МосковскийАвиационный Институт
(государственныйтехнический университет)
Курсоваяработа по
«теориивероятностей и математической статистике»
на тему:
Нахождениеполиноминальной аппроксимации методом наименьших квадратов
Вариант №2
Выполнила: Студентка группы 05-202
Андреева Виктория
Принял: Преподаватель кафедры 804
Молчанов Игорь Иванович
Москва
2010 г.
ЗАДАНИЕ (вариант № 2) : Даны результаты измерений случайного процесса в равноотстоящие моменты времени(реализация временного ряда).
13,393 13,207 13,47711,911 14,311 14,979 14,437 14,957 13,044 12,142
12,000 11,496 12,92711,849 11,612 10,401 8,755 8,185 9,681 9,644
9,073 8,535 9,062 7,6029,164 6,913 7,749 5,543 5,901 5,901
6,760 4,593 6,131 3,6513,796 3,663 3,068 3,008 2,809 0,333
1,730 -0,072 0,479 -3,180-2,962 -5,849 -6,153 -7,911 -10,134 -11,662
Измерения производятся с шагом по аргументу 0,08
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Требуется найти полиноминальную аппроксимацию этогопроцесса методом наименьших квадратов.
Теоретическая часть
Математическаястатистика – наука оматематических методах, позволяющих по статистическим данным, например пореализацией случайной величины (СВ), построить теоретико-вероятностную модельисследуемого явления. Задачи математической статистики являются, в некоторомсмысле, обратными к задачам теории вероятностей. Центральным понятиемматематической статистики является выборка.
Выборка
Однородной выборкой(выборкой) объема n при /> называется случайный вектор />, компонентыкоторого />,называемые элементами выборки, являются независимыми СВ с одной и той жефункцией распределения F(x). Будем говорить, что выборка />соответствует функциираспределения F(x).
Реализацией выборки называется неслучайный вектор />, компонентамикоторого являются реализации соответствующих элементов выборки />.
Из вышеописанных определенийвытекает, что реализацию выборки /> можно также рассматривать какпоследовательность /> из n реализаций одной и той же СВ X, полученных в серии из n независимых одинаковых опытов, проводимых в одинаковыхусловиях. Поэтому можно говорить, что выборка/>порождена наблюдаемой СВ X, имеющей распределение/>.
Если компоненты вектора/>независимы, ноих распределения /> различны, то такую выборкуназывают неоднородной.
Множество S всех реализаций выборки /> называется выборочнымпространством.
Выборочное пространствоможет быть всем n-мернымевклидовым пространством /> или его частью, если СВ X непрерывна, а также может состоятьиз конечного или счетного числа точек из />, если СВ X дискретна.
На практике приисследовании конкретного эксперимента распределения /> СВ /> редко бывают известны полностью.Часто априори (до опыта) можно лишь утверждать, что распределение /> случайноговектора /> принадлежитнекоторому классу (семейству) />.
Пара (S,F) называется статистической моделью описания серииопытов, порождающих выборку />.
Если распределение /> из класса F определены с точностью до некотороговекторного параметра />, то такая статистическая модельназывается параметрической и обозначается />.
В некоторых случаяхвыборочное пространство может не зависеть от неизвестного параметра /> распределения />.
В зависимости от видастатистической модели в математической статистике формулируются соответствующиезадачи по обработке информации, содержащейся в выборке.
СВ />, где /> - произвольная функция,определенная на выборочном пространстве S и не зависящая от распределения />, называется статистикой.
Кривая регрессии.
регрессиявероятность статистический опыт
Условное математическоеожидание /> СВ/> какфункция параметра /> называется регрессией /> на />. Графикфункции /> называетсякривой регрессии /> на />.
Точечная оценка.
Точечной (выборочной)оценкой неизвестного параметра распределения /> называется произвольнаястатистика /> построеннаяна выборке /> ипринимающая значения в множестве />.
Оценка /> параметра /> называетсянесмещенной, если ее МО равно />, т. е. /> для любого />.
Оценка /> параметра /> называетсясостоятельной, если она сходится по вероятности к />, т. е. /> при /> для любого />.
Оценка /> параметра /> называетсясильно состоятельной, если она сходится почти наверное к />, т. е. /> при /> для любого />.
Очевидно, что если оценкасильно состоятельная, то она является также состоятельной.
Доверительный интервал.
Чтобы дать представлениео точности и надежности оценки />, в математической статистикепользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительнымивероятностями.
Пусть для параметра /> получена изопыта несмещенная оценка />. Назначим некоторую достаточнобольшую вероятность /> (например, /> или 0,99) такую, чтособытие с вероятностью /> можно считать практическидостоверным, и найдем такое значение />, для которого
/>
Тогда диапазонпрактически возможных значений ошибки, возникающей при замене /> на />, будет />; большие по абсолютнойвеличине ошибки будут появляться только с малой вероятностью />
/>
Вероятность /> принятоназывать доверительной вероятностью, а интервал /> — доверительным интервалом.Границы интервала />: /> и /> называются доверительнымиграницами.
Интервальные оценки.
Пусть имеетсяпараметрическая статическая модель />, и по выборке />, соответствующейраспределению /> наблюдаемой СВ />, требуется определитьнеизвестный параметр />. Вместо точечных оценок,рассмотренных ранее, рассмотрим другой тип оценок неизвестного параметра />.
Интервал /> со случайными концами,«накрывающий» с вероятностью />, />, неизвестный параметр />, т. е.
/>,
называется доверительныминтервалом (или интервальной оценкой) уровня надежности /> параметра />.
Число /> называется доверительнойвероятностью или уровнем доверия.
Уровень значимости.
Уровнемзначимости статистического критерияназывается вероятность ошибки 1-го рода />. Вероятность ошибки 1-го рода /> может бытьвычислена, если известно распределение />.
Ошибки 1 и 2-го рода.
Ошибкой 1-го рода называется событие, состоящее в том,что гипотеза /> отвергается, когда она верна.
Ошибкой 2-го рода называется событие, состоящее в том,что принимается гипотеза />, когда верна гипотеза />.
Проверка статистическихгипотез.
Статистическойгипотезой H или просто гипотезойназывается любое предположение относительно параметров или закона распределенияСВ />,проверяемое по выборке />.
Проверяемая гипотезаназывается основной (или нулевой) и обозначается />. Гипотеза,конкурирующая с />, называется альтернативнойи обозначается />.
Статистическая гипотеза /> называется простой,если она однозначно определяет параметр или распределение СВ />. В противном случаегипотеза /> называетсясложной.
Статистическимкритерием (критериемсогласия, критерием значимости или решающим правилом) проверки гипотезы /> называется правило, в соответствии с которым по реализации /> статистики /> гипотеза /> принимается или отвергается.
Критической областью /> статистического критерияназывается область реализаций /> статистики />, при которыхгипотеза /> отвергается.
Доверительной областью /> статистического критерияназывается область значений /> статистики />, при которыхгипотеза /> принимается.
Практическая часть.
Этап 1 (Вычисление оценок />, /> неизвестныхкоэффициентов регрессии />, />):
/>;
/>;
/> - оценка полезного сигнала (кривая регрессии);
/> - ошибка;
Формулируем все ошибки:
/>.
Находим наименьшую ошибку.Для этого продифференцируем уравнение по a и по b, приравняем к 0, получив систему:
/> - система нормальных уравнений.
/>
/>
Решаем систему методомКрамера:
/>
Расчетная схема дляоценок /> пометоду наименьших квадратов.Номер Y X y^2 X*Y x^2 δ^2=(y-at-b)^2 1 13,393 -2 179,37245 -26,786 4 84,52154547 2 13,207 -1,92 174,42485 -25,3574 3,6864 77,33345969 3 13,477 -1,84 181,62953 -24,7977 3,3856 63,01706699 4 11,911 -1,76 141,87192 -20,9634 3,0976 79,54344995 5 14,311 -1,68 204,80472 -24,0425 2,8224 35,20165139 6 14,979 -1,6 224,37044 -23,9664 2,56 21,89755599 7 14,437 -1,52 208,42697 -21,9442 2,3104 21,49126227 8 14,957 -1,44 223,71185 -21,5381 2,0736 12,46267515 9 13,044 -1,36 170,14594 -17,7398 1,8496 23,59662672 10 112,142 -1,28 12575,828 -143,542 1,6384 8991,966406 11 12 -1,2 144 -14,4 1,44 22,3767305 12 11,496 -1,12 132,15802 -12,8755 1,2544 21,61124277 13 12,927 -1,04 167,10733 -13,4441 1,0816 6,928339322 14 11,849 -0,96 140,3988 -11,375 0,9216 9,762864991 15 11,612 -0,88 134,83854 -10,2186 0,7744 7,705858746 16 10,401 -0,8 108,1808 -8,3208 0,64 11,56902772 17 8,755 -0,72 76,650025 -6,3036 0,5184 19,90687251 18 8,185 -0,64 66,994225 -5,2384 0,4096 19,76777254 19 9,681 -0,56 93,721761 -5,42136 0,3136 5,590769531 20 9,644 -0,48 93,006736 -4,62912 0,2304 3,29736681 21 9,073 -0,4 82,319329 -3,6292 0,16 3,244500827 22 8,535 -0,32 72,846225 -2,7312 0,1024 3,075233208 23 9,062 -0,24 82,119844 -2,17488 0,0576 0,410905071 24 7,602 -0,16 57,790404 -1,21632 0,0256 2,296447057 25 9,164 -0,08 83,978896 -0,73312 0,0064 0,399692323 26 6,913 47,789569 1,067444888 27 9,749 0,08 95,043001 0,77992 0,0064 5,704661232 28 5,543 0,16 30,724849 0,88688 0,0256 1,517679181 29 5,901 0,24 34,821801 1,41624 0,0576 0,083131718 30 5,901 0,32 34,821801 1,88832 0,1024 0,088381223 31 6,76 0,4 45,6976 2,704 0,16 3,034234095 32 4,593 0,48 21,095649 2,20464 0,2304 0,025766932 33 6,131 0,56 37,589161 3,43336 0,3136 5,217278758 34 3,651 0,64 13,329801 2,33664 0,4096 0,151906494 35 3,796 0,72 14,409616 2,73312 0,5184 1,255222992 36 3,663 0,8 13,417569 2,9304 0,64 2,474275069 37 3,068 0,88 9,412624 2,69984 0,7744 2,444839854 38 3,008 0,96 9,048064 2,88768 0,9216 4,364814626 39 2,809 1,04 7,890481 2,92136 1,0816 6,129731157 40 0,333 1,12 0,110889 0,37296 1,2544 0,342745729 41 1,73 1,2 2,9929 2,076 1,44 6,59493426 42 -0,072 1,28 0,005184 -0,09216 1,6384 1,827027788 43 0,479 1,36 0,229441 0,65144 1,8496 6,191594234 44 -3,18 1,44 10,1124 -4,5792 2,0736 0,34233389 45 -2,962 1,52 8,773444 -4,50224 2,3104 0,047752061 46 -5,849 1,6 34,210801 -9,3584 2,56 4,338314281 47 -6,153 1,68 37,859409 -10,337 2,8224 3,244489064 48 -7,911 1,76 62,583921 -13,9234 3,0976 8,842481446 49 -10,134 1,84 102,69796 -18,6466 3,3856 21,26146404 50 -11,662 1,92 136,00224 -22,391 3,6864 30,84025156 Сумма 411,949 -2 16631,368 -504,296 66,72 9666,40808
Подставив найденные суммыв систему, получаем оценки />:
/>=-7,320193878
/>=7,946172245
Этап 2 (Вычисление оценки/> неизвестной дисперсии /> шумов />):
/>
/>
/>, где
n – число измерений;
m – число неизвестных параметров.
Этап 3:
По таблице находимквантиль Стьюдента.m/a 0.85 0.9 0.95 0.975 47 1.0480 1.2998 1.6779 2.0117 48 1.0478 1.2994 1.6772 2.0106 49 1.0475 1.2991 1.6766 2.0096 50 1.0473 1.2987 1.6759 2.0086
Фрагменттаблицы 1
При λ=0,975,квантиль Стьюдента 2.0086
/>
Уровень доверия />
/>;/>;
/>;
/>
/>
/> 0,95 69,0225 30,7545 ymin ymax 25,9848632 19,188257 25,077453 18,924436 24,1700428 18,660615 23,2626327 18,396794 22,3552225 18,132973 21,4478123 17,869153 20,5404021 17,605332 19,632992 17,341511 18,7255818 17,07769 17,8181716 16,813869 16,9107614 16,550048 16,0033513 16,286227 15,0959411 16,022407 14,1885309 15,758586 13,2811208 15,494765 12,3737106 15,230944 11,4663004 14,967123 10,5588902 14,703302 9,65148007 14,439482 8,7440699 14,175661 7,83665973 13,91184 6,92924956 13,648019 6,02183939 13,384198 5,11442921 13,120377 4,20701904 12,856556 3,29960887 12,592736 2,3921987 12,328915 1,48478853 12,065094 0,57737835 11,801273 -0,3300318 11,537452 -1,237442 11,273631 -2,1448522 11,009811 -3,0522623 10,74599 -3,9596725 10,482169 -4,8670827 10,218348 -5,7744928 9,9545271 -6,681903 9,6907063 -7,5893132 9,4268854 -8,4967234 9,1630646 -9,4041335 8,8992437 -10,311544 8,6354229 -11,218954 8,371602 -12,126364 8,1077812 -13,033774 7,8439603 -13,941184 7,5801395 -14,848595 7,3163186 -15,756005 7,0524978 -16,663415 6,788677 -17,570825 6,5248561 -18,478235 6,2610353
/>
/>
Список литературы
1. Е.С. Кочетков “Метод наименьшихквадратов”, Москва, МАИ, 1993.
2. А.И. Кибзун “Теория вероятностей иматематическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами”, Москва,«Физматлит», 2002.
3. Е.С. Вентцель “ Теория вероятностей”, Москва, «Высшая школа», 1999.