Вариант37
Задача 1
Абсолютножесткий брус опирается на шарнирно-неподвижную опору и прикреплен к двумстержням с равным поперечным сечением. Площадь сечения стержней А = 2∙10-4м2. Модуль упругости материала стержней Е = 2×105 МПа, коэффициентлинейного расширения a =12×10–6 1/град. Размеры бруса: a = 0,5 м, b = 3м, h = 1м, с = 2 м.
/>
Требуется:
1. Вычислить допускаемую нагрузку [Q], приняв большее из напряжений задопускаемое [s] =160 МПа.
2. Вычислить допускаемую нагрузку попредельному состоянию [Q]пр.
3. Сравнить полученные результаты.
4. Вычислить монтажные напряжения вобоих стержнях, если длина второго стрежня короче номинальной на величину d2 = 2∙10-3 м
5. Вычислить напряжения в обоихстержнях, если температура первого стержня увеличится на величину Dt1 = -40°С.
6. Вычислить напряжения в обоих стержняхот совместного действия нагрузки, неточности изготовления второго стержня иизменение температуры первого стержня.
/>
1. Вычислить допускаемую нагрузку [Q], принявбольшее из напряжений в стержнях за допускаемое [s].
Составляем расчетную схему. Под действием силы Qстержни 1 и 2 будет растягиваться. Вследствие этого появятся внутренние силы N1 и N2.Составим уравнение моментов относительно точки О:
/>
/>
При неизвестных реактивных усилиях N1,N2, Rox, Roy и трех уравнений статики (плоская система сил)заданная стержневая система является статически неопределимой, и степеньстатической неопределимости (ССН) определяется:
ССН = m – n,
где m – количество неизвестных реакций, n – количество уравнений. Таким образом, ССН = 4 – 3 =1, тоесть для решения данной задачи необходимо составить еще одно дополнительноеуравнение, называемое уравнением совместности деформаций.
Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА1Ои СС1О имеем:
/>.
Считаем, что угловые деформации малы, поэтому изменением угла b пренебрегаем.
АА1=Dl2,/>, KА1=Dl1. Тоесть: />
По закону Гука имеем:
/>; />.
Длину первого стержня определяем по теореме Пифагора:
/> м
Подставляем значения удлинений в уравнение совместности деформаций:
/>.
Тогда, />. Окончательноимеем: N2 = 1,3×N2
Из этого выражения видно, что N1кН.Значение N1 = 24,62 кН.
Оба стержня сжаты.
Найдем напряжения в обоих стержнях: sII = [s] = -160 МПа; sI =-123,1 МПа. растянуты.
Подставим значения сил N1 и N2 в первое уравнение и определим значение [Q]:
/>кН.
2. Вычислить допускаемую нагрузку попредельному состоянию [Q]пр.
Предельное состояниебудет возникать, если напряжения в стержнях будут равны предельным, то естьпределу текучести sт: sI= sII= sт
Составляем уравнениепредельного равновесия:
/>;/>.
Предельные усилия вкаждом из стержней:
/>.
Решаем относительно предельной нагрузки для системы:
/>.
Допускаемая нагрузка по предельному состоянию [Q]пропределяется как:
/>,
где n – коэффициент запаса прочности.
С учетом, что /> получим [Q]пр = 23,51 кН.
3. Сравнить полученные результаты.
Определяем погрешность между расчетами:
/>%.
По условию предельного состояния допускаемую нагрузку можно не менять(погрешность d
/>
4. Вычислить монтажные напряжения вобоих стержнях, если длина второго стержня короче номинальной на величину d2=1,5 мм.
Составляем расчетную схему. С учетом удлинения стержня 2 точка А должнасовпасть с точкой Е, если бы не было стержня 1. Сопротивление первого стержняприводит к тому, что точка А занимает положение А1. В связи с этим,в стержнях появляются внутренние усилия N1 иN2. Составим уравнение статики:
/>; />
Из этого уравнения следует, что:
/>
Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА1Ои ВВ1О имеем:
/>; />
/>; />; />
KВ1=Dl1.
По закону Гука:
/>; />.
Решая совместно уравнения получим:
N1= 29,76 кН; N2=41,34 кН.
2 стержень сжат; 1 – растянут.
/>
Определим напряжения:
sI =148,8 МПа; sII = -206,7 МПа.
5. Вычислить напряжения в обоих стержнях, если температура первого стержняуменьшится на величину Dt1=40°.
Составим расчетную схему. С учетом удлинения стержня 1 точка В должнасовпасть с точкой Е, если бы не было стержня 2. Сопротивление второго стержняприводит к тому, что точка В занимает положение В1. В связи с этим,в стержнях появляются внутренние усилия N1 иN2. Составим уравнение статики:
/>; />
Из этого уравненияследует, что: />
Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА1Ои ВВ1О имеем:
/>; />; />; />; />; АА1=Dl2.
По закону Гука:
/>; />.
Решая совместно получим:
N1=5,15 кН; N2=7,15кН.
2 стержень сжат; 1 – растянут.
Определим напряжения:
sI =25,75 МПа; sII = -35,76 МПа.
5. Вычислить напряжения в обоих стержняхот совместного действия нагрузки, неточности изготовления второго стержня иизменение температуры первого стержня.
Сведем данные расчетов в Таблицу
Таблица 1.Фактор, вызывающий напряжения Напряжения, МПа 1 стержень 2 стержень Нагрузка [Q] = 20,96 МПа -160 -123,1 Неточность изготовления 2-го стержня 148,8 -206,7 Изменение температуры 1-го стержня 25,75 -35,76 ИТОГО 14,55 -365,56
Из таблицы видно, что длязаданной схемы для стержня 1 сочетания всех трех факторов являетсяблагоприятным фактором (напряжения значительно меньше допускаемых), а длястрежня 2 — неблагоприятным: стержень разрушится.
/>
Задача 2
Дана двух опорная балка с приложенными к ней нагрузками М= -15кНм;F=-20 кН; q = 12 кН/м. Допускаемоенапряжение [s] = 160 МПа. размеры балки a = 0,8 м; b = 0,7 м; c = 0,5 м.
Требуется:
1. Подобрать для схем (а) балку круглого, прямоугольного(отношение сторон h/b=2),кольцевого (отношение диаметров с=0,5), двутаврового сечений при заданном [s];
/>
2. Сравнить площади поперечных сечений и сделать вывод о том,какая форма наиболее рациональна.
Решение
1. Определяемопорные реакции балки.
/>
/>
Проверяемправильность определения опорных реакций:
/>/>
Реакции определены верно.
2. Запишемуравнения поперечных сил и изгибающих моментов для каждого участка балки.
Участок I. О ≤ Z1≤0,8
/>; /> кН;
/>; />; /> кНм.
Строим эпюры по вычисленным значениям.
Участок
П. 0 Z2
/>; /> кН;
/>; />кН×м; />кН×м.
Строим эпюры по вычисленным значениям.
Участок IП.
0 Z3
Q(z3) = -RВ + q×z3; Q(0) =87 кH; Q(0.5) = 93 кН
M(z3)= RВz3 – q×z3×z3×0.5; M(0) = 0; M(0.5)=-45 кH×м
3. Опасным будет сечение, в котором изгибающий момент достигаетмаксимального значения по абсолютной величине.
В данной задаче Mmax = 45 кН×м.
Вычисляем необходимый момент сопротивления поперечного сечениябалки
/> см3.
3.1. Двутавровое поперечное сечение.
Этому моменту сопротивления соответствует двутавр №24, моментсопротивления и площадь поперечного сечения которого соответственно равны Wx=289 cм3; А= 34,8 см2.
3.2. Прямоугольное сечение (h/b = 2).
/>см
h=15 см; b=7,5 см; А=112,5 см2.
3.3. Круглое поперечное сечение:
/>, />см
/> см2.
3.4. Кольцевое сечение (с = 0,7).
/>см
/> см2
3. Сравниваемплощади поперечных сечений А, подобранных профилей, сведя данные в Таблицу 2:
Таблица2.Тип сечения
Площадь сечения, см2 Двутавровое 38,4 Прямоугольное 112,5 Круглое 156,4 Кольцевое 95,7
Таким образом, при изгибе оптимальным является сечение двутавра.
/>
Задача 3
Дан стержень с опорами, закрепленными по указанной схеме, сжатсилой F= 90 кН. Поперечное сечение – равносторонний треугольник. Длина стержня 1= 0,85 м. Материал стержня — чугун. Модуль упругости Е = 1,3×105 МПа,допускаемое напряжение [σ] = 130 МПа. Коэффициент закрепления опор m = 0,7
Требуется определить:
— размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на сжатие[σ];
— величину критической силы Fk;
— коэффициент запаса устойчивости nу.
Решение.
Задачарешается методом приближения. В первом приближении задаемся коэффициентомуменьшения основного допускаемого напряжения j1 = 0,5. Из условияустойчивости определяем площадь сечения:
/>
Из площади сечения находим сторону сечения b:
/> Þ />= 4,3 см.
Определяем минимальный радиус инерции по формуле:
/>, где />.
/>=0,88 см
Определяем гибкость стержня:
/>
По таблице находим соответствующее значение коэффициентауменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,36. Производимпроверку на устойчивость:
/> МПа > [s]
Так как σ > [σ], то задаемся новым значением φ иповторяем весь расчет.
/>
/>
/>=6,1 см. />=1,24 см.
/>
По таблице находим соответствующее значение коэффициентауменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,6. Производимпроверку на устойчивость:
/> МПа
Допускаемаяпогрешность не более 5%. Определяем погрешность
/>
Погрешность больше допустимой, поэтому задаемся новым значениемφ и повторяем весь расчет.
/>
/>
/>=5,54 см. />=1,13 см.
/>
По таблице находим соответствующее значение коэффициентауменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,46. Производимпроверку на устойчивость:
/> МПа
Определяемпогрешность
/>
Погрешность не находится в допускаемых пределах.
Задаемся новым значением φ и повторяем весь расчет.
/>
/>
/>=5,71 см. />=1,16 см.
/>
По таблице находим соответствующее значение коэффициентауменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,56. Производимпроверку на устойчивость:
/> МПа
Определяемпогрешность
/>
Погрешность не находится в допускаемых пределах.
Задаемся новым значением φ и повторяем весь расчет.
/>
/>
/>=5,5 см. />=1,12 см.
/>
По таблице находим соответствующее значение коэффициентауменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,46. Производимпроверку на устойчивость:
/> МПа
Значения повторяются. Поэтому принимаем b = 5,71 см, А = 14,1 см2.
Определяем критическую силу:
/> кН.
Определяем коэффициент запаса устойчивости:
/>
Ответ: FK=695 кН; nу = 7,7.