План
1. Введение…………………………………………………………………… стр. 3
2. Общая характеристика программы……………………………………… стр.4
3. Использование встроенного калькулятора……………………………… стр.5
3.1. Решение системы уравнений и неравенств…………………….стр.6
4. Применения, связанные с темой«Теорияпределов. Дифференцирование функций одной переменной»……………………………………………….стр. 7
5. Применения, связанные стемой«Исследование функций с помощьюпроизводной»………………………………………………………………… стр. 9
6. Применения, связанные с темой «Аналитическая геометрия на плоскости»…………………………………………………………………… стр.11
7. Применения, связанные с темой «Интегральное исчисление функций однойпеременной»…………………………………………………………стр. 12
8. Применения, связанные с темой «Ряды»……………………………….стр.13
9. Применения, связанные с темой «Теория вероятностей иматематическая статистика»………………………………………………………………….стр. 15
10. Заключение……………………………………………………………… стр. 17
11. Список литературы……………………………………………………… стр.18
Введение
Grapher — это программа для построения иобработки графиков. При таком маленьком размере программа имеет невообразимомного функций и возможностей. Также хочется отметить практически полнуюбезошибочность и удобство в использовании.
Программаумеет:
1) Строить графики уравнений, функций, неравенств, уравнений спараметром и др.
2) Поддерживаются прямоугольная и полярная система координат
3) Также можно строить график по таблице (создается внутрипрограммы или вводится из файла)
4) Позволяет обрабатывать графики: производная, интеграл,экстремумы, нули функции, касательные, пересечения, аппроксимация.
5) График можно сохранить в виде рисунка, документа Grapher( *.agr)или таблицы
6) Есть стандартные функции масштабирования, поиска, выделенияцветом и т.д. В результате мы получаем незаменимую программу для построения иобработки графиков, т.е. для школьников 10-11класса и всех остальных тоже.
Мощная и простая в использовании программа дляпостроения графиков и их анализа. Поддерживает построение графиков функций видаY(x), X(y), в полярных координатах, заданных параметрическими уравнениями,графиков таблиц, неявных функций (уравнений) и неравенств. До 100 графиков водном окне. Вычислительные возможности: регрессионный анализ, нахождение нулейи экстремумов функций, точек пересечения графиков, нахождение производных,уравнений касательных и нормалей, численное интегрирование. Большое количествопараметров графиков и координатной плоскости. Имеет возможности печати,сохранения и копирования графиков в виде рисунков, многодокументныйнастраиваемый интерфейс. Программа построена на идеологии многодокументногоинтерфейса и работает под Windows 95/98/NT. Поддерживает русский интерфейс.Пользователи из России могут в некоммерческих целях использовать программубесплатно. Действительно: удобно, просто и понятно. И возможностей много… Вчастности, может сохранять графики в EMF формате. На домашней странице доступнонесколько дополнительных языковых модулей, помимо русского и английского. Внастоящее время имеется достаточное число компьютерных программ,предназначенных для построения на плоскости графиков функций, заданныхматематическими формулами. Они используются как для научных, так и дляобразовательных целей. Данный реферат посвящен графопостроителю AdvancedGrapher, обладающему широкими дополнительными возможностями. Здесь указаныразнообразные применения программы Advanced Grapher в курсе высшей математики втехнических вузах, в основном в качестве виртуальной моделирующей среды.Реализация этих предложений внесла бы определенный вклад в дело подготовкистудентов к интенсивному использованию математических методов в своейпрактической и научной деятельности, к применению современных программныхсредств и информационных технологий для инженерных расчетов и графическихпостроений.
Общая характеристикапрограммы.
Программа Advanced Grapher позволяет не только строить разнообразные графикина плоскости, но и проводить исследование функций, находить приближенно корни алгебраическогоуравнения и точки экстремума функции одной переменной, получать аналитическоевыражение для производной, выполнять численное интегрирование, графическирешать неравенства, осуществлять регрессионный анализ и т.д. Автор программы — Михаил Серпик. Она имеет русский интерфейс ( Help – на английском языке),свободно распространяется в России. Скачать программу можно с сайта http:// www. serpik. com/ agrapher/или http://www.school.msu.ru/, там жеможно скачать и другие графопостроители.
Начиная работу с программой, надо выбрать готовый шаблон с системойкоординат или создать новый, используя кнопку Свойства документа на панелиинструментов. Изменить систему координат и ее настройки можно в любой моментработы с данным чертежом. Одновременно на чертеже можно изобразить до 100геометрических объектов (это могут быть графики функций, заданных явно илинеявно в декартовых координатах, параметрически, в полярных координатах, такназываемые графики таблиц, а также заштрихованные области, лежащие между двумяграфиками функций или являющиеся множествами решений системы неравенств).Построенные объекты фиксируются в Списке функций в левой части окна программы.Если убрать галочку в Списке функций против некоторых объектов, то эти объектыисчезнут (временно) с плоскости чертежа (это удобно для объяснения учебногоматериала).
Укажу еще несколько важных моментов. Можно вычислить значения любой функциивида x и yтем или иным способом, затем по таблице построить график функции (в виделоманой, ломаной с узлами, отдельных точек, сглаженной кривой). ПрограммаAdvanced Grapher позволяет также выделить и увеличить нужную прямоугольнуюобласть на построенном чертеже (используется кнопка Выбрать интервал на панелиинструментов), эту операцию можно повторить несколько раз. С помощью кнопкиТрассировка можно вывести значение функции в дискретном наборе точек данногографика, а с помощью кнопки Добавить метку можно делать надписи, установивуказатель в место надписи.
Оставаясь в рамках функциональных возможностей программы Advanced Grapher,сравним ее, например, с универсальными пакетами Mathcad или MatLAB. Безусловно,что легче освоить и удобнее использоватьв повседневной практике программу Advanced Grapher, чем эти пакеты. В то жевремя ознакомиться с современными математическими пакетами желательно. Средиграфопостроителей стоит отметить программу Graph Plotter. Ранняя версия 1.0имеет русский интерфейс и распространяется свободно в России. Большинствофункциональных возможностей Graph Plotter совпадает с возможностями AdvancedGrapher, часть – дополняет, часть – отсутствует. Среди дополнительных возможностейпрограммы Graph Plotter интересны следующие. Она позволяет вычислять пределыфункций, автоматически строить график функции вместе с асимптотами иотмеченными точками экстремума и точками разрыва. Для выделенной в спискефункции выдаются результаты ее анализа (уравнения наклонных и вертикальныхасимптот, координаты точек максимума и точек минимума, а также точек разрыва).
Использование встроенногокалькулятора.
Калькулятор программы Advanced Grapher появляется (или исчезает) в левойчасти основного окна, если нажать кнопку Калькулятор на панели инструментов.Калькулятор имеет три основных назначения. Арифметические вычисления проводятся следующим образом: надо установить курсор в поле калькулятора, набрать с клавиатуры числовое выражение (например, 8-6 или ln(2) ) и нажать клавишу Enter. При этом в следующей строчке появится ответ в виде: =2 или =0,6931471706. Другие примеры см. на рис.1. С помощью калькулятора можно определить, истинно или ложно неравенство или равенство двух чисел. Используются клавиши: (больше), = (равно); или пары клавиш, набираемых без пробела: = (больше или равно), (неравно). Надо набрать с клавиатуры исследуемое неравенство, например, 23^2=12 и нажать клавишу Enter, при этом в следующей строчке появится ответ: =1 (т.е. неравенство истинно). Можно выполнять логические операции умножения, сложения и отрицания (их обозначения при наборе с клавиатуры and, or, not), в качестве операндов берутся 1 (истина) и 0 (ложь). Например, в поле калькулятора набрать 1 and0 и нажать клавишу Enter. При этом в следующей строчке появится ответ: =0 (т.е. ложно). Или набрать not0 и нажать клавишу Enter. При этом в следующей строчке появится ответ: =1 (т.е. истинно). Можно набирать и сложные логические выражения: (1 and0) and(1 or0) и т.д. Так мы можем составить таблицу истинности для сложного высказывания, зависящего от нескольких простых высказываний.
Рис 1. Примеры выполнения действий на калькуляторе
Решение системы уравнений и неравенств.
Пусть надо решить графически систему из двух неравенств:
Второй способ (с помощьюоператора логического умножения and).Надо нажать кнопку Добавить функцию, в диалоговом окне выбрать вместо y )и выбрать >0 вместо =0. В результате получится область решений системы (см.рис. 2). Но при этом граничная линия
Аналогичные построения выполняются и для других систем из уравнений инеравенств.
Рис.2. Решение системы неравенств с помощью логического умножения
Применения, связанные с темой«Теория пределов. Дифференцирование функций одной переменной».
Перечислим те действия в программе Advanced Grapher, которые можноиспользовать в учебном процессе по дисциплине «Математика» в техническом вузе.После знака здесь и далее указаны соответствующие конкретные областиприменения.
1. Построение графиков функций, заданных явно уравнениями
2. Построение графиков функций
3. Построение графиков функций
4. Построение графиков функций
5. Построение последовательности точек на оси Ox (нажать кнопкуДобавить график таблицы, заполнить столбцы с клавиатуры или использоватькоманду Заполнить). Построение в виде отдельных точек графиков функций n (с помощью кнопки Добавить график таблицы), трассировкаграфиков. Составление для таких функций таблицы значений при больших n(с помощью кнопки Таблица значений) Понятие последовательности. Вычислениепредела последовательности
6. Построение графика функции x, близких к нулю. Составлениетаблицы значений последовательности n Вычислительный эксперимент, связанный с первым и вторым замечательнымпределом
7. Составление таблицы значений отношения приращения функции к приращениюаргумента, когда приращение аргумента близко к нулю (с помощью кнопки Таблицазначений) Вычислительный эксперимент, связанный с понятием производной вточке
8. Построение касательных и нормалей к графику функции
9. Вычисление первой и второй производной, а также их значений в отдельныхточках (с помощью кнопок Производная и Таблица значений) Правиладифференцирования функций. Производные высших порядков
Построим, например, график функции 0.05.
Рис 3. Изучение первого замечательного предела
Применения, связанные с темой «Исследование функцийс помощью производной».
1. Построение графиков функций
2. Построение графиков функций
3. Построение графиков функций
4. Вычисление второй производной функции
5. Построение графиков функций
6. Построение графика функции
Для примера построим график функции Y( x ) выберем нужную из трех построенных функций (вторую производную).Найдем нули второй производной (на указанном промежутке), это -3, 0, 3. Знакивторой производной в соответствующих интервалах определяем по ее графику.Делаем окончательный вывод о промежутках выпуклости и вогнутости данной функциии наличии точек перегиба. С помощью кнопки Трассировка находим координаты точекперегиба, это (-3,-3), (0,2), (3,7). Или же нажмем кнопку Таблица значений,выберем в диалоговом окне нужную функцию из построенных функций и вычислим еезначения от -3 до 3 с шагом 3.
Рис 4. Построение графика функции и отыскание нулей ее второй производной
Применения, связанные с темой «Аналитическая геометрия наплоскости».
1. Задание и настройка подходящей декартовой или полярной системы координатна плоскости (кнопка Свойства документа). Построение кривых на плоскости,заданных явно уравнениями
2. Построение прямых на плоскости, заданных уравнением с угловымкоэффициентом, общим уравнением (как график неявной функции
3. Построение кривых второго порядка, заданных каноническими илинеканоническими уравнениями (как функций, заданных неявно уравнением
4. Построение двух прямых на плоскости, отыскание точки пересечения двухпрямых (с помощью кнопки Пересечения) Графическое решение системы из двухлинейных уравнений с двумя неизвестными
5. Построение области решений системы линейных неравенств с двумяпеременными (двумя способами, описанными выше) Графическое решение системылинейных неравенств с двумя переменными
Построим, например, кривую второго порядка, заданную уравнением
(см. рис. 5). По чертежу определяем, что это эллипс. Для уточнения егопараметров приведем уравнение к каноническому виду:
Следовательно, центр эллипса находится в точке D (-1;1), осиэллипса параллельны координатным осям, и их тоже можно построить. Фокусынаходятся в точках
Рис.5. Построение кривой второго порядка
Применения, связанные с темой «Интегральное исчисление функций однойпеременной».
1. Составление таблицы значений последовательности
2. Вычисление определенного интеграла от функции
3. Построение криволинейной трапеции, ограниченной на данном отрезке сверхуи снизу двумя графиками функций вида
4. Построение области, ограниченной несколькими линиями. Построениекриволинейного сектора в полярных координатах. Вычисление определенногоинтеграла (с помощью кнопки Интегрирование) Вычисление площади плоскойпластинки в декартовых или полярных координатах с помощью определенногоинтеграла
5. Построение кривой на плоскости, заданной параметрическими уравнениями,явным уравнением
6. Вычисление определенного интеграла с переменным верхним пределом отфункции
7. Построение графика функции вида
Рассмотрим для примера интеграл
Рис. 6. Построение криволинейной трапеции и вычисление определенногоинтеграла
Применения, связанные с темой«Ряды»
1. Составление таблицы значений последовательности n (с помощью кнопки Добавить график таблицы илиТаблица значений) Вычислительный эксперимент, связанный с понятиемсходимости ряда
2. Построение графика функции
3. Вычисление коэффициентов ряда Тейлора данной функции двумя способами.(Первый способ: найти с помощью кнопки Производная аналитические выражения дляпроизводных первого, второго и т.д. порядков от данной функции и вычислитьзначения этих производных в точке
4. Построение графика функции
5. Вычисление коэффициентов Эйлера-Фурье (вычисление определенных интеграловс помощью кнопки Интегрирование). Построение графика функции и частичных суммее ряда Фурье на данном промежутке Составление рядов Фурье. Разложениефункций в ряд Фурье
Для примера построим график функции
Рис. 7. Приближение функции ее многочленом Тейлора
Применения, связанные с темой «Теория вероятностей и математическаястатистика»
1. Построение многоугольника распределения дискретной случайной величины ввиде ломаной с узлами (с помощью кнопки Добавить график таблицы) Дискретныеслучайные величины
2. Построение графика функции распределения, нахождение ее производной, т.е.плотности распределения, с помощью кнопки Производная. Построение графика плотностираспределения
3. Построение графика плотности распределения
4. Построение графиков плотности нормального распределения при разныхзначениях параметров. Вычисление определенного интеграла от плотностинормального распределения (с помощью кнопки Интегрирование) Нормальнораспределенная случайная величина, вычисление вероятности ее попадания винтервал
5. Составление таблицы значений для функции Лапласа или приведенной функцииЛапласа (с помощью кнопки Интегрирование) и построение по этой таблице графика(с помощью кнопки Добавить график таблицы) Свойства функции Лапласа иприведенной функции Лапласа
6. Внесение в таблицу значений случайной величины N опытов, и нахождение оценокчисловых характеристик случайной величины (использовать кнопку Добавить графиктаблицы и команду info в появляющемся диалоговом окне). Аналогично для значений
7. Внесение в таблицу имеющихся экспериментальных значений двух зависимыхслучайных величин X и Y (использовать кнопку Добавить графиктаблицы). Нахождение (с помощью кнопки Регрессионный анализ) уравнениярегрессии и построение линии регрессии вида
8. Генерация случайных чисел (нажать кнопку Вычисление функций, ввести вполе Формула функцию random (1) и вычислять ее значение при
Пусть, например, даны координаты точек попадания в прямоугольную мишень при6 выстрелах, т.е. выборка значений системы случайных величин Xи Y.
Рис.8. Точечные оценки числовых характеристик случайных величин
Заключение.
Итак, мы рассмотрели многочисленные примеры того, как изучение различныхразделов математики может сопровождаться графическими иллюстрациями,вычислительными экспериментами, таблицами, расчетами, выполненными с помощьюпрограммы Advanced Grapher. Так, при изучении дифференциальных уравнений можностроить поле направлений и интегральные кривые, при изучении дифференциальногои интегрального исчисления функций нескольких переменных можно строить линииуровня, области определения функций двух переменных, области интегрирования привычислении двойных интегралов и т.д. Считаю, что в вузах преподавателям стоитшироко использовать программу Advanced Grapher на лекциях, практических илабораторных занятиях по математике, а также при разработке тем студенческихнаучных и курсовых работ. Это будет способствовать тому, чтобы студенты успешноприменяли математические методы при изучении различных специальных дисциплин, апосле окончания вуза – в своей практической и научной деятельности.
Список литератураТодоров П. Компьютерные шпаргалки. http://www.hardline.ru/3/37/3689/ Миндиярова Н. Н. Использование программы Advanced Grapher при решении уравнений и неравенств. http://festival.1september.ru/2004_2005/index.php?numb_artic=211495 Азевич А. И. A dvanced Grapher на уроке и после него // Математика в школе. — 2001. — N 6. — С. 65-69. Денисенко О.І., Пінчук В.П., Кул iков О.Ф. Методичні вказівки та індивідуальні за вдан ня для лабораторних робіт з курс ів ”Інформатика” та " Обчислювальна техніка та програмування” по темі: “Використання програми Advanced Grapher для дослідження функцій та побудови графіків” для студентів технічних спеціальностей денної форми навчання. Запоріжжя: ЗНТУ, 2002.-29 с.