Методическое наследие Ф.В. Филипповича

Министерство Образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина

Физико- математический факультет
кафедраматематического анализа и элементарной математики

Методическоенаследие Ф.В. Филипповича

Выпускнаяквалификационная работа
Студентки4 курса
 
Научныйруководитель:
 
Допущена кзащите
«____»__________________20____г. (протокол №___________)
Зав. кафедрой_______________________________

Елец– 2010

Оглавление
 
Введение
Глава I. Математическое образованиеРоссии на рубеже XIX– XXвеков
§1. Характеристика математического образованияРоссии на рубеже XIX – XX веков
§2. Развитие методикипреподавания математики в России во второй половине XIX — начале XX века
Глава II. Научно – методическоенаследие Ф.В. Филипповича
§1. Биографические сведения о Ф.В. Филипповиче
§2. Обзор работ Ф.В. Филипповича по педагогике
§3. Научно – методические идеиФ.В.Филипповича
Заключение
Список литературы

Введение
 
В связи с грядущими новациями в образовании необходимо изучать ипомнить традиции истории становления учебного предмета математики как в России,так и за ее пределами.
Особе внимание в последнее время привлекает персоналистическийкомпонент истории математического образования. Изучению методического наследияпедагогов-математиков посвящены работы Т.К. Авдеевой, Ю.М. Колягина, Т.С. Поляковой,О.А. Саввиной, О.В. Тарасовой и других.
В этом году исполняется ровно 100 лет со дня выхода первогоучебного пособия по методике преподавания математики в России, содержащего какобщую методику, так и частную. Авторами этой знаковой в истории отечественногообразования книги были Ф.В. Филиппович и В.Р. Мрочек.
Вместе с тем, Филипп Васильевич Филиппович — чистая страница вметодико — математических исследованиях, его имя редко упоминается в историко-математическихработах. Объяснение данной ситуации можно найти в особенностях биографиипедагога-математика, который с одной стороны, оказался между двумя странами — Россиейи Сербией, а с другой стороны, между двумя областями деятельности преподаваниемматематики и политикой.
Целью данной работы является изучениеметодико-математического наследий Ф.В. Филипповича и выявление вклада этогоученого в развитие отечественного математического образования.
Объектисследования – математическое образование в России во второй половине XIX —начале XX в.
Предметисследования – биография и научно – методические идеи Ф. Филипповича в контекстеистории математического образования в России.
Всоответствии с целью, объектом и предметом исследования были поставлены следующиезадачи:
1. Дать общуюхарактеристику развития школьного математического образования в России вовторой половине XIX — начале XX века.
2.Рассмотреть биографические сведения о Ф.В. Филипповиче.
3.Охарактеризовать основные методические идеи Ф.В. Филипповича, высказанные импреимущественно в работе «Педагогика математики».
В ходе работымы опирались на исследования Ю.М. Колягина, Т.С.Поляковой, О.А.Саввиной,А.В.Ланкова, в которых подвергнуто осмыслению развитие и становление системыобразования России в период конца XIX – начала XX в.
Источникомисследования явились работы Ф.В. Филипповича:
1) МрочекВ., Филиппович Ф. «Педагогика математики. Исторические и методические этюды».
2) ФилипповичФ.В. «К реформе обучения математике».
3) МрочекВ., Филиппович Ф. «Реформа преподавания математики»
Работасостоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

Глава I. Становление математического образования
 
§1. Характеристика математического образования на рубеже XIX–XXвеков
Общеесостояние математического образования во второй половине XIX — начале XX в.можно охарактеризовать следующим образом:
•преподавание математики в начале рассматриваемого периода носило контекстный (аточнее — практико-ориентированный) характер;
• к концу XIXвека произошло осознание необходимости определения математики как учебногопредмета и на этой основе выделение в качестве основных школьных курсоварифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии, а также придание содержаниюизучаемого материала этих учебных дисциплин теоретического характера, выделениевысших разделов математики;
• почтиполностью отсутствовали в начале второй половины XIX века учебные планы,учебные программы и т.д. И лишь к концу XIX века появились первые учебныепособия по методике преподавания математических дисциплин;
•математическое образование оказалось востребованным на всех уровнях системы вподавляющем большинстве образовательных учреждений лишь к концурассматриваемого периода, и относительно других дисциплин оно было доминантным;
• к началу XXвека установилась тесная связь математической науки с содержанием школьныхматематических дисциплин и методикой их преподавания в различных типахобразовательных учреждений, при главенствующей роли науки. [4,35]
В развитииотечественного школьного математического образования условно можно выделитьследующие основные этапы:
— первый этап(1860-1890 гг.) — период активных научных изысканий в области математики,издания научных трудов и создание научных школ, которые так или иначеспособствовали определению содержания школьного математического образования ирешению проблем преподавания математических дисциплин в различных типах учебныхзаведений; создания сети государственных школ, увеличения числа учащихся иучебных заведений, готовящих педагогические кадры; появления первых авторскихучебников по арифметике для начальных и средних школ;
— второй этап(1890-1910 гг.) — период сближения математической науки и практикиматематического образования, становления отечественной теории и методикипреподавания математики, подъема научно-математической мысли и проведениябольшой работы по учебно-методическому обеспечению процесса ее обучения вразных типах учебных заведений, разработке учебных планов и программ,продолжению работы по изданию авторских учебников и учебных пособий, подготовкедидактических средств и т.п.;
— третий этап(1911-1917 гг.) — период проведения всероссийских съездов преподавателейматематики и создания в крупных городах научно-методических центров, внесшихсвой вклад в обобщение и распространение накопленного к тому времениотечественного опыта преподавания математики; привлечения ученых и практиков кобсуждению накопившихся в этой области проблем и поиску путей их решения;появления новых течений в методике преподавания математики (прежде всегоарифметики и геометрии), пересмотра содержания изучаемого в школе материала идр. [4, 36]
 
§2.Развитие методики преподавания математики в России вовторой половине XIX — начале XX века
 
Исследователем А.В. Ланковым установлено: «Во второй четверти XIX века произошли резкиеизменения в соотношении крепостного и вольнонаёмного труда, вызванные ростомпромышленности и рабочего класса. Крепостническое производство вытесняетсяпроизводством капиталистическим. В недрах крепостного хозяйства нарождаетсякапиталистический способ производства, возникают буржуазные производственныеотношения. Усиливается классовая борьба: наряду с продолжающимися восстаниямикрестьян против помещиков начинаются выступления рабочих против крепостническихпорядков на предприятиях, и затем на сцену выступает демократически настроеннаяразночинная интеллигенция.
Прогрессивным силам страны стало ясно, что Россия под гнётом царизмаи крепостного права отстала от передовых стран Запада. Ликвидация крепостногоправа, изменение формы государственного управления стали знаменем борьбы засвободу.
Основоположником русской педагогической науки является КонстантинДмитриевич Ушинский (1824—1870), которого по праву называют «учителем русскихучителей».
Высоко оценивая роль учителя, Ушинский в 1861 г. разработал проект учительской семинарии, его взгляды по этому вопросу осуществлялись в лучшихучительских семинариях России. Ему принадлежит мысль о создании педагогическихфакультетов для подготовки преподавателей средней школы.[4,37 — 40]
Первый этап (60-е годы XIX века) в развитии отечественного школьногоматематического образования характеризуется расцветом педагогическойжурналистики. В 1857г. возникает «Журнал для воспитания» и «Русский педагогическийвестник». В 1861—1862 гг. Л. Н. Толстой издаёт журнал «Ясная Поляна». В этот жегод начинает выходить «Учитель». В 1864г. появляется «Педагогический сборник».Журналы объединяют лучших педагогов того времени и оказывают большое влияние напостановку вопросов народного образования. Педагогические проблемы находятотражение и в общественно-политических журналах, например, в «Современнике»,выходившем при участии Н. А. Некрасова, Н. Г. Чернышевского и Н. А.Добролюбова.
В эти же годы возникают и общественные педагогические организации:Петербургское педагогическое общество, Комитет грамотности при Вольном экономическомобществе и другие.
В 1864г. вводятся земские учреждения, и в том же году утверждаетсяположение о начальных народных училищах.
Школьная реформа делает шаг вперёд по пути развития светскойобщеобразовательной народной школы с трёхгодичным курсом обучения. Несмотря нато, что земским учреждениям законом отводится очень скромная роль («участие преимущественнов хозяйственном отношении… в попечении о народном образовании»), некоторыеземства оказывали большое влияние на развитие школьного дела. Они не толькопринимали участие в финансировании школы, но и конкретно поставили вопрос оподготовке учителей. Одновременно начинается организация учительских курсов исъездов. Наряду с светской школой сохраняется и церковно-приходская школа(духовного ведомства).
В 1869г. для надзора за школой учреждается должность инспекторанародных училищ.
В 1871г. был утверждён новый устав средней школы.
По новому уставу сохраняются лишь классические гимназии. Наматематику вместе с физикой, математической географией и кратким естествознаниемотводится очень мало времени. Перед математикой ставится исключительноформальная цель обучения.
В 1895г. Россия имела 9 университетов (13 976 студентов), 225 гимназийи прогимназий (64 711 учащихся), 107 реальных училищ (26 002 учащихся) и 68 029начальных школ (1937 076 учащихся).[4,40 — 42]
В математической науке в эту эпоху происходят большие сдвиги. В1858г. в Петербурге занимает профессорскую кафедру П. Л. Чебышев. Его работы потеории чисел, теории вероятностей, теории механизмов и машин приобретаютмировую известность. В Москве в 1864 г., по инициативе Н.Д. Брашмана, возникаетМосковское математическое общество и через год начинает выходить«Математический сборник». Начинают свою блестящую деятельность Л.Н. Коркин(1837—1908 гг.) и И.Я. Сонин (1897—1915 гг.). В 1874г. получила степень докторапервая женщина — профессор С.В. Ковалевская.
Выразителем идей новой методики арифметики является ВасилийАлексеевич Латышев. В 1880 г. он основывает журнал «Русский начальной учитель»,издававшийся им до конца жизни (по 1911 г. включительно). Журнал, издаваемый В. А. Латышевым, явился источником распространения массового опыта работышкол. Одной из задач журнала редактор считал борьбу с «промышленникамипедагогического дела», авторами учебников, которые в погоне за доходами малозаботились об изучении дела. В журнале помещались исчерпывающие рецензии научебную и методическую литературу и книги для чтения учащихся, обзорылитературы. [4, 45 — 47]
В начале 90-х годов XIX века в России ставится вопрос о реформепреподавания всего курса математики в средней школе. Начало этому было положенорефератом В.Е. Сердобинского и статьями В.П. Шереметьевского. Оба авторавысказались за развитие идеи функциональной зависимости в каждом из предметовшкольного курса математики.
С этой точки зрения, как отмечал В.Е. Сердобинский, задачи на построениев геометрии должны иметь особо важное образовательное значение. Некоторыедидактические требования реформы были высказаны Д.Д. Галаниным, который боролсяза устранение догматизма в преподавании, за необходимость введения пропедевтическогокурса геометрии в гимназиях.
Методологическая основа рассматриваемой реформы (как и всейметодики преподавания математики) складывалась под влиянием развития русскойпрогрессивной общественной мысли, математической науки и передовой школьнойпрактики. Материалистическая основа методики математики была определена преждевсего в выступлениях русских революционеров-демократов Чернышевского,Добролюбова и Писарева, подвергших острой критике формализм и схоластику впреподавании математики, требовавших органической связи преподавания ее спрактической жизнью и естествознанием, боровшихся за воспитание у юношестваактивного математического мышления. Значительную роль сыграли в этом делепередовой опыт и творческая деятельность рядовых преподавателей.математикисредней школы, указания М.В. Остроградского и П.Л. Чебышева о путях развитиярусской методики преподавания математики «в реальном» направлении, признаниенаучных идей Н.И. Лобачевского, выяснение их педагогического значения.
В результате совместных усилий ученых, педагогов-математиков иучителей — практиков к началу XX века в России были выработаны положения, которыелегли в основу международного движения за реформу преподавания математики в XX веке. Эти Положения, восновном, сводились к следующему:
1. Обучение математикедолжно быть подчинено развитию науки и требованиям жизни, программы школьногокурса математики — соответствовать современному состоянию науки, а основноесодержание курса — строиться вокруг идеи числа, функции, графическогоизображения функциональной зависимости, включать элементы высшей математики испособствовать развитию пространственных представлений у учащихся.
2. Из программы и учебниковдолжен быть исключен ряд вопросов, не имеющих первостепенной научной ипрактической ценности.
3. Требовалось уделятьбольше внимания практическим приложениям в школьных учебниках математики иусилить связь между математикой и другими дисциплинами.
4. Методы преподаванияматематики в средней школе должны находиться в полном соответствии с новейшимиданными педагогики и психологии. При этом необходимо учитывать возрастныеособенности детей. Отсюда на ранних ступенях обучения математике следовалоотказаться от неоправданной отвлеченности и дедуктивных выводов и, наоборот,усилить наглядность обучения и конкретность истолкований математических понятий.
Таким образом, в конце XIX века передовые ученые-математики и педагогивыступили за коренной пересмотр содержания, системы и методов преподаванияматематики в средней школе и, следовательно, за соответствующую переработкуучебной литературы. [1, 3 — 5]
Рассматриваявторой этап в развитии отечественного школьного математического образования(1890 – 1910 гг.) можно выделить следующее: во второй половине 1899 г. министерство народного просвещения предложило созвать при учебных округах особые совещания,посвященные вопросам реформы средней школы. К участию были привлечены широкиекруги педагогической общественности. Так, например, в Москве в работе принялиучастие до 200 чел. Из математиков присутствовали профессора: Н.А. Андреев,Н.Е. Жуковский, Б.К. Млодзеевский; выдающиеся педагоги: А.М. Воронец, В.Я.Гебель, Ф.И. Егоров, К.К. Мазинг, Н.А. Рыбкин и др. Составлены были учебныепланы и программы по следующим типам школ: гимназия с двумя древними языками,гимназия с одним древним языком, реальная гимназия, средняя школа нового типа.Широко дебатировался вопрос о цели преподавания математики.
Одним изобъяснений роста педагогической активности является то, что к концу XIX века в областиматематического образования во многих странах Запада так же, как и в России,обнаружились определенные недостатки, которые касались как содержания учебногопредмета «математика», так и организации его преподавания. Во многих школахдействовали учебные планы, в которых преобладали гуманитарные предметы.
В это время широкая педагогическая общественность выступает скритикой существующей системы образования, среди прочих указывая следующиенедостатки: крайняя сухость и безжизненность преподаваемых в школе предметов;многопредметность и излишняя обширность школьного курса; направленность наразвитие памяти ученика в ущерб уму и чувству; оторванность от действительной жизнии ее потребностей; излишняя регламентация, бюрократизм и формализм и пр.
Стремление улучшить школьное преподавание математики постепенноприобретало международный характер.
В 1899 году министр народного просвещения Н.П. Боголепов(1846-1901) издает циркуляр, в котором говорится о необходимости создания«Комиссии по вопросу об улучшениях в средней школе». Весь 1900 год Комиссиязанимается активной деятельностью, вырабатывает свои предложения, которые, ксожалению, из-за трагической гибели Н.П. Боголепова так и не были внедрены вшкольную практику. [4, 125 — 129]
По справедливому мнению Ю.М. Колягина и О.А. Саввиной: «Начало XX века в Россиихарактеризуется подъемом педагогической активности. Этот период насыщенорганизацией всевозможных комиссий и проведением различных съездов. В 1901-1902гг. проходит съезд директоров и попечительных советов коммерческих училищ, в1904 гг. Третий Съезд русских деятелей по техническому и профессиональномуобразованию, в 1905-1907гг. — нелегальные учительские съезды, в 1909г. — ВторойВсероссийский съезд по педагогической психологии и Первый Всероссийский съездучителей городских училищ, в 1911-1912гг. и 1913 -1914гг. — I и II Всероссийские съездыпреподавателей математики, 1912 — 1913гг. — Первый Всероссийский съезд по образованиюженщин и Первый Всероссийский съезд по семейному воспитанию, 1913-1914гг. — Всероссийский съезд преподавателей физики, химии, космографии, Всероссийскийсъезд по вопросам народного образования.
В апреле 1908 года на IV Международном математическом конгрессе в Римесоздается Международная Комиссия по вопросам преподавания математики (МКПМ) воглаве с известным немецким математиком и педагогом Ф. Клейном (1849-1925).Русскую национальную подкомиссию возглавил академик Н.Я. Сонин (1849-1915).
Активное участие в МКПМ, а также работа по реализации тех реформ,которые проводились в России, привели отечественных педагогов к мысли опроведении Всероссийских съездов преподавателей математики. Первый такой съездоткрылся 27 декабря 1911 года в Санкт – Петербурге. Через два года в Москвепрошел Второй съезд. Проведению третьего съезда помешала война.
В материалах МКПМ и в выступлениях на обоих съездах видное местозаняло обсуждение проблем формирования «функционального мышления», а такжецелей, принципов и методов введения в курс средней школы элементов высшей математики.
Под влиянием Международного реформаторского движения и настойчивыхтребований отечественных педагогов программы по математике средних учебныхзаведений России были обновлены. В 1907г. начала аналитической геометрии ианализа бесконечно малых составили специальный курс реальных училищ, в 1911г.анализ бесконечно малых стал завершающим разделом курса кадетских корпусов, в1914г. аналитическая геометрия вошла в программу коммерческих училищ. Готовилисьсерьезные реформы и в гимназическом образовании.»[3, 12 -14]
Активизация педагогической мысли на рубеже XX века проявилась всоздании во многих городах России новых педагогических организаций, кружков иобществ, взявших на себя миссию разработки и пропаганды передовых идейматематического просвещения. В 1898 году при Московском университетеорганизуется Педагогическое общество, в этом же году возникает Варшавскийкружок преподавателей математики и физики, в 1900 году при Обществераспространения технических знаний — Московский преподавательский кружок, в1905 году — Московский математический кружок. Общества математики и физики, атакже педагогические общества были организованы в Тифлисе, Орле, Полтаве,Новочеркасске; Педагогические общества — в Калуге, Твери, Риге и в некоторыхдругих городах. Эти организации дополнительно вовлекли в активную работу видныхученых-математиков и рядовых преподавателей средних школ.
На заседаниях кружков и обществ, кроме чисто научных докладов,повышающих культурный уровень его участников, обсуждались и многие методическиевопросы преподавания (проекты программ по математике, разбор и анализпринципиальных вопросов преподавания, изложение наиболее трудных тем школьногокурса, рецензирование учебников и т. п.).
Работа, проводимая в этих педагогических объединениях, благотворновлияла на практику преподавания, на общий качественный уровень выходящих в товремя учебников.
В связи с интенсивной работой методической мысли в этот периодактивизируется деятельность методико-математической журналистики. Возникаютспециальные журналы по методике математики: «Математическое образование»(Москва, 1912—1917 гг.), «Математический вестник» (Москва, 1914—1917 гг.),специальный журнал для учащихся «Математический листок» (Ревель, 1915—1917 гг.).[1,6 – 9]
Прогрессивные русские математики и педагоги продолжали борьбу занаучно-педагогическую реформу преподавания математики.
В среде русских педагогов все более нарастает движение заобновление преподавания математики в свете новых требований жизни, математики иданных педагогики и психологии.
Тенденции сближения курса школьной математики с жизнью ипроизводством, облегчения восприятия математических истин, комплекс мероприятий,направленных на сознательное и прочное усвоение ее основ, на соответствиешкольного курса современным идеям математики порождали новые направления врусской методике математики. Русские педагоги объективно и строго подошли кразличным западным течениям в методике преподавания математики, принимали активноеучастие в решении этих вопросов.
Вопросам методики преподавания математики в России уделялосьнемалое внимание. В этот период прошли такие крупнейшие педагогические форумы,как первый и второй съезды директоров и председателей попечительских советовкоммерческих училищ в Петербурге в 1901 и 1902 годах; Варшавский съездпреподавателей физики и математики (27—30 декабря 1902г.); III съезд русских деятелейпо техническому и профессиональному образованию (Петербург, 26 декабря 1903г. —6 января 1904г.).
I Всероссийский съезд преподавателей городских училищ (Петербург,1909г.) высказался за внедрение идеи функциональной зависимости в курсматематики средней школы. В докладе Ф.В. Филипповича «Наглядная геометрия исистематический курс геометрии в связи с элементами тригонометрии» отмечалось:«Через весь курс геометрии, в правильной методической последовательности,красной нитью должна проходить идея закономерности (функциональная зависимость)между геометрическими элементами. В экспериментальной геометрии — соединенноеизложение планиметрии и стереометрии; в планиметрии систематического курса, гдеэто возможно, поддерживать живую связь с трехмерным пространством, прибегая приэтом к конкретным примерам из действительности».
Поиски усовершенствования методов преподавания находят отражение впрактике работы школ. Обсуждаются и внедряются различные методы и приемыпреподавания математики, активизирующие работу учеников, направляющие ихучебную деятельность на доступное и сознательное усвоение материала.
С октября 1907 года вновь оживает работа математического отделаПедагогического музея военно-учебных заведений. На заседаниях его активно обсуждаютсявопросы, касающиеся содержания курса математики в средних учебных заведениях,программы преподавания, рассматриваются и дискутируются методические разработкипо отдельным разделам школьной математики, рецензируется учебная литература.
В связи с новым подъемом революционного движения в России в средеученых-математиков и учителей укрепляется сознание необходимости общественнойборьбы за проведение подлинной реформы математического образования в стране. [1,10 -16]
Съезды возбудили живое внимание к методике математики не толькопредставителей педагогического мира, но и широких общественных кругов.Интенсивный рост учебной и методической литературы в 1912—1915гг., новой посодержанию и идеям, в значительной степени объясняется влиянием съездов.
Большое оживление в области методики арифметики начинается в1910г. Появляется новая оригинальная литература, пропагандирующая принципиальноновое направление в преподавании начальной арифметики — лабораторное направление.
В том же году вышла книга «Педагогика математики» В. Мрочека и Ф. Филипповича.Авторы на первый план в данном издании выставляют лабораторный метод.
Вместе с лабораторным методом большое применение начинают приобретатьв арифметике иллюстрации и графические упражнения. Появляется большоеколичество задачников с картинками и различными графическими задачами.
Как пишет исследователь Ю.М. Колягин: «С начала XX в. до революции 1917 г. в России постоянно увеличивалось количестве средних и высших учебных заведений и числоучащихся. К 1917г. количество народных школ в России превышало 130 тысяч, ачисло учащихся в них доходило до 10 миллионов.
Получила дальнейшее развитие и система женского образования. В XXв. (до революции 1917 г.) в России было создано 91 высшее учебное заведение, в том числе 38 специальных женских высшихучебных заведений. По числу женщин, обучавшихся в высших учебных заведениях,Россия занимала первое место в мире.
Особое место в системе образования России отводилось народнымуниверситетам, которые были общедоступными просветительными учреждениями,предназначенными для повышения общей культуры и профессионального мастерствавсех желающих, независимо от возраста и образования.
В начале XX в. возникли специальные общественные организациидля создания народных университетов. Среди народных университетов особо выделилсяМосковский городской народный Университет А.Л. Шанявского, основанный в 1908 г. С началом войны 1914 г. большинство народных университетов закрылось. [2, 122-133]
Выдающееся значение в развитии методико — математических идей в Россииимели I(Петербург, 27 декабря 1911 — 3 января 1912 г.) и II (Москва, 26 декабря 1913- 3 января 1914 г.) Всероссийские съезды преподавателей математики, на которыхбыли подведены итоги по многим общим и некоторым частным проблемам методикипреподавания математики и последняя узаконена как наука.
Как в программе работы I Всероссийского съезда преподавателей математики,так и в тематике его докладов сказалась деятельность математического отдела Педагогическогомузея военно-учебных заведений.
Материалы и постановления съездов, опубликованные в печати, атакже пропаганда и дальнейшее обсуждение в печати их итогов способствовали широкомураспространению прогрессивных идей среди широких кругов преподавателейматематики. Все это отразилось на качестве литературы по математике, новой посодержанию и идеям, а также повлияло соответствующим образом на практикупреподавания математики в средних школах. Следствием этого явиласьисключительная по своей активности творческая работа рядовых преподавателей. [1,19-20]
Влияние несостоявшихся реформ системы народного образования России(реформ начатых в начале XX в. Н.П. Боголеповым и П.С. Ванновским,а также реформы, начатые П.Н. Игнатьевым в 1915г.) сказалось на настроениии намерениях педагогической общественности, увидевшей после Февральской революции 1917 г. возможность осуществить реальную реформу школы.
Весной и летом 1917 г. были проведены Всероссийские съезды учителейи преподавателей, которые показали серьезность намерений их участников осуществитьдавно на зревшую, по их мнению, реформу, причем по весьма радикальному пути. В резолюцииапрельского съезда говорилось о необходимости:
– децентрализации школьного управления,
– построения единой общеобразовательной школы,
– освобождения школы от государственной опеки,
– приближения школьного обучения кжизни,
– учета школой культурных потребностей всех народностей России ит.д.
В мае 1917г. (по инициативе педагогов Н.В. Чехова,В.И. Чарнолусского, В.П. Вахтерова и др.) Временное правительствоучредило Государственный комитет по народному образованию. С мая по октябрь 1917 г. в комитете было подготовлено несколько десятков различных законопроектов (о всеобуче, о доступностиначального обучения, о религии в школе, об управлении образованием и др.).
Ни один из разработанных законопроектов так и не был принят. Тем болееэта деятельность оказалась не ко времени и после октября 1917 г. Прав оказался император Николай II, говоря о несвоевременности радикальных образовательных реформ впериод политических потрясений. Столь же несвоевременными и потому заведомонеудачными оказались и намечавшиеся реформы в 1915–1917 гг.
Начинался период разрушения старой системы образования и построенияновой советской школы (1917 – 1930гг.). [2, 135-139]
математический образование филиппович методика преподавание

Глава II. Научно – методическое наследие Ф.В. Филипповича
§1. Биографические сведения о Ф.В. Филипповиче
 
Филипп Васильевич Филиппович родился в сербском городке Чачак 9(21)июня 1878 года, примерно в 200 км от Белграда.
В метрическом свидетельстве отражено, что Филипп появился на свет9 июня 1878 г. в семье преподавателя местной гимназии Василия Филипповича, ичерез несколько дней был крещен в православной церкви Чачакского храма Св.Вознесения Господня.
В 1897 г. он весьма успешно закончил восьмой класс ВторойБелградской гимназии.
После окончания гимназии Филипп поступил на технический факультетБелградской высшей школы, где сразу же был втянут в революционную деятельностьв социалистической студенческой организации. [21,56]
В 1899 г. в связи с наступлением реакции в Сербии Ф. Филипповичэмигрирует в Россию. Сразу по прибытии в Россию он поступил вСанкт-Петербургский Императорский университет на физико-математическийфакультет. Обучение в то время было платным, а материальное положение сынапростого учителя гимназии было тяжелым. В 1902 г. Ф. Филиппович не смог внестиочередную плату за обучение и был отчислен. Через год он восстановился иуспешно завершил все восемь семестров. Столь необходимую материальную помощьсербскому студенту оказало Санкт-Петербургское славянское общество, котороевыплачивало ему стипендию.
После окончания университета, с 1904 г., Ф. В. Филиппович трудилсяв различных учебных заведениях Петербурга. Почти восемь лет прослужил он вДемидовской женской гимназии, часто совмещая работу в ней с преподавательскойдеятельностью в других учебных заведениях. Так, он преподавал математику вженской гимназии «Новая школа», Учительском институте, женской гимназии Е. И.Песковской, на курсах при высшей школе Лесгафта, на курсах электромонтеров. Онодним из первых начал обучать дифференциальному и интегральному исчислениювоспитанниц женской гимназии.
В это время Ф. Филиппович активно сотрудничает с петербургскими социал-демократами,увлекается чтением марксисткой литературы, его любимыми писателями становятсяН. Г. Чернышевский и А… М. Горький. По поручению Петербургскогосоциал-демократического комитета РСДПР Филиппович проводил пропагандистскуюработу среди жителей Василеостровского района Петербурга ив 1905 г. быларестован за пропаганду среди моряков в Кронштадте. На его квартире былообнаружено более трех тысяч листовок, Филипповича посадили в камеру-одиночку в«Кресты». В связи с выходом «Царского манифеста» Филипповича вскоре освободили,но свою революционную деятельность он не прекратил.
Начало XX века в России характеризуется подъемом педагогической активности.Этот период насыщен организацией всевозможных комиссий и проведением различныхсъездов, различными событиями, идеями, явлениями и фактами в областиматематического просвещения как в России, так и за рубежом. Энергичный Ф.В. Филипповичне мог остаться в стороне от этих событий. Он выступил с докладами исообщениями на Первом Всероссийском съезде учителей городских училищ, на ВторомВсероссийском съезде по педагогической психологии, а в работе ПервогоВсероссийского съезда преподавателей математики принял активное участие вкачестве секретаря съезда и докладчика.
Период 1901-1914 годов был весьма насыщен всевозможными событиями,идеями, явлениями и фактами в области математического просвещения как в России,так и за рубежом. Энергичный Ф.В.Филиппович не мог остаться в стороне от этихсобытий. Он выступил с докладами и сообщениями на Первом Всероссийском съездеучителей городских училищ, на Втором Всероссийском съезде по педагогическойпсихологии, а в работе Первого Всероссийского съезда преподавателей математикипринял активное участие в качестве секретаря съезда и докладчика.
Открытию съезда предшествовала кропотливая и обстоятельная подготовительнаяОрганизационного комитета, тщательно был продуман круг проблем, подлежащихобсуждению, приняты необходимые меры по информированию педагогическойобщественности о предстоящем мероприятии.
По окончании работы съезда В.Р. Мрочек и Ф.В. Филиппович подготовилисборник «Трудов». Благодаря этой книге до нас дошла живая картинка того, чтопроисходило на съезде. Ведь в эту книгу было включено точное воспроизведениевсех докладов и прений по ним. Современники высоко оценили работу, проделаннуюсоставителями «Трудов».
Помимо того, на одном из самых первых заседаний Ф. Филиппович самвыступил с интересным и содержательным докладом о проблемах преподавания началанализа. В своем выступлении убедительно и последовательно он доказывалцелесообразность внедрения элементов математического анализа в среднюю школу, определилприоритетные направления и способы конструирования содержания новых идейв школьном курсе.
В 1912 г Филиппович вернулся в Сербию. В прощальном письме, адресованномдиректору Демидовской гимназии, Филиппович высказывает благодарности иобращается с просьбами о выдаче канцелярского удостоверения о преподаванииматематики в гимназии и о выдачи денежного пособия для переезда.
Администрация гимназии без промедления откликнулась на просьбысербского подданного, и вскоре ему было отправлено удостоверение и единовременноепособие в размере «двухмесячного оклада получаемой поурочной платы в суммесемьдесят рублей». Таким образом, царская Россия не только встретила, но ипроводила Филипповича на Родину с отеческой заботой. Не менее теплые чувстваиспытывал он к России, в одном из писем к своей матери Филиппович писал «чтоРоссия стала для него второй Родиной». [8, 9]
На этом этапе, можно сказать, заканчивается педагогическаядеятельность Филипповича и все ярче проявляется его второе жизненное кредо — известного политического деятеля.
Вернувшись на Родину, он становится одним из руководителей социал-демократическойпартии. В 1919 г. состоялся Первый, а в 1920 г. — Второй съезд коммунистической партии Югославии, на которых Филиппович избирается секретарем ЦК (Центральногопартийного вече). На следующих съездах -Третьем (1926 г.) и Четвертом ( 1928 г.) его избирают членом ЦК. Стремительный взлет его политической карьерыприходится на 20-е годы. В 1920 г. — он мэр Белграда, депутат от КГПО вУчредительной скупщине. [32, 394]
В 1924 г. Ф.В. Филиппович вновь приезжает в Россию (теперь уже вСССР), где продолжает заниматься политической деятельностью — работает вМеждународном аграрном институте (ответственным референтом) и в кузницеполитических кадров из представителей западных национальностей, населяющихСССР, — Коммунистическом университете национальных меньшинств Запада. Активноучаствует в международном социал-демократическом движении: входит в руководствоБалканской коммунистической Федерации, избирается членом ИККИ.
В середине 30-х гг. XX века в СССР своего пика достигают политическиерепрессии. В это время Филиппович был арестован и приговорен ВКВС СССР красстрелу по обвинению в участии в контрреволюционной террористическойорганизации. В списках, опубликованных Обществом «Мемориал» и АрхивомПрезидента РФ, среди иностранных подданных встречается и Ф. Филиппович (подпсевдонимом Бошко Бошкович). 8 апреля Филиппович был расстрелян и похоронен на«Коммунарке». Сравнительно скорая реабилитация (3 октября 1957 г.) позволяет сделать вывод, что все эти обвинения, как и сам приговор, явились роковой ошибкой.[25]
Таковы основные вехи, включающие в себя педагогическуюдеятельность, политическую карьеру и трагическую кончину этого удивительногочеловека. [3, 18]
 
§2. Обзор педагогических трудов Ф.В. Филипповича
Исследователями Ю.М. Колягиным и О.А. Саввиной установлено, что «Самым значительным трудомФилипповича явилась книга «Педагогика математики», написанная им в соавторствес В. Р. Мрочеком и вышедшая в 1910 г.»
Изданию «Педагогики математики» предшествовала кропотливая и длительнаяподготовка. Поскольку тогда еще не было опыта издания работ такого рода нарусском языке, авторы были вынуждены в основном обращаться к зарубежнымисточникам. С этой целью они в течение двух лет использовали разные отделы Санкт– Петербургской библиотеки и библиотеку из коллекции Педагогического музея.Мрочек и Филиппович не предполагали скоро издать книгу, а тщательно собиралиматериал.
Авторы надеялись продолжить работу над вторым томом, в которомпредполагалось рассмотреть дополнительные вопросы алгебры и тригонометрии, атакже аналитическую геометрию, дифференциальное и интегральное исчисления,начала теории вероятностей, систематический курс геометрии (критика основ,логика и аксиоматика, содержание научного и школьного курса, началасинтетической и начертательной геометрии) и, наконец, методы математики и ихроль. Однако второй том так и не вышел. [12, 374]
В.Р. Мрочек и Ф.В. Филиппович не сочли нужным уточнять личное авторствокаждой из глав. Однако ряд косвенных фактов позволяют сделать некоторыепредположения, например, о том, что авторский вклад Филипповича в главы,посвященные методике изучения геометрии, значительно выше, чем Мрочека, инапротив, очевидно, что над главой по методике тригонометрии («Решениетреугольников») преимущественно потрудился Мрочек. К сожалению, в отношенииавторства других разделов книги нельзя высказать столь однозначного мнения,поэтому в дальнейшем часто речь будет идти о совместном вкладе Мрочека иФилипповича в развитие методики преподавания математики.
В книге «Педагогика математики» авторы одними из первых в русскойлитературе указывают на необходимость деления педагогики математики на теорию иметодику. Книга явилась самой первой среди теоретико-методических работ нарусском языке, поскольку в ней рассматривались вопросы как общей, так и частнойметодики математики, как ее исторические, психологические и философские стороны,так и конкретные практические (рецептурные) аспекты. Значимость этого труда дляотечественной методической мысли очень велика.
Отдавая явное предпочтение лабораторному методу обученияматематике, развитию самодеятельности учащихся, Филиппович подкреплял свои идеиконкретными практическими разработками. Он составил целый ряд наглядных илабораторных пособий по математике: «Наглядная геометрия в развертках. Тетрадьдля классного и домашнего пользования с развертками, задачами ирисунками»;«Дробный счетчик. Наглядно-лабораторное пособие при изучении действий надпростейшими дробями»; «Начальная геометрия в развертках». Вместе В. Мрочеком Ф.Филиппович изготовил несколько коллекций геометрических тел. [9]
Ф. Филиппович являлся автором ряда статей по реформематематического образования в периодической печати.
В 1909 г. В. Мрочек и Ф. Филиппович выступили с докладом «Реформапреподавания математики, ее причины и история» на Первом российском съездеучителей Городских училищ. Этот доклад вызвал, большой интерес у слушателей ивскоре был опубликован отдельной брошюрой. Через год доклад был переработан иуже в обновленном варианте появился в журнале «Русская школа». Основные идеиработы получили развитие в книге «Педагогика математики». Статья Ф. Филипповича«К реформе обучения математике», опубликованная в 1911 г. в журнале«Техническое и коммерческое образование» имела помимо хорошего аналитического обзорахода реформ, но и тексты новых программ по математике, разработанных в духевеяний времени. Одна программа предназначена для взрослых «применительно кнуждам народных университетов», другая — для восьмиклассной гимназии. Болеетого, Филиппович сопроводил программы своими методическими замечаниями.
Нельзя не отметить кропотливую и своевременную работу Филипповичанад составлением библиографий. Почти все свои сочинения Филиппович сопровождалдетальными списками литературы. А в 1912 г. по поручению Выставочной комиссии при Организационном комитете Первого Всероссийского съезда преподавателейматематики Филиппович составил «Указатель учебной математической литературы».Эта работа отличалась как от русских, так и иностранных изданий подобного родатем, что за основу распределения материала автор принял «исключительнопедагогические соображения». Иначе говоря, Филиппович составил первый в Россиибиблиографический указатель именно по теории и методике обучения математике.
В этом же, 1912 году, выходит перевод Филипповича книги «Методикагеометрии», написанной в духе идей Ф. Клейна известным в то время немецкимматематиком П. Трейтлейном. Издание этой книги для России, действительно, былосвоевременным, книга имела популярность и была переиздана в 1916 г.» [3, 20-23]
 
§3. Научно – методические идеи Ф.В. Филипповича
Обратимся к вопросам методики преподавания математики, изложенныхв трудах Ф. Филипповича.
Ф. Филиппович и В. Мрочек указывают на узость распространенного товремя понимания смысла методики математики как «сборника готовых рецептов,опирающегося на личный опыт того или иного практика-учителя». Они определяютистоки педагогики математики и ее связи с другими областями знаний. Это — история математики история культуры и школы, история обучения математике,философия и методология познания. Спектр перечисленных связей весьмаоригинален, хотя и недостаточно полон. Мрочек и Филиппович еще не дают покачеткого определения педагогики математики, но в самых первых строках указывают,что перед педагогикой встал новый вопрос «как делать?». Таким образом, авторыогласили один из глобальных вопросов классической триады.
Вообще, вся первая часть «Педагогики математики» содержит общиеположения исторического, психологического и методологического плана. Прослеживаяэволюцию педагогики математики (VI ст. до н.э. — начало XX ст.), авторыдемонстрируют, как менялись цели обучения, «как эволюция преподавания зависелаот условия окружающей среды и насколько медленно эволюционировали приемыобучения, начиная с первой греческой школы» [12, 2]
Школа Греции до реформы V в. до н. э. преследовала цель — подготовитьпатриотов-граждан. Последующая демократизация Греции привела к приоритетупрактических целей в обучении (исключение – Платон, который указывал на громадноепрактическое значение математики и астрономии, подчеркивал их воспитательноезначение для мира идей.)
Средневековая школа имела целью образование хорошего духовенства: «культпамяти – единственная цель обучения и вместе с тем его метода».
В Германии в XVII столетии главная цель заключается в подготовкеофицеров, а в XVIII столетии — придворных, гражданских и военных чинов.
Начало XIX в. в Пруссии — конечная задача учебных учреждении развивать впитомцах чувство преданности, верности и покорности государю и государству,поэтому практические цели уходят на второй план.
Основная концепция повествования заключалась в иллюстрации «беспомощностипрограмм самих по себе» и демонстрации важности влияния на них политических и социальныхусловий. [12, 51]
Авторы серьезно задумываются и над другим вопросом «Зачем учить математике?».Отвечая на этот вопрос, они приходят к идее дифференциации целей на три группы:практические, образовательные и воспитательные. Именно такой подход кдифференциации целей был взят за основу и развит советскими педагогами. [15,14]
Горячо и последовательно Ф.В. Филиппович отстаивает позицию согласнокоторой учитель математики должен обладать глубокими познаниями в областипедагогики и психологии. Он констатирует: «Мы педагоги, очень много грешим,не зная хорошо психологии детского возраста, и часто смешиваем науку в чистомее виде с учебным предметом» [12, 17]. Недопустимость смешения понятийматематики — науки и математики — учебного предмета обоснована с разныхпозиций, ряд из которых и выявлен в книге «Педагогика математики».Разграничение указанных понятий здесь проиллюстрировано через разные характеристики:содержание, объем, цели, систему, пути, адепты.
Основываясь на том, что всякое познание начинается с чувственныхвосприятий, а «для математики особенно восприимчивой оказывается 3рительно-моторнаяи зрительно-слуховая память», авторы делают вывод о большой роли «нагляднойметоды именно в обучении математике». [12, 105] Вообще наглядному илабораторному методам придается здесь большое значение, выявляются корниспецифики отмщения к наглядной методе у греков, индусов, арабов, европейцев. Наглядный и лабораторный методы, помнению авторов, приводят к самостоятельным навыкам.
Практику изучения определений в школе авторы считают «больным вопросомучебных предметов». Одними из первых в русской методической литературе ониклассифицируют определения по трем типам: диалектико-догматические,генетические и генетически-психологические ( речь идет не сколько о виде определения,а скорее о способе формулировки определения). На сегодняшний день методисты –математики различают следующие виды определений: родо-видовые, генетические,индуктивные, аксиоматические и т.д. [3, 27-29]
О преподавании арифметики.
Несомненный интерес представляют методические замечания авторов поповоду изучения конкретных разделов, тем и понятий. Они обращают внимание надва способа формирования представленияо числе: «под видомкардинального числа, если мы обращаем внимание на количество, и под видомординарного числа, определяющего порядок или положение данного предмета» [12,138]
Сделаем пояснения к приведенной цитате. Для этого используем конкретноечисло 2. В первом случае 2 — это некоторое общее свойство у групп множеств(глаза, руки, ноги человека и т.п., т.е., характеристика множеств, состоящих издвух элементов), а во втором случае 2 — это число, следующее за единицей.
В данной работе можно встретить ряд неожиданных и интересных идейпо поводу изучения дробей. Методика изучения дробей, по мнению авторовраспадается на три основных аспекта, заключающихся в ответах на вопросы:
1. чтоназывать дробью,
2. вкаком порядке изучать дроби,
3. какстроить курс дробей.
Приведем рассуждения В. Р. Мрочека и Ф. В. Филипповича:
«Во-первых, в настоящее время установлены термины: десятичноечисло обыкновенная дробь. Они приняты даже Ученым Комитетом нашего Министерстванародного просвещения. Этим, в сущности, предрешаются дальнейшие вопросы, таккак для методики исчисления важно лишь связать понятия о десятой, сотой,тысячной с понятиями о десятке, сотне, тысяче и связать возможно теснее.
Во-вторых, необходимо изучать раньше обыкновенных дробей. Этоготребуют соображения:
Исторические — шестидесятеричные дроби существовали раньше обыкновенных,записывались без знаменателя и были заменены в 1585г. десятичными так каксистема нумерации стала десятичной; между тем теория обыкновенных дробейразвивалась очень медленно;
психологические — прямая связь с метрической системой, сраспространением нумерации вправо от разряда единиц, непосредственный переходот целых чисел к десятичным при делении — все это вместе взятое заставляет учащихсясмотреть на десятичные числа как на числа, а не дроби, т.е. не требуетсяусвоения новых понятий.
методические — несравненно легче производить действия над обыкновеннымидробями если же рассматривать затем десятичную дробь, как первый этап и простойпереход к обыкновенной дроби, то этим соблюдается индукция в обучении;     
логические — понятие «дробь» есть понятие двузначное. Если мыимеем дело с четвертью аршина или половиною яблока, то такие конкретные дробисуть только части целого, в свою очередь, тоже целые: в тех пределах, в какихмы можем конкретно «дробить» индивидуумы, мы всегда получаем лишь относительныедроби; это — лишь способ выражения. Совершенно иное понятие связано спредставлением об отвлеченной дроби. Так, /> - это пара чисел целых, 3 и 4,над которыми мы должны произвести действие деления, но на самом деле мы его не выполняем;желая однако ввести результат требуемого деления в дальнейшие выкладки, мыусловно обозначаем этот результат символом />, сохраняя за собой правовыполнить деление потом, если это окажется нужным. Таково положение этоговопроса в науке. Ясно, что излагать теорию дробей детям, по меньшей мере,напрасный труд.
В-третьих, из изложенного видно, что курс «дробей» должен распадатьсяна три цикла. В первом — надо познакомить детей с простейшими случаямидробления конкретных «единиц», эти четвертушки. Половинки, восьмушки свободноусваиваются детьми, также как и простые выкладки над ними. Во втором — научитьпроизводить действия над десятичными конечными числами. В третьем- изложить нетеорию обыкновенных дробей, а лишь условные определения оперирования ссимволами /> и/> начисловых, а затем и буквенных примерах, поскольку эти операции необходимы вкурсе уравнений». [12, 246-248]
Как видим, авторы в схеме изучения темы склонны придерживаться последовательности:сначала десятичные дроби, затемобыкновенные. Это предложение являлось вте времена весьма смелым высказыванием, — достаточно указать на официальныепрограммы и популярные учебники А.П. Киселева, в которых был реализован другойпорядок — раздел, посвященный обыкновенным дробям, предшествовал разделу«Десятичные дроби». Поэтому понятно, почему авторы так много внимания уделяютобоснованию порядка изучения дробей и детально описывают методику изучениядесятичных дробей.
Вопрос об иррациональных числах излагается здесь весьма доступным образом,сопровождается рядом полезных пояснений. Изложение ведется с опорой на геометрическиепредставления, дается пропедевтика аксиомы непрерывности множествадействительных чисел, разъясняется суть несоизмеримости с методологическойточки зрения. [3, 32]
Проиллюстрируем эти замечания подробной цитатой:
«Лучше всего начать с исторического примера, />. Построив прямоугольныйтреугольник с катетами по 1, откладываем гипотенузу на оси абсцисс, ее конецлежит, как видно, между 1 и 2, т.е. 1
Разделив теперь промежуток между 1 и 2 на 10 частей, мы видим, что1,4
Проверка: 1,4 2 = 1,96; 1,5 2 = 2,25. Теперьразделив еще на 10 частей промежуток между 1,4 и 1,5 мы видим, что конец гипотенузылежит между 1,41 и 1,42, следовательно, 1,41
Действительно, 1,41 2 =1,9881 и 1,42 2=2,0104. Дальнейшие деления промежутка между 1,41 и 1,42 при нашем масштабеневозможны; но если воспользоваться лупой и при ее помощи нанести такиеделения, то мы получим следующие приближения, а именно, 1,414
Проверка: 1,4142 = 1,999396 и 1,415 2=2,002225 показывает, что значение 1,414 точно до 0,1%.
Пользуясь лупой. Или же взяв покрупнее масштаб, мы можем продолжитьнаши вычисления, но наступит момент, когда учащиеся спросят: как долго этоможет продолжаться? Предложите им тогда убедиться аналитически в бесконечноститакого процесса, а именно, докажите им, что не существует такого дробногочисла, квадрат которого равнялся бы 2. Пусть     />= />, где а и b целые взаимно – простые числа.Тогда 2 = />,но дробь /> тоженесократима, и мы пришли к нелепости: целое число равно несократимой дроби. Следовательно,предположение, что />есть дробное число, невозможно.Остается допустить, что это число особого рода, пока нам неизвестного. Теперь выступаетна сцену аксиома Кантора: надо показать, что такие числа действительновозможны, что они соответствуют реальным объектам. Лучше всего взять непрерывнуюкривую и показать, что проекции всех ее точек на ось Х-ов должнывыражаться числами; одни из перпендикуляров попадут на целые деления, другие — на дробные, но будут и такие, для которых необходимо допустить существованиеособых чисел — несоизмеримых. Таким образом, непрерывность геометрическойобласти будет связана с непрерывностью арифметической области.
После этого полезно указать учащимся, что несоизмеримость — свойство нашей системы счисления, а не тех величин, какие мы рассматриваем: абсолютнойнесоизмеримости нет. Возьмем пример. Отношение длины окружности к длинедиаметра есть величина постоянная, но число />, ее выражающее, в нашей системесчисления является несоизмеримым. Если бы у нас была иная, например, такаясистема, где единицы писались бы на своем месте, а на втором месте тот же знаквыражал бы число не в 10 раз, а в />раз больше, и т.д., то тогда втакой системе числа, кратные />, были бы соизмеримы, а всесоизмеримые числа нашей системы стали бы несоизмеримыми». [12, 369-370]
О преподавании геометрии
Особый интерес Ф. В. Филиппович проявляет к методике обучения геометрии.Этот интерес вполне объясняется спецификой предмета геометрии, позволяющей вбольшей степени, чем в других разделах математики, использовать разнообразныесредства наглядности. А как уже было отмечено выше, Филиппович испытывал постояннуютягу к наглядным и лабораторным (практическим) методам обучения. Согласно егоконцепции, предполагается изучение геометрии в два цикла. «В первом цикле,-пишет автор, — должна преобладать интуиция, наглядность. Второй цикл геометриисодержит только необходимое число теорем и задач, составляющих неразрывную логическуюцепь».[12, 369] По сути, автор говорит о наглядном курсе геометрии и курсе,в определенной степени, систематическом.
Убедительно доказывает Ф.В. Филиппович целесообразность начального(основного) курса геометрии (для младших классов — средней, старших — народнойшколы, и даже для взрослых – слушателей в народных университетах), сопоставляются разныеспособы построения начального курса геометрии, выявляются требования к такомукурсу и его содержание. Филипповича постоянно интересовала проблема определенияоптимального объема содержания начального курса геометрии. Краткое содержаниекурса было приведено в книге «Педагогика математики», идеи наглядного курсагеометрии получили развитие в программах для народных университетов и восьмикласснойженской гимназии, в составлении которых участвовал Ф. Филиппович. Данный курспостроен на принципе фузионизма стереометрии и планиметрии. Содержание этогокурса подкреплено разработанной методикой изучения конкретных разделов, вкоторой в высшей степени раскрыты возможности использования наглядности илабораторного метода в обучении математике. Более того, к данному разделуматематики Филипповичем были составлены наглядные и лабораторные пособия «Нагляднаягеометрия в развертках», «16 геометрических разборных тел из 55 частей», «10разверток геометрических тел» и др. (последние два пособия составлены вместе с В.Р.Мрочеком).
В трудах Филипповича описано огромное количество лабораторных ипрактических работ по наглядной геометрии, среди которых есть и такие, которыеи сегодня используются учителями средних школ (лабораторная работа поопределению длины окружности и выявлению численного значения числа />). Но есть иработы забытые, хотя они могли бы быть не менее полезными и интересными для современнойшколы.
Для вывода формулы площади круга рекомендуется провести опыт.Сначала им предлагается вырезать из цветного картона круг и провести диаметр. Затемоба получившиеся полукруга разделить на возможно большее число равных секторовтак, чтобы можно было принять за треугольники (ввиду того, что дугу в силу еемалости можно принять за хорду). Если эти полукруги растянуть, то получатся двефигуры напоминающие пилы. Теперь, если вкладывать зубцы одной фигуры междузубцами другой, получится параллелограмм (или почти прямоугольник). Основаниепараллелограмма равняется половине длине окружности, а высота — еерадиусу. Применяяформулу для отыскания площади параллелограмма, получим/>. Это иесть формула для отыскания площади круга. [3, 33-37]
Филиппович разработал методику введения формулы для вычисленияобъема пирамиды лабораторным методом. Он предлагает пять различных способовизмерения объема пирамиды. Приведем описание первых трех способов:
«Первый, чисто эмпирический способ, состоит в том, что нужно взятьполую призму, основание и высота которой соответственно равны основанию и высотеполой пирамиды. Пересыпая песок или переливая воду находим, что объем ирамидысоставляет третью часть объема призмы, т.е. объем пирамиды = /> площади основания X [умножить на высоту]
/>
Второй — также наглядный — способ: возьмем куб, состоящий из шестипирамид с вершиною в центре куба; каждая из них основанием имеет одну из граней.
Все полученные пирамиды равны между собою, это очевидно. Но мызнаем, что объем куба измеряется произведением площади основания на высоту, атак как каждая из полученных пирамид составляет /> куба, то и объем каждой пирамидыбудет равняться произведению площади основания на /> высоты куба, или, что все равно,на /> высотыпирамиды, потому что высота каждой из пирамид составляет /> высоты куба.
Третий способ: возьмем опять тот же куб из 6 пирамид и проведем черезего центр плоскость, параллельно основанию; тогда наш куб разделится на двапрямоугольных бруса (параллелепипеда). В каждом из брусов будет заключатьсяодна полная пирамида, покоящаяся на основании куба, и четыре боковые,составляющие половины первой. Если получившиеся четыре боковые пирамиды сложимпо две, то у нас будут — вместе с оставшейся целой пирамидой –три совершенноравные пирамиды, заключенные в одном брусе. Следовательно, объем каждой из нихсоставляет />объемабруса. Так как объем бруса равен произведению площади основания и высоты, тообъем четырехугольной пирамиды измеряется произведением площади ее основания на/> высоты,т.е.
/>.[12, 194-197]
Без сомнения, самым удачным следует признать первый способ. Именноэтот способ выбрал Филиппович для лабораторных работ в своем учебном пособии«Начальная геометрия». Сначала он предлагает измерить опытным путем объемтреугольной пирамиды и треугольной призмы, а затем произвести аналогичный опытс четырехугольной пирамидой и параллелепипедом. Вообще, по теме «Треугольнаяпирамида» Филиппович разработал следующий цикл практических упражнений. Первыепять заданий заключаются в том, чтобы по данной развертке треугольной пирамидыопределить ее апофему, сторону правильного треугольника и его высоту,боковую и полную площадь пирамиды. [3, 37-38]
Далее Филиппович пишет:
«Для того, чтобы узнать,как измеряется объем треугольной пирамиды, изготовь из картона треугольнуюпирамиду и треугольную призму, имеющие одинаковые основания и высоты. Послеэтого, наполняя пирамиду, например, мелким песком, удостоверься, сколько разнадо брать содержимое пирамиды для наполнения призмы. Стало быть,
Объем треугольнойпирамиды =………… объема треугольной призмы.
Обьем треугольнойпирамиды =…………… куб. см.
/>
Сделай из картона брус иквадратную пирамиду, имеющие одинаковые основания и высоты, и таким же способомпокажи, как измеряется объем квадратной пирамиды (см.рис.).
Объем пирамиды …….=…объема призмы.
Если обозначить высотуквадратной пирамиды через Н см., а длину стороны квадрата а см.,то
Объем пирамиды …… =      куб.см.» [29, 15 ]
О преподавании алгебры
Учение о прогрессиях является традиционным разделом в современномшкольном курсе математики. Заметим, что сведения о прогрессиях были включеныеще в самую первую официальную программу для гимназий в 1845 году и стабильносохранялись как в до революционной, так и в советской средней школе. Включениеэтого раздела в курс математики средней школы оправдано сразу из несколькихсоображений. Во-первых, арифметическая и, особенно геометрическая, прогрессииимеют широкие применения в экономике и в самой математике (при помощибесконечной геометрической прогрессии можно изложить учение о периодическихдесятичных дробях, вычислять пределы интегральных сумм (уделенные интегралы) ит.п.). Во-вторых, здесь школьники получают первые элементарные представления обочень важном магического анализа — теории рядов (арифметическая игеометрическая прогрессии являются примерами простейших числовыхпоследовательностей, а их частичные и бесконечные суммы – примерами частичныхсумм и просто сумм числового ряда и т.п.) Изучение данной темы не вызываетпринципиальных затруднений у школьников.
Методика изучения прогрессий, описанная В.Р. Мрочеком и Ф.В. Филипповичем,широко использует символическую наглядность и, поэтому способствует болеепрочному сохранению в памяти информации о прогрессиях.
Отличительной особенностью «Педагогики математики» является такженаличие большого набора задач практически по всем рассматриваемым разделам. [3,39-42]
Пример задачи к разделу об арифметической и геометрической прогрессиях:«Бедняк предложил богачу жить у него на следующих условиях. Бедняк будетплатить своему квартиранту ежедневно на 1 р. Больше, чем накануне, в первый жедень уплатит ему 1р. богач, напротив, должен платить так: в первый день –копейку, во второй – две, в третий – четыре, в четвертый – восемь и т.д. В видеопыта они заключили двухнедельное условие. Кто из них отказался от продолженияусловия? (Ответ: богач, т.к. ему пришлось доплатить бедняку 58р.63к.)» [12, 241]
Всюду, где это только возможно, авторы стараются выявитьсуществующие методические подходы к изучению темы и построению курса, глубоко ивсесторонне анализируют эти подходы, пытаясь установить наиболеецелесообразный. Так, после критического анализа трех главных систем построенияшкольного курса алгебры (в основе первой — учение о тождественных преобразованиях,согласно второй системе материал группируется около двух главных моментов:уравнений первой и уравнений второй степени», в третьей же системе доминирующуюпозицию занимает функциональная идея) педагоги приходят к следующим выводам:
«В алгебре, как и вдругих отделах математики, материал должен быть распределен по циклам. Если иметьв виду интересы учащихся, то содержание первого цикла должно ограничиватьсявопросами об уравнениях первой и второй степени, решаемых аналитически играфически, и знакомством с практикой логарифмических вычислений. Построениекурса должно быть таково, чтобы арифметика и алгебра развивались нераздельно инепрерывно». [12, 241]
Вопрос о введении общего понятия уравнения, также как и общего понятияфункции, пока еще вдореволюционной методике обучения математике не ставится. Однако по поводу изучения конкретных видовфункций (линейной функции (в т.ч. прямой пропорциональности) и квадратичнойфункции) сделан ряд перспективных предложении. Так в зародышевом виде здесьвысказана идея о методической схеме изучения конкретной функции.
Описанная схема (конкретные задачи — графическая интерпретация — аналитическая запись — исследование) реализована Мрочеком и Филипповичем в методикеизучения линейной функции. Похожие идеи были высказаны, развиты и окончательносформулированы советскими педагогами, которые предложили следующую схемуизучения конкретных функций:
1) рассмотрение конкретных ситуаций (или задач), приводящих к даннойфункции;
2) формулировка определения данной функции, аналитическая записьфункции; исследование входящих в эту формулу параметров;
3) ознакомление с графиком функции;
4) исследование свойств функции;
5) использование изученных свойств функций при решении различныхзадач, в частности уравнений и неравенств.
 Эта схема получила всеобщее признание, о чем свидетельствует хотябы то, что ее придерживаются практически вес учебники алгебры для девятилетнейшколы. [3, 44]
Последовательность изучения квадратичной функции почти такая же:сначала дается понятие о параболе на основе графического описания процессасвободного падения, затем указывается что «эту же кривую можно получить и аналитическимпутем» и без всякихпояснений говорится, что дано уравнение у=х/>, а учащимсяпредлагается составить таблицу для некоторых значений х и у,затем построить график. На следующих страницах выясняется положение параболы наплоскости в зависимости от параметров, входящих в описываемое эту параболууравнение. Надо уточнить, что всякий раз здесь рассматриваются конкретныечисловые значения параметров, а не общий случай.
В данной главе заслуживает внимания раздел, в котором описываютсяприближенные приемы извлечения квадратного корня. Авторы предлагают пятьприемов. «Извлечение квадратного (и вообще корня) есть действие, обратноевозведению в степень, поэтому на первых порах лучше всего пользоваться таблицейквадратов чисел. Так как при решении геометрических вопросов в большинствеслучаев получаются иррациональные числа, то учащиеся скоро будут поставленыпереднеобходимостью интерполировать свою таблицу; таким образом, они познакомятся сразличными приемами приближенного извлечения квадратных корней. Эти приемыуказаны в книге.
Таким образом, Ф. В. Филиппович (преимущественно в соавторстве сВ.Р. Мрочеком) выявил связи методики математики с другими областями знаний,сделал решительные шаги вперед в определении круга вопросов, которымизанимается методика математики, выделил отличительные признаки математики –учебного предмета и математики — науки, заложил теорию целеполагания в обученииматематике, развил идею о наглядности в обучении математике.
В частной (и специальной) методиках он развил методические идеинаглядной геометрии, числовой линии (рационального числа, положительного иотрицательного числа), квадратных уравнений первой степени в связи с учением офункция и т.д.
В теоретической части В. Р. Мрочек и Ф. В. Филиппович увлекаются цитированиемамериканских и английских мыслителей — Литца, Сивера, Демолена, Холла и др., нов тоже время в практической части, что показательно, есть немало упоминаний отрудах русских педагогов — А.И. Гольденберге, В.П. Ермакове, К.Ф. Лебединцеве, А.Н.Страннолюбском, Н.А. Томилине и др. [3, 44-47]
О преподавании начал анализа
Особенно ценным представляется вклад Ф. В. Филипповича в развитиеметодики преподавания начал математического анализа в средней школе. Элементывысшей математики тогда в России делали самые первые шаги в школьные программы,только начинали создаваться учебники по анализу бесконечно малых ианалитической геометрии для средней школы, поэтому предложения Филипповича былине только смелыми, но и весьма своевременными.
Просто удивительно, как грамотно, убедительно автор раскрывает узловыемоменты методики преподавания математического анализа: доказывает целесообразностьвнедрения элементов математического анализа в среднюю школу, раскрываетприоритетные направления, идеи и пути конструирования содержания.
Следует также отметить, что развернувшиеся в начале XX века споры оцелесообразности введения в школьный курс математики новых идей свидетельствуето знакомстве оппонентов с мировой и отечественной педагогикой и психологией.
Среди тех, кто в этот период приветствовал преподавание высшей математикив средней школе, были видные отечественные ученые, известные гражданские ивоенные педагоги: П.А. Некрасов, Б.Б. Пиотровский, М.Г.Попруженко,В.Е.Сердобинский, В.Шидловский, С.И. Шохор-Троцкий, В.П.Шереметевский.
Свою позицию имел и Ф.Филиппович, который одним из первых наиболеечетко и ярко обозначил основные аргументы в пользу введения анализа бесконечномалых в среднюю школу.
Филиппович доказывает, что введение высшей математики вызвано необходимостьювоплощения принципа научности. Ведь именно принцип научности требует, «чтобысодержание обучения знакомило учащихся с объективными научными фактами,теориями, законами, отражало бы современное состояние наук». Также Филипповичвысказывает свои соображения в пользу начал дифференциального и интегральногоисчисления в школьном курсе. Целесообразность этого нововведения, как онсправедливо считает, продиктована необходимостью «удовлетворить запросы жизни»(«утилитарная» функция математики).
Реализация принципа связи обучения с жизнью и практикой, особеннов старших классах, бывает осложнена тем, что в силу своей специфики(абстрактности) математика имеет опосредованное отношение к действительности.Но для решения практических задач естествознания и техники математическийаппарат (в том числе и идея функциональной зависимости и аппарат производной)просто необходим. Ведь именно математический анализ занимается разработкойметодов построения и изучения динамических моделей в математике, моделей,описывающих движения, текущие процессы, непрерывно меняющиеся состояния, широкораспространенные в природе. [3,47 – 51]
Идея концентризма в последовательности изложения начал математическогоанализа в средней школе Ф. В. Филиппович резко критикует методику изложенияэлементов математического анализа в русских учебниках, предназначенных длясредней школы, призывает позаимствовать все полезное у французов и пытаетсядоказать целесообразность идеи концентризма в последовательности изучения темы:
«В связи с введением анализа бесконечно малых в среднюю школу возникаютразногласия по поводу построения самого курса. Новые французские учебные планы,«Меранская» программа в Германии и другие настаивают на введении идеифункциональной зависимости. Реформаторы всех направлений присоединяются к этомутребованию. Действительно, объяснить какое-нибудь явление в природе — этозначит выяснить его генезис и связь с другими явлениями. Ввиду этого лучшевсего развивать идею функциональной зависимости (закономерности) в математике.Учение о функциях есть центральное учение всей математики, потому чтофункциональная зависимость есть математическое выражение великого законаизменяемости соотношения всех явлений; установление ее есть сущность и конечнаяцель всей науки. Поэтому мы, сторонники реформы, требуем, чтобы весь курс математикибыл сконцентрирован около идеи функциональной зависимости и расширенпервоначальными понятиями анализа бесконечно малых. Стало быть, началадифференциального и интегрального исчислений не должны составлятьсамостоятельного отдела — «учения о функциях» — и являться какой-то«надстройкой» над школьным курсом, так называемой элементарной математики.Практика показала, что такая метода (надстройки) преподавания анализабесконечно малых теряет свою воспитательную и общеобразовательную ценность.Анализ бесконечно малых в таком роде не только не возбуждает и не поддерживаетинтерес к математике у учащихся, но даже и усваивается очень трудно.
Раньше еще, до начала анализа бесконечно малых, должны мы подготовлятьпочву для ясного, отчетливого и возбуждающего новые идеи преподавания элементовдифференциального и интегрального исчислений. Некоторые способности у учащихсяподдаются развитию только в известном возрасте, раз этот момент будет упущен,тогда довольно трудно наверстать пропущенное. Ввиду этого, еще с младшихклассов средней школы на уроках арифметики, геометрии, алгебры,… следуетпроводить красной нитью в течение всего курса школьной математики идеюфункциональной зависимости. В этом-то и заключается точное пониманиеаналитической геометрии и начал дифференциального и интегрального исчислений.
В самом начале [преподавания] анализа бесконечно малых мы должныисходить из более конкретных и простых задач. Целесообразно подобраннымипримерами из естествознания следует проиллюстрировать учащимся, что исследованиекакого-нибудь явления сводится к достижению двух результатов: а) найти общийзакон, выражающий ход этого явления (функцию) и b) определить скоростьизменения этого явления природы в каждый произвольно взятый момент(производную).
Целью преподавания высшей математики в средней школе ни в какомслучае не должно быть только усвоение механизма, техники дифференцирования иинтегрирования. При такой методе начала дифференциального и интегральногоисчислений потеряли бы всю свою общеобразовательную и воспитательную ценность.Тоже самое можно было бы сказать, если бы весь курс анализа состоял издоказательств теорем и применений их к дифференциалам и интегралам.
По моему мнению, мы должны воспользоваться задачами из физики,химии, техники и др., чтобы на них выяснить происхождение основных понятийдифференциального и интегрального исчислений. Например, какая-нибудь задача изестествознания дает нам возможность составить функцию, изобразить ееграфически, затем исследовать и под конец найти ее производную. Подходя такимобразом к понятию о производной, мы всегда должны выяснять, в чем сущностьзадачи дифференциального исчисления и давать наглядное представление(графическое изображение). После графического изображения идет идея и понятиепроизводной, а под конец — термин и символ производной.
При такой системе преподавания ученики вникают в математичностьжизни природы и видят наглядно, какое колоссальное значение математики состороны ее метода. Далее, при изучении анализа, ученикам предоставляетсябольшой простор, чтобы проявить свою самостоятельную работу, самодеятельность ипостоянно делать умозаключения. Кроме того, такой порядок вещей не сводитначала дифференциального и интегрального исчислений к собранию непонятныхзначков и символов, как утверждают некоторые Противники введения анализабесконечно малых в среднюю школу. Но в этом-то и состоит задача педагогики — сделать науку понятной, заставить ее говорить простымj обыкновенным языком.«Нет мысли, которую нельзя было бы высказать просто и ясно», [говорил]А.И.Герцен. В самом деле, кто следил за учебной заграничной литературой втечение последних 25-30 лет, тот может констатировать что всюду замечаетсястремление к упрощению изложения материала. Достаточно сравнить новейшиеучебные книги со старыми. То же самое можно утверждать и относительно школьныхпрограмм и учебных планов. Что касается русских учебников по анализу бесконечномалых, то в этом отношении дело обстоит довольно плохо. Все эти учебники длясредней школы построены приблизительно по одному типу. Сначала идет сухоеизложение понятия о функции, затем подразделение функций, теоремы о пределах,непрерывность функций, Производная и дифференциал и т.д. Такое построение курсаанализа навряд ли может вызывать интерес у учащихся. Некоторые французские инемецкие учебники могли бы послужить хорошим примером, как надо составлятьучебное руководство по анализу бесконечно малых для средней школы.
Как всякий отдел математики, анализ бесконечно малых должен бытьпостроен концентрически. Еще с V класса при графическом изображении эмпирических функций мыдолжны подготовлять почву для дифференциального исчисления. А в VI и VII классах при проведенииидеи функциональной зависимости на уроках алгебры следует учащихся знакомить спонятием о производной, а на уроках геометрии — с понятием об интеграле.
В VIII классе — связный обзор изученных в предыдущих классах функций иэлементы дифференциального и интегрального исчислений».[31, 104-107]
Рассматривая методику введения понятия производной Ф. В. Филипповичвысказал ряд интересных  методических замечаний по поводу изучения конкретныхпонятий. Так, для введения понятия производной, автор считал необходимым широкопривлекать сведения из геометрии, физики, химии и т.п.:
«Учение о производной должно быть разрабатываемо с различных точекзрения. Прежде всего, рассматривая равномерное и неравномерное движение, мыподводим учащихся к понятиям о постоянной скорости, средней скорости вопределенный промежуток времени и скорости для некоторого момента t. Таким образом, вводяпонятие о скорости изменения в учение о функциях, мы устраиваем аналогию смеханическими процессами движения. Сначала скорость есть производная пути повремени, на другом примере у нас получится, что скорость химической реакцииесть производная количества реагирующего тела по времени, далее, по известнойформуле расширения от теплоты, мы можем определить коэффициент расширения какмеру скорости, с которой идет процесс расширения при равномерном нагревании. Конечно,и другие примеры должны показать учащимся, какие разнообразные задачи приводятнас к понятию о производной.
При помощи таких конкретных задач можно одолеть и другие методическиетрудности в начале учения о производной, вроде, например, того, что: 1)отношение двух бесконечно малых может быть равно конечному; и 2) пределотношения /> приприближении Δх к нулю для данной зависимости между у и х может быть вычислен.
Аналогично выше приведенному [изложению] и задача о направлениикасательной к параболе и т.п. должна показать учащимся, как можно подойти кпроизводной с геометрической точки зрения. Графически изображая какую-нибудьматематическую функцию (например, у=х2) и определяя направлениекасательной при помощи тангенса угла, образуемого касательной с осью х, ученикиприходят к заключению, что истинная скорость изменения ординат кривой вкакой-нибудь точке равна угловому коэффициенту касательной.
Сравнивая на частных случаях и числовых примерах полученные результаты:угловой коэффициент
/>
т.е., />
мы должны из этого извлечь в чистом математическом виде понятие опроизводной. Следовательно, после разнообразных частных примеров и примененийпроизводных, мы обобщаем понятие о производной в виде формулы

/>
Авторы русских учебников начинают антипедагогично понятие о производной,т.е., с конца: дают определение производной при помощи отношения />, а потомследуют примеры на отыскание производной и дифференциала.
Итак, общее методическое положение, по моему мнению, целесообразнои здесь, при прохождении учения о производной: «Сначала применение, а затем ужеправило».[31, 107-108]
Что касается последовательности изложения элементов интегральногоисчисления и целесообразности включения в школьный курс понятия определенногоинтеграла, то автор книги обуславливает это хотя бы тем, что интегральноеисчисление дает более эффективные и экономичные методы для подсчета объемов иплощадей: «Усилие, требующееся для того, чтобы ознакомиться с производной иинтегралом и с тем, как при помощи этих удивительных орудий можно вычислятьповерхности и объемы, будет не столь значительным, как те усилия, которыеприходится делать для установления равновеликости прямой и наклонной призм илидвух пирамид, и затем эти невыносимые объемы тел вращения. По сей день я незнаю выражения объема тела, получающегося при вращении сегмента круга около егодиаметра...
Уже и теперь во многих новых немецких и французских учебниках погеометрии убраны громоздкие и схоластические теоремы об объемах пирамид, телвращения и т.д. Вместо них включены в геометрию метод истощения или закон Кавальери.Так, например, в новом учебнике геометрии Бореля-Штеккеля теоремы об объемахпирамид изложены методом истощения. На русском языке в элементарном курсегеометрии Д. В. Ройтмана измерения объемов некоторых тел проходятся при помощизакона Кавальери. В самом деле, «закон Кавальери», обогативший математику иначинающий собою новую эпоху величайших открытий, сделанных в новейшее время,также удобный для определения площадей и объемов тел. Он заменял собою втечение 50-ти лет с большим успехом интегральное исчисление и поэтому тожеможет в курсе геометрии сослужить роль пропедевтики для интегральногоисчисления».[31, 109]
В результате автор приходит к выводу, что в первую очередь следуетпознакомить учащихся с понятием определенного интеграла, а затем неопределенного.Причем, он считает, — с введением строгой дефиниции определенного интеграла напервых порах спешить не стоит.
«С педагогической точки зрения не будет никакой ошибки, если в самомначале не давать точного определения интеграла. Я придерживаюсь того взгляда,что сначала надо определять интеграл как площадь, и лишь когда учащиесяпознакомятся с ним побольше, надо дать более точное определение. На основаниисвоей практики позволю сообщить вам, как я подхожу к определенному интегралу.
Сначала ученики чертят прямоугольник с основанием (а-b) на оси X и высотой с наоси У. Разбивая этот прямоугольник на большое число прямоугольников соснованием δх и высотой с, мы получаем, что площадь еговыражается следующей формулой:/>.
2) После прямоугольника переходим к площади трапеции. Чертим прямуюу=тх и после некоторых суммирований и нетрудных преобразований получаем формулудля площади трапеции:/>
Обобщая все эти частные случаи, мы, в конце концов, получаем известнуюформулу интегрального исчисления:

/> и т.д.
Таким образом «от частного к общему» и от «конкретного к абстрактному»доходим и до других интегралов
/>
А несколько таких интегралов достаточно будет для установлениявсех объемов и площадей элементарной геометрии.
В VIII классе я излагаю второй цикл интегрального исчисления. Но и здесья считаю целесообразным подчеркивать все время на частных примерах, задачах изестествознания сущность задачи интегрального исчисления: зная бесконечно малыеизменения одной переменной величины, которые соответствуют бесконечно малымизменениям другой (производную), найти функциональное отношение, которое имеетместо между этими двумя величинами, т.е., найти закон, управляющий общим ходомявления (интеграл).
Что касается понятия о дифференциале, я не могу согласиться савторами русских учебников по анализу, что дифференциал следует определятьсразу после производной. Помня общее дидактическое положение — «по одной трудностизараз», — я откладываю понятие о дифференциале до тех пор, пока он нам непонадобится. А это как раз наступит тогда, когда мы подойдем к изучениюнеопределенных интегралов.
Так как цель анализа бесконечно малых в средней школе не только формальная- расширение кругозора наших учащихся, но и материальная, то необходимо, чтобыучащиеся на конкретных примерах из естествознания и техники усвоили и вернопоняли идеи, методы и некоторые навыки, необходимые для изучения явленийприроды и современной техники. В зависимости от этого и определяется содержаниеи методика анализа бесконечно малых в средней школе.
По дифференциальному исчислению: производные простейших функций,встречаемых в естествознании и технике, maximum и minimum в связи с исследованиемфункций, уравнение касательной. По интегральному исчислению: понятие об определенноминтеграле, основные формулы интегрирования
/>
понятие о дифференциале функции и неопределенном интеграле, простейшиеприемы интегрирования.
Под конец — понятие о дифференциальном уравнении как высшее обобщениев анализе функций одного независимого переменного. Дифференциальные уравнениядают верное представление «о необъятной приложимости основных построенийанализа бесконечно малых, составляющего, без сомнения, самую возвышенную изабстракций, до которых когда-либо поднималась мысль человека», [говорил]О.Конт.
Относительно методики анализа могу сказать, что я в своей практикене останавливался детально ни на теории пределов, ни на непрерывности функций.Я добивался отчетливых понятий у учащихся, а механическая часть, относящаяся кдифференцированию и интегрированию, имела у меня второстепенное значение.Строгих аналитических доказательств я избегал и их заменял графическимииллюстрациями.
С таким небольшим содержанием курса анализа бесконечно малых можнорешать массу трудных и важных задач как в научном, так и в практическом отношении.Интерес, возбуждаемый в учениках этими задачами, отражается и на их успешностипо другим отделам математики». [31, 109 – 111]
Таким образом, Ф.В.Филиппович предвосхитил идеи о концентрическомизложении материала, интеграции элементов математического анализа с курсомалгебры и геометрии. Как известно, все эти идеи были реализованы в советскоевремя, а особенно активно в период колмогоровских реформ. В своих исследованияхФ.Филиппович иногда ошибался, некоторые положения его работ неполны и устарели,но большинство из них, несомненно, составляют золотой фонд отечественнойпедагогической мысли. [3, 47-57]

Заключение
 
Методика математики в России развивалась в трудные времена общейэкономической отсталости страны.
Вклад русского народа в методику математики является неоспоримым ипредставляет большую ценность.
Иностранная учебная литература в XIX в. была вытеснена изшколы. Выдающиеся русские педагоги-математики с большим талантом подходили к критикеиностранных источников, причём наступление велось против той базыидеалистической философии, на которой основывались эти источники.
Прогрессивные идеи и методы преподавания перерабатывались в соответствиис условиями развития русской школы.
XIX век и начало XX в. заложили фундамент методики математики в России.Большая творческая работа в этом направлении страдала, однако, и существенныминедостатками. В создании методики не принимали участия массы рядовых учителей,почти не был использован опыт лучших учителей, недостаточны были наблюдения надживой работой школы, отсутствовала экспериментальная основа, почти неподчёркивалась идейная сторона математики. Уникальность личности Филипповичасостоит в его разноплановости. Более 300 наименований статей, монографий, выступлений,писем, речей составляет творческое наследие ученого. К сожалению,преимущественно эти работы посвящены истории Югославии, политическим проблемам,и лишь, незначительная часть — методике обучения математике. Но даже, если быэто была только одна работа — «Педагогика математики», которую он написал всоавторстве с В. Р. Мрочеком, уже и тогда следовало бы дать полный ивсесторонний анализ его научно-методической деятельности.
«Педагогика математики» — монументальный труд, который затрагиваетпочти все аспекты математического образования, имеющие неоспоримую ценность дляматематического образования в России.
Филипп Васильевич Филипповия высказал ряд ценных методическихидей. Многие из которых нашли реализацию в современной школе. Например, идея опоследовательности изучения добей, об изучении интегрального исчисления(предпочтение необходимо отдать изучению определенного интеграла), об изученииэлементарных функций. Но, к сожалению, некоторые из его идей преданы забвению: идеяо широком применении лабораторного метода при изучении математики (лабораторнаяработа об отыскании площади круга, о вычислении объема конуса). На наш взглядэти идеи остаются интересными и сегодня.
Все работы Филипповича, за исключением его выступления на ПервомВсероссийском съезде преподавателей математики, в большим тиражом и непереиздавались ни в советское, ни в постсоветское время. Являясь сегоднябольшой библиографической редкостью, они в то же время не потеряли своей актуальности.

Список литературы
 
1. ГольтиковВ.Ф. Развитие методики преподавания математики. Челябинск, Южно-Уральское кн.изд., 1966 год,
2. КолягинЮ.М. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. М.:Просвещение, 2001. — 318с.
3. Колягин,Ю.М. Математики-педагоги России. Забытые имена. Книга 1. Филипп ВасильевичФилиппович [Текст]: монография / Ю.М. Колягин, О.А. Саввина. – Елец:ЕГУ им. И.А. Бунина, 2006. – 90с.
4. ЛанковА.В. К истории развития передовых идей в русской методике математики. Пособиедля учителей. – Москва, 1951. – 151с.
5. Методика обучения высшей математике в среднейшколе России: история становления. Хрестоматия /Сост. Р. 3. Гушель, В.П.Кузовлев, О.А. Саввина. Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2002. 144с.
6. Мовчан С.П. Филипп Филиппович — исследовательновейшей истории Югославии. Автореф.… к. ист. н. Львов, 1971.- 27с.
7. Мрочек В.Р., Филиппвович Ф. В. 16 геометрическихразборных тел из 55 частей, в деревянном ящике с гнездами на все тела.Коллекция рекомендована Гл. Упр. В.-Уч. Зав. и В. Уч. И. М.
8. Мрочек В.Р., Филиппович Ф.В. 10 развертокгеометрических тел большого формата (красный картон на коленкоре сметаллическими застежками). На развертках написаны геодезические линии. Вкоробке.
9.  МрочекВ.Р., Филиппович Ф.В. К первому съезду преподавателей математики // Техническоеи коммерческое образование. 1911. №5.
10. Мрочек В.Р., Филиппович Ф.В. Педагогикаматематики. Исторические и методические этюды. Т. 1.1910. – 380с.
11. Мрочек В.Р., Филиппович Ф.В. Реформа преподаванияматематики// Русская школа. 1910. № 1.
12. Начальная геометрия в развертках. СПб. ИзданиеРоссийской фабрики учебных пособий и детских занятий.
13. ОганесянВ.А., Колягин Ю.М., Луканин Г.Л., Саннинский В.Я. Методика преподаванияматематики в средней школе: Общая методика. М.: Просвещение, 1980.
14. Очак И.Д. Неизвестное письмо Филиппа Филипповича// Советское славяноведение. М. 1966. № 1.
15. РезолюцииI-го Всероссийского Съездапо Просвещению25-го августа – 4 сентября 1918г. – 13 с.
16. РыбниковК.А. История математики часть 2. Издательство московского университета, 1963. –335с.
17. Саввина О.А. Исторические очерки о преподаваниивысшей математики в средних учебных заведениях России. Часть 2 (вторая половинаXIX — первые семнадцать лет XX вв.): Монография. Елец: ЕГУ, 2002. — 246с.
18. Сайт:Математическое образование: прошлое и настоящее:[Электронный ресурс]// mathedu.ru/index/php.
19. Сумарокова М.М. Новые данные о начале революционнойдеятельности Филиппа Филипповича //Советское славяноведение.М.: Наука. № 1. 1967.
20. СумароковаМ.М. Новые данные о начале революционной деятельности Филиппа Филипповича//Советское славяноведение. М. №1. 1967.
21. Трейтлен П. Методика геометрии. Перевод снемецкого и под редакцией- Ф.В. Филипповича. СПб: Новая школа, 1912.
22. Трейтлен,П. Методика геометрии [Текст] / П. Трейтлен / Пер. с нем. и под ред.Ф.В. Филипповича. – СПб: Новая школа. – 1912.
23. Филипп Филиппович [Электронный ресурс] // stalin.memo.ru/spravki/7-199.htm
24. Филиппович Ф.В. К реформе обучения математике (сприложениями новых примерных программ) // Техническое и коммерческое образование.1911. № 3.
25. Филиппович Ф.В. Постановка преподавания началанализа в средней школе // Труды Первого Всероссийского съезда преподавателейматематики. СПб., 1913. T.I.
26. Филиппович Ф.В. Указатель учебной математическойлитературы. /Сост. Ф.В. Филиппович при ближайшем участии А.П. Беляниной и Ю.Г.Шиперко. СПб. Тип. «Север», 1912.
27. ФилипповичФ. Начальная геометрия в развертках. СПб., 1912.
28. Филиппович Ф.В. К реформе обучения математике (сприложениями новых примерных программ) // Техническое и коммерческое образование.1911. № 4.
29. ФилипповичФ.В. Постановка преподавания начал анализа в средней школе//Труды I всероссийского съездапреподавателей математики. СПб., 1913. Т.1.
30. Филиппович Филипп // Большая советскаяэнциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1977. Т. 27. С. 394
31. Филиппович,Ф.В. Постановка преподавания начал анализа в средней школе [Текст] /Ф.В. Филиппович // Труды Первого Всероссийского съезда преподавателейматематики. – СПб., 1913. – Т.I.
32. Филиппович,Ф.В. Реформа преподавания математики [Текст] / В.Р. Мрочек,Ф.В. Филиппович // Русская школа. – 1910. – № 1.
33. ШемяновН.Н. У истоков русской методики математики. Ученые записки Ярославскогопединститута. Педагогика. Вып.5. Ярославль 1945г.– 19с.