Векторна алгебра і деякі її застосування

.

Вектори.

Означення 1
. Вектором називають величину, яка характеризується не тільки своїм числовим значенням (довжиною), але й напрямком.

Вектори позначають або або а,
b,
c.

При позначенні вектора двома літерами (наприклад, ) перша літера вказує точку початку вектора, а друга – точку його кінця. В економіці вектори часто позначають однією великою літерою.

Довжину (модуль) вектора позначають , .

Геометрично вектор зображують як напрямлений відрізок (дивись мал.1)

Мал.1

Зображені на цьому малюнку вектори мають довжину:

якщо одиниця масштабу: .

Нульовим вектором
називають вектор, початок і кінець якого співпадають.

Такий вектор позначають , його довжина дорівнює нулю, а напрям – довільний.

Рівними
називають вектори, які мають однакові довжини та напрямки: .

Колінеарними
називають вектори, які розташовані на одній прямій або паралельних прямих (дивись мал.2)

Мал.2

Усі зображені на малюнку 2 вектори – колінеарні.

Протилежними
називають колінеарні протилежно спрямовані вектори однакової довжини.

Вектор, протилежний вектору позначають .

Ортом
вектора називають вектор ₀
довжина якого дорівнює одиниці, а напрям співпадає з , тобто =₀
.

Компланарними
називають вектори, що лежать в одній площині.
В економічних дослідженнях n упорядкованих параметрів розглядають як вектор n вимірного простору Е_n
.

Матриця-рядок та матриця-стовпець містять упорядковані елементи, тому їх можна розглядати як вектори простору відповідного виміру.

Наприклад, є Е₅
є Е₄

Елементи вектора-рядка та вектора-стовпця називають координатами вектора. Смисл такої назви пояснимо нижче, після визначення проекцій вектора на координатній осі.

1.1.
Деякі економічні приклади.

В розділі 4 частини 5 наведені приклади застосування векторів до задач мікроекономіки.

Так, використовувались вектор-рядок вартості V = (v₁
, v₂
, v₃
, v₄
), компоненти якого – вартості різної сировини, палива, робочої людино-години, та вектор-стовпець потреб інших галузей до продукції цехів 1, 2, 3.

Зараз ознайомимось з іншими прикладами застосування векторів.

Продуктивна функція.
При аналізі закономірностей виробництва використовується продуктивна функція, яка, по суті, є співвідношенням між використаними у виробництві ресурсами і випущеною продукцією.

Нехай у деякому виробничому процесі є n виробничих ресурсів. Кількість і-го ресурсу, використованого за проміжок часу t, позначимо х_і
. Тоді виробничі ресурси – це вектор Х = (х₁
, х₂
, … х_n
).

Нехай підприємство випускає m різних виробів. Кількість j виробу позначемо у_і
. Тоді випуск усіх виробів буде вектор Y = ( y₁
, y₂
, … y_m
). Нехай - вектор параметрів виробництва (наприклад, різні види транспортних чи інших витрат). Продуктивна функція пов’язує вектори ресурсів Х, випуска Y та параметрів , тобто

Продуктивна функція задається аналітично або таблично.

Продуктивну функцію, розв’язану відносно Y, тобто вигляду

називають функцією випуска, а розв’язану відносно вектора Х, тобто вигляду

називають функцією виробничих витрат.

Зрозуміло, що ці функції у конкретних випадках (коли вказано закони та ) використовують правила дій з векторами.

Математичні моделі економічних задач

Навіть найпростіші лінійні статистичні економічні моделі описуються з використанням векторів.

Для дослідження динамічних моделей різних процесів стан вивчаємої економічної системи в момент часу t описується за допомогою вектора Х із n вимірного простору, а керування процесом в той самий момент часу описується за допомогою вектора із mвимірного простору.

Таким чином, в динамічних моделях використовуються вектори n та m вимірних просторів, координати яких залежать від часу t.

1.3. Координати векторів

Спочатку нагадаємо поняття числової осі та систем координат. Числовою віссю називають пряму, на якій визначено:

1) напрям (®);

2) початок відліку (точка 0);

3) відрізок, який приймають за одиницю масштабу.

Дві взаємно перпендикулярні числові осі із загальним початком відліку (точка 0) називають прямокутною декартовою системою координат на площині (у двомірному просторі Е₂
).

Три взаємно перпендикулярні числові осі із загальним початком відліку (точка 0) називають прямокутною декартовою системою координат у просторі ( у тривимірному просторі Е₃
).

На Малюнку 3 зображені:

а) прямокутна декартова система координат на площині;

b) прямокутна декартова система координат у просторі.

a) b)

Мал.3

Вісь 0_х
називають віссю абсцис; 0_у
– вісь ординат; 0_z
– вісь аплікат. Орт осі 0_х
позначають , орт осі 0_у
– вектор , орт осі 0_z
– вектор.

Упорядкована пара чисел (х,у), що відповідає точці М площини х0у, називається декартовими прямокутними координатами точки М, це позначають М(х,у).

Упорядкована трійка чисел (х,у,z), що відповідає точці М простору 0zух, називається координатами точки М декартової прямокутної системи координат у просторі, це позначають М(х,у,z).

Відмітимо, що існують інші системи координат на площині та у просторі.

Дамо поняття проекції вектора на вісь. Нехай заданий вектор та вісь l. З точок А і В опускаємо перпендикуляри на вісь l. Одержимо точки А₁
та В₁
– проекції точок А та В.

Означення 2
. Проекцією вектора на вісь називається довжина вектора , яка взята із знаком “+”, якщо напрям співпадає з напрямом осі та із знаком “-“, якщо напрями протилежні
(див. Мал.4).

Позначають: пр₁
.

Означення 3
. Кутом між двома векторами (або між вектором та віссю) називають найменший кут між їх напрямами при умові, що вектори зведені до спільного початку
(див. Мал.4).

а) b)

Мал.4.

Знайдемо пр₁
:

У випадку а) маємо: пр₁
=

У випадку b) маємо:

пр₁
=

Таким чином, проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини вектора на косінус кута між вектором і віссю.

Означення 4
. Координатами називаються проекції вектора на осі координат.

Нехай вектор має координати а_х
, а_у
, а_z
тобто = (а_х
, а_у
, а_z
) і утворює з осями координат кути тоді

а_х
= ||, а_y
= ||, а_z
= ||,

, називають напрямними косінусами вектора . З попередніх формул маємо:

Розглянемо вектор , де М₁
(х₁
,y₁
) – початок вектора, М₂
(х₂
,y₂
) – кінець вектора (див.Мал.5). в цьому випадку

тобто координати вектора - це впорядкована пара чисел (х₂
– х₁
; y₂
– y₁
).

Аналогічно одержуємо, що координатами вектора у просторі буде впорядкована трійка чисел (х₂
– х₁
; y₂
– y₁
; z₂
– z₁
).

Мал.5

Отже, можна сформулювати правило:

Координати вектора дорівнюють різниці відповідних координат кінця та початку вектора.

Наприклад, вектор , початок якого знаходиться в точці М₁
(2,-3,0), кінець – в точці М₂
(1,1,2), має координати

= (1-2; 1+3; 2-0) = (-1; 4; 2)

Зауваження
. Вектор ( де точка 0 – початок координат) називають радіусом-вектором точки А і позначають . Координати вектора співпадають з координатами точки А.

По аналогії з векторами = (а_х
, а_у
) із Е₂
та вектор-рядок та вектор-стовпець, які містять nелементів, розглядають як вектори їз n вимірного простору Е_n
, а їх елементи називають координатами вектора.

Наприклад,