Высшаяматематика
Слушатель – НикифоровМихаил Николаевич
Курс 1. АПМ-03. Семестросенний. 2003 год.
Матрица – совокупность чисел, записанных ввиде прямоугольной таблицы.
Минором для элемента аig называется определитель матрицы,полученный из исходной, вычеркиванием i-ой строки и g-ого столбца.
Матрицы с нулевымопределителем называются вырожденными или особенными. Особенная матрица обратнойне имеет. />. />.
Bpq согласовано с Amn, если число строк В равно числустолбцов А, т.е. p=n. Одно согласование.
1) Если один столбецили одна строка все нули, то | |=0.
2) Если в матрицеимеется 2 равных столбца или 2 равных строки, то | |=0.
3) Треугольнаяматрица. Все элементы выше или ниже главной диагонали =0. Тогда определительматрицы равен произведению диагональных элементов.
4) При переменеместами 2 строк или 2 столбцов определитель меняет знак.
5) Определительматрицы, содержащей 2 пропорциональные строки или столбца равен нулю.
6) Определительматрицы равен сумме произведений некоторой строки на соответствующиеалгебраические дополнения.
Системыуравнений с матрицами
Система 1 совместная,если имеет хотя бы одно решение.
Система 1 определенная,если есть только 1 решение и неопределенная, если более 1 решения.
Ранг матрицы.
Ранг нулевой матрицыравен 0.
Ранг единичной матрицыnm равен n.
Ранг трипсидальнойматрицы равен числу ненулевых строк.
При элементарныхпреобразованиях матрицы ранг её остается неизменным.
При добавлении к матрицестроки или столбца ранг её может только увеличиться или остаться неизменным.
Лекция 5.
/>.
Замечание: 1) />Нет решения
2) /> />. n-число неизвестных
а) r=n – одно решение />
б) r
Векторнаяалгебра
Проекция вектора наось:
Проекцией точки на прямуюназывается основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.Проекция АВ на х это число |A’B’| взятое со знаком +, если угол острый и со знаком –если угол тупой.
/>, />
/>.
Скалярное произведениевекторов
/>. />
Признакперпендикулярности />.
Векторное произведениевекторов
/>; />; />
Объем пирамиды />; />
Смешанное произведениевекторов
/>
Если /> - углы, которыесоставляет вектор а с координатными осями, то />, откуда следует
/>
/>
/>
Условие коллинеарности />
ab=0 – перпендикулярность
/> - коллинеарность
abc=0 – компланарностьАналитическая геометрия
Плоскость впространстве
Нормаль и точка привязкиоднозначно определяют положение плоскости в пространстве.
/> -
каноническое уравнение(1)
Общее уравнениеплоскости
/>, где />,
где А, В, С – координатынормали, D – свободный член, x,y,z – текущийкоординаты.
Уравнение плоскости,проходящий через точку /> перпендикулярно вектору N=(A;B;C), имеет вид
/>
Уравнение плоскости,проходящей через три заданные точки записывают в виде
/>
Уравнение плоскости вотрезках />
Нормальное уравнениеплоскости />,где p – расстояние от начала координат.
Нормирующий множитель />
Расстояние от точки доплоскости
/>
Угол между плоскостями />
Условия параллельности иперпендикулярности />; />
Уравнение пучкаплоскостей: />
Прямые линии впространстве.
/>-уравнение прямой
/> - параметрическое уравнениепрямой.
/> - каноническое уравнение прямой.
Уравнения прямой,проходящей через 2 заданные точки
/>
Угол между 2 прямыми
/>
Взаимноерасположение 2 прямых.
1. /> (могут лежать и наодной прямой)
2. /> (могут скрещиваться)
3. />. Если (3) />, то скрещиваются.
Взаимноерасположение прямой и плоскости
1. />
2. />
3. Угол между прямой иплоскостью />
4. />
Аналитическаягеометрия на плоскости.
Прямоугольнаядекартова система координат на плоскости
Расстояние между 2точками />.
Если заданы точки А и В иточка С делит отрезок АВ в отношении />, т.е. />, то />.Уравнение прямой наплоскости
Ax+By+C=0;
Уравнение прямой вотрезках />.
Уравнение прямой,проходящей через 2 заданные точки />.
Уравнение прямой,проходящей через точку, под заданным углом />к оси Ох (/>): />
Расстояние от точки допрямой />
1. />
2. />
3. />
Окружность
Уравнение окружности сцентром в M(a;b) радиусом R />
Уравнение окружности сцентром в начале координат />
Эллипс
Эллипс – геометрическоеместо точек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек плоскости(фокусов эллипса) есть величина постоянная, />, чем расстояние между фокусами.
Обозначим M(x;y) – произвольнаяточка эллипса, 2с – расстояние между фокусами F1 и F2; 2а – сумма расстояний от точки М доF1 и F2(a – большая полуось эллипса). /> - малаяполуось эллипса. />.
Тогда каноническоеуравнение эллипса имеет вид />. />
Число /> называетсяэксцентриситетом эллипса и характеризует сплюснутость эллипса относительно осей/>. Если />, то получаетсяокружность. a=b.
Гипербола
Гипербола –геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух заданных точек(фокусов) есть постоянная величина, меньшая, чем расстояние между фокусами.
Если M (x;y) – точкагиперболы; F1, F2 – фокусы, 2с – расстояние междуфокусами, 2а – разность расстояний от точки М (х;y) до фокусов />, где а – действительная полуосьгиперболы. /> -мнимая полуось гиперболы.
Каноническое уравнениегиперболы />.
Гипербола пересекает осьОх в точках /> и/>, с осьюОу пересечений нет.
Гипербола имеет двеасимптоты, уравнения которых />.
Эксцентриситет гиперболы />.
Парабола
Парабола – геометрическоеместо точек, равноудаленных от заданной точки F – фокуса и заданной прямой – директрисы параболы. Если осьабсцисс совпадает с перпендикуляром, опущенным из фокуса на директрису, аначало координат делит этот перпендикуляр пополам, то каноническое уравнениеимеет вид />.
Эксцентриситет параболы /> - отношениерасстояния от точки параболы до директрисы к расстоянию от этой точки дофокуса.
Общееуравнение второго порядка
/> - общее уравнение кривой второгопорядка
Параллельныйперенос: />.
Поворот осей: />
/>
/> - инварианты. /> - дискриминант
Если />>0, то уравнениеэллиптического вида
Если />
Если />=0, то уравнениепараболического типа
Выбираем угол так, чтобы B’=0, тогда
/>/>/>
(1) /> (B=0) />
1. />. Осуществляемпараллельный перенос для уничтожения членов />.(**) ** подставляем в
(1)/>+ />
/>
/>
/>/>
(2)/>(3)
а) />>0 – эллиптический вид
A`C`>0 (одного знака)
Если F``>0, то пустое множество
Если F``=0, то одна точка (x``=0, y``=0)
Если F``, где />
б) />0
A`=/>, />, />, тогда />.
Если F0=0, то />, получаем пару пересекающихсяпрямых.
Если F0>0, то /> (гипербола)
Если F0 (гипербола, где оси поменялисьместами)
в) /> (параболический тип) A`C`=0
/> (5)
а) D`=E`=0, пусть />
/>
б) /> />/>
** в (5)
/>
/>, где 2р=/>, если p>0, то парабола />.
Теорияпределов
Число а называетсяпределом последовательности xn для любого (/>) сколь угодно малогоположительного числа /> найдется номер, зависящий от />, начиная скоторого все члены последовательности отличаются от а меньше, чем на />.
Предел последовательности
Под числовойпоследовательностью />понимаютфункцию />,заданную на множестве натуральных чисел />т.е. функцию натуральногоаргумента.
Число a называется пределомпоследовательности xn(x=1,2,…): />=а, если для любого сколь угодномалого />>0,существует такое число N=N(/>), что для всех натуральных n>N выполняется неравенство />.
1) />, /> - натуральное число.Если xn=a, то (a, a, a, a) – стационарнаяпоследовательность.
2) />, где a, d – const, тогда (a, a+d, a+2d,…a+(n-1)d)
xn+1=xn+d– рекуррентная формула.
3) Числа Фибоначчи.(1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…), где x1, x2 =1 и />.
/> (*);
/> />
/> - эпсилон – окрестность числа а.
1. />. /> />
2. />
Основные теоремыпределах
1. О единственномпределе. Последовательность имеет не более 1 предела.
2. Предельныйпереход в неравенстве.
3. О трехпоследовательностях. О сжатой последовательности.