Метод итерации

Если каким-либо способом получено приближенное значение х0 корня уравнения(12.1), то уточнение корня можно осуществить методом последовательных приближений или методом итераций. Для этого уравнение (12.1) представляют в виде: x= (12.6) это уравнение всегда можно решить и притом разными способами, например:
x=x+cf(x), (12.7) где с-произвольная постоянная. Пусть число Х1 есть результат подстановки х0 в правую часть уравнения (12.6): Х1= (Х0); далее, Х2= (Х1), Х3= (Х2), , Хn= (Xn-1) (12.8) Процесс последовательного вычисления чисел Хn (n=1,2,3,…) по формуле (12.8) называется методом последовательных приближений или методом итераций. Итерационный процесс сходится (lim Xn=E), если на отрезке [a,b], содержащем корень Е и его последовательные приближения, выполнено условие maх | (х)|Замечание. В качестве Х0 можно взять произвольное значение из интервала, содержащего корень, такой интервал можно сделать достаточно малым. Пример 1. Методом итераций найти меньший положительный корень уравнения: Х-5Х+1=0. Решение. Графически отделяя корни данного уравнения, заключаем, что уравнение имеет три действительных корня, лежащих на отрезках [-3;-2], [0;1],[2; 3]. Найдем меньший положительный корень принадлежащий отрезку [0;1].Укажем отрезок меньшей длины, на котором находится корень. Поскольку f(x)=x-5x+1, f(0)=1>0, f Х= или X= (X), где . Так как , то условие (12.9) выполнено; процесс итераций будет сходиться. Взяв в качестве начального приближения середину отрезка, т.е. пример Х0=0,25, вычисление последующих приближений проведем по формуле: Хn+1= Результаты этих вычислений представлены в таблице 12.3, из которой видно, что искомый корень Х=0,20164. n Xn xn3 X3n +1 xn+1=(x3n+1)/5 0 0,25 0,01563 1,01563 0,20313 1 0,20313 0,00838 1,00838 0,20168 2 0,20168 0,00821 1,00821 0,20164 3 0,20164 0,00820 1,00820 0,20164 Замечание. При нахождении двух других корней исходного уравнения методом последовательных приближений уже нельзя пользоваться формулой X= (X3+1) , так как max ½j’(x)½ = max 3x2 = 27 >1, 5 2и условие (12,9) не выполняется. В этом случае данное уравнение следует представить в другом виде, например, Х= ; для функции условие (12,9) на отрезках [-3;-2], [2,3] будет выполняться. Представим выражение f(x)=0 в форме x=Ф(x), что всегда можно сделать разными способами. Выберем на отрезке [a, b] –произвольную точку x0-нулевое приближение. В качестве следующих приближений выберем x1=f(x0), x2=f(x1), …, xn=f(xn-1). Этот процесс последовательного вычисления чисел xn где (n=1,2,3,…)-называется методом итерации. Процесс итерации следует продолжить до тех пор, пока для двух последующих приближений |xn-xn-1| Метод отделения корней уравнений. Корнем уравнения f(x)=0 (12.1) называется такое значение х=E аргумента, при котором это уравнение обращается в тождество: f(E)=0. Корень уравнения (12,1) геометрически представляет собой абсциссу точки пересечения, точку касания или другой общей точки графика функции у=f(x) и оси Х (12,1). Отделить корень уравнения – значит найти такой конечный промежуток, внутри которого имеется единственный корень данного уравнения. Отделение корней можно осуществить аналитическим или графическим способом. Для отделения корней уравнения (12,1) применяют следующий критерий: если на отрезке [a,b] функция f(x) непрерывна и монотонна, а ее значение на концах отрезка имеют разные знаки, то этот отрезок содержит один и только один корень уравнения f(x)=0 , остаточным признаком монотонности f(x) на отрезке является сохранение знака её производной (если f’(x)>0, то функция возрастает; если f’(x)Отделение корней уравнения (12.1) можно выполнить графически, построив график функции f(х), по которому можно судить о том, в каких промежутках находятся точки пересечения его с осью Ох. В некоторых случаях целесообразно представить уравнение (12.1) в эквивалентном виде. f1(x)=f2(x) (12.2) С таким расчетом, чтобы графики функций y1=f1(x) и y2=f2(x) строились проще, чем графики f(x). Корень уравнения (12.2) представляет собой абсциссу точки пересечения графиков y1=f1(x), y2=f2(x). Таким способом можно, например, отделить корни уравнения x3+px+q=0; это будут абсциссы точек пересечения прямой y=-px-q и линии y=x3. Пример 1. Отделить корни уравнения x3+2x-1=0. Решение. В данном случае f(x)=x3+2x-1, f’(x)=3x2+2. Поскольку f’(x)>0 при всех x, то функция f(x) возрастает в промежутке (-∞,+∞). Корень считается отдельным, если указан конечный промежуток (a,b), на котором он находится. Методом проб находим отрезок [a,b], для которого f(a) f(b)f(-1)=(-1)3+2(-1)-1=-40. как f(1) f(0)>0, то на отрезке [-1,0] корня нет; поскольку f(-1) f(0)>0, то корень находится на отрезке [0,1]. Замечание 1. Можно указать отрезок меньшей длины, которому принадлежит корень. Взяв середину отрезка [0,1], т.е. положив x=0,5, по формуле: f(0,5)=(0,5)3+2∙0,5-1>0. Так как f(0) f(0,5)Замечание 2. Корень данного уравнения можно отделить и графически. Придадим уравнению вид x3=-2x+1, т.е. вид (12.2), и построим графики функций y=x3 , y=-2x+1 (рис. 12.2). Эти графики пересекаются в точке М, абсцисса которой принадлежит интервалу (0,1).
Метод касательных. Метод касательных (или метод Ньютона) состоит в следующем. Пусть на отрезке [a,b] находится единственный корень ξуравнения (12.1). Проведем касательную к кривой y=f(x) в точке A (a, f(a)) до пересечения с осью Ox (рис.12.4): её уравнение имеет вид y f(a)=f’(a) (x-a). Полагая в этом уравнении y=0, находим абсциссу x1 точки пересечения касательной с осью Ox: в предположении, что f’(a)≠ 0.Абсциссу x1 точки пересечения касательной с осью Ox можно взять в качестве x1-первого приближения корня. Проведя касательную через соответствующую точку A1(x1, f(x1)) и найдя точку её пересечения с осью Ox, получим x2 –второе приближение корня. Аналогично определяются последующие приближения корня. В методе касательных n-ое приближение вычисляется по формуле
причем за начальное приближение принимается такое значение х0 из отрезка [a,b] для которого выполняется условие Фурье f(x0 )f ‘’(x)>0 (12.4) Если функция f(x) имеет отличную от нуля производную f ‘(x) на отрезке [a,b], то оценка абсолютной погрешности вычислений определяется формулой (12.5) Пример 1. Методом касательных найти действительный корень уравнения х3+х-3=0. Решение. Записав данное уравнение в виде х3=-х+3 и построив графики функций f1(x)=x3, f2(x) =-x+3,найдем, что единственный корень уравнения принадлежит отрезку [1,2]. Укажем отрезок меньшей длины, на котором находится корень. Так как f(x)=x3+x-3, f(1,2)=(1,2)3+1,2-3=-0,0720, то корень лежит на отрезке [1,2;1,2]. Серединой этого отрезка является точка x=1,25. Поскольку f(1,25)=(1,25)3+1,25-3=0,203125>0 и f(1,2)Результаты вычислений, выполненных по формуле (12.3) записываем в таблице 12.1, из которой видно, что искомый корень x=1,21341. n X n Xn X3n X3n f(xn )=x3n+xn-3 f’(xn)=3x2n+1 f(xn) f’(xn) Xn+1=xn= - 0 1,25 1,953125 0, 203125 5,6875 0,035714 1,214286 1 1,214286 1,790452 0,004738 5,42347 0,000874 1,213412 2 1,213412 1,786590 0,000002 5,417107 0,0000004 1,213412 Возьмем некоторую точку x0-отрезка [a, b] и проведем в точке Р0[x0;f(x0)] - графика функции касательной кривой до пересечения можно взять в качестве приближенного значения корня. Проведя касательную через новую точку Р1[x1;f(x0)] и найдя точки пересечения с осью абсцисс, получим второе приближение корня х2 и т.д. Затем выводим формулу для последовательных приближений к корню. Уравнение касательной, проходящей через точку Р0, имеет вид : y=f(x)+f(x0)*(x-x0). Полагая, что y=0 найдем абсциссу х1 – точки пересечения касательной с осью абсцисс х1=x0…………. .0 Процесс вычисления можно прекратить, если |xn-xn-1| Метод половинного деления. Уравнение y=f(x), где функция f(x) – непрерывна на отрезке [a, b] и f(a)*f(b)