Міністерство освіти і науки України
Національний технічний університет
„Харківський політехнічний інститут"
Курсова робота
з курсу:
„Теорія імовірностей та математична статистика”
по темі: «Розрахунок типових задач зматематичної статистики»
Харків 2007
Анотація
У виконаному курсовому проекті наведено оглядтеоретичних відомостей з курсу Теорії ймовірностей та математичної статистики,окреслено послідовність виконання типових завдань з Теорії ймовірностей. І такожвиконано розрахунок типової задачі з визначення законів розподілення випадковихвеличин.
Зміст
1. Теорія імовірностей та математичної статистики
1.1 Основні закони розподілення випадкових величин
1.2 Числові характеристики дискретних випадкових величин
2. Види типових задач з математичної статистики
3. Загальна методика розв‘язання типових задач
3.1 Обчислити значення критерію збіжності Пірсона
3.2 Зробити висновок про вірність висунутої гіпотези H0
4. Приклад розв'язку типової задачі
Висновки
Список літератури
1. Теорія імовірностей таматематичної статистики1.1 Основні закони розподіленнявипадкових величин
Дискретною називають випадкову величину,можливі значення якої є окремі ізольовані числа (тобто між двома сусіднімиможливими значеннями немає інших), котрі ця величина приймає з певними ймовірностями.
Іншими словами, можливі значення випадкової величиниможна пронумерувати. Кількість можливих значень випадкової величини може бутикінцевою або нескінченною (в останньому разі множину усіх можливих значеньназивають ліченою).
Законом розподілення дискретної випадковоївеличини називають перелік її можливих значень та відповідних до них ймовірностей.
Закон розподілення дискретної випадковоївеличини Х може бути задано у вигляді таблиці, перший рядок якої утримуєможливі значення xi, а другий — імовірності piX
x1
x2 …
xn p
p1
p2 …
pn
причому/>.
Якщо множина можливих значень хнескінчена, то ряд р1 + р2 + … сходиться й його сумадорівнює одиниці.
Закон розподілення випадкової дискретноївеличини Х може бути подано також в аналітичній формі (у вигляді формули)
P (X=xi) =xi),
або за допомогою функції розподіленняімовірності
F (xi) =P (X
Біноміальним називають закон розподіленнядискретної випадкової величини Х — кількості появ результатів у n незалежнихвипробуваннях, в кожному з яких імовірність появи результату дорівнює p; імовірністьможливого значення Х=k (числа k появ результату) обчислюють за формулою Бернуллі:
/>.
Якщо кількість випробувань значна, а імовірністьр появи результату в кожному випробуванні дуже мала, то використовуютьнаближену формулу
/>,
де k — кількість появи результату в n незалежнихвипробуваннях, np (середнє число появ результату в n випробуваннях),і кажуть, що випадкова величина розподілена за законом Пуассона.
1.2 Числові характеристики дискретнихвипадкових величин
Характеристикою середнього значення даноївипадкової величини є математичне очікування.
Математичним очікуванням дискретної випадковоївеличини називають суму добутків усіх її можливих значень на їх імовірності:
M [X] = x1p1 + x2p2+ … + xnpn
Якщо дискретна випадкова величина приймаєлічену множину значень, то
/>,
математичне очікування існує, якщо ряд вправій частині рівності сходиться абсолютно. Математичне очікування має наступнівластивості: математичне очікування постійної величини дорівнює самій постійній:
M [C] = C
Постійних множник можна виносити за знакматематичного очікування:
M [CX] = CM [X]
Математичне очікування взаємно незалежнихвипадкових величин дорівнює добутку математичних очікувань множників:
M [X1X2…Xn] =M [X1] *M [X2] *…*M [Xn]
Математичне очікування суми випадкових величиндорівнює сумі математичних очікувань доданків:
M [X1+X2+…+Xn]= M [X1] + M [X2] + … +M [Xn]
Характеристиками розсіювання випадковоївеличини навколо математичного очікування служать дисперсія та середнєквадратичне відхилення.
Дисперсією випадкової величини Х називаютьматематичне очікування квадрату відхилення випадкової величини від їїматематичного очікування:
D [X] = M [X — M [X]] 2=M [X2]- (M [X]) 2
Дисперсія володіє наступними властивостями:
Дисперсія постійної дорівнює 0.
Постійний множник можна виносити за знакдисперсії, початково піднісши його до квадрату:
D [CX] = C2D [X]
Дисперсія суми незалежних випадкових величиндорівнює
сумі дисперсій доданків:
D [X1 + X2 + … + Xn]= D [X1] + D [X2] + … + D [Xn]
Середнім квадратичним відхиленням називаютьквадратний корінь з дисперсії.
Функцією розподілення називають функцію F (x),що визначає для кожного значення х імовірність того, що випадкова величина Хприйме значення, менше х, тобто
F (x) = P (X
Досить часто замість терміну «функція розподілення»використовують термін "інтегральна функція розподілення". Функціярозподілення має наступні властивості: значення функції розподілення належатьвідрізку [0; 1]
Функція розподілення є не спадаючою функцією:
/>
Наслідок 1: Імовірністьтого, що випадкова величина Х прийме значення у інтервалі (a,b), дорівнюєприросту функції на цьому інтервалі.
Наслідок 2: Імовірністьтого, що неперервна випадкова величина Х прийме одне визначене значення, наприклад,х1, дорівнює 0.
Якщо всі можливі значення випадкової величиниХ належать інтервалу (a,b), то
/>
Справедливі також наступні межовіспіввідношення:
/>
Функція розподілення неперервна зліва:
/>
Нормальним називають розподілення імовірностейнеперервної випадкової величини Х, щільність якого має вигляд:
/>,
де a — математичне очікування випадковоївеличини Х, — середнє квадратичне значення Х.
Для нормального розподілення імовірність того,що Х прийме значення, що належать інтервалу (),дорівнює
/>, де
/> - функція Лапласа.
Експоненціальним називають розподілення імовірностейнеперервної випадкової величини Х, яке описується щільністю:
/>, де — постійна додатна величина.
Функція розподілення експоненціального закону:
/>,
а імовірність попадання у інтервал (a,b) безперервноївипадкової величини Х, розподіленою за експоненціальним законом дорівнює:
/>.
2. Види типових задач з математичноїстатистики
Тип 1
Ланка дослідів дала певну послідовністьрезультатів. Вирахувати середнє значення виміряння, дисперсію, похибки, а такожвстановити закони розподілення результатів розрахунку [f (x), F (x)]
Тип 2
В результаті експерименту можливі n випадків. Побудуватиматематичну модель, що характеризує випадкову величину та побудувати законирозподілення f (x) та F (x), використовуючи результати 100 експериментів.
Тип 3
Число заявок, що надходять за 1 секунду всистему, характеризується поданими результатами. Побудувати математичну модель,що пояснює результати експериментів і вирахувати закони розподілення f (x) та F(x).
Тип 4
Час опрацювання заявок у обчислювальноїсистемі приведено нижче (у мікросекундах). Побудувати математичну модель, щохарактеризує результати експериментів і розрахувати закони розподілення f (x) таF (x).
3. Загальна методика розв‘язаннятипових задач
Позначимо випадкову величину, законрозподілення якої підлягає визначенню, X.
Виділити найбільше та найменше значеннявипадкової величини X у вибірці (це потрібно для того, щоб провести розбиттядіапазону зміни випадкової величини на інтервали).
Провести розбиття діапазону зміни значеньвипадкової величини X на інтервали. Кількість інтервалів у методі Пірсона (асаме таким ми будемо користуватися для перевірки гіпотез), взагалі, обмежена.
Таким чином, потрібно розбити весь діапазонзначень X на інтервали, кількість та межі яких потрібно буде визначати.
В загальному випадку (і для безперервноївипадкової величини, і для дискретної) розбиття проводять наступним чином.
Межі інтервалів можуть бути як цілими, так ідробовими. Довжина інтервалів не обмежена і залежить від частоти появи значень.Але обов’язково потрібно виконати наступну умову: кількість значень випадковоївеличини X, що попадають у кожний інтервал, повинна бути не менша 10. Ця умовазабезпечує „хороші" (статистичний термін) результати застосування методузбіжності Пірсона.
Пояснюється це тим, що при меншій кількостізначень випадкової величини X, що попадають в межі будь-якого інтервалурозбиття, випадкові відхилення (флуктуації) її значень від істинного зміщуютьпрактично отримане значення до сусідніх інтервалів. Загальна картина погіршується,похибка розрахунків збільшується.
Позначимо кількість інтервалів розбиття s.
Окрім цього потрібно врахувати також числоступенів свободи (чого, буде вказано далі) — позначимо його k (воно знадобитьсяпри підрахунку критерію збіжності Пірсона, бо має для нього дуже важливезначення; а поки воно впливатиме лише на розбиття діапазону значень випадковоївеличини X). В нашому випадку оцінимо його значення числом інтервалів (вдійсності число ступенів свободи менше: k
Якщо k приблизно дорівнює декільком десяткам (тобтоприблизно k>30), то число значень, що попадають в кожний інтервал розбиття,можна зменшити до 5, або навіть до 3. За великих об’ємів вибірки довжину всіхінтервалів беруть однаковою.
Необхідне для застосування методу Пірсонарозбиття можна звести до розбиття на рівновіддалені.
1) Для більшої зручності в представленнірезультатів розбиття та подальших обчислень, мабуть, було б бажано межідіапазону розбиття округлити до більшого цілого для додатних чисел та меншогоцілого для від’ємних чисел (зробити межі діапазону цілими).
2) Розбити діапазон значень випадковоївеличини X на інтервали однакової довжини, при цьому по можливості задаючи межікожного інтервалу цілими або напівцілими значеннями. Кількість інтервалів s0на цьому етапі не дорівнює s, а більша (бо серед цих інтервалів є такі, що незадовольняють застосувати метод Пірсона для отримання „хороших” результатів).
Результати занести в таблицю.
Коректування розбиття буде проводитися внаступному пункті.
Обчислити частоти появи значень випадковоївеличини X в кожному з інтервалів розбиття — експериментальні частоти (вонибудуть розглядатися як експериментальні, або практичні, імовірності появизначень цієї випадкової величини — оцінками імовірності).
/>,/>,
де ni — кількість експериментальнихданих, що попали в і-й інтервал, N — загальна кількість експериментальних даних(у РГЗ N = 100).
Отримані результати занести в таблицю (див. даліТаблицю 3.1).
Розбиття на рівновіддалені дає нагляднукартину розподілення значень випадкових величин. Але для застосування методуПірсона таке розбиття не годиться, бо дасть не дуже „хороші" результати.
Тому необхідно провести корекцію розбиття:
Розширити інтервали, що не задовольняютькритерію розбиття (кількість значень випадкової величини X, що попадають укожний інтервал, повинна бути не менша 10). Розширення здійснюється укрупненнямінтервалів шляхом складання частот появи значень випадкової величини X вінтервалі, що не задовольняє умовам розбиття, з частотами появи значеньвипадкової величини X в сусідніх інтервалах.
Оновлені дані занести в нову таблицю длязастосування методу Пірсона (див. далі Таблицю 3.2).
Таким чином, застосування методу Пірсонаповинне буде дати „хороші" результати.
Провести обчислення оцінок основниххарактеристик випадкової величини (бо, по-перше, виявивши деякий зв’язок міжними, можна буде зробити припущення про можливий закон розподілення, по-друге,вони використовуються при розрахункові теоретичних ймовірностей).
Розрахунок оцінки математичного чекання (знаходженнявибіркової середньої) можна провести за наступною оціночною формулою:
/>,
де Xi — отримане в вибірці і-тезначення випадкової величини (/>), N — загальна кількість експериментальних даних (у РГЗ N = 100).
Розрахунок оцінки дисперсії (розрахуноквибіркової дисперсії) можна провести за наступною оціночною формулою:
/>,
де Xi — отримане в вибірці і-тезначення випадкової величини (/>), /> - оцінка математичногоочікування випадкової величини X, що розглядається.
Або ж застосувати загальний теоретичнийзв‘язок між дисперсією та математичним чеканням (що буде дещо неправильним длязнаходження вибіркової дисперсії):
/>.
Середньоквадратичне відхилення такожрозраховується через загальний теоретичний зв‘язок між ним та дисперсією:
/>
(вибіркове середньоквадратичне відхилення).
Побудувати гістограму або багатокутникрозподілення — експериментальний (практичний) варіант графіка функції щільностіімовірності.
Гістограма та багатокутник розподіленнябудуються за даними Таблиці 3.1
Гістограма матиме вигляд стовбчастої діаграми(основа кожного прямокутника — і-й інтервал розбиття, висота — частота появизначень випадкової величини X в і-му інтервалі). Багатокутник розподілення — незамкнута ламана (і-та вершина ламаної знаходяться над серединою і-гоінтервалу розбиття на висоті, що відповідає частоті появи значень випадковоївеличини X в і-му інтервалі).
Проаналізувати обчислені оцінки математичногочекання та отриману гістограму. На основі цього зробити припущення про можливийзакон розподілення випадкової величини — висунути гіпотезу H0. Далівідповідно до неї обчислити теоретичні значення ймовірностей попаданнявипадкової величини X в кожний з s інтервалів розбиття.
Якщо випадкова величина X приймає від’ємнізначення, то вона не може бути розподіленою за біноміальним, пуасоновським,експоненціальним законами.
Якщо побудована гістограма починається змаксимуму імовірності та далі спадає, також />,то випадкова величина X може бути розподіленою за експоненціальним законом.
Якщо />,то випадкова величина X може бути розподіленою за законом Пуассона.
Якщо виконується зв’язок /> та />, то випадкова величина Xможе бути розподіленою за біноміальним законом (Бернуллі).
Для законів розподілення Бернуллі та Пуассона(його окремий випадок) форма гістограми сильно залежить від основних параметріввипадкової величини (максимум імовірності може переміщатися від початку вдеякому інтервалі), але максимум завжди вирізняється досить чітко.
Якщо максимум імовірності на побудованійгістограмі нечіткий та виконується „правило 3-х сігм” (більшість значеньвипадкової величини лежить у інтервалі
/>,
а імовірність появи значень, що лежать замежами цього інтервалу приблизно не перевищує 0.0027), то можна припустити, щовипадкова величина X розподілена нормально (за Гауса законом розподілення). Вцьому випадку відхилення практичної гістограми нормально розподіленої випадковоївеличини від теоретичної допоможе оцінити асиметрія та ексцес.
Таблиця 3.1 І 1 2 3 4 ...
s0
і-й рівновіддалений інтервал діапазону значень випадкової величини за даними вибірки, (Xi — 1; Xi)
(X0; X1)
(X1; X2)
(X2; X3)
(X3; X4) …
(XS0 — 1; XS0)
Кількість значень випадкової величини X, що попадають в даний інтервал, ni
n1
n2
n3
n4 …
nS0
Частоти появи значень випадкової величини X, що лежать в і-му рівновіддаленому інтервалі, />
/>
/>
/>
/> ...
/>
Таблиця 3.2 І 1 2 3 4 ... s
і-й інтервал діапазону значень випадкової величини за даними вибірки, (Xi — 1; Xi)
(X0; X1)
(X1; X2)
(X2; X3)
(X3; X4) …
(XS — 1; XS)
Кількість значень випадкової величини X, що попадають в даний інтервал, ni
n1
n2
n3
n4 …
nS
Частоти появи значень випадкової величини X, що лежать в і-му інтервалі, />
/>
/>
/>
/> ...
/>
Теоретичні імовірності знаходження значень випадкової величини X в і-му інтервалі, />
/>
/>
/>
/> ...
/>
/>
Теоретична кількість значень випадкової величини X, що попадають в даний інтервал, ni0
n10
n20
n30
n40 ...
nS0
Обчислення теоретичних ймовірностейзнаходження значень випадкової величини X в і-му інтервалі проводиться шляхомвзяття визначеного інтеграла від функції щільності імовірності. Вигляд функційщільності імовірності для основних законів розподілення випадкових величинвідомий. Параметрами цих функцій при обчисленнях будуть попередньо підрахованіоцінки основних параметрів випадкової величини — вибіркова середня, вибірковадисперсія, вибіркове середньоквадратичне відхилення.
3.1 Обчислити значення критеріюзбіжності Пірсона
На основі отриманих результатів обробки данихвибірки потрібно підрахувати наступний статистичний критерій:
/>,
де s — кількість інтервалів розбиття,
ni — кількість експериментальнихданих, що попали в і-й інтервал, ni0 — теоретичнакількість даних, що попали в і-й інтервал, pi0-теоретична імовірність знаходження значень випадкової величини X в і-муінтервалі,
N — загальна кількість експериментальних даних(у РГЗ N = 100). Тут /> — велика літера /> (хі).3.2 Зробити висновок про вірністьвисунутої гіпотези H0
Поведінку отриманої величини /> в залежності відправильності чи неправильності висунутої гіпотези H0пояснює теоремаПірсона.
Скорочене формулювання теореми Пірсона:
Якщо гіпотеза H0вірна, то при N→∞ закон розподілення величини /> наближуєтьсядо закону розподілення хі-квадрат (/>) з k =s — 1 ступенями свободи.
Тут k дорівнює s-1 (а не s, як видно звизначення поняття ступеня свободи), бо величини ni і відповідні їмвеличини ni0, по-перше, пов’язані, по-друге, пов’язанілінійними співвідношеннями (напр. />, />). Тому вираховується 1.
Практичне значення цієї теореми полягає втому, що за правильності висунутої гіпотези H0при великих об’ємахвибірки закон розподілення величини /> можнавважати законом розподіленням /> з k = s- 1 ступенями свободи.
Якщо ж висунута гіпотеза H0невірна, то при великих об’ємах вибірки величина />необмеженозростає (тобто />).
Зосталося визначити, чому ж дорівнює числоступенів свободи k в нашому випадку. Значення k знаходиться з формули:
k = s — 1 — r,
де s — число інтервалів розбиття діапазонузначень випадкової величини X, r — число параметрів розподілення, що булиоцінені за даними вибірки (і використовувалися при підрахункові теоретичнихімовірностей). Величини ni і відповідні їм величини ni0,по-перше, пов’язані, по-друге, пов’язані через r параметрів. Тому щевираховується число параметрів розподілення r.
З таблиці розподілення /> з k = s — 1 — r ступенямисвободи знаходимо найближче більше значення. З того міркування що, якщо нульовагіпотеза (H0) вірна, то повинна виконуватися нерівність />. Цьому найближчомубільшому значенню відповідає певне значення рівня значимості α.
Рівень значимості α — імовірністьпомилково відкинути висунуту гіпотезу H0, коли вона вірна. Тодіімовірність того, що гіпотеза H0правильно описує закон розподіленнявипадкової величини X, дорівнюватиме 1 — α.
Потрібно задатися рівнем значимості α0.На практиці α0часто приймається рівним 0.05 (або 5%).
Таким чином, якщо отримане з таблиці значеннярівня значимості α не перевищує заданого α0, то гіпотеза H0приймається з імовірністю 1 — α. На основі цього робиться наступнийвисновок: практичні дані узгоджуються з гіпотезою H0, не має підставїї спростувати.
4. Приклад розв'язку типової задачі
Нехай випадкова величина X приймає наступнийбезперервний ряд значень:
0.3977801.6260473.712942-0.732191-1.070720
0.594877 — 0.0112791.716456-3.3376170.007172
0.663299-0.4412122.0750801.881620-2.088742
1.9913241.0363951.1338381.1655331.264862
2.3115392.8839420.232771-1.5445800.319252
2.9683571.775734-0.3564310.8063171.110993
0.0249601.838822-0.5991992.512275-3.040607
2.874235-1.6642481.0080920.7625010.107686
1.565826-0.4559481.887287-0.8452910.719599
2.3363190.9064131.733929-0.4664472.120893
0.3313110.8929770.988919-0.1805820.101599
2.1264641.0965252.121343-1.2558211.779378
4.356973-0.098316-1.3924411.6871980.374275
1.631167-1.9162120.4193822.026432-1.076515
1.467196-1.3863272.266472-1.1286360.291052
0.9213022.2678832.4135031.424872-1.084125-0.856300-0.055433-1.1430031.1496910.179690
1.7908670.3897065.6872311.014007-1.892447
1.0589170.564070-0.288985-0.0135031.470428
0.3068732.869473-0.8498070.6511941.461751
Виділили найбільше та найменше значеннявипадкової величини X у вибірці:
XMIN=-4.356973, XMAX=5.687231.
Проводимо розбиття діапазону значеньвипадкової величини X на рівновіддалені.
Маємо 11 одиничних інтервалів (в нашомувипадку це зручно для побудови гістограми). Тобто s=11. Оцінивши число ступенівсвободи k як k≈ s, робимо висновок, що знижувати кількість значеньвипадкової величини, які попадають в кожний інтервал розбиття не можна (враховуємоце при корекції розбиття в наступному пункті).
Результати заносимо в Таблицю 4.1 (другастрочка).
Обчислюємо частоти появи значень випадковоївеличини X в кожному з інтервалів розбиття — експериментальні частоти. Результатизаносимо в Таблицю 4.1 (третя строчка).
Проводимо корекцію розбиття для застосуванняметоду Пірсона (проводимо укрупнення крайніх інтервалів шляхом їхньогооб’єднання, доки не отримаємо мінімальну допустиму в методі Пірсона кількістьзначень випадкової величини, що попадають у формуємий інтервал; в нашомувипадку ця кількість повинна бути не менша 10).
Результати заносимо в Таблицю 4.2 (другастрочка).
Проводимо обчислення оцінок основниххарактеристик випадкової величини: математичного чекання, дисперсії тасередньоквадратичного відхилення.
/>/>/>
Будуємо за даними Таблиці 4.1 гістограму(рис.4.1) — експериментальний варіант графіка функції щільності імовірності. Будуємогістограму, бо маємо справу з попаданням безперервної випадкової величини X водин з інтервалів розбиття на рівновіддалені.
/>
Рис.4.1 Гістограма експериментального графіку функціїщільності імовірності.
Аналізуємо обчислені оцінки математичногочекання та отриману гістограму.
Безперервна випадкова величина X приймаєвід’ємні значення. Отже, їй залишається бути розподіленою за нормальним (гаусовським)законом розподілення.
„Правило 3-х сігм” приблизно виконується (більшістьзначень дійсно лежить в інтервалі (-4.165276; 5.252514)). Відхилення практичноїгістограми від теоретичної допоможе оцінити характеристика асиметрії та ексцес.
Таким чином, висуваємо гіпотезу H0-випадкова величина X розподілена за нормальним законом розподілення.
Для обчислення теоретичних частот попаданнявипадкової величини X в коректований інтервал (з Таблиці 4.2) можнавикористовувати дві методики. Ми будемо застосовувати другу як більш теоретичнообґрунтовану та правильнішу, а також точнішу.
Перша методика проста, але обчислення на їїоснові носять приблизний, оціночний характер. Перейдемо в обчисленнях відзагальної до центрованої нормальної величини. Теоретично наша випадковавеличина вважається розподіленою за загальним нормальним законом. Його функціящільності імовірності має в нашому випадку вигляд:
/>.
Перехід до центрованої нормальної величини:
/>.
Функція щільності імовірності для неї:
/>.
Таким чином
/>.
Імовірність попадання випадкової величини X вінтервал (Xi; Xi+1) дорівнює
/>.
Дорівнює площі фігури, обмеженої графікомщільності імовірності, віссю 0X та прямими X=Xi, X=Xi+1.
Тобто можна приблизно вважати ії рівноюдобутку довжини інтервалу h на значення функції щільності імовірності всередині інтервалу (вищесказане є фактично двосторонньою оцінкою визначеногоінтегралу):
/>,
де значення /> відповідаєсередині інтервалу
/>.
Знаючи теоретичну імовірність Pi,можна буде обчислити теоретичну кількість ni попадань випадковоївеличини X в і-й інтервал (Xi; Xi+1).
Але це буде дуже приблизна оцінка, бокоректування інтервалів розширило межі інтервалів та збільшило різницю міжзначеннями функції щільності імовірності в них. Точність цього методуобчислення теоретичних частот буде зростати при зменшенні інтервалу розбиття. Проте,це не можливо без порушення правила розбиття діапазону зміни значень випадковоївеличини в методі Пірсона. З загальних теоретичних відомостей імовірністьпопадання випадкової величини X в інтервал (Xi; Xi+1) можнавиразити через функцію щільності імовірності
/>,
або через функцію розподілення імовірності
/>/>.
Для нормованого нормального розподіленняфункція розподілення імовірності обчислюється через функцію Лапласа (самафункція Лапласа не є функцією розподілення імовірності):
/>.
Значення функції Лапласа затабульовані, або жїх можна підрахувати за допомогою математичних пакетів прикладних програм. Хочаз досить високою точністю можна й самому підрахувати значення функції Лапласа, використавшинаступну наближену формулу (підінтегральну функцію було розкладено в ряд тавзято інтеграл):
/>.
Функція розподілення імовірності нормальногорозподілення пов’язана з функцією Лапласа наступним співвідношенням:
/>, якщо X>0,/>, якщоX
Знову перейдемо в обчисленнях від загальної доцентрованої нормальної величини:
/>.
Це зафіксовано у п’ятій строчці Таблиці 4.2. Тодіімовірність попадання випадкової величини X в інтервал (Xi; Xi+1)можна виразити через функцію Лапласа так:
/>,
де значення /> -нормована нормальна випадкова величина, що відповідає Xi (результатзанесено в шосту строчку Таблиці 4.2). Знаючи теоретичну імовірність Pi0,можна буде обчислити теоретичну кількість ni0попаданьвипадкової величини X в і-й інтервал (Xi; Xi+1) з Таблиці4.2 (і результат занесено у відповідну сьому строчку Таблиці 4.2).
Таблиця 4.1 Інтервали розбиття1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (-5; — 4) (-4; — 3) (-3; — 2) (-2; — 1) (-1; 0)
(0;
1)
(1;
2)
(2;
3)
(3;
4)
(4;
5)
(5;
6) 1 2 1 14 18 22 25 15 1 1 0.01 0.02 0.01 0.14 0.18 0.22 0.25 0.15 0.01 0.01
Таблиця 4.2 РозрахованіімовірностіI 1 2 3 4 5
(Xi; Xi+1) (-5; — 1) (-1; 0)
(0;
1)
(1;
2)
(2;
6)
ni 18 18 22 25 17
/> 0.18 0.18 0.22 0.25 0.17
(ui; ui+1) (2.8395; 0.2969) (0.2969; 0) (0; 0.2969) (0.2969; 0.9322) (0.9322; 3.4752)
Pi0 0.3798 0.1179 0.1179 0.2059 0.1760
ni0 38 12 12 21 18
Обчислили значеннякритерію збіжності Пірсона. В нашому випадку він дорівнюватиме:
/>.
Робимо висновок прозбіжність закону розподілення практичних даних та закону розподілення, щовідповідає висунутій гіпотезі H0.
Кількість ступенів свободиk = s — 1 — r, де s=5 — число інтервалів розбиття діапазону значень випадковоївеличини X, r=2 — число параметрів розподілення, що були оцінені за данимивибірки і використовувалися при підрахункові теоретичних ймовірностей (длянормального розподілення це математичне чекання та середньоквадратичневідхилення), дорівнює k = 5 — 3 =2.
За таблицею розподілення /> з k ступенями свободи знаходимо /> при α=0.001 (більш точні дані відсутні). Тобтопрактичні дані узгоджуються з гіпотезою H0з імовірністю більш ніж 0.999.
Висока імовірністьузгодженості практичних даних з теоретичними дає підставу перевірити та оцінитипотужність критерію (імовірність прийняття альтернативних гіпотез).
Висновки
У виконаній курсовій роботі наведено оглядтеоретичних відомостей з курсу Теорії ймовірностей та математичної статистики,визначено алгоритм виконання типових завдань з Теорії ймовірностей. І такожвиконано розрахунок типової задачі з визначення законів розподілення випадковихвеличин.
Список літератури
1. В.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. М. — Наука,1988.
2. В.П. Чистяков. Курс теории вероятностей. М. — Наука,1982.
3. А.А. Боровков. Теория вероятностей.М. — Наука, 1988.
4. Б.А. Севастьянов. Курс теории вероятностей иматематической статистики.М. — Наука, 1982.
5. Сборник задач по теории вероятностей,математической статистике и теории случайных функций (под редакцией А.А. Свешникова).
6. И.Н. Коваленко, А.А. Филлипов. Теория вероятностейи математическая статистика. М. — Высшая школа, 1988.
7. Е.С. Вентцель. Теория вероятностей. М. — Наука,1969.
8. И.И. Гихман, А.В. Скороход, М.И. Ядренко. Теориявероятностей и математическая статистика. Киев — Высшая школа, 1979.
9. И.И. Гихман, А.В. Скороход. Введение в теориюслучайных процессов.М. — Наука, 1969.
10. А.Т. Гаврилин, О.Н. Репин, И.П. Смирнов. Задачи потеории вероятностей, математической статистике и теории случайных процессов. Методическаяразработка для студентов дневного отделения радиофизического факультета. Горький,ГГУ, 1983.
11. Г.И. Агапов. Задачник по теории вероятностей. М. — Высшаяшкола, 1994.
12. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математическойстатистики. М.: Наука, 1965.
13. Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука,1984.
14. Коршунов Д.А., Чернова Н.И. Сборник задач иупражнений по математической статистике. Новосибирск: Изд-во Институтаматематики им. С.Л. Соболева СО РАН, 2001.
15. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ееприложения. М.: Мир, Т.2, 1984.