Отображения в пространстве R(p1,p2)

Отображения в пространстве Rp1,p1. Пространство Rp1,p2. А1- аффинная прямая. Отнесем прямую А1 к подвижному реперу r a,e, где а иe соответственно точка и вектор. Деривационные формулы репера r имеют вид d a e , de We 1, причем формы Пфаффа и W подчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства D W , DWWW0. Пусть e - относительная длина вектора e e de 12d2e 16d3e по отношению к вектору е.

Тогда e ee. Из 1 получаем e 1W Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора e , близкого к e , по отношению к e. Пусть Rp1,p2 пространство всех пар p1,p2 точек p1,p2 прямой А1. Поместим начало а репера r в середину Q отрезка р1р2, а конец вектора е в точку р1 при этом р2 совместится с концом вектора -е. Условия стационарности точек р1 и р2 в таком репере имеют соответственно вид

W0, -W0. Таким образом , в репере r структурными формами пространства Rр1,р2 являются формы Пфаффа W , -W. Очевидно, что dim Rp1,p22. Заметим ,что в репере r форма 2W является дифференциалом относительной длины отрезка р1р2, близкого к р1р2,по отношению к р1р2. Отображение f. А2 аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу

Rp,ej. Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А2 имеют соответственно вид dpWjej dej Wj k DWjWkWkj DWjWjyWyk . Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение f плоскости А2 в пространстве Rp1,p2fA2Rp1,p2. Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется rang f1 Поместим начало Р репера R в точку f-1p1,p2.

Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде QWjWj Q-WjWj 2 Из 1 вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f-1 Rp1,p2A2 обратное к f.В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f-1 имеют вид WjjQWjQ-W 3 Из 2 и 3 получаем kjkjjk jj1 jj1 jj0 jj0 Указанную пару rR реперов пространств А1 и А2 будем называть репером нулевого порядка отображения f.

3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f. Осуществим продолжение системы 2 дифференциального уравнений отображения f. DлjWj-W-Q0, получаем dлjлkWjk14лjмk-лkмjWkлjkWk DмjWjW-Q0 получаем dмjмkWjk14лjмk-лkмjWkмjkWk Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид QWлjWj Q-WмjWj dлjлkWjk14лjмk-лkмjWkлjkWk dмjмkWjk14лjмk-лkмjWkмjkWj

Из этих уравнений вытекает, что система величин Г1лj,мj является геометрическим объектом. Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы 2 dлkWjkлkdWjk14лjмk-лkмjWk14лjмk-лkмjdWkd лjkWkлjkdWk0. получим dлjt-лktWjk-лjkWtk14лkмjt-мkлjkWk116лtмk лj-мjWkWt0 dмkWjkмkdWjk14dлjмk-лkмjWk14лjмk-лkмjdWk dмjkWkмjkdWk0 получим dмjt-мktWjk-мjtWtk14лkмjt-мkлjtWk116лtмk лj-мjWkWt0 обозначим лjdлj-лtWjt мjdмj-мtWjt лjkdлjk-

лtkWkt-лjtWkt мjkdмtkWjt-мjtWkt Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения f примет вид QWлjWj Q-WмjWj dлjлkWjk14лjмk-лkмjWkлjkWk dмjмkWjk14лjмk-лkмjWkмjkWk 4 лjk14мблjk-лбмjk116лkмбмj-лjлjkбWб мjk14мблjk-лбмjk116лkмбмj-лjмjkбWб Из уравнений 4 вытекает, что система величин Г2лj,мj,лjk,мjk образует геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы 2 приведет к фундаментальному геометрическому

объекту ГР порядка р ГРлj,мj,лj1j2,мj1j2 лj1j2 jp,мj1j2 jp. 4. Векторы и ковекторы первого порядка. Из системы дифференциальных уравнений 5 вытекает, что система величин лj,мj образует подобъекты геометрического объекта Г1. Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые лjXj1 мjXj1 6 не инцидентные

точке Р. Из условия rang f2 и уравнения 2 вытекает, что прямые 6 не параллельны. Условия показывают, что величины лj,мj являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом , величины лj,мj охватываются объектом Г1. Из получаем dлj-лkWkj-14лjмjмtWt-лktлkлtWt-мktWtлkмj dмj-мkWkj-лktмkлjWt-мktмkмjWt14лtлjмjWt Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом

Г1. Будем называть их основными векторами 1-го порядка. Предположение 1.Конец вектора v1лjej вектора v2мjej лежит на прямой 6. Доказательство вытекает из формул ,2. Прямые, параллельные прямым 6, инцидентные точке Р, определяются соответственно уравнениями лjXj0 , мjXj 7. Предположение 2. Основные векторы лj и мj параллельны прямым 6 соответственно.

Доказательство вытекает из формул и 7. Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке лjXj1 V2 V1 мjXj1 Система величин сjлj-мj образует ковектор dсjсkWjkмjk-лjkWk. Определяемая им прямая сjXj0 8 проходит через точку Р и точку пересечения прямых 6. Пусть W-однородное подмногообразие в Rp1,p2 содержащее элементы р1,р2 определяемое условием р1,р2Wp1p2p1p2.

Теорема 1.Прямая 8 является касательной в точке Р к прообразу f-1W многообразия W при отображении f. Доказательство p1,p2W и p1p1dp112d2p1 , p2p2dp212d2p2 . Тогда в репере Г p1p2e p1p2, где e12W является относительной длиной отрезка р1р2 по отношению к р1р2. Таким образом, р1р1WW0. Из 2 получим Wс1Wj Следовательно, р1р2W равносильно сjWj0 9 Из 8 и 9 вытекает доказательство утверждения. При фиксации элемента р1,р2Rp1p2 определяется функция

h p1p2hp1p2eR, так, что р1р2е р1р2 В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о линия f-1W является линией уровня функции h. Заметим, что 9 является дифференциальным уравнением линии f-1W. W1,W2- одномерные многообразия в Rp1p2, содержащие элемент р1р2 и определяемые соответственно уравнениями p1,p2W1p2p2. p1,p2W2p1p1. Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1. Теорема 2. Прямая 7 является касательной в точке P к прообразу многообразия

W2 многообразия W1 при отображении f. Дифференциальные уравнения линии f-1W1 и f-1W2 имеют соответственно вид лjWj0 мjWj0. Пусть W0- одномерное подмногообразие в Rp1p2, содержащее р1р2 и определяемое условием p1p2W0QQ ,где Q середина отрезка р1р2. Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1. Предложение 3. Прямая лjмjX-j0 10 является касательной в точке

Р к прообразу f-1W0 многообразия W0 при отображении f. Дифференциальное уравнение линии f-1W0 имеет вид лjмjWj0. Теорема 3.Прямые, касательные в точке Р к многообразиям f-1W1, f-1W2, f-1W, f-1W0 составляют гармоническую четверку. Доказательство вытекает из 7,8,10. 5. Точечные отображения, индуцируемые отображением f. Рассмотрим отображения П1 р1,р2Rp1,p2p1A1 5.1 П2 р1,р2Rp1,p2p2A1 5.2

Отображение f A2Rp1,p2 порождает точечные отображения ц1П1f A2A1 5.3 ц2П2f A2A1 5.4 В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений ц1 и ц2 меют соответственно вид 2.5 а и 2.5 б. Подобъекты Г1,2лj,лjk и Г2,2мj,мjk объекта Г2 являются фундаментальными объектами второго порядка отображений ц1 и ц2. В работе 4 доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет соответственно вид x1лjXj12лjkXjXk14лyсkXjXk 3

, 5.5 y-1мjXj12мjkXjXk14мyсkXjXk 3 , 5.6 Введем системы величин Лjkлjk14лjсkлkсj, Мjkмjk14мjсkмkсj Тогда формулы 5.5 и 5.6 примут соответственно вид x1лjXj12ЛjkXjXk 3 5.7 y-1мjXj12МjkXjXk 3 5.8 В 4 доказано, что существует репер плоскости А2, в котором выполняется л1 л2 1 0 м1 м2 0 1 Этот репер является каноническим. Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f является единичной матрицей.

Формулы 5.7 и 5.8 в каноническом репере примут вид x1X112ЛjkXjXk 3 5.9, y-1X212МjkXjXk 3 5.10. 6. Инвариантная псевдориманова метрика. Рассмотрим систему величин Gjk12лjмkлkмj Из 3.1 получим dGjk12dлjмkлjмkdлkмjлkdмj12мkлtWjt14лjмk мtWt-14мkмtлtWtмkлjtWtлjмtWkt 14лjлkмtWt-14мjлkмtWt-14мjлtмkWtмjлktWtл kмtWjt14лkлjмtWt-14лkлtмjWt лkмjtWt, dGjk12мkлtлkмtWjt12лjмtлtмjWktGjktWt, где Gjkt12мkлjtлyмktмjлktлkмjt-12мjмkлt12лjл kмt-14лjмkлt14лjмkмt14мjлkмt- -14мjлkлt 6.3.

Таким образом, система величин Gjk образует двухвалентный тензор. Он задает в А2 инвариантную метрику G dS2GjkWjWk 6.4 Из 6.1 и 2.5 вытекает, что метрика 6.4 соответствует при отображении f метрике dS2и2-W2 6.5 в Rp1,p2. Из 6.5 вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой. Асимптотические направления определяются уравнением

GjkWjWk0 или лjWjмkWk0 6.6 Предложение Основные векторы V1 и V2 определяют асимптотические направления метрики G. Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар. На проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек x,U и y,U расстояние между ними определяется как двойное отношение

Wxy,UU Теорема Метрика dS2и2-W2 совпадает с метрикой Розенфельда . Доказательство В репере r имеем для координат точек p1,p2,p1dp1,p2dp2 Соответственно 1 1,1иW 1и-W. Подставляя их в формулу 4.2 на стр. 344 7, получаем dS2и2-W2 Следствие Метрика G сохраняется при расширении фундаментальной группы ее проективных преобразований. В работе 3 был построен охват объекта

Гljk12GtlGtkjGjtk-Gjkt псевдоримановой связности G фундаментальным объектом Г2лj,мj,лjk,мjk. Он определяется формулой ГljkлjЛjkмlМjk-лlлtлkмlмtмk. 7. Инвариантная риманова метрика. Рассмотрим систему величин gjkлjлkмjмk 7.1 Из 3.1 получаем dgjkdлjлkdлkлjdмjмkdмkмjлkлtWjt14лkлjмtW t-14лjлtмjWtлkлjtWtлjлtWkt 14лjлkмtWt-14лjлtмkWtлjлktWtмkмtWjt14мkл jмtWt-14мkлtмjWtмkмjtWt мjмtWkt14мjлkмtWt-14мjлtмkWtмjмktWt. dgjkлkлtмkмtWjtлjлtмjмtWktgjktWt,

7.2 где gjkt12лjлkмt-12мjмkлt-14лkлtмj-14лjлtмk1 4лjмkмt14мjлkмtлkлjtлjлkt мkмjtмjмkt 7.3 Таким образом, система величин gjk образует двухвалентный тензор. Он задает в А2 инвариантную метрику g dS2gjkWjWk 6 .4 Из 7.1 и 2.5 вытекает, что метрика 6 .4 соответствует при отображении f метрике dS22и2W2 6 .5 в Rp1,p2 Из 6 .5 вытекает, что метрика g является римановой метрикой.

Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением GjkXjXk1 6 .6 или лjXj2мjXj21 6 .7 Из 6 .7 вытекает Предложение 7.1 Единичная окружность метрики g с центром в точке Р является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых, параллельных этим векторам. Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности полностью определяет эту окружность,

а следовательно и метрику g. V1 V2 рис.3. Пусть gjkлjлkмjмk 6.8 В силу 2.7 имеем gjtgtkлjлtмjмtлtлkмtмkлjлkмjмkдkj 6 .9 Таким образом, тензор gjk является тензором взаимных к gjk. Как известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному полю поле ковектора и наоборот. Предложение 7.2 Поле основного вектора лj вектора мj соответствует в метрике g полю основного ковектора

лj ковектора мj. Доказательство Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину в метрике g. Доказательство лjлkgjkлjлkлjлkлjлkмjмk1, мjмkgjkмjмkлjлkмjмkмjмk1, лjмkgjkлjмkлjлkлjмkмjмk0. Таким образом, f задает на А2 структуру риманова пространства A2,gf. В работе 2 был построен охват объекта гjkl12gtlgtkjgjtk-gjkt римановой связности г фундаментальным объектом Г2лj,мj,Лjk,Мjk Он определяется формулой гjklлlЛjkмlMjkGjkлl-мl12лlмlмjмk-лjлk, где

Gjk12лjмkлkмj.