План
1. Середні значення, методи їх обчислення
2. Метод відліку від умовного нуля
Література
Середні значення та їх оцінки. Перевіркигіпотез1.Середні значення, методи їхобчислення
/>
Дляхарактеристики варіаційного ряду тип середньої величини вибирається недовільно, а залежно від досліджуваного явища.
Середнювважають застосованою правильно лише тоді, коли в результаті зважування абопідсумовування дістають величини, що мають реальний смисл.
Середнятільки тоді буде узагальнюючою характеристикою, коли вона застосовується дооднорідної сукупності, в противному разі можна прийти до неправильнихвисновків. Науковою основою статистичного аналізу є метод статистичнихгрупувань, тобто розчленування сукупності на якісно однорідні групи.
Середнімарифметичним незваженим значення величин x1,x2,……xnє
/> (1)
Середняарифметичназавждипри наявності відповідних частотm1; m2;...mnобчислюєтьсяза формулою:
/> (2)
ПРИКЛАД.Хронометражні дані про виконання 30 студентами завдання наведені в табл. 1.Обчислити, скільки в середньому студенти затратили часу на виконання завдання.
Таблиця 1.Час, затрачений на виконання завдання у хв.(х) Кількість студентів (m) x*m
7
9
10
13
14
15
3
6
8
10
2
1
21
54
80
130
28
15 Всього: 30 328
Знаходимосередню арифметичну:
/>(хв).
ВИСНОВОК:на виконання такого завдання студенти в середньому затрачають 11 хв.
Середняквадратична для величин х1, х2.… хnвідїх середнього значення х. Середня квадратична незважена буде:
/> /> (3)
Середняквадратична зважена —
/> (4)
Середнюквадратичну використовують тоді, коли варіанти є відхиленням фактичних величинвід їх середньої арифметичної або від заданої норми.
СЕРЕДНЯГЕОМЕТРИЧНА обчислюється за такою формулою:
/> (5)
Скорочено їїможна записати так:
/> (6)
де П- знакдобутку;
П-числоваріантів. Формула середньої геометричної зваженої має такий вигляд:
/> (7)
Середнюгеометричну використовують при вивчені динаміки процесів. Як прикладзастосування середньої геометричної розглянемо обчислення коефіцієнта зростаннякількості оцінок „добре” і „відмінно” у 120 студентів з однієї дисциплін, якавивчається протягом чотирьох семестрів.
Таблиця 2.семестри Ι ΙΙ ΙΙΙ ΙV Кількість оцінок”4”і”5” 48 54 62 68
Щоб визначитисередньо семестровий коефіцієнт і темп зростання добрих і відмінних оцінокстудентів визначаємо семестрові коефіцієнти зростання Кзр, які в нашомуприкладі й будуть варіантами:
/>
/>
/>
Середнійкоефіцієнт зростання визначаємо як середню геометричну із знайдених семестровихкоефіцієнтів зростання
/>
Покажемо, щосередній коефіцієнт зростання можна дістати без попереднього обчислення всіхкоефіцієнтів, що для цього досить поділити кількість (об’єм ) оцінок „4” і „5”за ІV семестр на кількість (об’єм ) оцінок „4” і „5” за І семестр:
/>
Крім того, зцього прикладу видно, що показник степеня кореня дорівнює числу коефіцієнтівзростання, в нашому випадку – числу семестрів без одиниці.
Отже, вдослідженнях середній коефіцієнт зростання кількості написаних знаків за певнийчас, або зростання знань, умінь і навичок студентів залежно від періодунавчання, працездатності залежно від місця дисципліни в розкладі від дисциплін,які їй передують, і т.п. слід обчислювати такою формулою:
/> (8)
де n– число наведення дат або періодів;
Уn–останній член ряду;
У1–першийчлен ряду;2. Метод відліку від умовного нуля
В практиці частодоводиться обчислювати середню арифметичну величину. Використовуючи властивостісередньої арифметичної, можна значно спросити її обчислення:
Ø Середня сталої величини дорівнює ційсамій сталій величині:
/> (9)
Ø Сума відхилень від середньої, помноженана частоту, дорівнює нулю:
/> (10)
Ø Якщо в усіх варіантах (Х) частота mоднакові;то середня арифметична зважена дорівнює середній арифметичній незваженій:
/> (11)
При m1= m2 = ……= mn= a.
Ø Якщо від усіх варіантів (х) віднятисталу величину (хо) і за різницями (х – хо = х′ ) обчислити середнюарифметичну (х′), то вона буде менша від середньої арифметичної на такусаму величину хо′ з цього випливає, що середню з варіантів (х) можнадістати, додавши до знайденої середньої х′ ту саму постійну величину:
/>
Якщо />
Ø Якщо варіанти ( х) зменшити в однаковечисло разів, тобто поділити на постійну величину ( к), і з часток /> визначити середню, то вонабуде зменшена в таке саме число разів, а тому, щоб дістати середню з варіантів(х) треба знайти середню (х′) і помножити її на ту саму величину (к): х =х′ ∙ к.
Ø Обчислюючи середню, замість абсолютнихзначень ваг (т) можна використати відносні величини ваг (відносні частоти):
/> (12)
Ø Якщо в частотах (т) є спільний множник(А), то, обчислюючи середню, його можна не брати до уваги, тобто частоти можнаскоротити на нього. При цьому середньої від заміни частот (т) на відповідніскорочені частоти (т)/> не зміниться
/>
Ø Загальна середня дорівнює зваженійсередній з часткових середніх:
/> (13)
Де хі– часткові середні (середні для окремих груп сукупності);
пі — частоти окремих груп.
Ø Сума квадратів відхилень від середньоїменша від суми квадратів відхилень від довільної величини (В) на величинупоправки С, яка дорівнює добуткові об’єму сукупності на квадрат різниці міжсередньою і даною довільною величиною:
/> (14)
Для випадкунезваженої середньої і
/> (15)
Для випадкузваженої середньої./>
Література:
1. Белый И.В. идр. Основы научных исследований и технического творчества / И.В. Белый, К.П.Власов, В.Б. Клепиков. — Х,: Вища шк. Изд-во при Харьк. ун-те, 1989-200с.
2. Белуха Н.Т. Основы научныхисследований в экономике. — К.: Вища шк. Головное изд-во, 1985.— 215с.
3. Вознюк С.Т. и др. Основынаучныхисследований. Гидромелиорация / Вознюк С.Т., Гончаров С.М., Ковалев С.В. — К.:Вища шк. Головное издательство, 1985-192с.
4. Воловик П.М. Теорія імовірностей іматематична статистика в педагогіці —Х.: Вища шк.,1969-222с.
5. Гмурман В.Е. Теория вероятностейи математическаястатистика. Изд. 4-е — М.: Высшая школа, 1972. — 367с.
6. Митропольский А.К. Техникастатистических вычислений. М.: Наука, 1971, 576с.
7. Нечаев Ю.И. Основы научныхисследований — Киев, Одесса: Вища шк. Головное изд-во, 1983, — 160с.
8. Румшиский Л.Э.Математическаяобработка результатов эксперимента. М.: Наука, 1971,— 192с.
9. Сиденко В.М. Грушко И.М. Основынаучных исследований. Харьков. Вища шк, 1977, — 240с.
10. Сытник В.Ф. Основы научныхисследований. К.: Вища шк. Головное изд-во. 1978, — 184с.