Контрольна робота з теми:
Напрямки теорії ймовірностейта математичні дії над ними
1.Основні напрямки теоріїймовірностей. Безпосередній підрахунок ймовірностей
Подією (або випадковою подією)називається будь-який факт, що внаслідок експерименту може відбутися або невідбутися.
Ймовірністюподії називаєтьсячисельна міра ступеня об'єктивної можливості цієї події. Ймовірність події Апозначається />.
Достовірною є подія />, яка внаслідокексперименту неодмінно повинна відбутися:
/>.
Неможливою є подія, яка внаслідокексперименту не може відбутися:
/>.
Ймовірністьбудь-якої події знаходиться між нулем та одиницею:
/>.
Декілька подійутворюють повну групу, якщо внаслідок експерименту неодмінно повиннавідбутися хоча б одна з них, тобто поява хоча б однієї з подій повної групи єдостовірна подія.
Декілька подій вданому експерименті називаються несумісними, якщо поява однієї з нихвиключає появу іншої в одному і тому ж випробуванні.
Декілька подій є рівноймовірними,якщо немає підстав вважати яку-небудь з них більш можливою, ніж будь-яку іншу.
Кожний з можливихрезультатів випробування є елементарним наслідком. Вони утворюють повну групу,несумісні та рівноймовірні.
Елементарнінаслідки є такими, що сприяють події, якщо поява цих виходів спричиняєпояву події.
Відповідно докласичного визначення, ймовірність події /> обчислюється за формулою:
/>,
де /> – загальне числоелементарних наслідків, /> – число наслідків, що сприяютьподії />.
Прибезпосередньому підрахунку ймовірностей використовують основні формули таправила комбінаторики.
Перестановками є комбінації, що складаютьсяз однакових елементів і відрізняються лише порядком розташування цих елементів.Число всіх перестановок дорівнює :
/>.
Розміщеннями є упорядковані комбінації,що складаються з m різних елементів даної n — елементної множини. Числорозміщень дорівнює:
/>.
Сполученнями є неупорядковані комбінації,що складаються з m різних елементів даної n — елементної множини. Числосполучень дорівнює:
ймовірністьтеорія теорема байєс
/>.
Правило суми. Якщо деякий об'єкт А можнавибрати з сукупності об'єктів m способами, а інший об'єкт В може бутивибраний n способами, то вибрати або А, або В можна /> способами.
Правиломноження.Якщо об'єкт А можна вибрати з сукупності об'єктів m способами, і післякожного такого вибору об'єкт В можна вибрати n способами, то параоб'єктів А і В може бути вибрана /> способами.
Приклад 1.
Кидають одночаснодві гральні кості. Знайти ймовірності таких подій:
1) А – сума очок,що випали, дорівнює 8;
2) В – добутокочок, що випали, дорівнює 8;
3) С – сума очок,що випали, дорівнює 8, а добуток – 15.
Розв'язок.
1) А –сума очок,що випали, дорівнює 8.
Загальне числоможливих елементарних наслідків експерименту дорівнює />, оскільки кожна кістка дає 6наслідків, а кожний з наслідків кидання «першої» кості можепоєднуватися з кожним з наслідків кидання «другої» (правиломноження). Наслідки, що сприяють нашій події (сума очок дорівнює 8), є такі:(2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2), тобто />. Шукана ймовірність дорівнюєвідношенню числа наслідків, що сприяють події, до числа всіх можливихелементарних наслідків: />.
2) В – добутокочок, що випали, дорівнює 8.
Загальне числоможливих елементарних наслідків експерименту залишилося незмінним />, а числонаслідків, що сприяють події В, дорівнює: />. Тоді />.
3) С – сума очок,що випали, дорівнює 8, добуток – 15.
Загальне числоможливих елементарних наслідків експерименту залишилося />. Сприяють шуканій подіїтільки ті наслідки, для яких виконуються дві умови: сума очок, що випали,дорівнює 8, а добуток – 15: />. Тоді />.
Приклад 2.
У ящику 100деталей, з них 10 бракованих. Навмання витягнули 4 деталі. Знайти ймовірністьтого, що серед витягнутих деталей рівно 3 стандартні.
Розв’язок.
Подія А – середвитягнутих деталей рівно 3 стандартні. Загальнечисло можливих наслідків випробування /> дорівнюєчислу способів, якими можна витягнути 4 деталі зі 100. Підрахуємо числонаслідків, що сприяють нашій події. Три стандартні деталі з 90 можна витягнути /> способами,а одна бракована деталь, що залишилася, може бути витягнута з 10 бракованихдеталей /> способами.Отже, число наслідків, що сприяють нашій події, дорівнює:/>Тоді шукана ймовірність дорівнює відношенню числа наслідків, що сприяють події,до числа всіх елементарних наслідків:
/>.
Приклад 3.
На десяти карткахнаписані цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Три з них виймаються навмання івикладаються на стіл у порядку появи. Знайти ймовірність того, що:
1) в порядкупояви цифр вийде число 245;
2) з отриманихцифр можна скласти число 245.
Розв’язок.
1) А – в порядкупояви цифр вийде число 245.
Число всіхелементарних наслідків експерименту – це число можливих розміщень з 10елементів по три (отримані комбінації елементів можуть відрізнятися одна відодної або самими елементами, або їх порядком): />.
З загального числа наслідків експерименту тільки один є длянашої події таким, що сприяє, тобто />. Шукана ймовірність:
/>.
2) В – зотриманих цифр можна скласти число 245.
На відміну відпопередньої задачі число можливих наслідків експерименту обчислимо як числоможливих сполучень з 10 по 3, оскільки порядок появи елементів не відіграєролі, тобто елементи можна поміняти місцями. Шукана ймовірність:
/>
Приклад
З п'яти букв розрізноїазбуки складене слово «КНИГА». Дитина, що не вміє читати, розсипалаці букви і потім склала в довільному порядку. Знайти ймовірність того, що у неїзнову вийшло слово «КНИГА».
Розв’язок.
Подія А – вийшлослово «КНИГА».
Дитина можезібрати в довільному порядку ті п'ять букв, які складають слово «КНИГА».Отримані буквосполучення відрізняються одне від іншого не самими елементами, атільки їх порядком, тому число всіх наслідків експерименту обчислимо як числоперестановок з п'яти елементів: />
З усіх можливихнаслідків експерименту тільки один сприяє появі шуканої події А. Ймовірністьдорівнює:
/>.
Приклад 5.
Те ж завдання,але якщо було складене слово «РАКЕТА».
Розв’язок.
В – складене слово «РАКЕТА».
Загальне числонаслідків експерименту обчислимо як число перестановок з 6 (в заданому слові 6букв) елементів, тобто /> З усіх можливих наслідківексперименту два сприяють появі знову слова РАКЕТА, оскільки в цьому слові двіоднакові букви А і через зміну їх місць слово не зміниться. /> Шукана ймовірність:
/>.
2 .Теореми додавання та множенняймовірностей
Сумою двохподій А і Вє подія С, що відбувається у випадку появи хоча б однієї з подій А або В.
Сумоюдекількох подій є подія, що відбувається у випадку появи хоча б однієї з цих подій.
Добутком двохподій А і Вє подія, що відбувається у разі спільної появи події А та події В.
Добутком декількохподій єподія, що відбувається у разі спільної появи усіх цих подій.
Теорема. Ймовірність появи суми двохнесумісних подій дорівнює сумі появ ймовірностей цих подій
/>.
Наслідок. Ймовірність появи сумидекількох попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій
/>.
Теорема. Сума ймовірностей подій, />, що створюютьповну групу, дорівнює одиниці
/>.
Подія /> є протилежноюдо події А, якщо вона полягає в тому, що подія А не відбулася.
Теорема. Сума ймовірностей протилежнихподій дорівнює одиниці:
/>.
Прийняті такіпозначення />,/>.
Теорема. Ймовірність спільної появидвох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірністьіншої, обчислену в припущенні, що перша подія вже відбулася:
/>,
де /> – умовна ймовірністьподії А за умови, що подія В відбулася, /> – умовна ймовірність події В заумови, що подія А відбулася.
Наслідок. Ймовірність спільної появидекількох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовні ймовірностівсіх інших, причому ймовірність кожної подальшої події обчислюються вприпущенні, що всі попередні події вже відбулися:
/>.
Подія В є незалежноювід події А, якщо поява події А не змінює ймовірності появи події В, тобто якщоумовна ймовірність події В дорівнює її безумовній імовірності.
Теорема. Ймовірність спільної появидвох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:
/>.
Наслідок. Ймовірність спільної появидекількох подій, незалежних в сукупності, дорівнює добутку ймовірностей цихподій:
/>.
Теорема. Ймовірність появи хоча боднієї з подій />, незалежних в сукупності,дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій />:
/>.
Окремий випадок. Якщо події /> мають однаковуймовірність, яка дорівнює р, то ймовірність появи хоча б однієї з цихподій дорівнює:
/>.
Теорема. Ймовірність появи хоча боднієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій безімовірності їх спільної появи:
/>.Приклад 1.Ймовірністьвлучення у ціль при одному пострілі з першої гармати дорівнює 0,7, другої –0,8. Знайти ймовірність влучення у ціль при одному залпі з обох гармат.
Розв’язок.
Визначимоподії: А – перша гармата влучила при одному пострілі, В – при одному пострілівлучила друга гармата. Події сумісні і незалежні, отже, подію С (влучення уціль при залпі), можна розглядати як суму двох сумісних подій:/>. За теоремою додаванняотримаємо:
/>/>.
Розглянемо другийспосіб розв’язку.
Ціль будевражена, якщо відбудеться одна з трьох несумісних подій:
/> – влучила перша гармата і не влучиладруга;
/> – не влучила перша гармата і влучиладруга;
/> – влучили у ціль обидві гармати.
У цьому випадку,застосувавши теореми про ймовірності суми і добутку подій, отримаємо:
/>/>.
Найпростішийрозв’язок задачі отримаємо, якщо всі три несумісні події />, />, /> об'єднаємо в одну, сказавши «уціль буде влучено, якщо влучить хоча б одна гармата» (подія С).
Протилежна подія:/> – в цільне попала жодна з гармат. За теоремою про ймовірність протилежних подій:
/>
Приклад 2.
Студент прийшов наекзамен, знаючи 15 з 20 запитань програми. Знайти ймовірність того, що він знаєвідповіді на всі три запропоновані йому екзаменатором запитання.
Розв’язок.
Подія А (студентзнає відповіді на всі три запитання) добутком трьох залежних подій: /> (знаєвідповідь на перше запитання), /> (знає відповідь на другезапитання) і /> (знає відповідь на третєзапитання).
Обчислимоймовірності цих подій:
/>.
За умови, що студентзнає відповідь на перше запитання, ймовірність того, що знає відповідь надругезапитання:
/> ,
оскількизапитання не повторюються і, якщо студент знає відповідь напершезапитання, то з 19 запитань, що залишилися, він знає відповіді лишена1
Припускаючи, що студентзнає відповіді і на перше, і на друге запитання, обчислимо умовну ймовірністьподії, яка полягає в тому, що він знає відповідь натретє запитання:
/>
За теоремоюмноження маємо:
/>.
Приклад 3.
З п'яти букврозрізної азбуки складене слово «КНИГА». Дитина, що не уміла читати,розсипала ці букви і потім зібрала їх в довільному порядку. Знайти ймовірністьтого, що у неї знову вийшло слово «КНИГА».
Розв’язок.
У попередньомурозділі ця задача була вже розв’язана. Наведемо другий можливий варіантрозв’язку. Щоб в порядку появи букв вийшло слово «КНИГА» першоюповинна з'явитися буква К. Ймовірність цієї події /> (із заданих п'яти букв тількиодна буква К). Припускаючи, що ця подія сталася, знайдемо ймовірність того, щодругою з'явиться буква Н: />. Припускаючи, що відбулися обидвіподії, тобто з'явилися букви К і Н обчислимо ймовірність появи наступної букви />. Аналогічно />, />.
За теоремоюмноження ймовірностей залежних подій отримаємо шукану ймовірність:
/>
3.Формула повної ймовірності. ФормулаБайєса
Нехай подія /> може статисяза умови появи однієї з несумісних подій (гіпотез) /> ,/>,… ,/>, що створюють повну групу. Тодіймовірність події /> обчислюється за формулою повноїймовірності:
/>
/>,
де /> – ймовірність гіпотези />; /> – умовнаймовірність події /> за умови, що подія /> відбулася.
Якщо доексперименту ймовірності гіпотез були /> а внаслідок експерименту відбуласяподія />, тоз урахуванням цієї події «нові», тобто умовні, ймовірності гіпотезобчислюються за формулами Байєса:
/>.
Формули Байєсадають можливість «переглянути» ймовірності гіпотез з урахуваннямрезультату експерименту, що спостерігався.Приклад.
На складнадходить продукція трьох фабрик, причому продукція першої фабрики становить20%, другої – 46%, третьої – 34%. Відомо також, що середній процентнестандартних деталей для першої фабрики дорівнює 3%, другої – 2%, третьої –1%.
1. Знайтиймовірність того, що вибрана навмання деталь буде нестандартною.
2. Знайти ймовірність того, що деталь виготовлена на першійфабриці, якщо вона виявилася нестандартною.
3. Знайтиймовірність того, що деталь виготовлена на другій фабриці, якщо вона виявиласястандартною.
Розв’язок.
1. Вибрананавмання деталь може бути виготовлена або на першій фабриці (подія />) або на другій(подія />)або на третій (подія />). Події несумісні і складаютьповну групу. Ймовірності подій дані в умові задачі:
/>.
В умові задані йумовні ймовірності. Ймовірність того, що навмання вибрана деталь буденестандартною (подія />) за умови, що деталь виготовленана першій фабриці (подія />): />. Аналогічно, />; />.
Подія /> (навманнявибрана деталь буде нестандартною) може відбутися тільки разом з однією знесумісних подій з повної групи, тому повну ймовірність події /> визначимо за формулоюповної ймовірності:
/>/>.
2. Відомо,що подія /> вжевідбулася, потрібно знайти післядослідну ймовірність гіпотези />. За формулою Байєсазнаходимо:
/>.
3. Деталь виявиласястандартною, тобто в прийнятих нами позначеннях відбулася подія />. Знайти післядосліднуймовірність події />. За формулою Байєса:
/>
Події /> (навманнявибрана деталь – нестандартна), /> (навмання вибрана деталь –стандартна) протилежні, тому
/>.
Аналогічнообчислюється />:
/>.
Підставляючиобчислені значення у формулу, отримаємо:
/>.