Министерствообразования и науки Российской Федерации
Министерствообразования Московской области
МосковскийГосударственный Областной Педагогический Институт
Физико-математическийфакультет.
Курсоваяработа
на тему
Применениеинтегралов
к решениюприкладных задач
Выполнил студент
группы 3-М-2
Ширшов Вадим Алексеевич
Проверила
Воробьёва Н.Г.Орехово-Зуево.
2008
Содержание
Вступление.
1. Определённый интеграл.
1.1 Площадь криволинейной трапеции.
1.2 Объём тела.
1.3 Длина дуги.
1.4 Площадь поверхности вращения.
1.5 Нахождение статического момента и центра тяжести кривой.
1.6 Нахождение статического момента и центра тяжести плоскойфигуры.
1.7 Механическая работа.
2. Двойной интеграл.
2.1 Вычисление площади в случае прямоугольной области.
2.2 Вычисление площади в случае криволинейной области.
2.3 Вычисление объёма цилиндрического бруса.
2.4 Механические приложения.
3. Криволинейный интеграл.
3.1 Выражение площади с помощью криволинейных интегралов.
3.2 Приложения к физическим задачам.
4. Поверхностный интеграл.
4.1 Площадь поверхности, заданной явным уравнением.
4.2 Площадь поверхности в общем случае.
5.Тройной интеграл.
5.1 Масса тела. Объём.
5.2 Замена переменной в тройном интеграле.
Заключение.
Вступление
Известно, какиезамечательные и разнообразные приложения имеет математический анализ как всамой математике, так и в смежных областях знания. Поэтому сама мысль о связиматематического анализа с другими математическими дисциплинами и спотребностями практики должна быть усвоена учащимися при изучении основ анализауже в школе. Изложенный в данной работе материал лишь немногим связан сошкольным курсом. В школе в 10-11 классах изучаются неопределённые иопределённые интегралы, практикуется вычисление простейших интегралов и нахождениеплощади криволинейной трапеции, что составляет лишь малую часть всегоинтегрального исчисления.
интегралплощадь объем статический момент
1. Определённыйинтеграл
1.1 Площадькриволинейной трапеции
Вычислим площадь плоскихфигур при помощи интегралов.
На первом местерассмотрим в строгом изложении задачу об определении площади криволинейнойтрапеции /> (чертёж 1). Эта фигура ограниченасверху кривой />, имеющей уравнение />, где /> — положительная инепрерывная в промежутке /> функция; снизу она ограниченаотрезком /> оси />, а с боков – двумя ординатами /> и />(каждая изкоторых может свестись к точке).
/>
Чертёж 1.
Так как площадь Pрассматриваемой фигуры ABCD существует, то будем вести речь лишьоб её вычислении. С этой целью разобьём промежуток /> на части, вставив между a и bряд точек />. Обозначив через /> и />, соответственно,наибольшее и наименьшее значения функции /> в i-м промежутке(i=0,1,…,n-1),составим суммы (Дарбу)
/>, />.
Они, очевидно,представляют собой площади ступенчатых фигур, составленных, соответственно, извходящих и выходящих прямоугольников(см. чертёж). Поэтому />. Но при стремлении кнулю наибольшей из разностей /> обе суммы имеют своим пределоминтеграл />,следовательно, ему и равна искомая площадь P=/>. (1)
Если криволинейнаятрапеция CDFEограничена и снизу и сверху кривыми(чертёж 2), уравнения которых /> и /> />, то, рассматривая её как разностьдвух фигур />и/>, получимплощадь названной трапеции в виде P=/>. (2)
Пусть теперь дан секторAOB (чертёж 3), ограниченной кривой AB и двумя радиусами-векторами AO и OB (каждый из которых может свестись к точке). При этомкривая ABзадаётся полярным уравнением />, где /> -положительная непрерывная в промежутке /> функция.
/>
Чертёж 2. Чертёж 3.
Вставив между /> и /> (см. чертёж)значения />,проведём соответствующие этим углам радиус-векторы. Если ввести и здесьнаименьшее и наибольшее значение функции /> в /> и />, то круговые секторы, описанныеэтими радиусами, будут, соответственно, входящими и выходящими для фигуры(P). Составим отдельно из выходящихсекторов две фигуры, площади которых будут /> и />.
/>
В этих суммах /> и /> легко узнатьсуммы Дарбу для интеграла />; при стремлении к нулю наибольшейиз разностей /> обе они имеют пределом этотинтеграл. Тогда фигура (P)квадрируема и P=/>. (3)
Примеры:
1). Определить площадьфигуры, заключённой между двумя конгруэнтными параболами /> и /> (чертёж 4).
Очевидно, нужновоспользоваться формулой (2), полагая там />, />. чертёж 4.
Для установленияпромежутка интегрирования решим совместно данные уравнения и найдём абсциссуточки Mпересечения обеих парабол, отличнойот начала; она равна 2p. Имеем
/>.
2). Формула (1) можетбыть использована и в том случае, если кривая, ограничивающая криволинейнуютрапецию, задана параметрически или уравнениями />, />. />. Произведя замену в интеграле (1), получим (в предположении, что /> при /> и /> при />): />. (4)
Если, например, привычислении площади эллипса исходить из его параметрического представления />, /> и учесть, что /> возрастает от />до />, когда /> убывает от /> до нуля, тонайдём />. Мывычислили площадь верхней половины эллипса и удвоили её.
/>
Чертёж 5.
/>
3). Найти площадь одноговитка архимедовой спирали />(чертёж 6).
Имеем по формуле (3) />, в то времякак площадь круга радиуса /> будет />. Площадь витка спирали равнатрети площади круга (этот результат был известен ещё Архимеду). чертёж 6.
4). Аналогичновычисляется площадь фигуры, ограниченной циклоидой
/>, /> (чертёж 5). Имеем по формуле (4)
/>.
Таким образом, искомаяплощадь оказалась равна утроенной площади круга радиуса a.
1.2 Объём тела
Начнём с почти очевидногозамечания: прямой цилиндр высоты H, основанием которого служитквадрируемая плоская фигура (P), имеет объём, равный произведению площади основания навысоту: />.
Возьмём многоугольники /> и />,соответственно содержащиеся в (P), так, чтобы их площади /> и /> стремились к P. Если на этих многоугольникахпостроить прямые призмы /> и /> высоты H, то их объёмы /> и /> будут стремиться кобщему пределу />, который и будет объёмом нашегоцилиндра
/>
Рассмотрим теперьнекоторое тело (V),содержащееся между плоскостями /> и />, и станем рассекать егоплоскостями, перпендикулярными к оси x (чертёж 7). Допустим, что (чертёж 7) все эти сеченияквадрируемы, и пусть площадь сечения, отвечающего абсциссе x, — обозначим её через P(x) – будет непрерывной функцией от x (для />).
Если спроектировать безискажения два подобных сечения на какую-либо плоскость, перпендикулярную к оси x, то они могут либо содержаться однов другом (чертёж 8а), либо частично одно на другое налегать, (чертёж 8) илилежать одно вне другого (чертёж 8б и 8в). Мы остановимся на том случае, когдадва различных сечения, будучи спроектированы на плоскость, перпендикулярную коси x, оказываются всегда содержащимисяодно в другом.
В этом предположенииможно утверждать, что тело имеет объём, который выражается формулой />. (5)
Для доказательстваразобьём отрезок /> на оси x точками /> на части и разложим плоскостями />, проведённымичерез точки деления, всё тело на слои. Рассмотрим i-й слой, содержащийся междуплоскостями /> и/>(i=0,1,…,n-1). В промежутке /> функция P(x) имеет наибольшее значение /> и />. Если сечения, отвечающиеразличным значениям xв этом промежутке, поместить на одну плоскость, скажем, />, то все они при сделанномпредположении будут содержаться в наибольшем, имеющем площадь />, и содержать в себенаименьшее, с площадью />. Если на этих, наибольшем инаименьшем, сечениях построить прямые цилиндры высоты />, то больший из них будетсодержать в себе рассматриваемый слой нашего тела, а меньший сам будетсодержаться в этом слое. На основании сделанного вначале замечания объёмы этихцилиндров будут, соответственно, /> и />.
Из входящих цилиндровсоставится тело (T), а извыходящих – тело (U).Их объёмы равны, соответственно, /> и /> и, когда стремится к нулю />, имеют общийпредел (5). Значит таков же будет и объём тела(V).
/>
Важный частный случай,когда заведомо выполняется указанное выше предположение о взаимном расположениисечений, представляют тела вращения. Вообразим на плоскости xy кривую, заданную уравнением />/>, где /> непрерывна и неотрицательна. Станем вращатьограниченную её криволинейную трапецию вокруг оси x (чертёж 9а и 9б). Полученное тело (V), очевидно, подходит подрассматриваемый случай, ибо сечения его проектируются на перпендикулярную к осиx плоскость в виде концентрическихкругов. Здесь />, так что
/>.
Если криволинейнаятрапеция ограничена (чертёж 9)
и сверху и снизу кривыми /> и />, то очевидно,
/>, (7)
Хотя предположение осечениях здесь может и не выполняться. Вообще доказанный результат легкораспространяется на все такие тела, которые получаются путём сложения иливычитания из тел, удовлетворяющих упомянутому предположению.
В общем случае можноутверждать лишь следующее: если тело (V) имеет объём, то он выражаетсяформулой (6).
Примеры: 1). Пусть эллипс/> вращаетсявокруг оси x. Так как />, то для объёма эллипсоидавращения найдём
/>.
Аналогично для объёматела, полученного от вращения вокруг оси y, найдём выражение /> . Предполагая же в этих формулах />, мы получимдля объёма щара радиуса rизвестное значение />.
2). То же – для ветвициклоиды />,/>(/>).Параметрическое уравнение кривой облегчают выполнение подстановки />, /> в формуле />. Именно:
/>.
/>
3). Найти объёмтрёхосного эллипсоида, заданного каноническим уравнением /> (чертёж 10).
Плоскость,перпендикулярная к оси xи проходящая через точку M(x) на этой оси, пересечёт эллипсоид по эллипсу. Уравнениепроекции его (без искажения) на плоскость yz будет таково: (чертёж 10).
/>, (x=const).
Отсюда ясно, что полуосиего будут, соответственно,
/> и />,
а площадь выразится так: />.
Таким образом, по формуле(5) искомый объём />.
1.3 Длина дуги
Для начала введём понятияо спрямляемой дуге и её длины.
Рассмотрим на плоскостикривую AB, заданную параметрическимиуравнениями />,/>, (/>), (8)
/>
где функции /> и /> предполагаются непрерывными. Будем считать, что точка A отвечает значению />, а точка B значению />. При этом пусть кратныхточек на кривой нет, так что различным значениям параметра /> отвечают и различныеточки кривой.
Если считать точки кривой(чертёж 11) расположенными в порядке возрастания параметра /> (т.е. из двух точек тупринимать за следующую, которая отвечает большему значению параметра), то этимна кривой создаётся определённое направление (чертёж 11). Возьмём теперь накривой AB ряд точек />, идущих одна за другой в указанном направлении. Имотвечает ряд возрастающих значений параметра />. Впишем в кривую AB ломаную /> и обозначим через p её периметр. Конечный предел sдля периметра p, при стремлении к нулю наибольшей изсторон /> ломаной(p), называется длиной дуги:/>. Если такой предел существует, тосама кривая называется спрямляемой.
Перейдём непосредственнок выражению длины дуги интегралом.
Предположимдополнительно, что функции /> и />, фигурирующие в уравнениях (8) незамкнутой кривой,имеют непрерывные производные /> и />.
При этих условиях, как мыдокажем, кривая спрямляема и длина дуги выражается формулой />. (9)
Будем исходить изразбиения промежутка /> точками /> на части длины />. Этим значениям t отвечают вершины ломаной />, вписанной вдугу />, и длинуеё можно определить как предел периметра Pломаной при стремлении /> к нулю. Положим />, /> /> и />, /> />.
Длина i-ого звена /> вписанной ломаной выразится так: />.
Применив к приращениям /> и /> функции порознь формулу конечныхприращений, получим:
/>, />, причём о значениях /> и /> мы ничего не знаем, кроме того,что оба они содержатся между /> и />. Имеем теперь />, так что для периметра всейломаной получается следующее выражение:
/>.
Если заменить во второмслагаемом под знаком корня везде /> на />, то преобразованное выражение />, очевидно,представит собой интегральную сумму как раз для интеграла (9). Пристремлении /> кнулю эта сумма и будет своим пределом упомянутый интеграл. Для того, чтобыпоказать, что к тому же пределу стремится и периметр P ломаной, достаточно обнаружить, чторазность /> стремитсяк нулю.
С этой целью произведёмоценку этой разности />. Элементарное неравенство />, еслиприменить его к каждому слагаемому написанной выше суммы в отдельности, дастнам />.Ввиду непрерывности функции />, по любому заданному /> найдётся такое />, /> лишь только />. Если взять все/>, так что /> и />. Это идоказывает наше утверждение.
Если кривая задана явнымуравнением в прямоугольных координатах /> />, то, принимая x за параметр, из формулы (9), как еёчастный случай, получим />. (9а)
Наконец, и случайполярного задания кривой /> /> также приводится кпараметрическому с помощью обычных формул перехода />, />; роль параметра здесь играет />. Для этого случая />, />, так что /> и />. (9б)
Примеры:
1). Парабола: />. Приняв заначало отсчёта дуг вершину O(x=0), для произвольной точки M c абсциссой xимеем:
/>
2). Эллипс: />. Удобнее взятьуравнение эллипса в параметрической форме: />, />. Очевидно, />
/>, где /> есть численный эксцентриситетэллипса. Вычисляя длину дуги эллипса от верхнего конца малой оси до любой еготочки в первом квадранте, />.
Таким образом, длина дугиэллипса выражается эллиптическим интегралом второго рода; какуказывалось, этот факт послужил поводом для названия «эллиптический».
В частности, длиначетверти обвода эллипса выражается через полный эллиптический интеграл />. Длина жевсего обвода будет />.
1.4 Площадьповерхности вращения
Рассмотрим вопрос овычислении площади поверхности вращения. Вычислим площадь поверхности вращения,считая её существующей и обладающей свойством аддитивности.
Пусть имеем на плоскости xy(именно в верхней полуплоскости) некоторуюкривую AB, заданную уравнением вида /> , />, />, (10)
Где /> и /> - функции от параметра,непрерывные вместе со своими производными. Для простоты будем предполагать еёнезамкнутой и лишённой кратных точек. Нам удобно ввести в качестве параметрадугу s, отсчитываемую от точки />, и перейти кпредставлению />, />, /> (11)
Параметр s изменяется здесь от 0 до S, если через S обозначить длину всей кривой AB.
Задача состоит вопределении площади Qповерхности, полученной от вращения кривой AB вокруг осиx. Роль независимой переменной играет /> .
Если выделить элемент ds кривой (чертёж 12), то егоприближённо можно принять за прямолинейный и вычислять соответствующий емуэлемент площади /> как площадь усечённого конуса собразующей ds и радиусами основания y и y+dy. Тогда, по известной из школьного курса формуле, />. Впрочем, этоещё не та формула, к которой мы стремимся – произведение /> двух бесконечно малыхнадо отбросить. Мы придём к линейной относительно /> формуле />, откуда уже,«суммируя», окончательно получим /> (12)
/>
где под y надлежит разуметь фигурирующую в(11) функцию/>.
Если вернуться к общему параметрическомузаданию (10) нашей кривой, то, произведя в предшествующем интеграле заменупеременной, преобразуем его к виду (чертёж 12)
/>. (12а)
В частности, если криваязадана явным уравнением /> />, так что в роли параметраоказывается x, будемиметь:
/>. (12б)
Примеры:
1). Определить площадьповерхности шарового пояса.
Пусть полукруг, описанныйоколо начала радиусом r,вращается вокруг оси x.Из уравнения круга имеем />; далее, />, />, />. В таком случае площадьповерхности пояса, описанного дугой, концы которой имеют абсциссы /> и />, по формуле (12б) будет />, где h – высота пояса. Таким образом, площадь поверхностишарового пояса равна произведению окружности большого круга на высоту пояса. Вчастности, при /> и />, т.е. при />, получаем площадь всейшаровой поверхности />.
2). Найти площадьповерхности, образованной вращением дуги циклоиды />, />.
Так как />, />, то
/>.
1.5 Нахождениестатических моментов и центра тяжести кривой
Как известно, статическиймомент K материальной точки массы m относительно некоторой оси равенпроизведению из массы mна расстояние d точки отоси. В случае системы nматериальных точек с массами />, лежащих в одной плоскости сосью, соответственно, на расстояниях /> от оси, статический моментвыразится суммой />.
При этом расстоянияточек, лежащих по одну сторону от оси, берутся со знаком плюс, а расстоянияточек по другую сторону – со знаком минус.
Если же массы несосредоточены в отдельных точках, но расположены сплошным образом, заполняялинию или плоскую фигуру, то тогда для выражения статического момента вместосуммы потребуется интеграл.
Остановимся наопределении статического момента /> относительно оси x масс, расположенных вдоль некоторойплоской кривой AB. При этомиы предположим кривую однородной, так что её линейная плотность /> (т.е. масса,приходящаяся на единицу длины) будет постоянной; для простоты допустим даже,что />=1 (впротивном случае полученный результат лишь умножить на />). При этих предположениях массалюбой дуги нашей кривой измеряется просто её длиной, и понятие о статическоммоменте приобретает чисто геометрический характер. Заметим, вообще, что когдаговорят о статическом моменте (или центре тяжести) кривой – без упоминания ораспределении вдоль по ней масс, то всегда имеют ввиду статический момент(центр тяжести), определённый именно при указанных предположениях.
Выделим снова некийэлемент /> кривой(масса которого также выражается числом />). Приняв этот элемент приближённоза материальную точку, лежащую на расстоянии y от оси, для его статического момента получимвыражение />.Суммируя эти элементарные статические моменты, причём за независимую переменнуювозьмём дугу s,отсчитываемую от точки A,получим />.Аналогично выражается и момент относительно оси y: />. Конечно, здесь предполагается,что y (или x) выражено через s. Практически в этих формулах выражают s через ту переменную t, x или />, которая играет роль независимойв аналитическом представлении кривой.
Статические моменты /> и /> кривойпозволяют легко установить положение от центра тяжести />. Точка C обладает тем свойством, что если вней сосредоточить всю «массу» Sкривой (выражаемую тем же числом, что и длина), то момент этой массыотносительно любой оси совпадает с моментом кривой относительно этой оси. Вчастности, если рассмотреть моменты кривой относительно осей координат, тонайдём />, />, откуда />, />. (13)
Из формулы для ординаты /> центра тяжестимы получаем замечательное геометрическое следствие. В самом деле, имеем />, откуда />. Но праваячасть этого равенства есть площадь Q поверхности, полученной от вращения кривой AB, в левой же части равенства /> обозначает длину окружности,описанной центром тяжести кривой при вращении её около оси x, а S есть длина нашей кривой. Таким образом, приходим кследующей теореме Гульдина:
Величина поверхности,полученной от вращения кривой около некоторой не пересекающей её оси, равнадлине дуги этой кривой, умноженной на длину окружности, описанной центромтяжести Cкривой (чертёж 12).
/>
Эта теорема позволяетустановить координату /> центра тяжести кривой, еслиизвестны её длина Sи площадь Q описанной ею поверхности вращения.Вот тому примеры:
1). Пользуясь теоремойГульдина, определить положение центра тяжести дуги AB (чертёж 13) круга радиуса r. Так как эта дуга симметрична относительно радиуса OM, проходящего через её середину M, то её центр тяжести Cлежит (чертёж 13) на этом радиусе, идля полного определения положения центра тяжести необходимо лишь найти егорасстояние /> отцентра O. Выбираем оси, как указано начертеже, и обозначим длину дуги AB через s, а её хорды /> - через h. От вращения рассматриваемой дугивокруг оси x получается шаровой пояс, площадьповерхности Q которогоравна />. Потеореме Гульдина та же поверхность равна />, так что /> и />. В частности, для полуокружности />, /> и />.
2). Определить центртяжести ветви циклоиды (чертёж 5):
/>, /> />
Если принять в расчётсимметрию, то сразу ясно, что />. Учитывая же результаты примера2) п.1.4., легко получить затем: />.
1.6 Нахождение статическихмоментов и центра тяжести плоской фигуры
/>
Рассмотрим плоскую фигуру/> (чертёж14), ограниченную сверху кривой AB, которая задана явным уравнением />. Предположим, что вдоль по этойфигуре равномерно распределены массы, так что (чертёж 14) поверхностнаяплощадь их /> (т.е. масса, приходящаяся наединицу площади) постоянна. Можно принять, что />=1, т.е. что масса любой частинашей фигуры измеряется её площадью. Это всегда и подразумевается, если говорятпросто о статических моментах (или о центре тяжести) плоской фигуры.
Чтобы определитьстатические моменты /> и /> этой фигуры относительно осейкоординат, выделим какой-нибудь элемент нашей фигуры в виде бесконечно узкойвертикальной полоски (см. чертёж). Приняв эту полоску приближённо запрямоугольник, видим, что масса её (выражаемая тем же числом, что и площадь)будет />.Для определения соответствующих элементарных моментов /> и /> предположим всю массу полоскисосредоточенной в её центре тяжести (т.е. в центре прямоугольника), что, какизвестно, не изменяет величины статических моментов. Полученная материальнаяточка отстоит от оси xна расстоянии />, от оси y – на расстоянии />; последнее выражениеможно заменить просто через x,ибо отброшенная величина />, умноженная на массу />, дала быбесконечно малую второго порядка. Итак, имеем />, />. Просуммировав эти элементарныемоменты, придём к результатам
/>, />, (14)
причём под y разумеется функция />.
Как в случае кривой, поэтим статическим моментам рассматриваемой фигуры относительно осей координатлегко определить теперь и координаты />, /> центра тяжести фигуры. Если черезP обозначить площадь (а следовательно,и массу) фигуры, то по основному свойству центра тяжести
/>, />, откуда
/>, />. (15)
И в данном случае мыполучаем важное геометрическое следствие из формулы для ординаты /> центра тяжести. В самомделе, из этой формулы имеем />.
Правая часть этогоравенства выражает объём Vтела, полученного от вращения плоской фигуры /> около оси x (формула 6: />), левая же частьвыражает произведение площади этой фигуры P на /> - длину окружности, описаннойцентром тяжести фигуры. Отсюда вторая теорема Гульдина:
Объём тела вращенияплоской фигуры около не пересекающей её оси равен произведению площади этойфигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры: />.
Заметим, что формулы (14),(15)распространяются на случай фигуры, ограниченной кривыми и снизу и сверху(чертёж 2). Например, для этого случая/>, />. (14а)
Если вспомнить формулу(2), то легко усмотреть, что теорема Гульдина справедлива также и для этогослучая.
Примеры:
1). Найти статическиемоменты />, /> и координатыцентра тяжести фигуры, ограниченной параболой />, осью x и ординатой, соответствующей абсциссе x. Так как />, то по формулам (14)
/>, />.
С другой стороны, площадь(по формуле 1) />.
В таком случае, поформулам (15), />,.
Пользуясь значениями /> и />, легко найти –по теореме Гульдина – объём тела вращения рассматриваемой фигуры вокруг осейкоординат или вокруг конечной ординаты. Например, если остановиться напоследнем случае, так как расстояние центра тяжести от оси вращения есть />, то искомыйобъём будет />.
2). Найти центр тяжестифигуры, ограниченной ветвью циклоиды />, /> и осью x. Воспользовавшись п.1.1. 4) ип.1.2. 2), по теореме Гульдина легко установить />. По симметрии />.
1.7 Механическаяработа
Пусть точка M движется попрямой (этим случаем мы ограничимся для простоты), причём на перемещении s нанеё вдоль той же прямой действует постоянная сила F. Из элементов механикиизвестно, что тогда работа W этой силы выразится произведением />. Чаще, однако,случается, что величина силы остаётся постоянной, а непрерывно меняется отточки к точке, и для выражения работы снова приходится прибегнуть копределённому интегралу.
/>
Пусть путь s, проходимой точкой, будетнезависимой переменной. При этом предположим, что начальному положению A нашей точки M соответствует значение />, а конечному B – значение /> (чертёж 15). (чертёж 15)
Каждому значению s в промежутке /> отвечает определённоеположение движущейся точки, а также определённое значение величины F, которую, таким образом, можнорассматривать как функцию от s.Взяв точку M в каком-нибудь её положении,определяемом значением sпути.Найдём теперь приближённое выражение для элемента работы, соответствующегоприращению /> пути,от sдо />, при котором точка M перейдёт в близкое положение />. В положении Mна точку действует определённая сила F. Так как изменение этой величины припереходе точки из Mв /> - прималом /> -также мало, пренебрежём этим изменением и, считая величину силы F приближённо постоянной, найдём дляэлемента работы на перемещении /> выражение />, так что вся работа W представится интегралом
/>. (16)
Пример. Применим в виде примера формулу (16)к вычислению работы растяжения (или сжатия) пружины с укреплённым одним концом(чертёж 16).
/>
С этим приходится иметьдело, например, при расчёте буферов у железнодорожных вагонов.
Известно, что растяжение s пружины (если только пружина неперегружена) создаёт натяжение p, по величине пропорциональное растяжению, так что (чертёж 16) />, где c – некоторая постоянная, зависящая отупругих свойств пружины («жёсткость» пружины). Сила, растягивающая пружину,должна преодолевать это натяжение. Если учитывать только ту часть действующейсилы, которая на это затрачивается, то её работа при возрастании растяжения от /> до /> выразится так:
/>.
Обозначив через P наибольшую величину натяжения илипреодолевающей её силы, соответствующую растяжению пружины (и равную />), мы можемпредставить выражение для работы в виде />.
Если бы к свободномуконцу пружины сразу была приложена сила P (например, подвешен груз), то на перемещении S ею была бы произведена вдвое большаяработа />.Как видим, лишь половина пойдёт на сообщение пружине с грузом кинетическойэнергии.
2. Двойной интеграл
2.1 Вычисление площадив случае прямоугольной области
/>
Возьмём функцию />,представляющую прямоугольную область />. Вычислим площадь данной областис помощью двойного интеграла. Разобьём промежутки /> и /> на части, вставляя точки деления
/>,
/>.
Тогда прямоугольникразложится на частичные прямоугольники (чертёж 17): /> />. (чертёж 17)
Обозначим через /> и /> точные нижнююи верхнюю границы прямоугольника
/>. Возьмём />, тогда />. Просуммируем />, где sиS – суммы Дарбу. Если /> и /> устремить к нулю, то />. Это и есть значение K площади: />.
2.2 Вычисление площадив случае криволинейной области
/>
Рассмотрим область />, ограниченнуюснизу и сверху двумя непрерывными кривыми: />, /> />, а с боков двумя ординатами /> и /> (чертёж 18).
Заключим область /> впрямоугольник />, (чертёж 18) полагая />, />. Значениеплощади Kплощади в этом случае: />.
Пример: Вычислитьплощадь фигуры, ограниченной лемнискатой (чертёж 19):
/>. Наличие двучлена /> наталкивает на мысль перейти к полярным координатам:
/>, />, площадь />.
Благодаря симметрии,определим (чертёж 19) площадь части /> фигуры, т.е. />. Полярное уравнениелемнискаты />,/>,получаем />,искомая площадь есть />.
2.3 Вычисление объёмацилиндрического бруса
/>
Пусть /> непрерывная иположительная функция. Вычислим объём тела, которое сверху ограниченоповерхностью />, с боков – цилиндрическойповерхностью с образующими, параллельными оси />, снизу – плоской фигурой /> на плоскости /> (чертёж 20).
1.Разобьём область /> на части: /> и рассмотримряд цилиндрических столбиков. (чертёж 20)
2. Возьмём />.
3. />, где /> - площадь />.
4. Получили интегральнуюсумму />.
5. />, где /> - длина наибольшегодиаметра частичной области.
В итоге объём />.
Пример: Найти объём тела,вырезанного цилиндром /> из сферы />(«тело Вивиани») (чертёж21).
/>
/>,
где P есть полукруг в первом квадрантеплоскости xoy, ограниченный линиями /> и />. Перейдём к полярнымкоординатам, тогда уравнение контура P будет /> при />.
Таким образом, объём
/>.
2.4 Механическиеприложения
Пусть массы непрерывнымобразом распределены по области (P), причём плотность в точке /> пусть будет />. Тогда элемент массы />, вся масса />.
Элементарные статическиемоменты и моменты инерции относительно осей координат будут />, />,
/>, />. Отсюда
/>.
Получим координаты центратяжести />.
Пусть в пространстве данбрус. Его элементарные статические моменты будут
/>.
Отсюда координаты центратяжести
/>.
/>
Формулы для моментовинерции бруса /> относительно оси z и /> , /> - относительно плоскостейкоординат yz, zx:
/>.
Пример: Найти центртяжести однородного эллипсоида />, содержащийся в первом октанте (чертёж22). (чертёж 22)
Область (P) ограничена координатными осями идугой эллипса /> />, уравнение эллипсоида в явномвиде
/>. Тогда
/>. Аналогично />, />. Объём />. Найдем координатыцентра тяжести />.
3. Криволинейный интеграл
3.1 Выражение площадис помощью криволинейных интегралов
Запишем сначала формулуГрина: />.
Если функции Pи Q в формуле Грина подобрать так, чтобы />, то двойной интегралприведётся к площади D.
Если /> и />, то />,
если /> и />, то />,
если /> и />, то />. Последняя формулаявляется наиболее употребительной.
Пример: Найти площадьэллипса с полуосями aиb. Воспользуемся параметрическимиуравнениями эллипса: />, /> />. Тогда />.
3.2 Приложения кфизическим задачам
/>
Работа силового поля. Пусть в каждой точке M плоскости xyна помещённую в неё единицу массыдействует определённая сила />. Данная плоскость называетсясиловым полем, а сила /> - напряжением поля. Из рисункавидно />, />.
Пусть точка M(x,y) движется иописывает некоторую непрерывную кривую (K). Вычислим работу A, которую при этом движении совершают силы поля. Вслучае прямолинейного движения />, где
/>
В случае непрямолинейногодвижения и непостоянной силы станем определять положение точки M на кривой (K) длиной s дуги AM. Тогда />. Просуммируем, работа выразитсякриволинейным интегралом первого типа: />. Пусть /> - угол между направлениемэлемента/>иосью x, тогда />. Окончательно работа силовогополя выразится криволинейным интегралом второго типа: />.
Плоское установившеесядвижение несжимаемой жидкости.
/>
При таком движении все частицы,лежащие на одной вертикали к некоторой плоскости, имеют одну и ту же скорость.Скорость /> частицыжидкости зависит только от положения частицы, но не от времени.
Если обозначить угол,составленный вектором /> с осью x, через />, а проекции этого вектора накоординатные оси – через /> и />, то />. Количество Q жидкости, протекающей через кривую (K) в определённую от неё сторону вединицу времени, запишется в виде криволинейного интеграла первого типа />.
Так как />, то />. Перейдём ккриволинейному интегралу второго типа />.
4. Поверхностныеинтегралы
4.1 Площадь поверхности,заданной явным уравнением
/>
Пусть поверхность /> задана явнымуравнением />,причём /> изменяютсяв квадрируемой области /> на плоскости />, и /> в этой области имеетнепрерывные частные производные /> и />. Разложим область /> с помощью сетки кривыхна элементы />. Рассмотрим />.Если построить наконтуре этой частичной области цилиндрическую поверхность с образующими,параллельными оси />, то она вырежет на поверхности /> элемент/>. Элемент /> соответствуетэлементу />.Точка /> соответствуетточке />,где />.Проведём в точке /> касательную плоскость. Упомянутаяцилиндрическая поверхность на этой плоскости вырежет элементарную фигуру />, площадькоторой /> служитприближением к площади элемента />. Сумму /> можно считать приближением кплощади поверхности />. Площадь /> при стремящихся к нулюдиаметров всех элементов /> или />. Отсюда />, где /> - угол нормали к поверхности сосью />.Если /> удовлетворяетточке />, тодля площадей плоских фигур /> и /> имеем />, откуда />. Получаем интегральную сумму />. Исходя изтого, что />,площадь />.
4.2 Площадьповерхности в общем случае
Рассмотрим простуюгладкую поверхность />, заданную параметрически. Длякаждой точки /> поверхности явное уравнение /> заменяетсяявным же уравнением /> или />. Отсюда следует, что всяповерхность /> разлагаетсяна конечное число кусков />. Вычислим площадь />. />. />.
Замечание: Перейдём отпараметров /> собластью изменения /> к параметрам /> с областью изменения /> по формулам />, />. Тогдаповерхность выразится новыми уравнениями />, />, />. Обозначим />, />, /> - так называемыегауссовы коэффициенты. Так как />, то />.
Выражение /> называют элементомплощади в криволинейных координатах.
Пример: Найти площадьчастей сферической поверхности />, вырезанных из неё цилиндром />.
Решение. />, />, />, тогда />, причём областьюинтегрирования служит круг, ограниченный окружностью />.
В полярных координатахполучим />.Проинтегрировав, получим />.
В сферическихкоординатах, так как />, />, />, то />.
5. Тройной интеграл
5.1 Масса тела. Объём
Пусть дано некоторое тело/>,заполненное массами, и в каждой точке /> известна плотность /> распределенияэтих масс. Требуется определить всю массу /> тела.
Разложим тело /> на ряд частей:/>. Точка />. Пусть впределах части /> плотность постоянна и равна /> в выбраннойточке. Тогда масса />, масса всего тела />. Если диаметры /> всех частей стремятся к нулю, то /> или />. Последнее выражение называется тройным интегралом.
Пусть дана функция /> в данном теле />.
Если функция />, то />, где /> есть объёмданного тела
/>. Вычисление тройного интеграламожно выполнить с помощью трёх последовательных простых интегрирований.
Пример:
1). Вычислить интеграл />,распространённый на тетраэдр />, ограничиваемый плоскостями />, />, /> и />(чертёж ).Решение: Запишем границы изменения каждой из переменных
/>, отсюда
/>
/>
/>
/>
/>
/>.
Итак, />.
5.2 Замена переменнойв тройном интеграле
Если функция /> и функции /> непрерывнывместе со своими частными производными до второго порядка включительно, иякобиан />,то />.
Частные случаи:
1). Цилиндрическиекоординаты
/>, />, />.
/>.
Пример: Вычислить объёмтела, ограниченного поверхностью />.
/>, />, пределы интегрирования />.
/>.
2). Сферическиекоординаты
/>, />,
/>.
Пример: Вычислить объёмтела, ограниченного поверхностью
/>
/>, пределы интегрирования />
/>.
Заключение
В данной работе мырассмотрели основные виды интегралов и их вычисление, а также их применение крешению прикладных задач. С помощью теории интегралов изложено нахождениеплощадей, ограниченных различными кривыми, объёмов, ограниченных различнымиповерхностями, в том числе нахождение площадей и объёмов тел вращения. А такжеописано нахождение длины дуги заданной кривой на данном отрезке. Представленынекоторые механические приложения для определённого и двойного интегралов:нахождение статических моментов, координат центра тяжести кривой, плоской иобъёмной фигур, массы тела. Приведены физические приложения, например,нахождение механической работы, работы силового поля, рассмотрение вопроса оплоском установившемся течении несжимаемой жидкости. В работе приведенынекоторые применения криволинейных и поверхностных интегралов.
Литература
1. Архипов Г.И. Садовничий В.А. Чубариков В.Н. «Лекции поматематическому анализу», 1999.
2. Виноградова И.А. Олехник С.Н. Садовничий В.А. «Задачи иупражнения по математическому анализу», Часть 1, 1988.
3. Виноградова И.А. Олехник С.Н. Садовничий В.А. «Задачи иупражнения по математическому анализу», Часть 2, 1991.
4. Демидович Б.П. «Сборник задач и упражнений поматематическому анализу», 1997.
5. Запорожец Г.И. «Руководство к решению задач поматематическому анализу», 1966.
6. Зорич В.А. «Математический анализ», Часть 1, 1997.
7. Зорич В.А. «Математический анализ», Часть 2, 1984.
8. Матвеев Н.М. «Методы интегрирования обыкновенныхдифференциальных уравнений», 1967.
9. Нахман А.Д., «Интегралы функций одной и несколькихпеременных. Дифференциальные уравнения». Учебно-методические разработки.Тамбов. Издательство ТГТУ, 2006.
10. Никольский С.М. «Курс математического анализа», Часть 1, 2,1983.
11. Рудин У. «Основы математического анализа», 1966.
12. Шведов И. «Математический анализ. Часть 1. Функции однойпеременной».
13. Шведов И. «Математический анализ. Часть 2. Интегральноеисчисление функций многих переменных ».
14. Шилов Г.Е. «Математический анализ (функции несколькихвещественных переменных)», Части 1-2, 1972.
15. Шилов Г.Е. «Математический анализ (функции одногопеременного)», Часть 3, 1972.