1. ЧР наз. сходящимся, если />
КК сходимости ЧР:
/>
// Если ряд сходится, то
/>
3. Интегральный ПК сх.Р:
/>
/>
/>
5. Признак Коши:
/>
/>
7. Признаки Абеля и Дирихле для ЧР:
Признак Абеля:
/>
/>
Признак Дирихле:
Ряд anbn сходится, если:
/>
/>
9. Действия над рядами.
По определению полагают:
/>
/>
Равенство а) имеет неформальный смысл, если оба ряюа сходятся, а равенство б) – если, сверх того, по меньшей мере один из этих рядов сходится абсолютно.
11. КК РС функ. ряда:
/>
/>
/>
13. Признаки РС ф. рядов.
Признак Абеля: Ряд
/>
сходится равномерно на X, если: 1) Ряд an сх. равн. на X; 2) функции bn(x) ограничены в совокупности и x образуют монотонную последовательность.
Признак Дирихле: Ряд (1) сходится равномерно на множествеX, если: 1) Част. суммы an(x) (n=1,…,N) в совокупности ограничены; 2) посл-ть bn(x) (n=1,2,…) монотонна x и равномерно на X стремится к нулю при n.
15. Непрерывность и limпер.
Th:{ft; tT}, ft: XC; B-база в T. Если ft сх.равн. к f на X при базе B и функции ft непрерывны в точке xX, то функция f:XC тоже непрерывна в этой точке.
/>
/>
/>
Следствие 1: Если посл-ть функций, непрерывных на множестве, сходится на нем равномерно, то предельная функция тоже непрерывна на этом множестве.
Следствие 2: Если ряд из функций, непрерывных на некотором множестве, сходится на нем равномерно, то сумма ряда тоже непрерывна на этом множестве.
17. Интегрирование и lim.
Th: {ft, tT}, ft:[a,b]C; B-база T; Если функции семейства интегрируемы на [a,b] и ft сх. равн. к f на [a,b] при базе B, то предельная функция f:[a,b]C тоже интегрируема на отрезке [a,b] и
/>
/>
/>
/>
Следствие: Если ряд из интегрируемых на [a,b] ф. сх.равн., то его сумма тоже интегрируема на [a,b],
/>
19. Характер сх. ст. ряда.
Th: Степенной ряд
/>
сходится в круге K={zC| | z – z0 | R}, радиус которого определяется по ф-ле Коши-Адамара:
/>
Вне этого круга ряд расходится. На любом замкнутом круге, лежащем строго внутри круга K сходимости ряда, степенной ряд сходится абсолютно и равномерно.
21. Дифф. и
ст. рядов:
Th: Если круг KC сходимости ст. ряда
/>
не сводится к единственной точке z=z, то внутри K сумма f(z) этого ряда дифференцируема, причем
/>
Кроме того, f(z):KC можно интегрировать по любому гладкому пути :[0,1]K, и если
/>
то
/>
23. Ряд Тейлора.
Аналитическая в точке a ф-я f(x) в некоторой окрестности этой точки разлагается в степенной ряд
/>
Остаточный член в форме Лагранжа:
/>
в форме Коши:
/>
Основные разложения:
/>
/>
25. Алгебры функций.
Совокупность A вещественно (комплексно)-значных функций на множестве X наз. вещественной (комплексной) алгеброй функций на X, если из f,gA и R(C) следует, что
/>
27. Теорема Стоуна:
Пусть A – алгебра определенных на компакте K непрерывных вещественнозначных функций. Если A разделяет точки компакта K и не исчезает на K, то A является всюду плотным подмножеством простанства C(K,R).
29. Теорема Вейерштрасса:
Если f C([a,b],C), то {Pn; nN} многочленов Pn:[a,b]C, что Pnсх. равн. к f на [a,b]. При этом, если fC([a,b],R), то и многочлены Pn можно выбрать из C([a.b],R).
31. Дифф. и непр. собств.
(пар)
.
Непрерывность: P={(x,y)R2| x[a,b], y[c,d]}. Если функция f :PR непрерывна, то ф-я
/>
непрерывна в любой точке y[c,d].
Дифференцирование: Если на прямоугольнике P функция f непрерывна и имеет непрерывную частную производную по y, то интеграл принадлежит к классу C(1)([c,d], R), причем
/>
33. Пр. Вейерш.РС несоб.
(пар).
Пусть f(x,y), g(x,y) интегрируемы по x на любом отрезке [a,b][a,
] yY.
Если x[a,], yY | f(x,y)| ≤ g(x,y), а интеграл
/>
сходится равномерно на Y, то интеграл
/>
сходится абсолютно y и равномерно на мн-ве Y.
35. limперех. под. знаком.н.
.
Th: Пустьf(x,y) – сем-во ф., интегрируемых хотя бы в несоб.смысле на x[a,
), и пусть BY-база в Y.
/>/>
/>
Следствие: Пусть yYR вещ. ф-я f(x,y) неотрицательна и непрерывна на x[a,
). Если с ростом y ф-ции f(x,y), монотонно возрастая, стр. к (x), C([a,],R) и
/>
то справедливо равенство (*).
37. Дифф. н.
(пар).
Th: Если
а) ф-ции f(x,y), f’y(x,y) непрерывны на {(x,y)R2| x[a,),y[c,d]},
b)интеграл
/>
c)интеграл
/>
то он сх. равн. на Y; при этом ф-я F(y) оказывается дифференцируемой и
/>
39. Интегрирование н.
(пар):
Если f(x,y) непрерывна на {(x,y)R2| x[a,),y[c,d]} и интеграл
/>
то ф-я F интегрируема на [c,d] и
/>
41.
43. Ряды Фурье.
Если X– Л.П. со скал. пр-ем, а {lk}–ортог. система ненулевых векторов в X, то любому в. x можно сопоставить рядФурье:
/>
Экстремальное свойство: yL ||x–xl||≤||x–y||. Равенство возможно только при y=xl.
Неравенство Бесселя:
/>
Равенство Парсеваля:
/>
45. Гильбертово пр-во.
Линейное нормированное пр-во наз. гильбертовым, если оно полно и имеет бесконечную размерность.
47. Тригонометр. ряд Фурье.
Систему экспонент{einx;nN} называют триг. сист. в комплексной записи. Она явл. ортогон. с. в-в пр-ва R([-,], C) отн. скал. пр-ния в-в.
Сопоставляемый ф. f триг.ряд
/>
наз. триг.рядом Фурье ф-ции f.
/>
Th:(ТРФ)fR([-,],C)сх.к fв средн., т.е.f=ТРФ,
/>
/>
49. Лемма Римана.
Если локально интегрируемая ф-я f:[1,2]R абсолютно интегрируема (хотя бы в несоб смысле), на промежутке [1,2], то
/>
51. Д.У.сх.ряда Фурье в т.
Гов., что f:UC, заданная в проколотой окр-ти точки xR, удовлетворяет усл. Дини, если
а) в т. x оба односторонних предела
/>
б) сходится абсолютно следующий интеграл:
/>
Th: f:RC – 2-периодич.ф-я, абс.инт-я на [-,]. Если f удовл. в т. xR условиям Дини, то её ряд Фурье сходится в точке x, причем
/>
53.Свойства пр-ва CL2[-∞,+∞]
_____________
55. Преобразование Фурье.
/>
называется нормиров.преобр. Фурье ф-ции f:RC.
/>
называется интегралом Фурье ф-ции f.
Свойства: 1. Линейность преобразования Фурье.
2. Th: f:RC – абс. инт-мая ф-я, кусочно непрерывная на каждом конечном отрезке числ. Оси R. Если ф-я f удовл. Усл. Дини в xR, то её Фурье сх. в этой точке к значению ½(f (x-)+f (x+)).
57. Пр-е Фурье для ф. мн.пер.
f:RC – лок. инт. на Rn ф-ция. Функция
/>
называется преобр. Фурье функции f.
Многомерное пр-е Фурье можно рассматривать как n одномерных преобразований Фурье, проведенных по каждой из переменных x1,…,xn.
59. Теорема обращения.
Оператор, определяемый равенством
/>
называется обратным преорбазованием Фурье.
Формула обращения преобразования Фурье
:
/>
или в форме интеграла Фурье
/>
10. Сх. и РС семейства f(ПАР)
/>
/>
/>
_________________________
/>
/>/>
8. Теорема Римана:
Сумму условно сходящегося ряда путем перестановки слагаемых можно сделать равной любому числу.
6. Признак Лейбница:
Условно сходищимся наз. ряд an, если ряд an сходится, а ряд |an| -расходится.(n=1,2,…)
/>
сходится (вообще гов. не абсолютно), если
/>
В этом случае для остатка ряда
/>
имеем оценку
/>
4. Признак Даламбера:
/>
/>
2. Признак сравнения I:
/>
/>
/>Признак сравнения II:
/>
20. Теоремы Абеля.
Первая Теорема Абеля: Если степенной ряд
/>
сх. в концевой точке x=R интервала сход-ти, то
/>
Вторая Теорема Абеля: Если степенной ряд
/>
сходится в некоторой точке С, то он сходится равномерно на отрезке с концами z0 ,.
18.
Дифференцирование и lim.
Th:{ft, tT}–семейство ft: XC, определенных на выпуклом ограниченном мн-ве X; B-база T. Если функции семейства дифференцируемы на X, семейство {ft’, tT} производных сх. равн. на X к некоторой ф-ции :XC, а исходное семейство сх. хотя бы в одной точке x X, то оно сх. равн. на всем мн-ве X к дифференцируемой функции f:XC, причем f’
=
.
16. Теорема Дини:
Если последовательность непрерывных на компакте функций сходится на нем монотонно и к непрерывной же функции, то эта сходимость равномерная.
Следствие: Если члены ряда an(x) (n=1,2,…) суть неотрицательные непрерывные на компакте K функции an: KR и ряд сходится на K к непрерывной функции. То он сходится на K равномерно.
14. Условия комм. 2х пр.пер:
Th: {Ft;tT}, Ft: XC; BX– база в X,BT– база в T. Если при базе BTcем-во сх. равн. на X к F:XC, а t
/>
то оба повторных предела
/>
и имеет место равенство этих пределов.
/>
/>
/>
12. Признак Вейерштрасса РС функционального ряда:
u1(x)+…+un(x)+… сходится абсолютно и равномерно на множестве X, если существует сходящийся числовой ряд c1+c2+…+cn+…
такой, что
/>
30. Собственные
, их интег-е.
Интеграл, зависящий от параметра, – это ф-я вида
/>
Если t явл. собственным, то F есть собственный интеграл, зав. от параметра.
Th: Если ф-яf:PR непрерывна в прямоугольнике P={(x,y)R2| x[a,b], y[c,d]}, то интеграл
/>
интегрируем на отрезке [c,d] и имеет место рав-во
/>
28.
Компл. вар. теоремы Стоуна:
Если комплексная алгебра A функций f:XC не вырождается на X и разделяет точки X, то при условии самосопряженности алгебры A можно утверждать, что она плотна в C(X,C).
26. Банахова Алгебра в С(K).
Нормированная алгебра называется Банаховой, если она является нормированным линейным пространством, полным относительно метрики, порожденной нормой (B-пространством).
Подмн-во пространства C(K,Y) наз. всюду плотным, если функциями, составляющими это мн-во, можно со сколь угодно малой абсолютной погрешностью аппроксимировать любую непрерывную функцию f:KY.
24. Формула Стирлинга.
/>
где
/>
Или
/>
22. Аналит. ф. в действ. обл.
40. Эйлеровы интегралы.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
38. Интеграл Дирихле.
/>
36. Непрерывность н.
(пар):
Если а) ф-я f(x,y) непрерывна на {(x,y)R2| x[a,),y[c,d]}, b) интеграл
/>
то ф-я F(y) непрерывна на [c,d].
34. Пр. Абеля-Дирихле РС.н.
.
Th: Пусть f(x,y), g(x,y) yY интегрируемы по x на любом отрезке [a,b][a,
]. Для равн.сх. интеграла
/>
на мн-ве Y достаточно:
/>
/>
/>
/>/>
32. Несоб.
(пар)
, КК РС.
Говорят, что несобственный интеграл
/>
зав. от пар. yY, сх. равн. на мн-ве EY, если
/>
/>
КК: Чтобы несоб. (1) сходился равномерно на множестве EY
/>
/>
50. Ядра Дирихле.
/>
Dn называется ядром Дирихле. Ядро Дирихле 2-периодично, четно, и, кроме того,
/>
48. Ряды Фурье д/чет./неч. ф.
а) Если ф-я f(x) четная, то
/>
б) если ф-я f(x) нечетная, то
/>
Ряд Фурье в комплексной форме:
/>
Th
(О сх-ти в среднем): f(x)R([-,],C)
/>
46. Предгильбертово пр-во.
Линейное нормированное пр-во бесконечной размерности наз. предгильбертовым, если оно не полно по отношению к метрике, индуцированной естественной нормой в нем.
44. Ортонорм. сист.в-в.
Система в-в наз. {ek; kK} ортонормированной, если i,jK ei,ej >=i,j, где i,j – символ Кронекера
/>
Система {x; A} в-в нормир.пр-ваX наз. полной по отношению к мн-ву E X, если xE можно сколь угодно точно в смысле нормы пр-ва X приблизить конечными лин. комб-ми в-в системы.
В конечномерном пр-ве X полнота в X сист.в-в, как следует из сообр. компактности и непрер-ти, равносильна тому, что эта сист. явл. базисом в X.
Th: X– лин.пр-во со скал. пр-ем; l1,…,ln,…– кон. или счет.сист.0 вз. ортогон.в-в X. Эквив:
a){lk} полна по отн. к E X;b)xE X им.место
/>
42. Интеграл Пуассона
/>
60. Теорема Планшереля.
/>
L2 – пополнение (S,d), d – метрика сходимости в смысле среднего квадратичного уклонения на Rn.
58. Пространство S(Rn).
S(Rn,C) – сов-ть всех ф-ций fC(∞)(Rn,C), удовлетворяющих условию
/>
такие ф-ции наз. быстро убывающими.
Если fS, то
/>
Более того,
/>
56. Пр-е Фурье свертки.
/>
— Ф-лы, связывающие операции свертки и умножения функций посредством пр.Фурье.
54. Теорема Фейера.
f: RC – 2-периодическая абс. инт-мая на [-,] ф-я. Тогда
a) если на E R fравномерно непрерывна, то
/>
b) если fC(R,C), то
/>
c) еслиf непрерывна в xR, то
/>
__________________________________________
/>
52. ДУ РС триг. ряда Фурье.
Th: Если f:[-,]C такова, что а) fC(m-1)[-,], mN; b) f(j)(-)=f(j)(), j=0,1,…m–1; c) f имеет на [-,] непрерывную производную f(m) порядка m>=1,
то ряд Фурье ф-й f сх. к f абсолютно и равномерно на отрезке [-,], причем отклонение n-й частичной суммы Sn(x) ряда Фурье от f(x) на всем отрезке [-,] имеет оценку
/>
где {n}–стремящаяся к нулю посл-ть положительных чисел.