Теоремы по математике

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ Теорема, заключающаяся в том, что всякий многочлен степени n (n>0): f(z) = a0zn + a1zn-1 + … + an , где a0 / 0, над полем комплексных чисел имеет по крайней мере один корень z1, так что f(z1)=0. Из О.Т.А. и из теоремы Безу вытекает, что многочлен f(z) имеет в поле комплексных чисел ровно n корней (с учётом их кратностей). Действительно, согласно теореме Безу f(z) делится на z – z1 (без остатка), т.е. f(z) = f1(z)(z – z1), а отсюда многочлен f1(z) (n – 1)-

й степени по О.Т.А. также имеет корень z2 и т.д. В конечном счёте мы придём к заключению, что f(z) имеет ровно n корней: f(z) = a0(z – z1)(z – z2) (z – zn). О.Т.А. называется так потому, что основное содержание алгебры в XVII-XVIII вв. сводилось к решению уравнений. О.Т.А. была доказана впервые в XVII в. французским математиком Жираром, строгое же доказательство было дано в 1799 г. немецким математиком

Гауссом. ТЕОРЕМА БЕЗУ Теорема об остатке от деления произвольного многочлена на линейный двучлен. Она формулируется следующим образом: остаток от деления произвольного многочлена f(x) на двучлен x – a равен f(a). Т.Б. названа по имени впервые сформулировавшего и доказавшего её французского математика XVIII в. Безу. Из Т.Б. вытекают следующие следствия: 1) если многочлен f(x) делится (без остатка) на x – a, то число a является корнем f(x);

2) если число a является корнем многочлена f(x), то f(x) делится (без остатка) на двучлен x – a; 3) если многочлен f(x) имеет по крайней мере один корень, то этот многочлен имеет ровно столько корней, какова степень этого многочлена (при этом учитывается кратность корней). ТЕОРЕМА ЧЕВЫ Если прямые, соединяющие вершины треугольника АВС с точкой О, лежащей в плоскости треугольника, пересекают противоположные стороны (или их продолжения)

соответственно в точках A’ B’ C’, то справедливо равенство: (*) При этом отношение отрезков рассматривается как положительное, если эти отрезки имеют одинаковое направление, и отрицательное – в противном случае. Т.Ч. можно записать и в такой форме: (ABC’)*(BCA’)*(CAB’) = 1, где (АВС’) – простое отношение трёх точек A, B и C’. Справедлива и обратная теорема: если точки C’, A’,

B’ расположены соответственно на сторонах AB, BC и СА треугольника или их продолжениях так, что выполняется равенство (*), то прямые АА’, BB’ и CC’, пересекаются в одной точке или параллельны (пересекаются в несобственной точке). Прямые AA’, BB’ и СС’, пересекающиеся в одной точке и проходящие через вершины треугольника, называются прямыми Чевы или чевианами. Т.Ч. носит проективный характер.

Т.Ч. метрически двойственна теореме Менелая. Т.Ч. названа по имени итальянского геометра Джованни Чева, доказавшего её (1678). ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ 1. Т.К. плоской тригонометрии – утверждение о том, что во всяком треугольнике квадрат любой его стороны равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними: c2 = a2 + b2 – 2abcosC , где a, b, c – длины сторон треугольника, а

C – угол, заключённый между сторонами a и b. Т.К. часто используется при решении задач элементарной геометрии и тригонометрии 2. Т.К. для стороны сферического треугольника: косинус одной стороны сферического треугольника равняется произведению косинусов двух других его сторон плюс произведение синусов тех же сторон на косинус угла между ними: cosa = cosb*cosc + sinb*sinc*cosA 3. Т.К. для угла сферического треугольника: косинус угла сферического треугольника равен произведению косинусов

двух других углов, взятому с противоположным знаком, плюс произведение синусов двух других углов на косинус стороны, противолежащей первому углу: cosA =-cosBcosC + sinBsinCcosa. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА 1. Т.Э. в теории сравнений утверждает, что если (a, m)=1, то , где f(m) – функция Эйлера (количество целых положительных чисел взаимнопростых с m, не превосходящих m). 2. Т.Э. о многогранниках утверждает, что для всякого многогранника нулевого рода справедлива формула:

В + Г – Р = 2, где В – число вершин, Г – число граней, Р – число рёбер многогранника. Однако впервые такую зависимость подметил ещё Декарт. Поэтому Т.Э. о многогранниках исторически правильнее называть теоремой Декарта-Эйлера. Число В + Г – Р называется эйлеровой характеристикой многогранника. Т.Э. применяется и для замкнутых графов. ТЕОРЕМА ФАЛЕСА

Одна из теорем элементарной геометрии о пропорциональных отрезках. Т.Ф. утверждает, что если на одной из сторон угла от его вершины последовательно отложить равные между собой отрезки и через концы этих отрезков провести параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла, то на второй стороне угла отложатся также равные между собой отрезки. Частный случай Т.Ф. выражает некоторые свойства средней линии треугольника.

ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА Утверждение П. Ферма о том, что уравнение xn + yn = zn (где n – целое число большее двух) не имеет решений в целых положительных числах. Несмотря на утверждение П. Ферма о том, что ему удалось найти удивительное доказательство В.Ф.Т которое он не приводит из-за недостатка места (это замечание написано было П. Ферма на полях книги Диофанта), до недавнего времени (середина 90-х)

В.Т.Ф. в общем виде доказана не была. МАЛАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА Частный случай теоремы Эйлера, когда модуль m=p – простое число. М.Т.Ф. формулируется так: если p простое число, то ap=a(mod p). В том случае, когда a не делится на p, из М.Т.Ф. следует: ap-1=1(mod p). М.Т.Ф. была открыта французским учёным Пьером Ферма.

НЕРАВЕНСТВО ГЁЛЬДЕРА Для конечных сумм имеет вид: , или в интегральной форме: , где p > 1 и . Н.Г. часто применяется в математическом анализе. Н.Г. является обобщением неравенства Коши в алгебраической форме и неравенства Буняковского в интегральной форме, в которые Н.Г. обращается при p = 2. ФОРМУЛА КАРДАНО Формула, выражающая корни кубического уравнения: x3+px+q=0 (*) через его коэффициенты.

К виду (*) приводится всякое кубическое уравнение. Ф.К. записывается так: . Выбирая произвольно значение первого кубического радикала, следует выбрать то значение второго радикала (из трёх возможных), которое в произведении с выбранным значением первого радикала даёт (-p/3). Таким образом получают все три корня уравнения (*). До сих пор не ясно, кому принадлежит Ф.К.: Дж. Кардано,

Н. Тарталье или С. Ферро. Ф.К. относится к XVI в. НЕРАВЕНСТВО КОШИ Неравенство , имеющее место для конечных сумм; очень важное и наиболее употребительное в различных областях математики и математической физики неравенство. Впервые было установлено Коши в 1821 г. Интегральный аналог Н.К.: , установлен русским математиком В.Я. Буняковским.

ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ Если прямая пересекает стороны треугольника АВС или их продолжения в точках C’, A’ и B’ , то справедливо соотношение: (*) Отношение отрезков берётся положительным, если прямая пересекает сторону треугольника, и отрицательным, если прямая пересекает продолжение стороны. Справедливо и обратное выражение: если выполняется равенство (*), где A, B, C – вершины треугольника, а A’, B’,

C’ лежат на одной прямой. Т. М. можно сформулировать в виде критерия расположения трёх точек A’, B’ и C’ на одной прямой: для того, чтобы 3 точки A’, B’ и C’ лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение (*), где A, B, C – вершины треугольника, а A’, B’, C’ принадлежат соответственно прямым BC, AC и AB. Т. М. была доказана древнегреческим учёным

Менелаем (I в.) для сферического треугольника и, по-видимому, была известна Евклиду (III в. до н.э.). Т. М. является частным случаем более общей теоремы Карно. НЕРАВЕНСТВО МИНКОВСКОГО Неравенство для p-х степеней чисел, имеющее вид: , где целое p>1, а ak и bk – неотрицательные числа. Н.М. является обобщением известного «неравенства треугольника», утверждающего, что длина одной стороны треугольника не больше суммы длин двух других его сторон; для n-мерного пространства

расстояние между точками x=(x1, x2, …, xn) и y=(y1, y2, …, yn) определяется числом Н.М. было установлено немецким математиком Г. Минковским в 1896 г. ФОРМУЛЫ МОЛЬВЕЙДЕ Формулы плоской тригонометрии, выражающие следующую зависимость между сторонами (их длинами) и углами треугольника: ; , где a, b, c – стороны, а A, B, C – углы треугольника. Ф.М. названы по имени немецкого математика

К. Мольвейде, использовавшего их, хотя эти формулы были известны и другим математикам. БИНОМ НЬЮТОНА Название формулы, выражающей целую неотрицательную степень двучлена a+b в виде суммы степеней его слагаемых. Б.Н. имеет вид: , где Cnk – биноминальные коэффициенты, равные числу сочетаний из n элементов по k, т.е. или . Если биноминальные коэффициенты для различных n=0, 1, 2, …, записать в последовательно идущие строки, то придём к треугольнику

Паскаля. В случае произвольного действительного числа (а не только целого неотрицательного) Б.Н. обобщается в биноминальный ряд, а в случае увеличения числа слагаемых с двух на большее число – в полиномиальную теорему. ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА Обобщение формулы бинома Ньютона на случай возведения в целую неотрицательную степень n суммы k слагаемых (k>2): , где суммирование в правой части распространено на всевозможные наборы целых неотрицательных чисел a1, a2, …, ak, дающих

в сумме n. Коэффициенты A(n)a1, a2, … ,ak носят название полиномиальных и выражаются следующим образом: При k=2 полиномиальные коэффициенты становятся биноминальными коэффициентами. ТЕОРЕМА ПОЛЬКЕ Формулируется так: три отрезка произвольной длины, лежащие в одной плоскости и исходящие из общей точки под произвольными углами друг к другу, могут быть приняты за параллельную проекцию пространственного ортогонального репера i, j, k (|i| = |j| =|k|). Теорема была сформулирована немецким геометром

К. Польке (1860) без доказательства, а затем была обобщена немецким математиком Г. Шварцем, который дал её элементарное доказательство. Теорему Польке-Шварца можно формулировать так: любой невырожденный четырёхугольник с его диагоналями можно рассматривать как параллельную проекцию тетраэдра, подобного любому данному. Т.П. имеет большое практическое значение (любой четырёхугольник с его диагоналями можно принять, например,

за изображение правильного тетраэдра) и является одной из основных теорем аксонометрии. ТЕОРЕМА ПТОЛЕМЕЯ Теорема элементарной геометрии, устанавливающая зависимость между сторонами и диагоналями четырёхугольника, вписанного в окружность: во всяком выпуклом четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон, т.е. имеет место равенство: AC*BD = AB*CD + BC*AD Т.П. названа по имени древнегреческого учёного

Клавдия Птолемея, доказавшего эту теорему. Т.П. используется при решении задач по элементарной геометрии, при доказательстве частного случая теоремы сложения синусов. ФОРМУЛА СИМПСОНА Формула для вычисления объёмов тел с двумя параллельными основаниями: , где Qн – площадь нижнего основания, Qв – площадь верхнего основания, Qс – площадь среднего сечения тела. Под средним сечением тела здесь понимается фигура, полученная от

пересечения тела плоскостью, параллельной плоскостям оснований и находящейся на равном расстоянии от этих плоскостей. Через h обозначена высота тела. Из Ф.С как частный случай, получаются многие известные формулы объёмов тел, изучаемых в школе (усечённой пирамиды, цилиндра, шара и др.). ТЕОРЕМА СИНУСОВ Теорема плоской тригонометрии, устанавливающая зависимость между сторонами a, b, c произвольного треугольника и синусами противолежащих этим сторонам углов: ,

где R – радиус описанной около треугольника окружности. Для сферической тригонометрии Т.С. аналитически выражается так: . ТЕОРЕМА СТЮАРТА Заключается в следующем: если A, B, C – три вершины треугольника, а D – любая точка на стороне BC, то имеет место соотношение: AD2*BC = AB2*CD + AC2*BD –

BC*BD*CD , Т.С. названа по имени доказавшего её английского математика М. Стюарта и опубликовавшего её в труде «Некоторые общие теоремы» (1746, Эдинбург). Теорему сообщил Стюарту его учитель Р. Симсон, который опубликовал эту теорему лишь в 1749 г. Т.С. применяется для нахождения медиан и биссектрисс треугольников. ТЕОРЕМА ТАНГЕНСОВ (ФОРМУЛА РЕГИОМОНТАНА) Формула плоской тригонометрии, устанавливающая зависимость

между длинами двух сторон треугольника и тангенсами полусуммы и полуразности противолежащих им углов. Т.Т. имеет вид: , где a, b – стороны треугольника, A, B – соответственно противолежащие этим сторонам углы. Т.Т. также называют формулой Региомонтана по имени немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (по-латински Regiomontanus), установившего эту формулу.

И. Мюллера называли «Кёнигсбержец»: по-немецки König – король, Berg – гора, а по-латински «король» и «гора» в родительном падеже – regis и montis. Отсюда «Региомонтан» - латинизированная фамилия И. Мюллера. «Толковый словарь математических терминов», О.В. Мантуров ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ НА VADIMSOFT-BEST.

NAROD.RU