ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ФЕДЕРАЛЬНОЕАГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ИРКУТСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
(ГОУ ВПО ИГУ)
Физический факультет
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
Выполнил студент гр. 1322
Конусов Н.Ю.
Иркутск 2007
Проводилось статистическое исследование количествапотребляемой электроэнергии в течениекаждого часа в дневное время на протяжении пяти дней в двухкомнатной квартире.Объем выборки n=90.
1
Время
Показания счетчика кВт * час
Потребление кВт * час
5:00
30122,84
6:00
30122,93
0,09
7:00
30123,01
0,08
8:00
30123,19
0,18
9:00
30123,35
0,16
10:00
30123,75
0,40
11:00
30124,12
0,37
12:00
30124,67
0,55
13:00
30124,77
0,10
14:00
30124,97
0,20
15:00
30125,31
0,34
16:00
30125,48
0,17
17:00
30125,71
0,23
18:00
30126,23
0,52
19:00
30126,72
0,49
20:00
30127,34
0,62
21:00
30127,66
0,32
22:00
30128,17
0,51
23:00
30128,49
0,32
2
Время
Показания счетчика кВт * час
Потребление кВт * час
5:00
30130,26
6:00
30131,31
1,05
7:00
30131,86
0,55
8:00
30131,91
0,05
9:00
30131,97
0,06
10:00
30132,16
0,19
11:00
30132,58
0,42
12:00
30132,95
0,37
13:00
30133,58
0,63
14:00
30133,92
0,34
15:00
30134,17
0,25
16:00
30134,34
0,17
17:00
30134,55
0,21
18:00
30135,02
0,47
19:00
30135,40
0,38
20:00
30135,94
0,54
21:00
30136,56
0,62
22:00
30136,86
0,30
23:00
30136,88
0,02
3
Время
Показания счетчика кВт * час
Потребление кВт * час
5:00
30137,17
6:00
30137,25
0,08
7:00
30137,31
0,06
8:00
30137,58
0,27
9:00
30137,74
0,16
10:00
30137,86
0,12
11:00
30138,12
0,26
12:00
30138,82
0,70
13:00
30139,49
0,67
14:00
30139,82
0,33
15:00
30140,20
0,38
16:00
30141,77
1,57
17:00
30143,12
1,35
18:00
30143,57
0,45
19:00
30144,32
0,75
20:00
30145,00
0,68
21:00
30145,53
0,53
22:00
30145,84
0,31
23:00
30147,17
1,33
4
Время
Показания счетчика кВт * час
Потребление кВт * час
5:00
30148,61
6:00
30148,68
0,07
7:00
30148,80
0,12
8:00
30148,88
0,08
9:00
30149,40
0,52
10:00
30150,32
0,92
11:00
30150,95
0,63
12:00
30151,10
0,15
13:00
30151,30
0,20
14:00
30151,67
0,37
15:00
30151,77
0,10
16:00
30152,16
0,39
17:00
30152,38
0,22
18:00
30153,00
0,62
19:00
30153,56
0,56
20:00
30154,29
0,73
21:00
30155,14
0,85
22:00
30155,66
0,52
23:00
30155,96
0,30
5
Время
Показания счетчика кВт * час
Потребление кВт * час
5:00
30157,52
6:00
30157,55
0,03
7:00
30158,01
0,46
8:00
30158,15
0,14
9:00
30158,67
0,52
10:00
30159,59
0,92
11:00
30160,79
1,20
12:00
30161,20
0,41
13:00
30161,40
0,20
14:00
30161,77
0,37
15:00
30162,23
0,46
16:00
30162,57
0,34
17:00
30162,79
0,22
18:00
30163,41
0,62
19:00
30163,97
0,56
20:00
30164,70
0,73
21:00
30165,55
0,85
22:00
30165,98
0,43
23:00
30166,28
0,30 ПЕРВИЧНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКАДАННЫХ
1. Точечный вариационный ряд. Распределение xiпо частотам ni.
xi
0,02
0,03
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0,12
0,14
0,15
0,16
0,17
ni
1
1
1
2
1
3
1
2
2
1
1
2
2
0,18
0,19
0,2
0,21
0,22
0,23
0,25
0,26
0,27
0,3
0,31
0,32
0,33
0,34
0,37
1
1
3
1
2
1
1
1
1
3
1
2
1
3
4
0,38
0,39
0,4
0,41
0,42
0,43
0,45
0,46
0,47
0,49
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
4
1
1
2
0,56
0,62
0,63
0,67
0,68
0,7
0,73
0,75
0,85
0,92
1,05
1,2
1,33
1,35
1,57
2
4
2
1
1
1
2
1
2
2
1
1
1
1
1
Переход к группированным выборочнымданным.
xmin= 0,02 xmax= 1,57. Диапазон [xmin; xmax] разбиваем на kравных интервалов. Воспользуемсяформулой k= log2 n+ 1. k = 7.
Вариационный размах R = xmax — xmin = 1,55. Длина интервала h = R / k = 0,221.
Интервальный ряд
Ci – C i+1
0,02 – 0,241
0,241 – 0,463
0,463 – 0,684
0,684 – 0,906
0,906 – 1,127
1,127 – 1,349
1,349– 1,570
n*i
29
27
21
6
3
2
2
Равноточечный ряд по частотам
x*i
0,131
0,352
0,574
0,795
1,016
1,238
1,459
n*i
29
27
21
6
3
2
2
Равноточечный ряд по относительнымчастотам ;
x*i
0,131
0,352
0,574
0,795
1,016
1,238
1,459
w i
29/90
27 / 90
21 / 90
6 / 90
3 / 90
2 / 90
2 / 90
w i
0,3222
0,3000
0,2333
0,0667
0,0333
0,0222
0,0222
Равноточечный ряд по накопительнымчастотам
x*i
0,131
0,352
0,574
0,795
1,016
1,238
1,459
m*i
29
56
77
83
86
88
90 ГРАФИКИ
x*i
n*i
n*i
m*i
x*i
3. Построение эмпирическойфункции распределения
F* = nx / n , где nx– число элементов выборки (объема n), меньших, чем x.
x*i
0,130714
0,352143
0,573571
0,795
1,016429
1,237857
1,459286
F*
0,322222
0,622222
0,855556
0,922222
0,955556
0,977778
1
4. Числовые характеристикивыборки по ряду
x*i
0,131
0,352
0,574
0,795
1,016
1,238
1,459
n*i
29
27
21
6
3
2
2
а) Выборочные среднее и дисперсия
= (1/ n) ´ å( xi ´ ni ) = 0,43
Dв = (1 / n) ´ å( xi — )2 ´ ni =0,0955 sn = 0,309 =Dв2
б) Мода – значение, которое чаще всего встречается в данном вариационномряду.
xmod = 0,370
в) Медиана – средневероятное значение.
xmed = 0,385
г) Асимметрия
1,297
д) Эксцесс
5. Оценка близости выборочных наблюдений к нормальному закону
Положительная асимметрия говорит отом, что «длинная часть» кривой распределения расположена справа отматематического ожидания, а положительный эксцесс – о том, что криваяраспределения имеет более высокую и острую вершину, чем кривая нормальногораспределения.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ
1. Несмещенная оценкаматематического ожидания – выборочное среднее.
_
M X= x = 0,4284
Несмещенная дисперсия –исправленная выборочная дисперсия.
0,096541
2. Построение доверительныхинтервалов для матожидания и дисперсии при неизвестных параметрах нормальногозакона с доверительной вероятностью, равной γ = 0,95 и 0,99.
а) γ=0,95 n = 90
МХ
0,3633
Дисперсия
α=1-γ=0,05;
64,793
116,989
0,073
б) γ=0,99 n = 90
МХ
0,3420
Дисперсия
α=1-γ=0,01;
116,989
0,068
3. Используя таблицу случайных чисел получить 50равномерно распределенных чисел из интервала (0; 10) X~R(a,b)
Вариационный ряд
1
2
Xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
2
ni
6
11
7
5
4
3
2
8
4
2
5
4
6
1
5
2
1
5
2
2
8
3
3
8
1
8
3
8
9
1
4
2
9
4
6
9
3
5
9
2
3
4
7
3
2
6
8
1
2
8
3
7
8
8
4
Интервальный ряд
Ci-Ci+1
0-2
2-4
4-6
6-8
8-10
ni*
17
12
7
10
4
Точечный ряд
xi*
1
3
5
7
9
ni*
17
12
7
10
4
xi*ni*
17
36
35
70
36
(xi*)2ni*
17
108
175
490
324
Методоммоментов найдем оценки неизвестных параметров равномерного распределения:
Методмоментов заключается в приравнивании определенного числа выборочных моментов ксоответствующим теоретическим моментам.
X~R(a,b)
f(x) = 1 /(b — a), если x Î[a; b]
f(x) = 0, впротивном случае
Þ , а
Получим систему уравнений
b=7,76-a
a2+a(7.76-a)+60.2176-15.52a+a2=66.84
a2+7.76a-a2-15.52a+a2-6.6224=0
a2-7.76a-6.6224=0
D=60.2176-26.4896»33.728
Возможна пара решений
a = 6,7838 b = 0,9762
a = -0,9762 b = 8,7362
4. Методом максимальногоправдоподобия найдем точечную оценку параметра λ распределения Пуассона
X ~ П (λ)
P(X=k) =
Функция правдоподобия:
L=
Ln L(λ)=
Уравнение правдоподобия:
=> =>
Докажем несмещенность:
Докажемсосотоятельность:
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
1. Пустьслучайная величина X~N(a,), причемпараметры распределения неизвестны.
а) Проверимнулевую гипотезу H0: для , еслиальтернативная гипотеза H1: .
Найдемнаблюдаемое значение критерия:
.
По условию конкурирующая гипотеза имеет вид первогослучая, поэтому критическая область правостороння, по уровню значимости равному0,05 и числу степеней свобо