ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ И ИНФОРМАТИКИ
КАФЕДРА МАТЕМЕТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ЭКОНОМИКЕ
РЕФЕРАТ
НА ТЕМУ:
“ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ”
ВЫПОЛНИЛ:
СТУДЕНТ II КУРСА ГР. И-04-2
ПИВКОВ В.А.
ПРОВЕРИЛ:
ВОРОНОВА Е.А.
г. Липецк — 2006
Содержание.
I. Функциинескольких переменных.
Определениефункции нескольких переменных
Предел функциидвух переменных
Непрерывностьфункции двух переменных
II.Частныепроизводные
Частныепроизводные
Полныйдифференциал
Производная идифференциал сложной функции
Неявныефункции и их дифференцирования
III. Частныепроизводные и дифференциалы высших порядков
Частныепроизводные высших порядков
Признакполного дифференцирования
Дифференциалывысших порядков
Списоклитературы
I. ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПРЕМЕННЫХ.
Определение функции несколькихпеременных.
Переменная z называется функцией двух независимых переменных xи y, если некоторым парамзначении x и yпо какому – либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение z.
Множество Gпар значений x и y,которые могут принимать переменные x и y,называется областью определения функции, а множество всех значений, принимаемыхz в области определения, — областью значений функции z.Переменные x и называются аргументами функции.
Пара чисел xи y определяет положение точки Mна плоскости xOy с координатами xи y. Поэтому функцию двухпеременных можно рассматривать либо как функцию двух переменных M
Каждой тройке (x; y; z) впространстве Oxyzсоответствует точка M(x; y; z).Совершенно аналогично случаю двух переменных можно дать определение функциитрех переменных
Аналогично можнодать определение функции четырех и более переменных.
1.2 Предел функции двухпеременных.
Множество точек M(x; y),координаты xи yкоторых удовлетворяют неравенству или называетсяδ-окрестность точки
Определение. Число A называет пределом функции при стремлении точки Mк точке ε>0существует такое δ>0, что для всех точек Mиз области определения этой функции, удовлетворяющих условию имеет местонеравенство : или
Функция называется бесконечномалой при если
1.3 Непрерывность функции двух переменных.
Пустьточка принадлежит областиопределения Определение. Функция называется непрерывнойв точке если
или причем точка Mстремится к M0произвольнымобразом, оставаясь в области определенияфункции.
ОбозначимПолным приращением при переходе от точки Mназывается разность значении функции в этой точке
II. Частные производные.
2.1 Частные производные.
Частнойпроизводной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной врассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считаядругие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двухпеременных в точке частные производныеопределяются так:
еслиэти пределы существуют. Величина называется частным приращением функции zв точке по аргументу обозначения частных производных:
Символы как дроби трактоватьнельзя (в этом отличие от случая одной переменной).
Из определения следует геометрическийсмысл частной производной функции двух переменных: частная производная — угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности и плоскости в соответствующей точке.
Пользуясь понятием скорости измененияпеременной, можно сказать, что частная производная есть скоростьизменения функции относительно при постоянном
Из определения частных производныхследует, что правила вычисления их остаются теми же, что для функций однойпеременной, и только требуется помнить, по какой переменной ищется производная.
Пример 1. Если
Пример 2. Если называетсяизотермическим коэффициентом упругости идеального газа.
Аналогично определяются и обозначаютсячастные производные функции трех и большего числа независимых переменных.
2.2 Полный дифференциал.
(1)
Если приращение (1) можно представить ввиде (2)
ГдеАиВ не зависят от и и стремятся к нулю пристремлении к нулю и называется дифференцируемой в точке приращения функции(т.е. та часть и линейно) называется полным дифференциалом (или просто дифференциалом) этой функции в точке и обозначаетсясимволом
(3)
Изопределения дифференцируемости функции следует, что если данная функциядифференцируема в точке
Действительно,если в точке функция дифференцируема, тодля этой точки представимо в форме(2), откуда следует, что
аэто и означает, что в точке функция непрерывна.
Издифференцируемости функции в данной точке следует существование ее частныхпроизводных в этой точке (необходимоеусловие дифференцируемости).
В самом деле, пусть функция в точке дифференцируема. Тогдаимеет место соотношение (2). Полагая в нем
Деляна и переходя к пределупри
Этоозначает, что в точке существует частнаяпроизводная функции по и (4)
Аналогично доказывается, что в точке существует частнаяпроизводная
(5)
Используя формулы (4) и (5), можно переписать выражение (3) ввиде
Если положить
Теорема(достаточное условие дифференцируемости). Еслифункция имеет частныепроизводные в некоторой окрестности точки и эти производныенепрерывны в самой точке
Доказательство.Дадим переменным и столь малыеприращения и не вышла за пределыуказанной окрестности точки можно записать в виде
Каждаяиз этих разностей представляет частное приращение функции. Преобразует каждуюиз этих разностей по формуле Лагранжа. Получим:
(6)
Так как производные и непрерывны в точке
Отсюда
и — бесконечно малые при
аэто и означает, что функция дифференцируема вточке
2.3 Производные и дифференциалсложной функции.
Пусть zбудет функцией одной переменной t.Предположим, что непрерывны и существуют. Найдем Дадим переменной tприращение x, y, а следовательно, и zполучат свои приращения и
откуда
Устремимтеперь к нулю. Тогда и будут стремиться кнулю, так как функции x и y непрерывны (мы предположилисуществование производных и и будут стремиться кнулю. В пределе получим:
или,короче,
(7)
Формула (7) называется формулой производной сложной функции.
Пример1. Пусть
Предположим, в частности, что рольнезависимой переменной играет, т.е. рассмотрим функцию
(8)
таккак — частная производнаяпо первому аргументу функции двух переменных — обычная производнаясложной функции одной переменной x: полной производной функции. В случае, когда
( — частная производнаяпо второму аргументу функции — полная производнаяфункции одной переменной y:
Пусть теперь ( здесь предполагаетсясуществование первых производных функций по и zбудет функцией двух независимых переменных и
(9)
Аналогично
(10)
Пример 2. Если
Из формул (9) и (10) видно, что символчастной производной, как уже отмечалось выше, нельзя трактовать как дробь. Всамом деле, если бы можно было сократить на и
и
2.3 Неявные функции и ихдифференцирование.
Если уравнение, с помощью которогозадается функция одной переменной x, неразрешено относительно y, тоэта функция называется неявной.Разрешая это уравнение относительно y, мы получаем ту же функцию, ноуже заданную в явной форме. Однако часто бывает, что разрешить такое уравнениеотносительно yневозможно(например,
(11)
Всвязи с этим встает вопрос о том, как найти производную неявной функции, неразрешая уравнения (11) относительно у.
Если в уравнении (11), определяющемнеявную функцию х, то для нахождения соответствующегозначения у надо решать уравнение.Теперь, если в это уравнение подставить его решение, то получится тождество.Поэтому можно сказать также, что неявная функция такая функция, которая, будучи подставлена в уравнение(11), обращает его в тождество. Дифференцируя это тождество по xсогласно правилу дифференцирования сложной функции, получим:
Отсюда при вытекает формула дляпроизводной неявной функции
(12)
Пример 1. Пусть yкак функция от xзаданасоотношением
Для имеем: и согласно формуле(12)
Пусть уравнение (13)
Определяетz как неявную функцию независимых переменныхxи y.
Пользуясьформулой (12), из равенства (13) имеем:
(14)
Пример 2. Найти частные производныенеявной функции z, заданной уравнением
Согласно формулам (14)
III. Част