ной эффективной  шириной  спектра показан  на  рис. 3.12.
В заключение разъясним, вчем трудность исследования функционала(3.37), в котором y(t) рассматриваетсяна всем отрезке [0, Т ].Разумеется, уравнения Эйлера и Якоби, а также их решения имели бы тот же самый вид, который описан выше. Но добиться успеха с помощью пункта «б»достаточных условий, которыми мывоспользовались, по-видимому, оказа­лось бы невозможным. Действительно, условиеЯкоби не выполняется, так как решениеуравнения Якоби (3.45) в точке t=Tравно 0 в случае k= 0: ио= 0 при k= 0. Значит, не существует ни одного целого числа k, при котором пункт «б» был бы выполнен. И хотя при этом не нарушается необходимое условие Якоби (см. замечание 3.3 вконце § 3.3), вопрос о том,реализуется ли минимум функционала (3.37) на какой-либо  из  кривых (3.44),  остается  открытым.
Замечание 3.5. Задачаминимизации полосы частот, занимаемойимпульсным сигналом при использовании энерге­тического критерия (I(формула (3.27)), также приводит к им­пульсу округлой формы, напоминающему сигнал рис.3.12. Однако в этом случае формаоптимальной функции y(t)  оказываетсязависящей не только от длительности Г, но и от ширины интервалаконцентрации энергии (0, T   [26].