Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Описание конечных групп с плотной системой />-субнормальных подгрупп для формации />сверхразрешимых групп
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка группы М-32
____________ Лякишева А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
____________ Скиба М.Т.
Гомель 2007
Содержание
Перечень условных обозначений
Введение
Описание конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп для формации сверхразрешимых групп
Заключение
Литература
Перечень условных обозначений
В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами /> обозначаются простые числа.
Будем различать знак включения множеств /> и знак строгого включения />;
/>и /> — соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
/>— пустое множество;
/>— множество всех />, для которых выполняется условие />;
/>— множество всех простых чисел;
/>— некоторое множество простых чисел, т.е. />;
/>— дополнение к /> во множестве всех простых чисел; в частности, />;
примарное число — любое число вида />;
/>— множество всех целых положительных чисел.
/>— некоторое линейное упорядочение множества всех простых чисел />.
Запись /> означает, что /> предшествует /> в упорядочении />, />.
Пусть /> — группа. Тогда:
/>— порядок группы />;
/>— порядок элемента /> группы />;
/>— единичный элемент и единичная подгруппа группы />;
/>— множество всех простых делителей порядка группы />;
/>— множество всех различных простых делителей натурального числа />;
/>--группа — группа />, для которой />;
/>--группа — группа />, для которой />;
/>— подгруппа Фраттини группы />, т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы />;
/>— подгруппа Фиттинга группы />, т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы />;
/>— коммутант группы />;
/>— />--холловская подгруппа группы />;
/>— силовская />--подгруппа группы />;
/>— дополнение к силовской />--подгруппе в группе />, т.е. />--холловская подгруппа группы />;--PAGE_BREAK--
/>— группа всех автоморфизмов группы />;
/>— /> является подгруппой группы />;
нетривиальная подгруппа — неединичная собственная подгруппа;
/>— /> является нормальной подгруппой группы />;
/>— подгруппа /> характеристична в группе />, т.е. /> для любого автоморфизма />;
/>— индекс подгруппы /> в группе />;
/>;
/>— централизатор подгруппы /> в группе />;
/>— нормализатор подгруппы /> в группе />;
/>— центр группы />;
/>— циклическая группа порядка />;
Если /> и /> — подгруппы группы />, то:
/>— прямое произведение подгрупп /> и />;
/>— полупрямое произведение нормальной подгруппы /> и подгруппы />.
Группа /> называется:
примарной, если />;
бипримарной, если />.
Скобки /> применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
/>— подгруппа, порожденная всеми />, для которых выполняется />.
Группу /> называют />--нильпотентной, если />.
Группу /> порядка /> называют />--дисперсивной, если выполняется /> и для любого />/> имеет нормальную подгруппу порядка />. Если при этом упорядочение /> таково, что /> всегда влечет />, то />--дисперсивная группа называется дисперсивной по Оре.
Цепь — это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп — это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу. Цепь /> называется />-цепью (с индексами />); если при этом /> является максимальной подгруппой в /> для любого />, то указанная цепь называется максимальной />-цепью.
Ряд подгрупп /> называется:
субнормальным, если /> для любого />;
нормальным, если /> для любого />.
Нормальный ряд называется главным, если /> является минимальной нормальной подгруппой в /> для всех />.
Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Так же обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
/>— класс всех групп;
/>— класс всех абелевых групп;
/>— класс всех нильпотентных групп;
/>— класс всех разрешимых групп;
/>— класс всех />--групп;
/>— класс всех сверхразрешимых групп.
Пусть /> — некоторый класс групп и /> — группа, тогда:
/>— />--корадикал группы />, т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп /> из />, для которых />. Если /> — формация, то /> является наименьшей нормальной подгруппой группы />, факторгруппа по которой принадлежит />. Если /> — формация всех сверхразрешимых групп, то /> называется сверхразрешимым корадикалом группы />. продолжение
--PAGE_BREAK--
Формация /> называется насыщенной, если всегда из /> следует, что и />. Класс групп /> называется наследственным или />-замкнутым, если из того, что />, следует, что и каждая подгруппа группы /> также принадлежит />.
Пусть /> — некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа /> группы /> называется:
/>-нормальной, если />;
/>-абнормальной, если />.
Максимальная />-цепь /> называется />-субнормальной, если для любого /> подгруппа />/>-нормальна в />. Подгруппа /> группы /> называется />-субнормальной, если существует хотя бы одна />-субнормальная максимальная />-цепь.
Группа /> называется группой с плотной системой />-субнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп /> и /> группы />, из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе /> существует такая />-субнормальная подгруппа />, что />. В этом случае также говорят, что множество />-субнормальных в /> подгрупп плотно.
Введение
Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп является одним из основных направлений в теории конечных групп. Отметим, что темп и глубина таких исследований непрерывно возрастают. Это направление изучения групп берет свое начало с групп Миллера-Морено, групп Шмидта. В качестве свойств, налагаемых на системы подгрупп, рассматривались абелевость, нормальность, субнормальность, дополняемость и др. Это направление получило широкое развитие в работах многих ведущих алгебраистов.
С дедекиндовых групп, то есть групп, у которых нормальны все подгруппы, началось изучение различных (как конечных, так и бесконечных) групп, у которых некоторая система подгрупп /> удовлетворяет условию нормальности. Описание конечных дедекиндовых групп дано в работе Р. Дедекинда, а бесконечных в работе Р. Бэра. Эти работы определили важное направление исследований в теории групп. Главной целью этого направления является описание обобщенно дедекиндовых групп. Эти обобщения дедекиндовых групп осуществляются либо путем сужения системы подгрупп />, то есть подгрупп нормальных во всей группе, либо ослабления свойства нормальности для подгрупп из />. Среди таких обобщений выделим следующие исследования.
Первое существенное обобщение дедекиндовых групп принадлежит О.Ю. Шмидту. Он описал конечные группы с одним и двумя классами сопряженных ненормальных подгрупп, а также установил нильпотентность конечной группы, у которой нормальны все максимальные подгруппы. Конечные группы с нормальными />-тыми максимальными подгруппами изучали Б. Хупперт и З. Янко. Д.Бакли изучал конечные группы, у которых нормальны все минимальные подгруппы.
Значительные расширения класса дедекиндовых групп возникают при переходе от условия нормальности к различным ее обобщениям, как, например, к квазинормальности, субнормальности, нормализаторным условиям и др.
В начале 70-х годов по инициативе С.Н.Черникова началось изучение групп с плотными системами подгрупп. Система подгрупп группы />, обладающая некоторым свойством />, называется плотной в />, если для любых двух подгрупп /> из />, где /> не максимальна в />, найдется />-подгруппа /> такая, что />. Группы с плотной системой дополняемых подгрупп были изучены С.Н.Черниковым.
В 1974 году С.Н.Черников поставил следующий вопрос: каково строение группы />, в которой множество всех ее субнормальных подгрупп плотно? Ответ на этот вопрос был получен А.Манном и В.В.Пылаевым.
Заметим, что в теории формаций понятие субнормальности обобщается следующим образом. Говорят, что подгруппа /> является />-субнормальной в />, если существует цепь подгрупп
/>
такая, что /> является />-нормальной максимальной подгруппой в /> для любого />. Если /> совпадает с классом всех нильпотентных групп (который является, конечно, />-замкнутой насыщенной формацией), то />-субнормальная подгруппа оказывается субнормальной.
В связи с развитием теории формаций большое внимание стало уделяться исследованию конечных групп, насыщенных />--подгруппами, />--субнормальными или />--абнормальными подгруппами. В этом направлении проводили свои исследования Л.А.Шеметков, Гашюц, Картер, Шмид, Хоукс и другие.
Ясно, что вопрос С.Н.Черникова можно сформулировать в следующей общей форме: если /> — />-замкнутая насыщенная формация, то каково строение группы, в которой множество всех ее />-субнормальных подгрупп плотно?
В таком виде вопрос С.Н.Черникова был исследован в работе для случая, когда /> — класс всех />-нильпотентных групп. В настоящей работе мы исследуем данный вопрос в случаях, когда /> — произвольная />-замкнутая насыщенная формация либо />-нильпотентных, либо />-дисперсивных, либо сверхразрешимых групп.
Описание конечных групп с плотной системой />-субнормальных подгрупп для формации /> сверхразрешимых групп
Пусть />— произвольная />-замкнутая насыщенная формация сверхразрешимых групп, />— несверхразрешимая группа с плотной системой />-субнормальных подгрупп. Тогда каждая />-абнормальная максимальная подгруппа из />либо принадлежит />, либо является минимальной не />-группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. продолжение
--PAGE_BREAK--
Доказательство. Предположим, что /> не />-дисперсивна, где /> таково, что /> равносильно />. Так как /> — формация />-дисперсивных групп, то, по лемме, лемма верна. Пусть теперь />/>-дисперсивна. В этом случае лемма верна по лемме. Лемма доказана.
Пусть /> — произвольная насыщенная />-замкнутая формация сверхразрешимых групп, /> — несверхразрешимая />-группа с плотной системой />-субнормальных подгрупп. Тогда /> — группа одного из следующих типов:
1) /> — минимальная несверхразрешимая группа, у которой />, />;
2) />, где />, /> содержит такую абелеву подгруппу />, нормальную в />, что /> — минимальная несверхразрешимая группа, являющаяся в /> максимальной подгруппой непростого индекса, подгруппа /> сверхразрешима, где /> — любая максимальная подгруппа из />;
3) />, />, /> — минимальная нормальная подгруппа группы />, подгруппа />, где /> — произвольная максимальная подгруппа из />, является либо сверхразрешимой, либо минимальной не />-группой, либо группой типа 2) из данной теоремы;
4) />, />, где /> — минимальная нормальная подгруппа группы />, />, подгруппа />, /> является либо минимальной несверхразрешимой группой, либо группой типа 2) из данной теоремы;
5) />, />, /> — минимальная нормальная подгруппа из />, /> — абелева группа, /> и /> — минимальные несверхразрешимые группы, подгруппа /> либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, где /> — произвольная максимальная подгруппа из />;
6) />, />, где />, /> — минимальные нормальные подгруппы группы />, />, /> — минимальная несверхразрешимая группа;
7) />, />), где /> — минимальная нормальная подгруппа группы />, /> сверхразрешима, подгруппа />, где /> — произвольная максимальная подгруппа группы />, либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) или 4) из данной теоремы;
8) />, /> и имеет точно четыре класса максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы />, />, />, /> со следующими свойствами: />, /> — минимальные несверхразрешимые группы, подгруппы /> и /> принадлежат />, где /> — максимальная подгруппа из />, /> — максимальная подгруппа из />;
9) />, /> и имеет точно четыре класса максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы />, />, />, /> со следующими свойствами: /> сверхразрешима, /> — либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) из данной теоремы, />, где /> — максимальная подгруппа из />, либо принадлежит />, либо /> и /> является минимальной несверхразрешимой группой или группой типа 2) из данной теоремы, />, где /> — максимальная подгруппа из />, либо принадлежит />, либо /> и /> является минимальной несверхразрешимой группой или группой типа 2) из данной теоремы.
Доказательство. По лемме, группа /> разрешима. Если группа /> не дисперсивна по Оре, то к ней применима теорема, и данная теорема верна. Поэтому далее мы будем полагать, что группа /> дисперсивна по Оре.
1. Рассмотрим вначале случай />, где /> и /> — различные простые числа. По лемме в группе /> любая />-абнормальная максимальная подгруппа либо сверхразрешима, либо является минимальной несверхразрешимой группой у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Эти два случая мы и рассмотрим.
1.1. Пусть в /> имеется несверхразрешимая />-абнормальная максимальная подгруппа />. По лемме, /> является минимальной несверхразрешимой группой и /> — абелева группа. Так как />, то либо />, либо />. Если предположить, что />, то /> и />. Поэтому /> немаксимальна в /> и, по лемме, />-субнормальна в />. Отсюда, по теореме, />. Противоречие. Значит, />, /> и />. Из того, что группа дисперсивна по Оре, /> и />, следует, что />. Пусть /> — произвольная максимальная подгруппа из />. По условию, в /> существует />-субнормальная подгруппа /> такая, что />. Ясно, что /> и, значит, /> сверхразрешима. Следовательно, />/>-субнормальна в /> и в />, где /> — формация всех сверхразрешимых групп. Применяя теорему, получаем. что подгруппа /> сверхразрешима. Итак, в данном случае /> — группа типа 2) из данной теоремы. продолжение
--PAGE_BREAK--
1.2. Пусть теперь в /> все />-абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме, /> — />-группа. По лемме, либо /> — максимальная подгруппа в />, либо /> — максимальна в />-абнормальной максимальной подгруппе /> группы />.
Пусть вначале /> максимальна в />. Пусть /> — произвольная максимальная подгруппа из />. Рассмотрим подгруппу />. Если />/>-субнормальна в />, то, по теореме, />. Предположим, что /> не />-субнормальна в />. Тогда /> содержится в некоторой />-абнормальной максимальной подгруппе /> из />. Так как />, то />. Если />, то, согласно лемме, /> — минимальная не />-группа. Пусть />. Тогда /> и />. Применяя теорему Машке, получаем, что /> и />. Если />, то />. Противоречие. По лемме, /> — минимальная несверхразрешимая группа. Если /> — произвольная максимальная подгруппа из />, то, ввиду леммы, />/>-субнормальна в />. Применяя теорему, получаем, что подгруппа />. Значит, /> — группа типа 2) из данной теоремы, а /> — группа типа 3) из данной теоремы.
Пусть теперь /> немаксимальна в />. Тогда, по лемме, /> содержится в качестве максимальной подгруппы в некоторой />-абнормальной максимальной подгруппе /> группы />. Тогда группа /> представима в виде />, где /> — />-группа. Предположим, что />. Тогда любая />-нормальная максимальная подгруппа группы /> имеет вид />, где /> — некоторая максимальная подгруппа из />, и, следовательно, по теореме, принадлежит формации />. Получили, что группа /> — минимальная несверхразрешимая группа. Предположим, что />. Тогда, по теореме Машке, />. Ввиду следующего равенства /> получаем противоречие с тем, что />. Итак, /> — группа типа 1) из данной теоремы. Если же />, то группа /> имеет вид /> и />. Так как /> максимальна в />, то />. Рассмотрим подгруппу />. Если />, то />/>-субнормальна в />. Учитывая, что /> дисперсивна по Оре, по теореме, получаем, что />. Противоречие. Каждая собственная подгруппа из /> будет немаксимальна в /> и, по лемме, />-субнормальна в />. Если /> максимальна в />, то /> — минимальная несверхразрешимая группа. В этом случае /> — группа типа 4) из данной теоремы. Если предположить, что /> не максимальна в />, то она содержится в некоторой />-абнормальной максимальной подгруппе /> из />. Получили, что /> и />. Это значит, что />. Противоречие с тем, что /> — максимальная подгруппа в />.
2. Рассмотрим случай />, где />, /> и /> — различные простые числа. Согласно лемме, в группе /> либо все />-абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы, либо являются минимальными несверхразрешимыми группами, у которых нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Рассмотрим эти два случая.
2.1. Предположим, что в /> имеется несверхразрешимая />-абнормальная максимальная подгруппа />. По лемме, /> является минимальной несверхразрешимой группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Предположим, что />. Так как />, то /> и />, />. Применяя лемму и учитывая, что />, получаем />. Из того, что /> разрешима, следует, что либо />, либо /> нормальна в />. По теореме, в /> существует подгруппа />. Подгруппа /> содержится в некоторой />-абнормальной максимальной подгруппе /> группы />. Предположим, что />. Тогда /> будет немаксимальна в /> и, по условию, найдется />-субнормальная подгруппа /> такая, что />. Ясно, что />. Поэтому />, а это значит, что />/>-субнормальна в />. Тогда, по теореме, />. Это значит, что />. Ясно также, что /> и /> максимальна в />. Тогда /> — минимальная несверхразрешимая группа, у которой /> — абелева группа. Пусть /> — произвольная максимальная подгруппа из />. Рассмотрим подгруппу />. Предположим, что />. Так как либо />, либо />, то пусть для определенности />. Из того, что />, следует, что /> и />. Имеем /> и /> — минимальная нормальная подгруппа в />, поэтому />. Значит, подгруппа /> содержится в некоторой />-абнормальной максимальной подгруппе /> из />. Пусть /> — произвольная подгруппа из />, отличная от />. Тогда, по условию, в /> существует />-субнормальная подгруппа /> такая, что />. Ясно, что />. Поэтому />. Отсюда следует, что />/>-субнормальна в />. Предположим, что />. Согласно лемме, /> — минимальная несверхразрешимая группа. В этом случае /> — группа типа 5). Пусть />. Тогда />, где /> — />-группа. Если />, то, ввиду леммы, /> — минимальная несверхразрешимая группа. Если />, то, применяя теорему, получаем, что /> — циклическая группа. Противоречие. Предположим, что />. Тогда />. Подгруппа /> самонормализуема в />, так как в /> и />, подгруппа /> является максимальной. Значит, /> — группа Фробениуса с ядром /> и дополнительным множителем />. По теореме, />. Противоречие. Остается рассмотреть случай, когда />. По теореме Машке, /> и />. Отсюда получаем, что /> и />. Противоречие. Значит, />. Если />, то проводя рассуждения, аналогично вышеизложенным, получаем, что /> либо принадлежит формации, либо является минимальной несверхразрешимой группой. Итак, /> — группа типа 5) из данной теоремы. продолжение
--PAGE_BREAK--
Пусть теперь /> — минимальная несверхразрешимая группа и />. Так как />, то />, /> и />. Предположим, что />. По теореме, в /> существует подгруппа />, содержащая />. Так как />, то /> и /> содержится в некоторой />-абнормальной максимальной подгруппе /> из />. Предположим, что />. Применяя лемму, получаем, что />, а значит, />. Подгруппа /> немаксимальна в />, так как />, /> и />. По условию, в /> существует />-субнормальная подгруппа /> такая, что />. Отсюда следует, что />/>-субнормальна в />, а значит, и в />. Противоречие. Итак, /> — минимальная несверхразрешимая группа. Так как />, то />. Приходим к случаю, рассмотренному выше, откуда следует, что в /> нет />-абнормальных максимальных подгрупп, порядок которых делится на три различных простых числа. Итак, />, /> и />. Ясно, что /> и />. Ввиду того, что группа /> дисперсивна по Оре, получаем, что /> — наибольший простой делитель /> и />, а значит, />. Из /> следует, что />. Пусть /> — произвольная максимальная подгруппа из />. По условию, в /> существует такая />-субнормальная подгруппа /> такая, что />. Ясно, что />. Поэтому /> сверхразрешима. Отсюда следует, что />/>-субнормальна в />, где /> — формация всех сверхразрешимых групп. Применяя теорему, получаем, что подгруппа /> сверхразрешима. Следовательно, /> — группа типа 2) из данной теоремы.
2.2. Пусть теперь в /> все />-абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме /> — />-группа. По лемме либо /> — максимальная подгруппа в />, либо /> — максимальна в />-абнормальной максимальной подгруппе /> группы />.
Пусть /> максимальна в />. Так как />, то />. Согласно доказанному выше, получаем, что в этом случае /> группа типа 7) из данной теоремы.
Предположим теперь, что /> не максимальна в />. Тогда />, где /> — />-группа. Предположим, что />. Тогда любая />-нормальная максимальная подгруппа группы /> имеет вид />, где /> — некоторая максимальная подгруппа из />, и, следовательно, по теореме принадлежит формации />. Получили, что группа /> — минимальная несверхразрешимая группа. Предположим, что />. Тогда, по теореме Машке, />. Ввиду следующего равенства /> получаем противоречие с тем, что />. Итак, /> — группа типа 1) из данной теоремы. Пусть теперь />. В этом случае />. Так как />, то />. Согласно лемме, подгруппы /> и /> будут />-субнормальны в />. Очевидно, что />, />. Поэтому /> и />. Рассмотрим подгруппу />. Подгруппа /> содержится в некоторой />-абнормальной максимальной подгруппе /> группы />. Если />, то /> — минимальная несверхразрешимая группа. Предположим, что />. Тогда />, где /> — />-группа и />. Так как />, то /> — элементарная абелева группа. Значит, /> и /> — минимальная несверхразрешимая группа. Следовательно, /> — группа типа 6) из данной теоремы.
3. Рассмотрим случай />, где />, />, /> и /> — различные простые числа. Согласно лемме, в группе /> либо все />-абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы, либо являются минимальными несверхразрешимыми группами, у которых нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Рассмотрим эти два случая. продолжение
--PAGE_BREAK--
3.1. Предположим, в /> имеется несверхразрешимая />-абнормальная максимальная подгруппа />. По лемме, /> является минимальной несверхразрешимой группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Так как />, то /> и />, />. Отсюда получаем, что /> и />. Применяя леммы и получаем, что />. Рассмотрим подгруппу />. Такая группа существует согласно теореме. Так как />, то /> содержится в некоторой />-абнормальной максимальной подгруппе /> из />. Если />, то /> и, согласно лемме, />. Подгруппа /> немаксимальна в />. Поэтому, по лемме, />/>-субнормальна в />, а значит, и в />. Противоречие. Следовательно, /> и, согласно лемме, /> — минимальная несверхразрешимая группа, у которой /> является минимальной нормальной подгруппой. Отсюда следует, что /> и />. Рассмотрим подгруппу />. Подгруппа /> циклическая согласно теореме. Поэтому /> — абелева группа. Так как />, то />. Аналогично получаем, что коммутантом группы />. является />. Пусть />. Легко видеть, что /> сверхразрешима. Ввиду теоремы, />. Так как /> и />, то /> и />. Отсюда получаем, что />. Значит, /> и />. Пусть /> — произвольная максимальная подгруппа из />. По условию, в /> существует />-субнормальная максимальная подгруппа /> такая, что />. Ясно, что />. Поэтому /> принадлежит /> и />-субнормальна в />. Применяя теорему, получаем />. Так как /> и /> — циклические группы, согласно теоремы, то в /> два класса максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы /> и />, где /> — максимальная подгруппа из />, /> — максимальная подгруппа из />. Значит, подгруппы вида /> и /> принадлежат />, и /> — группа типа 8) из данной теоремы.
3.2. Пусть теперь в /> все />-абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме, /> — />-группа. По лемме, либо /> — максимальная подгруппа в />, либо /> максимальна в />-абнормальной максимальной подгруппе /> группы />.
Предположим, что /> — максимальная подгруппа в />. В /> существует максимальная подгруппа />, не />-субнормальная в /> и />. Рассмотрим подгруппу />. Так как /> и />, то /> содержится в некоторой />-абнормальной максимальной подгруппе /> группы />. Если />, то, по лемме, /> — минимальная несверхразрешимая группа. Тогда />. Если />, то, по лемме, /> — минимальная несверхразрешимая группа. Предположим теперь, что />. Тогда />, ввиду леммы. Подгруппа />, поэтому, согласно теоремы Машке, /> и />. Рассмотрим подгруппу />. Подгруппа /> будет минимальной нормальной подгруппой группы />, в противном случае в /> существует минимальная нормальная подгруппа />, для которой /> и />. Применяя лемму, получаем, что /> — минимальная несверхразрешимая группа. Итак, мы показали, что в /> существует подгруппа /> такая, что /> — минимальная несверхразрешимая группа. Значит, />, /> и /> — циклические группы. Последнее справедливо ввиду теоремы. По доказанному выше, /> может быть группой типа 2), 7) из данной теоремы. Если /> — группа типа 7), то так как согласно лемме любая максимальная подгруппа из />/>-субнормальна в />, /> — минимальная несверхразрешимая группа. Итак, мы показали, что подгруппа /> — либо минимальная несверхразрешимая группа, либо является группой типа 2) из данной теоремы.
Так как подгруппа /> максимальна в /> и />, то /> и />. Из того, что все силовские подгруппы из /> циклические, следует, что в /> всего четыре класса максимальных сопряженных подгрупп. Так как /> и /> — циклическая группа, то максимальная подгруппа /> из /> нормальна в />. Подгруппа /> максимальна в />. Рассмотрим теперь подгруппу />. Если />, то />. Если предположить, что />, то /> содержится в некоторой />-абнормальной максимальной подгруппе /> из />. Если />, то /> — минимальная несверхразрешимая группа и />. Противоречие. Пусть />. Тогда /> максимальна в />, причем /> — минимальная несверхразрешимая группа и />. Противоречие. Итак, />. Пусть />. Тогда /> и, согласно доказанному выше, /> либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) из данной теоремы. продолжение
--PAGE_BREAK--
Пусть />, где /> — максимальная подгруппа из />. Рассмотрим подгруппу />. Если />, то /> и, по доказанному, />/>-субнормальна в />. По теореме, />. Пусть />. Тогда /> и, согласно доказанному выше, /> либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) из данной теоремы.
Подгруппа />, /> и /> циклические, поэтому в /> три класса максимальных сопряженных подгрупп и, значит, в /> три класса />-нормальных максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы: />, /> и />. Группа /> в этом случае является группой типа 9) из данной теоремы.
Пусть теперь /> не максимальна в />. Тогда />, где />. Если />, то /> — минимальная несверхразрешимая группа и />. Противоречие. Пусть />. Тогда />. Ввиду дисперсивности группы />/>. Пусть /> — произвольная />-нормальная максимальная подгруппа. Если /> — />-число, то /> сверхразрешима. Предположим, что /> — степень />. Тогда />. /> содержится в некоторой />-абнормальной максимальной подгруппе /> из />. Если />, то /> — минимальная несверхразрешимая группа и />. Противоречие. Значит, />. Подгруппа /> максимальна в />, так как в противном случае /> сверхразрешима. По лемме /> — минимальная несверхразрешимая группа и />. Противоречие. Итак, /> сверхразрешима. Ввиду произвольности выбора />, получаем, что /> — минимальная несверхразрешимая группа и />. Противоречие.
4. Рассмотрим случай />. Согласно лемме в группе />/>-абнормальные максимальные подгруппы либо сверхразрешимы, либо являются минимальными несверхразрешимыми группами, у которых нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Если в /> имеется несверхразрешимая />-абнормальная максимальная подгруппа />, то /> и, ввиду разрешимости группы />, />. Противоречие. Пусть теперь в /> все />-абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме, /> — />-группа. По лемме, либо /> — максимальная подгруппа в />, либо /> — максимальна в />-абнормальной максимальной подгруппе /> группы />. Если /> немаксимальна в />, то, по доказанному выше, />. Остается случай, когда /> — максимальная подгруппа в />. В этом случае /> и в /> найдется максимальная подгруппа />, не />-субнормальная в />. Рассмотрим подгруппу />. />. Ввиду леммы, каждая собственная подгруппа из />/>-субнормальна в />. Подгруппа /> содержится в некоторой />-абнормальной максимальной подгруппе /> из />. Если />, то, по лемме, /> — минимальная несверхразрешимая группа. Противоречие. Значит, /> и /> максимальна в />. По лемме, /> — минимальная несверхразрешимая группа. Тогда />. Противоречие. Теорема доказана.
В случае, когда /> — формация всех сверхразрешимых групп, из теоремы вытекает результат Л.Н.Закревской.
Заметим, что в работе при описании групп с плотной системой />-субнормальных подгрупп, где /> — формация всех сверхразрешимых групп, Л.Н.Закревской была допущенна ошибка. Так в ситуации, когда /> является холловой />-абнормальной максимальной подгруппой, порядок которой делится на простое число />, и холлова />-подгруппа /> группы /> сверхразрешима, утверждается, что холлова />-подгруппа из /> не максимальна в />, что в общем случае не верно.
Заключение
В данной работе рассмотрены конечные группы с плотной системой />-субнормальных подгрупп в случаях, когда /> — либо произвольная />-замкнутая формация />-нильпотентных групп, либо произвольная />-замкнутая формация />-дисперсивных групп, либо произвольная />-замкнутая формация сверхразрешимых групп. Основной вывод, который вытекает из теорем состоит в том, что за исключением нескольких вполне обозримых случаев в любой группе />, не принадлежащей />, существуют не />-субнормальные подгруппы /> и /> такие, что />, /> не максимальна в />, и из /> всегда следует, что /> не />-субнормальна в />.
Литература
1.Гольфанд Ю.А. О группах, все подгруппы которых специальные // Докл. АН СССР. — 1948. — Т. 60,№ 8. — C. 1313--1315.
2.Закревская Л.Н. Конечные группы с плотной системой />-субнормальных подгрупп // в кн: Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. — Минск: Наука и техника, 1984. — 71--88.
3.Закревская Л.Н. Конечные группы с />-плотной системой подгрупп // в кн: Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. — Мн.: Наука и техника, 1986. — 59--69.
4.Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. — Минск: Бел. навука, 2003. — 254 с.
5.Кехмадзе Ш.С. Квазинильпотентные группы // Докл. АН СССР. — 1964. — № 155. — С. 1003--1005.
6.Монахов В.С. О влиянии свойств максимальных подгрупп на строение конечной группы // Матем. зам. — 1972. — Т. 11, № 2. — C. 183--190.
7.Пылаев В.В. Конечные группы с плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Некоторые вопросы теории групп. — Киев: Инст. математики АН УССР, 1975. — С. 197--217.
8.Пылаев В.В. Конечные группы с обобщенно плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Исследования по теории групп. — Киев: Инст. математики АН УССР, 1976. — С. 111--138.
9.Семенчук В.Н. Минимальные не />-группы // Алгебра и логика. — 1979. — Т. 18, № 3. — C. 348--382.
10.Черников С.Н. Группы с плотной системой дополняемых подгрупп // Некоторые вопросы теории групп. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975. — С. 5--29.
11.Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы бесконечных подгрупп // Укр. мат. журн. — 1967. — № 6. — С. 111--131.
12.Черников С.Н. О нормализаторном условии // Мат. заметки. — 1968. — № 1. — С. 45--50.
13.Чунихин С.А. О />-свойствах конечных групп // Матем. сб. — 1949. — Т. 25, № 3. — с. 321--346.