Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Допущена к защите
Зав.кафедройШеметков Л.А.
«» 2007 г.
/>Ободной проблеме теории
Формации конечных групп
Курсовая работа
Исполнитель:
студентгруппы М-51 А.И. Рябченко
Научныйруководитель:
к.ф.-м.н., старший преподаватель В.Г. Сафонов
Гомель 2007
Оглавление
Введение
Вспомогательныефакты
Основныерезультаты
Заключение
ЛИТЕРАТУРА
Введение
Все рассматриваемые в работе группы предполагаютсяконечными. Кроме общепринятой терминологии [1–3], нам потребуются некоторыеопределения и обозначения работы [4].
Пусть /> –некоторое непустое подмножество множества всех простых чисел; /> – дополнение к /> во множестве всех простыхчисел. Формация /> называется />-насыщенной, если ейпринадлежит всякая группа />,удовлетворяющая условию />, где />. Всякая формация считается0-кратно />-насыщенной. При /> формация /> называется />-кратно />-насыщенной [4], если />, где все непустые значения/>-локального спутника /> являются />-кратно />-насыщенными формациями.
Для любых двух />-кратно/>-насыщенных формаций /> и /> полагают />, а />, где /> – пересечение всех />-кратно />-насыщенных формаций,содержащих />. Через /> обозначают решетку />-кратно />-насыщенных формаций,заключенных между /> и />. Длину решетки /> обозначают /> и называют />-дефектом формации />. />-Кратно />-насыщенную формацию /> называют />-приводимой, если она можетбыть представлена в виде решеточного объединения некоторых своих собственных />-кратно />-насыщенных подформаций врешетке />. В противном случаеформацию /> называют />-неприводимой.
Группа /> называюткритической, если /> – группа минимальногопорядка из /> для некоторых формаций />и />. Критическая группа /> называется />-базисной, если у формации,ею порожденной, имеется лишь единственная максимальная подформация />, причем />.
В работе [4] А.Н. Скибой и Л.А. Шеметковымбыла поставлена задача описания />-кратно />-насыщенных формаций />-дефекта /> (вопрос 5, [4]). Полученныенами теоремы 1–3 завершают описание />-кратно />-насыщенных формаций такоготипа. В частности, теорема 1 и теорема 2 позволяют классифицировать />-приводимые />-кратно />-насыщенные формации,имеющие />-дефект />, а в теореме 3 полученоописание конечных групп, порождающих />-неприводимыеформации />-дефекта 2 (/>). Отметим, что при /> решение данной задачиполучено в работе [5].
Вспомогательныефакты
Следствием теоремы 3.4.3 работы [6]является
Лемма 1.Пусть /> – />-кратно />-насыщенная ненильпотентнаяформация. Тогда в /> имеется покрайней мере одна минимальная />-кратно />-насыщенная ненильпотентнаяподформация.
Доказательство следующей леммы аналогичнодоказательству леммы 20.4 [2].
Лемма 2.Пусть />, /> /> и /> – />-кратно />-насыщенные формации,причем />. Тогда если /> /> и /> соответственно />-дефекты формаций /> /> и /> и /> />, то />.
Лемма 3 [4].Для всех /> решетка/> модулярна.
Аналогично лемме 14 [7] доказывается
Лемма 4. Пусть />, где /> – некоторая />-кратно />-насыщенная нильпотентнаяподформация формации />, /> – минимальная />-кратно />-насыщенная ненильпотентнаяподформация формации />. Тогда вформации /> не существует минимальных />-кратно />-насыщенных ненильпотентныхформаций, отличных от />.
Лемма 5.Пусть />, /> и /> – />-насыщенная формации и />. Тогда />.
Доказательство аналогично лемме20.3 [2].
Лемма 6 [8].При /> всякая />-кратно насыщеннаяформация, имеющая />-дефект 2, приводима.
Лемма 7 [4].Пусть/> –/>-кратно />-насыщенная формация />. Тогда спутник /> является />-значным.
Лемма 8 [9].Пусть /> –такая полная решетка формаций, что />. Пусть /> – />-локальная формация сканоническим />-локальным спутником />, /> – />-локальная формация сминимальным />-локальным />-значным спутником />. Тогда в том и только втом случае /> – />-критическая формация,когда />, где /> – такая монолитическаягруппа с монолитом />, что либо />, /> и /> – />-критическая формация длявсех />, либо /> и /> – />-критическая формация.
Лемма 9 [4]. Пусть />,где />, и пусть /> – минимальный />-значный спутник формации />. Тогда справедливыследующие утверждения: 1) />; 2) /> для всех />; 3) />, спутник /> является />-значным и /> – некоторый фиксированныйэлемент из />, то />, где /> для всех />, /> и, кроме того, />; 4) />, где /> и /> для всех />.
Лемма 10 [4]. Пусть /> такойвнутренний />-кратно />-локальный спутник формации/>, что />, />. Тогда />, где />.
Лемма 11 [10]. Тогда и только тогда /> является минимальной />-кратно />-насыщенной ненильпотентнойформацией, когда />, где /> – такая монолитическаягруппа с цоколем />, что либо />, либо /> и выполняется одно изследующих условий:
1) /> –группа Шмидта с />, где /> – абелева />-группа, /> и /> – простое число;
2) /> –неабелева />-группа, />, где />, причем, если />, то /> и /> – простая неабелевагруппа.
Лемма 12 [6].Пусть /> –монолитическая группа с неабелевым монолитом />.Тогда если простое число /> делитпорядок группы />, то />.
Лемма 13 [1, с. 26].Пусть /> –произвольная непустая формация и пусть у каждой группы /> />-корадикал /> не имеет фраттиниевых />-главных факторов. Тогдаесли /> – монолитическая группа из/>, то />.
Лемма 14 [2, с.168]. Пусть /> и/> – формации, причем /> – локальна и /> – группа минимальногопорядка из />. Тогда /> монолитична, ее монолитсовпадает с /> и если /> – />-группа, то />.
Лемма 15 [2, с.171]. Если в группе /> имеется лишь однаминимальная нормальная подгруппа и /> (/> – некоторое простоечисло), то существует точный неприводимый />-модуль,где /> – поле из /> элементов.
Лемма 16 [4].Пусть /> –/>-насыщенная формация и /> – ее />-локальный спутник. Если />, то />.
Лемма 17 [4]. Пусть /> и/> – минимальные />-локальные />-значные спутники формаций /> и /> соответственно. Тогда /> в том и только в томслучае, когда />.
Лемма 18 [10]. Пусть /> (/>), где /> – такая монолитическаягруппа с неабелевым монолитом />, что /> и />. Тогда /> имеет единственнуюмаксимальную />-кратно />-насыщенную подформацию />, причем />.
Основные результаты
Теорема 1. Пусть /> – />-кратно />-насыщенная формация. Тогдав том и только в том случае />-дефектформации /> равен 1, когда />, где /> – />-кратно />-насыщенная нильпотентнаяподформация формации />, /> – минимальная />-кратно />-насыщенная ненильпотентнаяподформация формации />, при этом: 1) всякая/>-кратно />-насыщенная нильпотентнаяподформация из /> входит в />; 2) всякая />-кратно />-насыщенная ненильпотентнаяподформация /> из /> имеет вид />
Доказательство. Необходимость. Пусть />-дефект формации /> равен 1. Так как /> не являетсянильпотентной формацией, то по лемме 1 в /> входитнекоторая минимальная />-кратно />-насыщенная ненильпотентнаяподформация />. По условию /> – максимальная />-кратно />-насыщенная подформация в />. Значит, />.
Достаточность. Пусть />,где /> – />-кратно />-насыщенная нильпотентнаяподформация формации />, /> – минимальная />-кратно />-насыщенная ненильпотентнаяподформация />. Понятно,что />. Пусть />-дефекты />-кратно />-насыщенных формаций />, /> и /> равны соответственно />, /> и />. Поскольку /> – />-кратно />-насыщенная нильпотентнаяподформация формации />, то/>. Так как /> – минимальная />-кратно />-насыщенная ненильпотентнаяформация, то ее />-дефект /> равен 1. В силу леммы 2имеет место неравенство />. Если />, то /> – нильпотентнаяформация, что противоречит условию />. Такимобразом, />-дефект формации /> равен 1.
Докажем теперь справедливостьутверждения 1) второй части теоремы. Так как /> –максимальная />-кратно />-насыщенная подформация в />, то, в силу леммы 3, имеетместо решеточный изоморфизм
/>
/>
Следовательно, /> – максимальная />-кратно />-насыщенная подформация в />. Тогда, поскольку />, то всякая />-кратно />-насыщенная нильпотентнаяподформация из /> входит в />.
Докажем утверждение 2). Используялемму 4, получаем, что в формации /> нетминимальных />-кратно />-насыщенных ненильпотентныхподформаций, отличных от />.
Пусть теперь /> – произвольная />-кратно />-насыщенная ненильпотентнаяподформация из />. Тогда всилу уже доказанного и леммы 4 получаем, что />.Следовательно, применяя лемму 3, получаем />.Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть /> – />-приводимая формация, />. Тогда и только тогда />-дефект формации /> равен 2, когда /> удовлетворяет одному изследующих условий: 1) />, где />, /> и /> – различные минимальные />-кратно />-насыщенные ненильпотентныеформации; 2) />, где />, /> – />-неприводимая формация />-дефекта 2, />, причем если />, то />.
Доказательство. Заметим, чтопри />, справедливостьутверждения теоремы вытекает из теоремы 1.1 [5], а также теоремы 1 работы [11].Поэтому мы можем считать, что />.
Необходимость. Пусть />-дефектформации /> равен 2, /> – такая максимальная />-кратно />-насыщенная подформацияформации />, что />-дефект формации /> равен 1. По теореме 1получаем />, где /> – минимальная />-кратно />-насыщенная ненильпотентнаяформация, а />. Если в формации /> имеется еще однаминимальная />-кратно />-насыщенная ненильпотентнаяподформация />, отличная от />, то, в силу леммы 4, />. Значит,
/>
и выполнено условие 1).
Пусть теперь в формации /> нет отличных от /> минимальных />-кратно />-насыщенных ненильпотентныхподформаций. Поскольку /> – />-приводимая формация, то в /> найдется такая группа />, что />. Понятно, что />. Ввиду леммы 5 />-дефект формации /> меньше или равен 2.Поскольку /> и />-дефект формации /> равен 1, то />-дефект формации /> не равен 0. Допустим, что />-дефект формации /> равен 1. Тогда по теореме 1и предположению о единственности /> получаем,что />, где />. Значит, /> где />. Но тогда в силу леммы 2 />-дефект формации /> равен 1. Противоречие.Поэтому />-дефект формации /> равен 2. Тогда />, так как иначе />, что противоречитмаксимальности формации /> вформации />. Таким образом, />
Предположим, что /> – />-неприводимая формация.Заметим, что если /> и /> – />-насыщенная формация, то /> является насыщеннойформацией. Действительно, из />-насыщенностиформации /> получаем, что для любойгруппы /> из условия /> следует, что />. Но />. Значит, />. Тогда получаем, что изусловия /> следует, что />. Таким образом, /> является насыщеннойформацией. Ввиду леммы 6 всякая />-кратнонасыщенная формация, имеющая нильпотентный дефект 2, приводима. В этом случае /> – приводимая />-кратно насыщеннаяформация. Противоречие. Поэтому />. Тогдаполучаем, что формация /> удовлетворяетусловию 2).
Пусть теперь /> – />-приводимая формация.Воспользуемся индукцией по числу разрешимых />-кратно/>-насыщенных подформацийоднопорожденной формации />.
Обозначим через /> максимальную />-кратно />-насыщенную подформациюформации />, имеющую />-дефект, равный 1. Так как /> – />-приводимая формация, то в /> существует такая группа />, что />. Ввиду максимальностиформации /> в формации /> справедливо />. По теореме 1 ипредположению единственности /> получаем,что />, где /> – некоторая нильпотентная />-кратно />-насыщенная подформацияформации />.
Тогда />.Заметим, что повторяя приведенные выше рассуждения для />, получаем, что либоформация /> (где />) удовлетворяет условию 2),и необходимость доказана, либо формация /> является/>-приводимой формацией />-дефекта 2. Понятно, что />, так как иначе />, что противоречитмаксимальности формации /> в />.
Поскольку /> –собственная />-кратно />-насыщенная подформацияформации />, то число разрешимых подформацийформации /> меньше чем у />. Ввиду замечания 3 [4] воднопорожденной формации /> имеетсялишь конечное множество разрешимых />-кратно />-насыщенных подформаций.Поэтому, повторяя описанные выше действия, через конечное число шагов мы придемк ситуации, когда либо формация /> (где />) удовлетворяет условию 2)и необходимость доказана, либо />, где /> – />-приводимая формация />-дефекта 2, /> – наименьшая неединичнаяразрешимая подформация формации />, такаячто />.
Обозначим через /> максимальную />-кратно />-насыщенную подформациюформации />, имеющую нильпотентный />-дефект, равный 1. Так как /> – />-приводимая формация, то в /> существует такая группа />, что />. Ввиду максимальностиформации /> в формации /> справедливо />. По теореме 1 ипредположению единственности /> получаем,что />, где /> – некоторая нильпотентная />-кратно />-насыщенная подформация формации/>. Тогда
/>
Но /> попредположению индукции. Следовательно, формация /> неможет быть />-приводимой формацией.Значит, />, где />, /> – />-неприводимая формация />-дефекта 2. Необходимостьдоказана.
Достаточность. Пусть />,где />, /> и /> – различные минимальные />-кратно />-насыщенные ненильпотентныеформации. Пусть />, />, /> и /> />-дефекты формаций />, />, /> и /> соответственно. Тогда полемме 2 />-дефект формации />не превосходит/>. С другой стороны по лемме5 />-дефект формации />больше либо равен />. Таким образом, />-дефект формации /> равен 2.
Аналогично рассматривается случай,когда />, где />, /> – />-неприводимая формация />-дефекта 2. Теоремадоказана.
Теорема 3. Пусть /> – />-кратно />-насыщенная формация />. Тогда и только тогдаформации /> – />-неприводимая формация />-дефекта 2, когда />, где /> – такая монолитическаягруппа с цоколем />, что выполняетсяодно из следующих условий:
1) />,где /> – />-группа, />, а /> – группа, удовлетворяющаяодному из следующих условий:
1.1) циклическая примарная группапорядка />/>;
1.2) неабелева группа порядка /> простой нечетнойэкспоненты/>;
1.3) монолитическая группа с цоколем />и /> – />-группа;
2) /> –неабелева группа, />, а группа />удовлетворяет одному из следующихусловий:
2.1) />-группа,где />;
2.2) элементарная абелева />-группа, />;
2.3) подпрямое произведение группизоморфных />, где /> – такая монолитическаягруппа с цоколем />, что /> – неабелева группа, />;
3) /> –/>-группа, формация /> имеет />-дефект 1, /> – />-базисная группа, где />, />, а /> – такая монолитическаягруппа с цоколем />, что выполненоодно из следующих условий:
3.1) /> –группа Шмидта с />, где /> – абелева />-группа, /> и /> – простое число,/>;
3.2) /> –неабелева группа, причем />;
3.3) /> –/>-группа.
Доказательство.Необходимость. Пусть/> – />-неприводимая формация />-дефекта 2, /> – максимальная />-кратно />-насыщенная подформацияформации /> с каноническим спутником />. Заметим, что ввиду леммы 7спутник /> является />-кратно />-локальным. Тогда /> является минимальной />-кратно />-насыщенной не />-формацией. Пусть /> и /> – минимальные />-кратно />-локальные спутникиформаций /> и /> соответственно. В силузамечания 2 [4] имеем />, для всех />.
Применяя лемму 8, получим,что />, где /> – такая монолитическаягруппа с цоколем />, что либо />(, /> и /> – />-критическая формация длявсех />, либо /> и /> – />-критическая формация. Потеореме 1 />, где /> – минимальная />-кратно />-насыщенная ненильпотентнаяподформация формации />, />.
Предположим, что />. Тогда найдется простоечисло />. Пусть /> – группа порядка />. Тогда />. Так как /> – максимальная />-кратно />-насыщенная подформацияформации /> и />, то />. Но формация /> является />-неприводимой по условиютеоремы. Противоречие. Следовательно, />.
Пусть /> и /> – минимальные />-кратно />-локальные спутникиформаций /> и /> соответственно. По лемме 9формации /> и /> имеют такие внутренние />-кратно />-локальные спутники /> и />, принимающиесоответственно значения />, при />, />, при />, />, при />, и />, при />, />, при />, />, при />. Ввиду леммы 10справедливо равенство />.
В силу леммы 11 />, где /> – такая монолитическаягруппа с цоколем />, что либо />, либо /> и выполняется одно изследующих условий:
(1) /> –группа Шмидта с />, где /> – абелева />-группа, /> и /> – простое число;
(2) /> – неабелева />-группа />, где />.
Заметим, что если />, то любая />-насыщенная подформация из /> является насыщенной.Следовательно, любая />-кратно />-насыщенная подформацияформации /> является />-кратно насыщенной. Полемме 6 при /> всякая />-кратно насыщенная формацияс />-дефектом 2 приводима.Поэтому при /> формация /> не может быть />-неприводимойформацией, что противоречит условию. Таким образом, />.
Допустим, что /> – неабелев цоколь группы />. Пусть /> и />. Тогда по лемме 12 имеем />. Значит, />
Пусть для формации /> выполнено условие (1).Предположим, что />. Так как />, то имеем />. Тогда /> – минимальная />-кратно />-насыщенная не />-формация. Значит, />, />и />-дефект формации /> равен 1 по лемме 11.Противоречие. Поэтому />. Используя лемму9, имеем
/>.
Следовательно, />.
Покажем, что />. Действительно, если />, то найдется такое />, что />. Поскольку />, то />. Тогда />. Так как /> делит порядок />, то по лемме 12 имеем />. Тогда /> – минимальная />-кратно />-насыщенная не />-формация. Поскольку/> и />, то />. Так как при этом /> и />, то />. Но />. Противоречие. Поэтому />.
По лемме 9 имеем /> Следовательно, /> и /> является минимальной />-кратно />-насыщенной не />-формацией.
Ясно также, что />, поскольку в противномслучае />-дефект формации /> равен 1 в силулеммы 11.
Если />, то />. Значит, /> является минимальной />-кратно />-насыщенной не />-формацией. Поэтому />. Значит, />, и формация /> удовлетворяет условию 2.1)теоремы.
Если />, то />. Тогда />. Так как />, то />, т.е. /> является элементарнойабелевой />-группой, и формация /> удовлетворяет условию 2.2)теоремы.
Пусть для формации /> выполнено условие (2).Покажем, что />. Предположим,что существует />. Тогда />. Значит, /> – минимальная />-кратно />-насыщенная не />-формация. Последнееневозможно, так как />. Поэтому />. Но />. Следовательно, />.
Ввиду леммы 12, />. Так как />, то /> – минимальная не />-формация. Значит, />. Но, как нетрудно показать,/>. Если />, то по лемме 11 />-дефект формации /> равен 1. Противоречие.Следовательно, /> и />. Но тогда /> Так как при этом группа /> является монолитическойгруппой с неабелевым цоколем />, топрименяя лемму 13 получим, что /> –подпрямое произведение групп изоморфных группе />.Таким образом, группа /> удовлетворяетусловию 2.3) теоремы.
Пусть теперь /> – такая формация, что /> – монолитическая группа сцоколем />, />. Так как />, то />. Но тогда /> – минимальная />-кратно />-насыщенная не />-формация. Значит, /> и по лемме 11 получаем,что />-дефект формации /> равен 1. Противоречие.Таким образом, данный случай невозможен.
Пусть /> – абелева />-группа, />. Тогда по лемме 14 имеем />. Пусть формация /> удовлетворяет условию (1).
Предположим, что />. Тогда />. Значит, /> – минимальная />-кратно />-насыщенная не />-формация. Пусть /> – группа минимальногопорядка из />. Тогда /> является монолитическойгруппой с цоколем />. Ясно, что /> и />. Применяя лемму 15,получаем, что существует точный неприводимый />-модуль/>. Обозначим через />. Ввиду леммы 16 группа />. Так как />, то />. Поскольку /> и формация /> разрешима, то /> – абелева />-группа для некоторогопростого числа />. Но />. Если />, то группа /> нильпотентна. Поскольку />, то /> – группа простого порядка />. Но тогда по лемме 11 получаем,что />-дефект формации /> равен 1. Противоречие.Поэтому />. Так как при этом />, то />, что невозможно. Поэтому />.
Но тогда /> и /> – минимальная />-кратно />-насыщенная не />-формация.
Рассмотрим группу />. Тогда /> является монолитическойгруппой с цоколем />. Поскольку /> и формация /> разрешима, то /> – абелева />-группа для некоторогопростого числа />. Ясно, что />. Применяя лемму 15,получаем, что существует точный неприводимый />-модуль/>. Обозначим через />. Ввиду леммы 16 группа />. Так как />, то />. Но />. Значит, />. Но /> – монолитическая группа.Значит, /> – />-группа. Если />, то />, что невозможно. Значит, />. Если />, то по лемме 11 />-дефект формации /> равен 1. Противоречие.Следовательно, />. Поскольку />, то />. Таким образом, /> и />. Тогда /> – минимальная не />-формация. Поскольку группа/> нильпотентна, то любаясобственная подгруппа из /> принадлежит/>. Таким образом, /> – минимальная не />-группа. Так как при этом /> – />-группа, то /> либо циклическая примарнаягруппа порядка />, либо неабелевагруппа порядка /> простой нечетнойэкспоненты />. Но тогда группа /> удовлетворяет условию 1.1)или 1.2) теоремы.
Пусть для формации /> выполнено условие (2).Допустим, что />. Тогда />. Значит, /> – минимальная />-кратно />-насыщенная не />-формация. Поскольку />, то />. Так как при этом />, то />. Если />, то />, что невозможно. Значит, />. Но />. Следовательно, />. Противоречие. Такимобразом, />.
Тогда /> и /> – минимальная />-кратно />-насыщенная не />-формация. Выберем в /> группу /> минимального порядка.Тогда /> – монолитическая группа сцоколем /> и />. Применяя лемму 15,получаем, что существует точный неприводимый />-модуль/>. Обозначим через />. Ввиду леммы 16 группа />. Так как />, то />. Предположим, что /> – неабелев цокольгруппы />. Ввиду того, что /> и
/>то />. Следовательно, по лемме 13имеем />. Поскольку /> и />, то группа /> изоморфна группе />. Но тогда />. Однако />. Поэтому /> и />-дефект формации /> равен 1. Противоречие.Следовательно, /> – абелева />-группа, для некоторогопростого числа />. Допустим, что />. Пусть /> – группа порядка />. Тогда />. Пусть /> – точный неприводимый />-модуль и />. Применяя лемму 16,получим />. Ввиду леммы 11 формация /> имеет />-дефект 1. Поскольку /> и />, то мы получаемпротиворечие с леммой 5. Значит, />. Поскольку/> и
/> то />. Следовательно, по лемме 13имеем /> Так как /> и />, то группа /> изоморфна группе />. Но /> – неабелева />-группа. Противоречие.Следовательно, данный случай невозможен.
Пусть формация /> такая, что />. Так как />, то />. Но тогда /> – минимальная />-кратно />-насыщенная не />-формация. Пусть /> – группа минимальногопорядка из />. Тогда /> является монолитическойгруппой с цоколем />. Понятно, что /> и />. Применяя лемму 15получаем, что существует точный неприводимый />-модуль/>. Обозначим через />. Ввиду леммы 16 группа />. Так как />, то />.
Пусть /> – абелева />-группа для некоторогопростого числа />. Если />, то />. Противоречие. Значит, />. Кроме того, понятно, что />. Так как в противномслучае /> и по лемме 11 формация /> имеет />-дефект 1, что невозможно. Поскольку/> и />, то />. Тогда по лемме 13получим, что />. Так как /> и />, то группа /> изоморфна группе />.
Пусть /> – неабелев цоколь группы />. Тогда так как /> и />, то />. Применяя теперь лемму 13,заключаем, что />. Так как /> и /> получаем, ввидумонолитичности />, что группы /> и /> изоморфны.
Кроме того, заметим, что />. Поскольку иначе найдетсягруппа /> простого порядка />, такая, что />. Пусть /> – точный неприводимый />-модуль и />. Применяя лемму 16,получим />. Ввиду леммы 11 формация /> имеет />-дефект 1. Поскольку /> и />, то мы получаемпротиворечие с леммой 5. Значит, />. Такимобразом, группа /> удовлетворяетусловию 1.3) теоремы.
Пусть теперь /> – />-группа и пусть формация /> удовлетворяет условию (1)или (2). Тогда /> или,соответственно,/>. Если />, то /> или />. Но /> – />-группа. Значит, />. Противоречие. Поэтому />. Но тогда /> – единственнаямаксимальная подформация /> и /> – />-базисная группа. Если />, то по лемме 11 формация /> имеет />-дефект 1. Противоречие.Значит, />. Так как при этом, />, то />-дефект формации /> равен 1. Значит, /> удовлетворяет условию 3.1)или 3.2) теоремы.
Пусть теперь для формации/> выполняется условие />. Тогда по лемме 8 /> – минимальная />-кратно />-насыщенная не />-формация. Снова применяялемму 8, получим, что /> – />-критическая формация, …, /> – минимальная не />-формация и /> – />-базисная группа. Если />, то по лемме 11 формация /> имеет />-дефект 1. Противоречие.Значит, />. Так как при этом, />, то />-дефект формации /> равен 1. Таким образом,группа /> удовлетворяет условию 3.3)теоремы.
Достаточность. Пусть для формации /> выполнено условие 1)теоремы и /> – циклическая примарнаягруппа порядка />, />. Пусть /> – минимальный />-кратно />-локальный спутник формации/>. По лемме 14 имеем />. Так как />, то />. Заметим, что /> является единственноймаксимальной подформацией формации />, где /> – группа порядка />.
Построим />-кратно />-локальный спутник />, принимающий следующиезначения />, при />, />, при />. Рассмотрим />-кратно />-насыщенную формацию />. Пусть /> – минимальный />-кратно />-локальный спутник формации/>. Тогда так как />, то, ввиду леммы 17, />.
Пусть /> – произвольная собственная/>-кратно />-насыщенная подформацияформации />. И пусть /> – минимальный />-кратно />-локальный спутник формации/>. Если />, то так как />, получаем />. Следовательно, />. Противоречие. Значит, />. Тогда, так как /> – единственнаямаксимальная подформация />, то /> и /> для />, т.е. />. По лемме 17 получаем, что/>. Таким образом, /> – единственнаямаксимальная />-кратно />-насыщенная подформацияформации />, т.е. /> является />-неприводимой формацией.
Поскольку />, то ввиду леммы 15существует точный неприводимый />-модуль />, где /> – поле из /> элементов. Пусть />. Тогда, так как />, то, ввиду леммы 16, />. Если предположить, что />, то по лемме 17 получаем />, где /> – минимальный />-кратно />-насыщенный спутникформации />. Но тогда />. Противоречие. Значит, />, т.е. формация /> порождается группой Шмидтаи имеет нильпотентный />-дефект 1. Нотогда />-дефект формации /> равен 2.
Случаи, когда /> – неабелева группа порядка/> простой нечетнойэкспоненты />, и /> – монолитическая группа сцоколем />, где /> – />-группа, рассматриваютсяаналогично.
Пусть для формации /> выполнено условие 2)теоремы. Построим />-значный />-локальный спутник />, принимающий следующиезначения: />, при />, />, при />. Ясно, что />.
Рассмотрим />-кратно />-насыщенную формацию />, порожденную спутником />. Пусть /> – минимальный />-кратно />-локальный спутник формации/>. Тогда так как />, то, ввиду леммы 17, />.
Пусть /> – произвольная собственная/>-кратно />-насыщенная подформацияформации />, /> – ее минимальный />-значный />-локальный спутник. Тогда /> для любого />. Кроме того, как нетруднопоказать, имеет место включение
/>
Поэтому />. Таким образом, /> – единственнаямаксимальная />-кратно />-насыщенная подформацияформации />, т.е. /> является />-неприводимой формацией.
В силу леммы 11 />-дефект />-кратно />-насыщенной формации /> равен 1. Но тогда />-дефект />-неприводимой формации /> равен 2.
Пусть для формации /> выполнено условие 3). Построим/>-локальный спутник /> – такой, что /> и /> для любого />. Так как группа /> является />-базисной, то всякаяподформация из /> содержится в />. Следовательно, формация /> по лемме 8 является />-критической. Пусть теперь /> – такой />-значный />-локальный спутник, что /> и /> для любого />. Снова применяя лемму 8,получаем, что формация /> является />-критической и т.д. Построим/>-значный />-локальный спутник /> такой, что /> и /> для любого />. Опять применяя лемму 8,получим, что формация /> является />-критической. Заметимтакже, что ввиду леммы 11 />-дефект />-кратно />-насыщенной формации /> равен 1. Следовательно, />-дефект />-неприводимой формации /> равен 2. Теорема доказана.Заключение
Дано решение проблемы описания />-кратно />-насыщенных формаций />-дефекта 2,поставленной А.Н. Скибой и Л.А. Шеметковым в работе «Кратно />-локальные формации иклассы Фиттинга конечных групп» (Матем. Труды. – 1999. – Т.2, №2. – С. 114-147,проблема 5). В частности, установлено внутреннее решеточное строение />-приводимых формаций />-дефекта />2; получено описаниеконечных групп, порождающих />-неприводимыеформации />-дефекта 2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шеметков Л.А.Формации конечных групп. – М., 1978. – 267 с.
2. Шеметков Л.А.,Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. – М., 1989. – 256 с.
3. Скиба А.Н.Алгебра формаций. – Мн.: Беларуская навука, 1997. – 240 c.
4. Скиба А.Н.,Шеметков Л.А. Кратно />-локальныеформации и классы Фиттинга конечных групп // Матем. труды. –1999. – Т.2, №2. –С. 114–147.
5. Частичнолокальные формации с заданными системами подформаций: отчет о НИР(заключительный): ГБЦМ 20-07 / УО «Гомельский государственный университет имениФ.Скорины»; рук. В.Г.Сафонов; исполн.: В.М.Селькин, В.В.Аниськов. – Гомель,2001. – 69 с. – Библиогр.: с. 66-69. – № ГР 2000419.
6. Шаблина И.П.Модулярные и алгебраические решетки />-кратно />-насыщенных формацийконечных групп: Дис. … канд. физ.-мат. наук. – Гомель, 2003. – 92 с.
7. Рябченко А. И Очастично насыщенных формациях с />-дефектом1 // Изв. НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. – 2008. – № 1 .– С.28–34.
8. Сафонов В.Г. Оминимальных кратно локальных не />-формацияхконечных групп // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гом-го ун-та, 1995. – Вып. 8.– С. 109–138.
9. Селькин В.М.,Скиба А.Н. О />-критических формациях //Вопросы алгебры. – Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф.Скорины, 1999. – Вып. 14. – С. 127–131.
10. Рябченко А. И. Оминимальных />-кратно />-насыщенных ненильпотентныхформациях // Вестник Полоцкого государственного университета. Сер. С. – 2008. –№5. – C. 41–46.
11. Рябченко А. И. Ктеории частично насыщенных формаций // Изв. Гом.гос.унив.им.Ф.Скорины. – 2008.– №6(51). Ч.2.– С. 153–160.