Реферат по предмету "Архитектура и строительство"


Свойства определенного интеграла

Определенный интеграл Определение. Разбиением отрезка называется набор точек этого отрезка такой, что . Отрезки называются отрезками разбиение. Максимум из длин отрезков разбиения называется параметром разбиения. Определение. Разбиением с отмеченными точками называется разбиение и набор точек . Определение. Пусть функция определена на отрезке , а - разбиение с отмеченными точками этого отрезка. Сумма , где , называется интегральной суммой функции , соответствующей разбиению с отмеченными точками

. Определение. Говорят, что число является интегралом Римана от функции на отрезке , если для любого найдется такое , что для любого разбиения с отмеченными точками отрезка , параметр разбиения которого , имеет место соотношение . Интеграл от функции по отрезку обозначается символом , числа и называются верхним и нижним пределом интегрирования соответственно; - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, - переменная

интегрирования. Таким образом, . Определение. Функция называется интегрируемой на отрезке , если для нее определен интеграл Римана. Необходимое условие интегрируемости. Утверждение. Если функция , определенная на отрезке , интегрируема на нем, то она ограничена на этом отрезке. Доказательство. Если неограниченна на , то при любом разбиении функция будет неограниченной по крайней мере на одном из отрезков . Это означает, что, выбирая соответствующим образом точку , можно

сделать величину сколь угодно большой, но тогда и интегральную сумму можно сделать сколь угодно большой по модулю, что означает, что конечного предела у интегральных сумм нет. Суммы Дарбу. Обозначим через и , соответственно, точные нижнюю и верхнюю грани функции на и составим суммы . Эти суммы называются, соответственно, нижней и верхней интегральных сумм, или сумм Дарбу. Для интегральной суммы , соответствующей произвольному набору отмеченных точек, очевидно, имеем

. Свойства сумм Дарбу. Утверждение. Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу может только возрасти, а верхняя только уменьшиться. Доказательство. Для доказательства этого факта достаточно ограничиться присоединением одной точки . Пусть она попала на й промежуток: . Обозначим через новую верхнюю сумму Дарбу, от прежней она отличается только слагаемыми, соответствующими промежутку .

Пусть и обозначают точные верхние границы функции, соответственно, на промежутках и . Имеем , откуда следует . Аналогично доказывается соответствующее неравенство для нижних интегральных сумм. Утверждение. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней. Доказательство. Пусть - верхняя и нижняя суммы Дарбу, соответствующие разбиению , а , соответствующие разбиению . Объединим точки деления этих двух разбиений в третье - , и пусть - его суммы

Дарбу. Имеем . Из доказанного утверждения следует, что множество всех нижних сумм ограничено сверху (любой верхней суммой), а множество верхних сумм ограничено снизу (любой нижней). В таком случае, существуют , причем . Эти числа называются, соответственно, нижним и верхним интегралами Дарбу. Условие существования интеграла. Теорема. Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы . Доказательство. Необходимость.

Предположим, что интеграл существует, то есть , причем предел здесь берется по всем интегральным суммам, а, значит, и . Достаточность. Пусть теперь . Тогда, перейдя в неравенствах к пределу, получим и . Обозначим колебание функции в ом частичном промежутке через , тогда , и условие существования определенного интеграла принимает вид: . Классы интегрируемых функций. Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на нем.

Доказательство. Непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна на нем (теорема Кантора). То есть по заданному найдется такое , что из следует . Но тогда, если , то и , откуда следует существование интеграла. Справедливо также следующее утверждение. Теорема. Если ограниченная на отрезке функция имеет на нем лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема

на этом отрезке. Суммы Дарбу.Необходимое и достаточное условие существования определённого интеграла. Для выяснения вопроса о существовании определённого интеграла введём в рассмотрение так называемые суммы Дарбу . Обозначим m i = int f(x) ; Mi = sup f(x)  [ xi , xi+1 ]  [ xi , xi+1] Сумма n-1 S =  mi Δx i I=0 называется нижней суммой Дарбу , n-1 а сумма S = 

Мi * Δx i i=0 верхней суммой Дарбу .Так как при  i  [ xi , xi+1] m i  f ( i)  M i , то очевидно что s  б  S Геометрирческий смысл нижней и верхней сумм Дарбу пояснён на рисунке . Рассмотрим основные свойства сумм Дарбу . 1. Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки , то нижняя сумма Дарбу может только увеличиться , а верхняя – уменьшится .

2. Докажем это свойство для верхней суммы Дарбу . Пусть к имеющимся точкам деления добавили ещё одну точку x ‘ которая попала в отрезок [ xi , xi+1] .Тогда в прежней сумме Дарбу отрезку [ xi , xi+1] соответствовало слагаемое M [ xi , xi+1]. Mi’(x’-x1) + Mi’’(xi+1- x’) Но,очевидно, что Mi’ = sup f(x) £Mi , и х  [xi ,x’]

Mi’’= sup f(x)  Mi , так как супремум части х  [ xi , xi+1 ] множества не может превышать супремума всего множества . Поэтому Mi’(x’-x i) + Mi’’(xi+1- x’)  Mi (x’ –x i + xi+1- x’) = Mi (xi +1 -x i ) И поэтому новая верхняя сумма Дарбу S’  S . Для нижней суммы Дарбу доказательство аналогично .

2. Всякая нижняя сумма Дарбу меньше всякой верхней суммы Дарбу , даже если они принадлежат разным разбиениям отрезка . Пусть мы имеем два разбиения – первое и второе . Для первого смуммы Дарбу были s1 и S1 , для второго s2 и S2 . Добавим к точкам первого разбиения точки второго разбиения . При этом получим новое разбиение с суммами s3 и S3 для которых очевидно s3 

S3 . Так как при таком объединении разбиений нижняя сумма Дарбу возрастает ,а верхняя убывает то s1 s3  S3  S2 откуда получаем что s1  S2 . Аналогично , s2  s3  S3  S1 т.е. s2  S1. Так как первое и вторе разбиения были произвольными , то это и доказывает

наши утверждения . А теперь сделаем выводы . 1 . Множество нижних сумм Дарбу не пусто и ограниченно сверху любой верхней суммой Дарбу . Поэтому существует s up  s  =I * Где sup берётся по всем возможным разбиениям отрезка . Аналогично, множество верхних сумм Дарбу  s не пусто и ограниченно снизу любой

нижней суммой Дарбу . Потому существует Int { S } = I * Где интеграл берётся по всем возможным разбиениям отрезка . I  и I * называются нижним и верхним интегралами Дарбу . Очевидно что I   I * 2. Пусть мы к имеющимся точкам деления будем добавлять новые.

При этом нижняя сумма Дарбу будет возрастать . Но она ограничена сверху и поэтому , по тоеореме о монотонной функции  lim s = I    Верхняя же сумма Дарбу будет монотонно убывать , но она ограничена снизу . По той же теореме  lim S = I*    Так как пределы равны sup и int соответственно . Эти рассуждения позволяют нам доказать основную для

этого параграфа теорему. Теорема о существовании определённого интеграла . Для того чтобы существовал b необходимо и достаточно , I =  f(x)dx a чтобы lim (S-s) =0    Доказательство .Обозначим для краткости b  f(x)dx = I a Необходимость . Пусть b существует  f(x)dx =

I a Это означает , что &#61476; lim &#61555; = I . Согласно определению предела это означает , что &#61474; &#61541; &#61502; 0 , &#61476; &#61540; &#61502; 0 ,&#61474; &#61548; &#61500; &#61540; &#61629; I-&#61555; &#61629; &#61500; &#61541; при любом выборе точек &#61560; i или I - &#61541; &#61500; &#61540; < I+ &#61541;

Но s = int &#61555; и S= sup&#61540; . Поэтому I - &#61541; &#61603; s< &#61555; <S &#61603; I+ &#61541; Откуда следует , что S-s &#61603; 2 &#61541; . Так как &#61541; сколь угодно мало , то lim (S-s) =0 &#61548; &#61614; &#61488; . Достаточность . Пусть lim (S-s)=0 .

Так как limS =I*, lim s= I&#61482; , то это означает , &#61548; &#61614; &#61488; I*= I&#61482; = I . Но так как s&#61603; &#61540; &#61603; S То по теореме “о двух милиционерах “ , отсюда следует что &#61476; lim &#61555; = I &#61548; &#61614; &#61488; что и доказывает теорему В заключение запишем условие существования определённого интеграла в форме , пригодной для дальнейшего

использования . Обозначим Mi – m i = w i Величина w i называется колебанием функции f(x) на отрезке [ xi , xi+1]. Явно её можно записать так wi = sup f(x) – int f(x) = sup(f(x’)-f(x”)) x &#61479; [ xi , xi+1] x &#61479; [ xi , xi 1’ ] x’,x”[ xi , xi+1] Но тогда n-1 S –s = &#61669; w i &#916;x i I=0 И мы получаем : Следствие . Для того , чтобы существовал определённый интеграл b &#61682; f(x)dx

a необходимо и достаточно , чтобы n-1 lim &#61669; w i &#916;x i=0 &#61548; &#61614; 0 i=0 Именно эту формулу мы и будем в дальнейшем использовать. Краевая задача – это задача отыскания частного решения системы , (2.1) на отрезке , причем дополнительные условия налагаются на значения функций более чем в одной точке этого отрезка. Сами дополнительные условия могут связывать между собой значения нескольких функций; тогда для системы

р-го порядка (2.1) они примут вид (2.2) Существуют задачи с еще более сложными дополнительными условиями. Заметим, что дифференциальное уравнение порядка р (2.3) где &#8722; производная порядка может быть сведено к системе дифференциальных уравнений вида (2.1) заменой переменных (2.4) Действительно, по замене (2.4) и уравнение (2.3) сведется к следующей системе вида (2.1): Здесь последнее уравнение получено подстановкой (2.4) в (2.3).

Примером простой краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка является задача нахождения статического прогиба нагруженной струны с закрепленными концами (2.5) Здесь f(x) – внешняя изгибающая нагрузка на единицу длины струны, деленная на упругость струны. Заметим, что общая краевая задача (2.1) может: • не иметь решений; • иметь единственное решение; • иметь несколько и даже бесконечно много решений. Примеры:

Краевая задача имеет бесконечно много решений С – произвольная постоянная. Краевая задача при имеет единственное решение , а при вовсе не имеет решений. В дальнейшем будем предполагать, что решение краевой задачи существует. Рассмотрим более подробно важный частный случай, когда дифференциальное уравнение и краевые условия линейны. Такая краевая задача называется линейной краевой задачей.

Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка сокращенно можно записать в виде (2.6) где причем обычно предполагается, что &#8722; известные непрерывные функции на данном отрезке . Для простоты будем предполагать, что в краевые условия входят две абсциссы и &#8722; концы отрезка . Такие краевые условия называются двухточечными. Краевые условия называются линейными, если они имеют вид (2.7) где и &#8722; заданные постоянные, причем

Например, краевые условия, приведенные в предыдущих примерах, линейны. Линейными краевыми условиями являются также условия периодичности, которые в случае дифференциального уравнения второго порядка имеют вид Линейная краевая задача называется однородной, если: • во-первых, то есть дифференциальное уравнение (2.6) однородно, и, • во-вторых, то есть имеют место однородные краевые условия. В противном случае краевая задача (2.6)-(2.7) называется неоднородной.

Пример 1. Рассмотрим задачу об изгибе горизонтальной балки длиной , лежащей на двух опорах и , под действием распределенной поперечной нагрузки с линейной плотностью (рис. 1). Рис. 1. К задаче об изгибе горизонтальной балки Из курса сопротивления материалов известно, что вертикальный прогиб однородной балки приближенно удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению (2.8) где &#8722; жесткость балки при изгибе, причем изгибающий

момент М и поперечная сила Q определяются из соотношений и . Краевые условия зависят от способа заделки концов балки. Приведем основные случаи. 1. Конец свободен. Нулю равны изгибающий момент М и поперечная сила Q. Поэтому краевые условия для свободного конца балки есть и (2.9а) 2. Конец опирается шарнирно. Нулю равны прогиб у и изгибающий момент

М. Поэтому краевые условия для шарнирно опирающегося конца есть и (2.9б) 3. Конец жестко заделан. Нулю равны прогиб у и угол поворота . Поэтому краевые условия жестко заделанного конца есть и (2.9в) Возможны также другие более сложные случаи краевых условий. Задача (2.8) &#8722; (2.9), очевидно, является линейной краевой задачей.

Пример 2. Пусть жесткость балки EI постоянна, тогда уравнение (2.8) для прогиба у заменяется следующим уравнением: (2.10) Предположим, что балка шарнирно закреплена на конце и жестко заделана на конце . В таком случае для прогиба у выполнены краевые (граничные) условия: (2.11) Краевые условия (2.11) являются, очевидно, линейными однородными. Краевую задачу (2.10) &#8722; (2.11) решить нетрудно.

Предполагая для простоты, что плотность нагрузки постоянна: будем иметь Из граничных условий (2.11) вытекает Таким образом, искомое решение есть Этот пример показывает, что в случае, когда можно найти общее решение дифференциального уравнения, двухточечная краевая задача не более трудна, чем задача с начальными условиями. Однако если общее решение уравнения не может быть найдено регулярным путем, то решение краевой задачи

приводит к новым трудностям, так как не имеется начальной точки, исходя из которой, можно было бы построить решение одним из рассмотренных выше методов.



Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.