--PAGE_BREAK--Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций
Последовательность функций непрерывных на отрезке [a,b], называется ортогональной системой функции на отрезке [a,b], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если
Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],
если выполняется условие
Пусть теперь f(x) — любая функция непрерывная на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на отрезке [a,b] по ортогональной системе называется ряд:
коэффициенты которого определяются равенством:
n=1,2,...
Если ортогональная система функций на отрезке [a,b] ортонормированная, то в этом случаи
где n=1,2,...
Пусть теперь f(x) — любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на томже отрезке
по ортогональной системе называется ряд:
,
Если ряд Фурье функции f(x) по системе (1) сходится к функции f(x) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [a,b]. В этом случае говорят что f(x) на отрезке [a,b] разлагается в ряд по ортогональной системе (1).
Комплексная форма ряда Фурье
Выражение называется комплексной формой ряда Фурье функции f(x), если определяется равенством
, где
Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:
(n=1,2,… .)
Задача о колебании струны
Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной l с концами x=0 и x=l. Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости.
При сделанных выше допущениях можно показать, что функция u(x,t), характеризующая положение струны в каждый момент времени t, удовлетворяет уравнению
(1) , где а — положительное число.
Наша з а д а ч а — найти функцию u(x,t), график которой дает форму струны в любой момент времениt, т. е. найти решение уравнения (1) при граничных:
(2)
и начальных условиях:
(3)
Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, что u(x,t)0 является решением уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Будем искать решения, не равные тождественно 0, представимые в виде произведения u(x,t)=X(x)T(t), (4), где , .
Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает:
Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений:
Используя это условие X(0)=0, X(l)=0, докажем, что отрицательное число, разобрав все случаи.
a) Пусть Тогда X”=0 и его общее решение запишется так:
откуда и , что невозможно, так как мы рассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в нуль.
б) Пусть . Тогда решив уравнение
получим , и, подчинив, найдем, что
в) Если то
Уравнения имеют корни :
получим:
где -произвольные постоянные. Из начального условия найдем:
откуда , т. е.
(n=1,2,...)
(n=1,2,...).
Учитывая это, можно записать:
продолжение
--PAGE_BREAK-- (n=1,2,...).
и, следовательно
, (n=1,2,...),
но так как A и B разные для различных значений n то имеем
, (n=1,2,...),
где и произвольные постоянные, которые попытаемся определить таким образом, чтобы ряд удовлетворял уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3).
Итак, подчиним функцию u(x,t) начальным условиям, т. е. подберем и так, чтобы выполнялись условия
Эти равенства являются соответственно разложениями функций и на отрезки [0,l] в ряд Фурье по синусам. ( Это значит что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной функций). Таким образом, решение о колебании струны с заданным граничными и начальными условиями дается формулой
где
(n=1,2,...)
Интеграл Фурье
Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.
Для того, чтобы f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:
1) абсолютной интегрируемости на
(т.е. интеграл сходится)
2) на любом конечном отрезке [-L, L] функция была бы кусочно-гладкой
3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f(x)
Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:
, где ,
.
Интеграл Фурье для четной и нечетной функции
Пусть f(x)-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье.
Учитывая, что , а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x=0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем:
(3)
Таким образом, интеграл Фурье четной функции f(x) запишется так:
,
где a(u) определяется равенством (3).
Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f(x) :
(4)
и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:
,
где b(u) определяется равенством (4).
Комплексная форма интеграла Фурье
, (5)
где
.
Выражение в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f(x).
Если в формуле (5) заменить c(u) его выражением, то получим:
, где правая часть формулы называется двойным интегралом
Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу
в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:
Формулы дискретного преобразования Фурье
Обратное преобразование Фурье.
гдеn=1,2,…, k=1,2,...
Дискретным преобразованием Фурье — называется N-мерный вектор
при этом, .
ГЛАВА 2
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
продолжение
--PAGE_BREAK--Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье
Исходные данные :
(Рис. 1)
Функция периодическая с периодом .( f(x+T)=f(x) ) Функция имеет на промежутке конечное число точек разрыва первого рода.
Сумма ряда в точках функции сходится к значению самой функции, а в точках разрыва к величине , где -точки разрыва.
Рис. 1
Производная также непрерывна везде, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Вывод: функция удовлетворяет условию разложения в ряд Фурье.
1) F(x) — кусочно-непрерывна на интервале .
2) F(x) — кусочно-монотонна.
Так как отсутствует симметрия относительно OY, а также центральная симметрия — то рассматриваемая функция произвольна.
Представление функции рядом Фурье.
Из разложения видим, что при n нечетном принимает значения равные 0, и дополнительно надо рассмотреть случай когда n=1.
Поэтому формулу для можно записать в виде:
( так как ).
Отдельно рассмотрим случай когда n=1:
.
Подставим найденные коэффициенты в получим:
и вообще
.
Найдем первые пять гармоник для найденного ряда:
1-ая гармоника ,
2-ая гармоника ,
3-ая гармоника ,
4-ая гармоника ,
5-ая гармоника ,
и общий график F(x), сумма выше перечисленных гармоник. и сами гармоники.
Запишем комплексную форму полученного ряда
Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. теорию)
,
но при не существует, поэтому рассмотрим случай когда n=+1 :
(т.к. см. разложение выше)
и случай когда n=-1:
(т.к. )
И вообще комплексная форма:
или
или
Разложение четной функции в ряд
Данную выше функцию сделаем четной(см. теорию), и рассмотрим ее на промежутке от 0 до смотри рис.2
Рис.2
поэтому разложение по косинусу имеет вид:
Из разложения видим что при n=2 дробь теряет смысл поэтому отдельно рассмотрим разложения первого и второго коэффициента суммы:
На основе данного разложения запишем функцию в виде ряда:
и вообще
.
Найдем первые пять гармоник для найденного ряда:
1-ая гармоника
2-ая гармоника
3-я гармоника
4-ая гармоника
5-ая гармоника
А теперь рассмотрим сумму этих гармоник F(x):
Комплексная форма ряда по косинусам
Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. гл.1)
,
но при не существует, поэтому рассмотрим случай когда n=+2 :
(т.к. см. разложение выше)
и случай когда n=-2:
( т.к. )
И вообще комплексная форма:
или
или
Разложение нечетной функции в ряд
Аналогичным образом поступаем с данной функцией F(x), продлевая ее как нечетную, и рассматриваем на промежутке от 0 до смотри рис.3
Рис.3
поэтому разложение по синусам имеет вид:
Из данного разложения видно, что при n=2 произведение неопределенно (можно не учесть часть суммы), поэтому рассмотрим два отдельных случая.
При n=1:
,
и при n=2:
Учитывая данные коэффициенты имеем разложения в виде
и вообще
Найдем первые пять гармоник для данного разложения:
1-ая гармоника
2-ая гармоника
3-ая гармоника
4-ая гармоника
5-ая гармоника
И просуммировав выше перечисленные гармоники получим график функции F(x)
Вывод:
На основании главы 2, разложение функции в тригонометрический ряд(рис.1), разложение в ряд по косинусам(рис.2), разложение по синусам(рис.3), можно заключить, что данная функция разложима в тригонометрический ряд и это разложение единственное. И проанализировав суммы первых пяти гармоник по каждому разложению можно сказать, что наиболее быстрее к заданному графику достигается при разложении по синусам.
Комплексная форма ряда по синусам
Основываясь на теорию (см. гл.1) для ряда получаем:
, (т.к. )
тогда комплексный ряд имеет вид:
ГЛАВА 3
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ
Проверка условий представимости
Данную ранее функцию (см. гл. 2) доопределим на всей прямой от до как равную нулю(рис.4).
Рис.4
а) f(x)-определенна на R;
б) f(x) возрастает на , f(x) убывает на — кусочнo-монотонна.
f(x) = const на и .
.
Интеграл Фурье
В соответствии с теорией (см. гл. 1) найдем a(u) и b(u):
;
.
И в конечном варианте интеграл Фурье будет выглядеть так:
Интеграл Фурье в комплексной форме
Теперь представим интеграл Фурье в комплексной форме. На основе выше полученных разложений имеем:
,
,
а теперь получим интеграл в комплексной форме:
.
ГЛАВА 4
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПОЛИНОМОМ ЛЕЖАНДРА
Основные сведения
Функцию можно разложить в ортонормированной системе пространства X=[-1,1], причем полиномы получим, если проинтегрируем выражение:
Соответственно получим для n=0,1,2,3,4,5,… :
… .
Для представления функции полиномом Лежандра необходимо разложить ее в ряд:
,
где и разлагаемая функция должна быть представлена на отрезке от -1 до 1.
Преобразование функции
Наша первоначальная функция имеет вид (см. рис. 1):
т. к. она расположена на промежутке от 0 до необходимо произвести замену, которая поместит функцию на промежуток от -1 до 1.
Замена:
и тогда F(t) примет вид
или
Вычисление коэффициентов ряда
Исходя из выше изложенной формулы для коэффициентов находим:
Далее вычисление коэффициентов осложнено, поэтому произведем вычисление на компьютере в системе MathCad и за одно проверим уже найденные:
Рассмотрим процесс стремления суммы полинома прибавляя поочередно — слагаемое:
А теперь рассмотрим график суммы пяти полиномов F(t) на промежутки от -1 до 0 (рис.5):
продолжение
--PAGE_BREAK--