Содержание
Введение ……………………………………………………………………………………………………………………….4
1. Глава 1.Погрешности……………………………………………………………………………………………………..4
§ 1 Общая схема вычислительного эксперимента…………………………………………………………………………...4
§ 2.Абсолютная и относительная погрешность……………………………………………………………………………..5
§ 3. Основные источники погрешностей……………………………………………………………………………………..6
§ 4. Десятичная запись приближенныхчисел. Значащая цифра. Число верных знаков…………………………………..7
§ 5. Связь относительной погрешностиприближенного числа с количеством верных знаков этого числа……………..8
§ 6. Погрешность суммы……………………………………………………………………………………………………….9
§ 7. Погрешность разности……………………………………………………………………………………………………..9
§ 8. Погрешность произведения……………………………………………………………………………………………….10
§ 9. Число верных знаков произведения………………………………………………………………………………………11
§ 10. Погрешность частного……………………………………………………………………………………………………11
§ 11. Число верных знаков частного…………………………………………………………………………………………..11
§ 12. Относительная погрешность степени…………………………………………………………………………………...12
§ 13. Относительная погрешность корня……………………………………………………………………………………...12
§ 14. Общая формула для погрешности……………………………………………………………………………………….12
§ 15.Обратнаязадача теории погрешностей………………………………………………………………………………….13
Лабораторнаяработа № 1 «Вычисление сопротивлений в электрических цепях»………………………………………..14
Лабораторнаяработа № 2 «Определение абсолютной и относительный погрешности»………………………………….17
Лабораторнаяработа № 3 «Действия над приближенными значениями чисел»…………………………………………..18
Вопросыдля самопроверки……………………………………………………………………………………………………19
Глава 2.Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений………………………………….20
§ 1. Сравнение линейных и нелинейных уравнений…………………………………………………………………………20
§ 2. Отделение корней………………………………………………………………………………………………………….20
§3. Графическое решение уравнений…………………………………………………………………………………………20Лабораторная работа № 4. «Расчет цепи содержащей диод, графическимспособом»……………………………………21
Лабораторнаяработа № 5. «Расчет и анализ неразветвленной электрической цепи переменноготока»………………..23
§ 4. Метод половинного деления………………………………………………………………………………………………25
Лабораторная работа № 6. «Расчет цепи содержащейдиод, методом дихотомии»……………………………………….25
§ 5. Метод хорд…………………………………………………………………………………………………………………26
Лабораторная работа № 7. «Расчет цепи содержащейдиод, методом хорд»………………………………………………28
§ 6. Метод Ньютона (метод касательных)…………………………………………………………………………………….28
Лабораторная работа № 8. «Расчет цепи содержащейдиод, методом Ньютона»………………………………………….29
§ 7. Метод итерации……………………………………………………………………………………………………………30
Лабораторная работа № 9. «Расчет цепи содержащейдиод, методом итерации»…………………………………………31
Вопросыдля самопроверки……………………………………………………………………………………………………33
Глава 3. Алгебраматриц…………………………………………………………………………………………………….34
§1. Основные определения……………………………………………………………………………………………………34
§2. Действия с матрицами…………………………………………………………………………………………………….35
§3. Транспонированная матрица……………………………………………………………………………………………..37
§4. Обратная матрица…………………………………………………………………………………………………………38
§5 Степениматрицы…………………………………………………………………………………………………………..40
§6. Рациональныефункции матрицы…………………………………………………………………………………………41
§7. Абсолютная величина и нормаматрица………………………………………………………………………………….42
§8. Треугольные матрицы……………………………………………………………………………………………………..43
§ 9. Элементарные преобразования матриц………………………………………………………………………………….44
§10. Вычисление определителей………………………………………………………………………………………………44
Лабораторная работа № 10. «Работа с матрицами»………………………………………………………………………….45
Лабораторнаяработа № 11. «Обращение с помощью треугольных матриц»………………………………………………48
Лабораторнаяработа № 12. «Метод контурных токов»……………………………………………………………………..48
Глава 4. Системалинейных алгебраических уравнений………………………………………………………………..51
§ 1. Определения, обозначения,основные сведения…………………………………………………………………………51
§2. Решение систем линейныхуравнений по способу Гаусса……………………………………………………………….51
Лабораторнаяработа № 13. «Расчет цепи постоянного тока, методом Гаусса»…………………………………………...53
§3. Решение систем линейныхуравнений по методу Зейделя………………………………………………………………59
Лабораторная работа № 14. «Расчет цепи постоянноготока, методом Зейделя»………………………………………….61
§4. Решение систем линейныхуравнений методом итераций………………………………………………………………64
Лабораторная работа № 15. «Расчет цепи постоянноготока, методом итерации»………………………………………..66
§5. Применение метода Гаусса для вычисленияопределителей……………………………………………………………70
§6. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса…………………………………………………………………………70
§7. Метод квадратных корней…………………………………………………………………………………………………71
§ 8. Метод скорейшего спуска(градиента) для случая системы линейных алгебраических уравнений…………………72
Вопросыдля самопроверки……………………………………………………………………………………………………75
Глава 5.Приближённое решение систем нелинейных уравнений……………………………………………………..76
§1. Метод Ньютона…………………………………………………………………………………………………………….76
§ 2. Метод градиента (методскорейшего спуска)……………………………………………………………………………79
Лабораторнаяработа № 16. «Нелинейные уравнения»……………………………………………………………………...81
Вопросыдля самопроверки……………………………………………………………………………………………………82
Глава 6.Интерполирование функций……………………………………………………………………………………..83
§1. Введение……………………………………………………………………………………………………………………83
§2. Интерполяция многочленами…………………………………………………………………………………………….83
2.1.Метод Лагранжа…………………………………………………………………………………………………………..83
Лабораторнаяработа № 17. «Интерполяционный многочлен Лагранжа»…………………………………………………832.2. Интерполяционная формула Ньютона…………………………………………………………………………………..852.3. Сходимость интерполяционного процесса……………………………………………………………………………..862.4. Задача обратного интерполирования……………………………………………………………………………………86
Лабораторнаяработа № 18. «Интерполяционный многочлен Ньютона»…………………………………………………872.5.Сплайн-аппроксимация…………………………………………………………………………………………………..88
Лабораторная работа № 19. «Сплайн-аппроксимация»……………………………………………………………………..88
Вопросы для самопроверки……………………………………………………………………………………………………89
Глава 7. Численноеинтегрирование……………………………………………………………………………………….90
§1.Формулыпрямоугольников……………………………………………………………………………………………….90
Лабораторная работа № 20. «Метод прямоугольников»……………………………………………………………………90
§2. Формулы трапеций…………………………………………………………………………………………………………91
Лабораторная работа № 21. «Метод трапеций»………………………………………………………………………………91
§3. Формула Симпсона…………………………………………………………………………………………………………92
Лабораторная работа № 22. «Определение тока инапряжения методом Симпсона»……………………………………..93
§4. Вычисление интегралов методом Монте-Карло…………………………………………………………………………95
Лабораторнаяработа № 23. «Вычисление интеграла методом Монте-Карло»……………………………………………96
Вопросыдля самопроверки……………………………………………………………………………………………………97
Глава 8. Решениедифференциальных уравнений………………………………………………………………………..98
§1. Введение…………………………………………………………………………………………………………………….98
§2.Решение дифференциальных уравнений в Mathcad……………………………………………………………………..98
2.1. Модель «хищник-жертва»(Лотки-Вольтерра)………………………………………………………………………….98
2.2. Движение ракеты в поле тяготения небесных тел………………………………………………………………………99
§3. Теорема существования и единственности……………………………………………………………………………..103
§4. Приближенное решение дифференциального уравненияметодом Эйлера…………………………………………..106
Лабораторнаяработа № 24. «МетодЭйлера»………………………………………………………………………………106
§5. Метод Адамса……………………………………………………………………………………………………………..108
§6. Приближенное решение дифференциального уравненияметодом Рунге-Кутта…………………………………….108
Лабораторнаяработа № 25. «МетодРунге-Кутта»…………………………………………………………………………109
Лабораторная работа № 26. «Ток переходного режима»…………………………………………………………………..110
Вопросыдля самопроверки………………………………………………………………………………………………….113
Глава 9. Метод наименьших квадратов …………………………………………………………………………………114
§1. «Закон Мура»……………………………………………………………………………………………………………..114
§2. Линейная зависимость……………………………………………………………………………………………………118
§3. Квадратичная зависимость………………………………………………………………………………………………120
Лабораторная работа № 27. «Квадратичная зависимость»………………………………………………………………..120
§4. Экспоненциальная зависимость…………………………………………………………………………………………123
§5. Логарифмическая зависимость………………………………………………………………………………………….124
§6. Дробно-рациональная зависимость x/(a*x+b)………………………………………………………………………….126
Вопросыдля самопроверки………………………………………………………………………………………………….127
Глава 10. Приближенные методы решения дифференциальных уравненийс частными производными…….12810.1.Уравнения гиперболического типа……………………………………………………………………………………12810.2. Уравнения параболического типа……………………………………………………………………………………..129
Лабораторная работа № 28. «Уравнений Лапласа и Пуассона»…………………………………………………………..130
10.3. Телеграфное уравнение………………………………………………………………………………………………..133
Задания
Глава 11. Тестовые задания……………………………………………………………………………………………….133
§1. Тесты для проверки начальногоуровня знаний студента……………………………………………………………..133
§2. Тестовые задания(промежуточный контроль)…………………………………………………………………………133
§3. Тестовые задания (Зачет)…………………………………………………………………………………………………138
§4. Тестовые вопросы…………………………………………………………………………………………………………149
Списокиспользованной литературы……………………………………………………………………………………..151
Введение.
Сегодня не часто вспоминают о том, чтокомпьютеры были созданы в первую очередь для проведения научных расчетов. Досих пор научные и инженерные расчеты остаются одной из важнейших, хотя,пожалуй, и не самой бросающейся в глаза сфер приложения компьютеров.
Во все времена инженерам,исследователям (т.е. специалистам в своих областях) был необходим удобный идостаточно эффективный (для своего времени) инструмент для решения своих задач.В этот «инструментальный» ряд можно включить логарифмическую линейку,арифмометр, калькулятор, универсальную ЭВМ, персональный компьютер. Прииспользовании вычислительной техники встала проблема реализации алгоритмоврешения в виде так называемых программ. Для решения этой проблемы в различныегоды использовались следующие средства:
§ программирование в машинных кодах (включая языки типаАссемблер);
§ программирование на языках высокого уровня(включая объектно-ориентированное программирование);
§ системыкомпьютерной математики.
Поэтому, начиная с 90-х годов прошлоговека, широкую известность и заслуженную популярность приобрели так называемыесистемы компьютерной математики или, проще, математические пакеты. К ним можноотнести MathCAD, MatLab, Mathematica, Maple.
Пакет Mathcadпопулярен, пожалуй, более в инженерной, чем в научнойсреде. Характерной особенностью пакета является использование привычныхстандартных математических обозначений, то есть документ на экране выглядитточно так же обычный математический расчет. Для использования пакета нетребуется изучать какую-либо систему команд, как, например, в случае пакетов Mathematicaили Maple. Пакеториентирован в первую очередь на проведение численных расчетов, но имеетвстроенный символический процессор Maple,что позволяет выполнять аналитические преобразования. В последних версияхпредусмотрена возможность создавать связки документов Mathcadс документами Mathlab. В отличие от упомянутых выше пакетов, Mathcad являетсясредой визуального программирования, то есть не требует знания специфическогонабора команд.
Простота освоения пакета, дружественныйинтерфейс, относительная непритязательность к возможностям компьютера явилисьглавными причинами того, что именно этот пакет был выбран для обучениястудентов численным методам.
В последнее время просматриваетсятенденция к сближению и интеграции различных пакетов. Например, последниевыпуски пакетов Mathematicaи Mapleимеют хорошие возможности для визуальногопрограммирования; в Matlabвключена библиотекааналитических преобразований Maple; Mathcadпозволяет работать совместно с Matlab.
В настоящем пособии мы рассмотрим намногочисленных примерах, каким образом решаются на Mathcad’eразнообразныезадачи численного анализа (решение систем линейных и нелинейных уравнений,решение дифференциальных уравнений, аппроксимация функций и т. д.).Предполагается, что читатель имеет только знакомиться с основными численнымиметодами и не умеет пользоваться пакетом Mathcad.
Учебное пособие предназначено длястудентов, изучающих дисциплины «Численные методы в строительстве», «Численныеметоды», «Численные методы решения задач» и т.д., а также для аспирантов иинженеров, использующих в своих расчетахэтот математический пакет.
Пособие, безусловно, будет полезно всем,использующим MathCADпри решении «своих» задачи желающим познать радость от эффективной работы «своей» программы.Глава 1. Погрешности§ 1 Общая схема вычислительного эксперимента
Всякую ли задачу и при всех ли обстоятельства нужно решать на ЭВМ?Разумеется, нет. Машинные расчеты являются исключительно мощным, но вовсе неединственным средством в арсенале инженера – исследователя. Аналитическиеметоды (они рассматриваются здесь, как компонент машинного решения, а не каксамостоятельный внемашинный путь), так же как и моделирование, будут широкоиспользоваться и в дальнейшем.
Отдавать предпочтение ЭВМ следует лишь тогда,когда их применение позволить получить результат быстрее либо точнее илидешевле, чем иными средствами.
Явиться ли обращение к ЭВМ практичным ирациональным, будет зависеть от множества факторов и особенностей ситуации,складывающейся вокруг новой возникшей задачи. И совсем не исключено, чтонесколько часов размышлений с калькулятором, лучше послужить основной цели исследования,чем многоэтапный процесс решения на ЭВМ.
Численные методы — это такие методы решения задач, которые сводятся или могут быть сведенык арифметическим действиям над числами.
Искусство вычислений состоит не столько в получении числовых результатов, сколько вобосновании того, что эти результаты получены с заданной точностью.
Анализ, проводимый на базечисловых результатов, составляет основу любойинженерной деятельности.
Решение задачи на компьютеревключает в себя следующие основные этапы, часть из которых осуществляется безучастия компьютера,
1.Постановка задачи, разработка математической модели.
Решение задачи, особеннодостаточно сложной — достаточно трудное дело, требующее много времени. И еслизадача выбрана неудачно, то это может привести к потере времени и разочарованиюв применении ЭВМ для принятия решений.Каким же основным требованиям должна удовлетворять задача?
а. Должно существовать какминимум один вариант ее решения, ведь если вариантов решения нет, значитвыбирать не из чего.
б. Надо четко знать, в какомсмысле искомое решение должно быть наилучшим, ведь если, мы не знаем чегохотим, ЭВМ помочь нам выбрать наилучшее решение не сможет.
Выбор задачизавершается ее содержательной постановкой.
На этом этапе, на основе словесной формулировкизадачи исследования выбираются переменные, подлежащие определению, записываютсяограничения, связи с переменными в совокупности образующие математическуюзадачу решаемой проблемы. В результате инженерная задача приобретает видформализованной математической задачи.
2.Выбор численного метода решения.
Для поставленнойматематической задачи необходимо выбрать метод ее численного решения, сводящийрешение к последовательности арифметических и логических операций.
3. Разработка алгоритма и структуры данных.
Алгоритм — это конечный наборправил, позволяющих чисто механически решать любую конкретную задачу изнекоторого класса однотипных задач. При этом подразумевается:
а. — исходные данные могут изменяться вопределенных пределах: {массовость алгоритма}
б. — процесс применения правил к исходнымданным (путь решения задачи) определен однозначно: {детерминированностьалгоритма}
в. — на каждом шаге процесса примененияправил известно, что считать результатом этого процесса: {результативность алгоритма}
Если модель описывает зависимость междуисходными данными и искомыми величинами, то алгоритм представляет собойпоследовательность действий, которые надо выполнить, чтобы от исходных данныхперейти к искомым величинам.
Если выбранный для решения задачи численныйметод реализован в виде стандартных библиотечных подпрограмм, то алгоритмобычно сводится описанию и вводу исходных данных. Более характерен случай,когда стандартные программы решают лишь часть задачи. Если и задача сложная, тоне нужно решать все проблемы. Сложившийся в настоящее время к разработкесложных программ состоит в последовательном использовании принципов проектированиясверху вниз, модульного, структурного и объектно — ориентированного программирования.Четкая структуризация, разбиение ее на последовательные подзадачи, реализацияподзадач отдельного модуля, постепенная детализация логики алгоритма,использование типовых логических конструкций.
4 Реализация алгоритма: Алгоритм записывают с помощьюобычных математических символов. Для того чтобы он мог быть прочитан ЭВМ,необходимо составить программу. Программа — это описание алгоритма решениязадачи, заданное на языке ЭВМ. Алгоритмы и программы объединяются понятием«математическое обеспечение». В настоящее время затраты наматематическое обеспечение составляют примерно полторы стоимости ЭВМ, и постоянно происходит дальнейшееотносительное удорожание математического обеспечения. Уже сегодня предметомприобретения является именноматематическое обеспечение, а сама ЭВМ лишь тарой, упаковкой для него.
Далеко не для каждой задачи необходимосоставлять индивидуальную программу. На сегодняшний день созданы мощныесовременные программные средства — пакеты прикладных программ (ППП).
Зачастую, к задаче можно подобрать готовыйпакет, который прекрасно работает, решает многие задач, среди которых можнонайти и наши. При таком подходе многие задачи будут решены достаточно быстро,ведь не надо заниматься программированием.
5. Подготовка задания, ввод, отладка ииспытание программы. Преждечем ввести исходные данные в ЭВМ, их, естественно, необходимо собрать. Причемне все имеющиеся на производстве исходные данные, как это часто пытаютсяделать, а лишь те, которые входят в задачу. Следовательно, сбор исходных данныхне только целесообразно, но и необходимо производить лишь после того, как будетизвестна задача. Имея программу и вводя в ЭВМ исходные данные, мы получимрешение задачи.
Программа вводится обычно с клавиатуры.При программировании и вводе данных с клавиатуры могут быть допущены ошибки. Ихобнаружение, локализация и устранение выполняют на этапе отладки и тестирования,на это тратится 50-70% времени.
6. Реализация задачи на компьютере, обработка иоформление. Ксожалению, достаточно часто математическое моделирование смешивают содноразовым решением конкретной задачи с начальными, зачастую недостоверными данными. Дляуспешного управления сложными объектами необходимо постоянно перестраиватьмодель на ЭВМ, корректируя исходныеданные с учетом изменившейся обстановки.
Нецелесообразно тратить время и средства на составление математической модели, чтобы по ней выполнитьодин единственный расчет. Математическая модель является прекрасным средством получения ответов на широкий кругвопросов, возникающих при планировании,проектировании и в ходе производства. Математическая модель может стать надежным помощником при принятиикаждодневных решений, возникающих в ходе оперативного управления производством.
Решение задачи компьютер выдает на дисплей.Чтобы облегчить следующую работу, надо выводить решение задачи на экран спояснениями.
Понятие прямых и приближенных методов.
Точныеметоды позволяют выразитьрешение (например, дифференциальное) через элементарные функции.
Приближенные методы — это методы, в которых решение получается как предел некоторойпоследовательности у(х), причем у(х) выражается через элементарные функции.
§2.Абсолютная и относительная погрешность.
Приближённымчислом аназывается число,незначительно отличающееся от точного числа Аи заменяющее его в вычислениях. Если аА приближённым значением по избытку. Если аесть приближенное значение числа А, то пишут а »А. Под ошибкой или погрешностью Dа приближенного числа обычно понимается разность между соответствующимточным числом А и данным приближенным, т.е. Dа = А – а. Если а0; если а>А, тоА-аDа, т.е. А = а + Dа.
Как правило, знак ошибки вычислителя не интересует,поэтому пользуются абсолютной ошибкой, или абсолютнойпогрешностью приближенного числа.
D= |Dа|
Абсолютной погрешностью Dприближённого числа а называется абсолютная величинаразности между точным числом А и его приближённым значением а:
D= |А -а|(1)
Здесьвозможны два случая:
1. Точное число Анам известно. Тогда абсолютная погрешность приближённого числа легко находитсяпо формуле (1).
2. число А нам неизвестно, что практически бывает чаще всего, и, следовательно, мы не можемопределить и абсолютную погрешность ∆а по формуле (1).
В этом случаеполезно вместо неизвестной теоретической абсолютной погрешности ∆ ввестиее оценку сверху, так называемую предельнуюабсолютную погрешность.
Под предельнойабсолютной погрешностью приближенногочисла понимается всякое число, неменьшее абсолютной погрешности этого числа.
Такимобразом, если ∆а — предельная абсолютная погрешностьприближенного числа а, заменяющего числаА, то
≤ ∆а (2)
Отсюда следует, что точное число Азаключено в границах
а-∆а ≤ А ≤ а + ∆а (3)
Следовательно, а — ∆а есть приближение числа А по недостатку, а + ∆а — приближение числа А по избытку. В этом случае для краткостипользуются записью А = а ±∆а
Пример1.Определить предельнуюабсолютную погрешность числа а = 3,14, заменяющего число p.
Решение.Таккак имеет место неравенство 3.14 p|а- p| Если учесть, что 3.14p Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа апонимается любой представитель бесконечного множества неотрицательных чисел ∆а, удовлетворяющих, неравенству (2).
В записи приближенного числа, полученного врезультате измерения, обычно отмечают его предельную абсолютную погрешность.Например, если длина отрезка l= 214 см с точностью до0.5 см, то пишут l= 214 см±0,5 см. Здесьпредельная абсолютная погрешность ∆l=0,5см, а точная величина длины lотрезка заключена в границах 213,5 см £l £ 214,5 см.
Абсолютная погрешность (или предельнаяабсолютная погрешность) не достаточна для характеристики точности измерения иливычисления. Так, например, если при измерении длин двух стержней полученырезультаты l1= 100,8см ±0,1 см,и l2= 5,2 см±0,1 см, то,несмотря на совпадение предельных абсолютных погрешностей, качество первогоизмерения выше, чем второго. Для точности данных измерений существеннаабсолютная погрешность, приходящаяся на единицу длины, которая носит название относительной погрешности.
Относительной погрешностью dприближенного числа а называетсяотношение абсолютной погрешности