НА ЧЕМ СТОИТ МАТЕМАТИКА
Н.И.Кривохатько
Математика — это то, посредством
чего люди управляют природой
и собой.
А. Н. Колмогоров.
Небудет преувеличением сказать, что, начиная с 17 века, наука превратилась вдоминирующий, стремительно набирающий вес фактор развития общества. Наукапозволяет находить оптимальные решения в различных ситуациях, указывает путиисследования еще не решенных проблем, подсказывает, куда в данный моментцелесообразнее всего направить силы и средства. В большинстве своем мыбезоговорочно верим в мощь науки и ее непогрешимость.
Нонасколько оправдана такая уверенность (местами даже вера)? Насколько вдействительности совершенны инструменты науки и непогрешимы ее выводы? Возьмемна себя смелость усомниться в этом. И в оправдание этих сомнений приведем однорассуждение. Речь в нем пойдет не о неадекватности какого-то конкретногоподхода в какой-то прикладной науке — нет, темой исследования станетпредполагаемое внутренное несовершенство науки, которая сама является критериемстрогости и как бы даже «научности» любой другой науки. Речь пойдет оматематике, причем о самих ее истоках, о тех ее представлениях, которыесложились в незапамятные времена и в течение столетий (точнее, дажетысячелетий) являлись ее незыблемым фундаментом — речь пойдет о числах, осмысле чисел как таковых и способах их представления.
Понятиечисла находится в основании математики и ее применений. Отсюда, вопрослогического обоснования данного понятия является чрезвычайно важным для всейматематики. Но обоснование чисел любого вида сводится в конце-концов к обоснованиюпонятия натурального числа. Существует много теорий натурального числа, нокаждая из этих теорий имеет свои недостатки, поэтому вопрос логическогообоснования понятия числа нельзя считать окончательно разрешенным.
Понятиечисла отличается от многих других понятий математики своей первичностью. Этоозначает, что в преобладающем большинстве логических построений математикипонятие числа относится к разряду тех понятий, которые не определяются черездругие понятия, но вместе с аксиомами входят в состав первичных данных. Этоозначает, что математическая наука не содержит в себе ответа на вопрос«Что такое число?» — такого ответа, который заключался бы вопределении этого понятия через другие, ранее установленные понятия;математическая наука дает этот ответ в иной форме, перечисляя свойства чисел,выраженные в аксиомах.
Ночем, скажем так, определяется «неопределяемость» понятия? С однойстороны, любое определяемое сейчас понятие в свое время было неопределяемым(чаще в том смысле, что отсутствовало вообще), но позже, в процессе развитияпознания, определения появлялись. С другой стороны, неопределяемость — это тожекак бы определение, но определение скорее состояния познания в контексте еговозможностей. Следовательно, определяемость любого понятия зависит отвозможностей познания, которые различны на каждом конкретном этапе развитияобщества. Но в ситуации, когда возможностей не хватает, а делать что-то надо,мы поступаем просто — используем первое, что дает хоть какое-то решениепроблемы. Поэтому и в синтезе самих оснований математики — представлений очисле и построении числовых множеств присутствовал (и присутствует до сих пор)пусть спонтанный, пусть объективно обусловленный, но — произвол. Этоутверждение мы также попробуем обосновать в данной работе.
Мывправе спросить: а возможно ли в принципе существование неопределяемых понятий?При общепринятых способах изложения оснований математики неопределяемые понятия(число, точка и т. д.) возникают как бы из ничего, из пустоты. Но ведь законымироздания универсальны, поэтому и в области построения и преобразованияформальных понятий должен действовать закон, аналогичный закону сохранениявещества: ничего нельзя построить из ничего, из пустоты. Поэтому мы можемутверждать, что возникновение «неопределяемого» понятия числа тем неменее было обусловлено существованием каких-то более общих представлений: пустьне математических, а качественно иного смыслового ряда; пусть не оформленныхлогически, вербально, но существующих, тем не менее, реально. Именно содержаниетаких представлений (общих представлений о структуре действительности)обусловило в свое время «отрыв» числа от материального носителя.
Знакомствос математикой традиционно начинается с построения числовых множеств, а основнымрабочим образом, используемым для этой цели, является прямая линия — числоваяось. Числа на такой прямой изображаются точками. Ничто не мешает нам определитьточки, изображающие числа на числовой оси, как узлы некой одномерной сети, апромежутки между точками — как связи между этими узлами. Узлы и связи междуними образуют систему. Любая система обладает конкретной конфигурацией — структурой, а структура — это не что иное, как пространство. Таким образом,построение числовых множеств и изображение их элементов точками на числовой осиявляется не чем иным, как конструированием некоего пространства. Историческипервым пространством, сконструированным таким образом, было пространствонатуральных чисел.
Натуральныечисла — это числа, используемые для счета:
1,2, 3, 4, ..., n, ...
Натуральныечисла образуют множество, называемое множеством натуральных чисел. Множествовсех натуральных чисел обозначается символом N:
N= {1; 2; 3; ...; n;… }.
Множествонатуральных чисел является упорядоченным множеством, т. е. для любых двух натуральныхчисел m и n имеет место одно из следующих соотношений:
либоm = n;
либоm
либоn
Наименьшимнатуральным числом является 1 (единица).
Вмножестве натуральных чисел вводятся две основные арифметические операции — сложение и умножение. Каждой паре натуральных чисел (n;p) ставится всоответствие натуральное число s, называемое их суммой. Каждой паре натуральныхчисел (n;p) можно также поставить в соответствие натуральное число m,называемое их произведением. Таким образом, сумма и произведение любых двухнатуральных чисел опять будут натуральными числами. Поэтому говорят, чтомножество всех натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения иумножения.
----*--------*--------*--------*--… --*-- ...
1 2 3 4 n
Множествоцелых чисел есть множество, полученное в результате добавления к множеству всехнатуральных чисел новых объектов — числа нуль и отрицательных целых чисел.Число нуль, обозначаемое символом 0 и отрицательные целые числа вводятся следующимобразом. Сумма любого натурального числа n и числа 0 есть число n:
n+ 0 = n;
Любомунатуральному числу n соответствует единственное отрицательное число -n такое,что сумма чисел n и -n равна нулю:
n+ (-n) = 0;
Число-n называется противоположным числу n. Число, противоположное числу -n, естьчисло n: -(-n) = n. Натуральные числа в множестве целых чисел называютсяположительными целыми числами. Множество целых чисел часто обозначается Z.
Множествоцелых чисел является упорядоченным множеством, т. е. для любых двух целых чиселm и n справедливо одно и только одно из следующих соотношений:
либоm = n;
либоm
либоn
Множествоцелых чисел замкнуто относительно операций сложения, умножения и вычитания, т.е. для любых двух данных целых чисел существует единственное третье целоечисло, являющееся их суммой; существует единственное целое число, являющееся ихразностью и, наконец, единственное целое число, являющееся из произведение.Относительно операции деления множество целых чисел не является замкнутым — частное от деления целого числа на нуль либо не существует, либо определено неединственным образом.
...--*--… --*----*----*----*----*----*----*--… --*-- ...
-n -3 -2 -1 0 1 2 3 n
Рациональныедроби появились, как форма записи чисел, более «мелких», нежелинатуральные. Рациональную дробь записывают в виде m/n, где целое число mназывают числителем дроби, а целое число n не равное нулю — ее знаменателем.
Натуральныечисла, целые числа, рациональные дроби и нуль образуют множество рациональныхчисел. Рациональное число — это такое число, которое может быть представлено ввиде m/n, где |m| и n — взаимно простые (несократимые) натуральные числа. Вслучае, когда m не делится на n нацело, частное от деления m на n представляетсобой не совпадающее ни с каким целым числом рациональное число.
Всякоерациональное число m/n может быть представлено либо в виде конечной, либо ввиде бесконечной периодической дроби; обратно, любая конечная, а также любаябесконечная периодическая десятичная дробь есть запись некоторого рациональногочисла.
Последнееутверждение (особенно в части, касающейся бесконечных десятичных периодическихдробей) вызывает определенные сомнения, суть которых будет изложена ниже. Сейчасже продолжим тему цитированием фрагмента текста из учебника Н. Н. Лузина«Дифференциальное исчисление» (Москва, «Высшая школа», 1961г.).
«Считается,что одних только рациональных чисел вполне достаточно для нужд измерительнойпрактики, ибо они позволяют выполнять измерения с какой угодно степеньюточности. Но одних только рациональных чисел становится уже недостаточно, когданадо решать вопросы геометрии, механики и теоретической физики с абсолютнойточностью, ибо здесь необходимо уже знание так называемых иррациональных чисел.Как возникают эти новые числа и как их следует понимать?
Последовательностьрациональных чисел сама по себе есть всюду плотная, ибо между двумя такимичислами — какими бы близкими друг к другу они ни были — всегда можно найтисколько угодно промежуточных рациональных чисел. Поэтому-то на первый взгляд икажется, что для каких-нибудь новых чисел в последовательности рациональныхчисел как будто совсем не остается никакого места.
Однакоуказанное первое впечатление оказывается глубоко ошибочным, потому что впоследовательности рациональных чисел повсюду имеются просветы, как этостановится ясным, когда сопоставим последовательность всех рациональных чисел споследовательностью точек на прямой линии.
----------*===================*----------
O a M
Чтобыосуществить такое сопоставление, возьмем прямую линию бесконечную в обестороны, на ней выберем начальную точку O и примем определенную единицу длиныдля измерения отрезков. Очевидно, всегда можно построить отрезок, имеющий своеюдлиною любое заранее заданное рациональное число a и нанести его вправо либовлево от O, смотря по тому, будет ли a положительно или отрицательно. Такимобразом мы получили определенную концевую точку M, которую можно рассматриватькак точку, соответствующую рациональному числу a. Следовательно, можно сказать,что всякому рациональному числу соответствует одна и только одна точка напрямой.
Полученнуюточку M мы изображаем черной и непрозрачной; она-то и сопоставляется с взятымрациональным числом a, называющимся абсциссой точки M. Когда это проделано совсяким рациональным числом a, прямая окажется покрытой густой сетью черныхнепрозрачных точек M, как бы осевших на прямой и населяющих — без пустот — каждый ее участок, т. е. отрезок, где бы он ни лежал и как бы мал он ни был. Увсякой из этих точек M имеется своя абсцисса a, являющаяся рациональным числом.Чем больше арифметически, т. е. беззначно, величина абсциссы a, тем дальше отначала O лежит точка M.
Этои есть искомое нами сопоставление последовательности рациональных чисел сточками прямой, при котором все точки M полученной черной непрозрачной сеткиимеют, очевидно, совершенно такое же взаимное расположение друг относительнодруга, какое имеют между собой их рациональные абсциссы a. Конец M всякогоотрезка OM, соизмеримого с взятой единицей длины, заведомо содержится в сети,ибо такая точка M имеет рациональную абсциссу. Точки с рациональными абсциссамимы, для краткости речи, будем называть просто рациональными точками исоставленную из таких точек сеть будем называть тоже рациональной сетью.
Еслибы каждая точка прямой оказалась содержащейся в построенной нами сети, т. е.если бы совсем не существовало никаких несоизмеримых отрезков, тогда все делообстояло бы необыкновенно просто: в этом случае каждая точка нашей прямой имелабы рациональную абсциссу и, значит, мы не имели бы ни малейшей нужды вкаких-либо новых числах, ибо тогда одних только рациональных чисел было быдостаточно для выражения всех теоретических соотношений.
Нодействительность оказывается гораздо сложнее, и одним из великих открытий,сделанных в глубокой древности, является установление наличия отрезков,несоизмеримых с данной единицы длины. По-видимому, первым примером этого родабыла диагональ квадрата, сторона которого принята за единицу длины.
Отложивтакой отрезок от начала O, мы получим точку M, которая не соответствуетникакому рациональному числу и у которой, строго говоря, пока нет никакойабсциссы.
-------*===================*=======*-------
O 1 M
Атак как имеется бесчисленное множество различных длин, несоизмеримых с единицеймасштаба, то прямая линия оказывается в бесконечное число раз больше богатойсвоими точками, чем последовательность рациональных чисел своими числами.Значит, рассматриваемое сопоставление точек и чисел вынуждают нас признатьнекоторую неполноту в последовательности рациональных чисел, тогда как прямойлинии мы приписываем всю полноту и абсолютное отсутствие каких-либо просветов,т. е. сплошность или непрерывность.
Посколькупоследовательность рациональных чисел оказывается недостаточной, являетсянеобходимость в пополнении нашей последовательности чисел таким образом, чтобыона получила такую же сплошность, т. е. полноту или непрерывность, как и самапрямая линия. Это достигается введением иррациональных чисел, определяемых лишьпри посредстве рациональных чисел.
Итак,мы пришли к следующему положению: иррациональные числа совершенно заполняют всепросветы, имеющиеся в последовательности рациональных чисел, т. е. мыпринимаем, что всякой точке прямой соответствует число, рациональное илииррациональное, называемое абсциссой этой точки, и обратно.
Арифметическиже иррациональные числа могут быть представлены в виде бесконечных десятичныхдробей.
Возводившеесявеками здание современной математики (здание, фундаментом которого являетсяпредставление о числе) выглядит столь грандиозным и совершенным, что сама мысльо наличии в этом фундаменте изъянов кажется кощунственной. Уж точнокощунственным прозвучит утверждение, что все это циклопическое сооружениеопирается на ложные представления — представление о „сплошности“(бесструктурности) математической прямой (хорошо известной нам числовой оси) ипредставление о бесструктурности математической точки. Очевидно, этипредставления сформировались на основе других, более общих представлений освойствах материи — о существовании в природе бесструктурных объектов — атомов.В этом можно увидеть признак определенного рода инерции нашего мышления. Ведьнесмотря на то, что около века известен установленный факт о наличии у атомасложной структуры, мы по-прежнему зовем эти объекты атомами, т. е.»неделимыми". Но только ли в инерции дело? Скорее всего, дело здесь вдефиците принципиально новых, адекватных представлений о свойствах материи.Существует и еще одна причина появления ложных представлений о свойствахматематической прямой — о ее «сплошности» и она заключается вследующем. Как уже упоминалось, числа возникли из практической потребности всчете и в оном качестве они существовали в течение довольно длительногопромежутка времени. Но на определенном этапе эволюции представлений о числепроизошел качественный скачок — т. н. «отрыв» числа от материальногоносителя. Это и обусловило появление абстрактных, идеальных объектов спроизвольно приписанными им свойством «сплошности», т. е.бесструктурности — математической прямой и математической точки.
Манипуляциис объектоми, обладающими несуществующими свойствами не проходят даром,результатом их оказывается появление ложных объектов, таких, например, какбесконечные периодические и непериодические дроби, т. е. часть рациональных ивсе иррациональные числа. Эти математические объекты принципиально нельзяназвать числами, в рамках действия принципа структурной организации материичисла и обозначенные объекты имеют разный системный смысл. В чем заключаетсяэта разница и что в таком случае представляет собой собственно число? Попробуем- хотя бы бегло, разобраться в этом.
Примемза точку отсчета утверждение, что первоначально числа возникли из потребностисчета различных предметов. Что, по сути, являет собой процесс счета, как егоможно описать?
Пустьмы имеем какое-то количество предметов, которые нам необходимо сосчитать.Абстрагируемся от всех конкретных свойств этих предметов, кроме двух: самогофакта существования такого предмета и наличия у него внутренней структуры.Представим процесс счета как «нанизывание» наших предметов накакую-то условную нить. В результате подобной процедуры каждый такой предметнайдет на этой нити свое место. Если теперь мы вытянем эту нить в струну, тополучим аналог математической прямой как некой идеальной системы, некоегоодномерного идеального пространства. Каждому узлу в этой одномерной сети (идеальномуаналогу реального предмета) можно сопоставить уникальный символ для егоидентификации. Самым удобным в этом смысле является число, т. к. онохарактеризует наиболее общее системное свойство каждого такого предмета — егоместо в упорядоченном (в отличие от обычного, неупорядоченного) множестве — пространстве.
Итак,мы приняли, что число — это информационный идентификатор места объекта всистеме, в случае, если этот объект рассматривается в качестве элемента такойсистемы. Очевидно, при таком подходе для манипуляций с числами нет никакойнеобходимости «отрывать» их от материальных объектов — вместо этогопоявляется возможность манипулировать самими идеализированными объектами, темсамым осуществляя преобразования нашего идеального пространства. Этот моментчрезвичайно важен для построения новой физики — физики, которая рассматриваетматериальные объекты и явления как разнообразные деформации структурыфизического вакуума.
Нопойдем дальше. Важнейшей особенностью построенного нами идеального пространства(как и любого пространства) является его структурность. В структуру нашегопространства входят элементы двух видов: те, которые соответствуют узлам и те,которые соответствуют связям между ними, но вместе они образуют целостнуюструктуру. Таким образом, рассматриваемое пространство одновременно и сплошное,непрерывное и дискретное — в смысле неоднородности. Такое пространствосовпадает с известным нам множеством натуральных чисел, изображаемых точкамичисловой оси.
------*-------*-------*-------*-...-*---- ...
1 2 3 4 n
Математикаопределяется как наука, которая изучает действительный мир со стороныпространственных форм и количественных отношений. В этом смысле математическаяпрямая представляет специфическую модель этого мира, т. к. являетсяодновременно и простейшей пространственной формой и вместилищем количественныхотношений. Но насколько адекватной является такая модель в контекстесуществования структурной организации мира? Ответ следующий: она существенно неадекватна,потому что изначально задана как бесструктурный, «сплошной» объект. Итрадиционный алгоритм построения числовых множеств совершенно не отражаетпринцип структурности мира.
Структурность(или системность) мира предполагает иерархичность его организации, иначе это несистемность. Смысл иерархичности понятен — каждый объект рассматривается какэлемент какой-то системы и в то же время как система, каждый элемент которойтакже является системой, каждый элемент которой, в свою очередь,рассматривается как система, каждый элемент которой и т. д. до неизвестного нампредела (или, скорее всего, осмысления отсутствия последнего).
Какойход рассуждений в обосновании логики понятия числа с учетом структурности мираможно считать более корректным? Попробуем рассуждать следующим образом.Вернемся к пространству, которое мы построили. Основными объектами нашеговнимания являются узлы этой одномерной сети — абстрагированные от конкретныхсвойств предметы счета, фрагменты условной нити лишь связывают их. Узлы, как мыуже оговорили, имеют внутреннюю структуру. Отразим этот момент графически.
=======-=======-=======-=======-… -=======- ...
1 2 3 4 n
Узлына этой прямой растянуты — что дает нам возможность дробить их на фрагменты иизображены жирными отрезками. Связи — тонкими, поэтому здесь они имеют видсвоеобразных промежутков, щелей между узлами и носят второстепенный характер.Таким образом, мы получили те же два основных вида элементов, что и на традиционнойпрямой, но манипулируя с точками жирных отрезков, мы как бы тем самымманипулируем элементами систем (объектов счета), которые они изображают.Измерение различных величин, изображаемых отрезками, в этом контексте можнорассматривать как сравнение систем.
Итак,мы несколько видоизменили математическую прямую: мы растянули узлы, чтобы сталадоступной для манипуляций их структура, постулировали изначальную структурностьпрямой, введя в ее состав элементы двух качественно различных видов (чтосовершенно не противоречит принципу структурности мира) и тем самым как быпостроили новое пространство, элементы которого идентифицировали натуральнымичислами. Логика обоснования нашего натурального ряда не противоречит логикепостроения традиционной числовой оси.
Втрадиционном алгоритме построения числовых множеств после построения множестванатуральных чисел следует введение отрицательных чисел и нуля и формированиенового числового множества — множества целых чисел. Но мы эту фазу детальнорассматривать не будем, т. к. она не имеет сколько-нибудь существенногозначения для достижения нашей цели. Понятно, что знак числа — это условность,которая зависит от выбора точки отсчета (нуля) на числовой оси и направлениядвижения по этой оси (счета). Практическая иллюстрация этого следующая. Еслинекие предметы (аналоги которых узлы на числовой прямой, обозначенные числами1, 2, 3,…, n) составляют для кого-то прибыль и имеют положительное значение(знак "+"), то для кого-то они автоматически означают убыток — пусть нев коммерческом, но в математическом и физическом смысле, а значит, заклейменызнаком "-". Для наших целей достаточно положительной полуосиматематической прямой.
Нопойдем дальше, или точнее — вглубь, к множеству рациональных чисел.Рациональные числа рассматривают как пополнение множества целых чиселрациональными дробями — конечными и бесконечными периодическими. Как намизвестно, дроби возникли из необходимости измерять величины, не кратныевыбранному эталону (на числовой оси — единичному отрезку). Процедура измерениязаключается в сравнении измеряемого объекта с эталоном — другим объектом иобосновании вывода об их равенстве или неравенстве. Этот вывод зависит от того,что мы понимаем под равенством или неравенством объектов.
Какие-топредставления о равенстве, полученные из жизненной практики, есть, пожалуй, укаждого. Если, например, мы совмещаем некие протяженные предметы и ихпространственные границы (попросту говоря, концы) совпадают, то говорят, чтодлины этих предметов равны. Подобным образом мы можем сравнивать и плоские иобъемные фигуры, веса… Принцип сравнения везде один и он заключается всопоставлении сравниваемых объектов через сопоставление их элементов. Хоть приэтом неизбежно приходится допускать равенство элементов — а это опять условность.Как этот процесс — процесс измерения, можно изобразить наглядно и как этоделается традиционно?
Возьмемфрагмент числовой прямой, состоящих из нескольких отрезков, эквивалентныхединичному.
*-------*-------*-------*-------*
0 1 2 3 4
*-------------------*
Всоответствии с традиционными представлениями о числовой оси в любом ее месте мыможем обнаружить точку. Это означает, что какой бы отрезок прямой мы ни взяли,его пространственные границы (концы) будут представлены точками. Далее возьмемотрезок, который мы собираемся измерять и концы которого также ограниченыточками. Теперь совместим эталонный и измеряемый отрезки. Если точки,обозначающие концы измеряемого отрезка и отрезка, кратного единичному наэталонном отрезке, совпадают, мы делаем вывод о равенстве этих отрезков. Ноэто, конечно, происходит не всегда, чаще всего пограничные точки эталона исравниваемого отрезка не совпадают. Предположим, что он оказался короче и егоправый конец находится где-то между точками 2 и 3 эталона. Следовательно,теперь необходимо измерить ту часть отрезка, которая не совпадает с эталоном.Для этого мы разделим каждый единичный отрезок эталона на равное число частей(традиционно на десять) и повторим операцию совмещения.
*----+----+----+----+----+----+----+----+----+----*
(2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (3)
*-------------------------------------*
Еслипограничный узел (конец) измеряемого отрезка совпадет с какой-то из дробныхточек эталонного отрезка, то процесс измерения можно считать законченным, еслинет — цикл дробления с последующим измерением повторяется уже на отрезке [7,8]и т. д. Утверждается, что возможны два варианта развития событий. Или вконце-концов на каком-то этапе дробления найдется точка, с которой совпадетграничный узел измеряемого отрезка — и тогда мы эту точку (абсциссу этой точки)идентифицируем как конечную рациональную дробь. Или же в какой-то момент мыприходим в точно такое же место малого отрезка (соотносительно с большим отрезком),с которого мы начинали дробление. Возникает вопрос: что это за место, каковаего природа? Ведь если бы это была точка, процесс измерения можно было бысчитать законченным, однако этого не происходит. Цикл дробления повторяется нату же глубину шагов и все его фазы будут идентифицированы теми же числами. Покаопять мы не придем в такое же место соответствующего отрезка и т. д. и т. д. Вэтом случае говорят, что получена бесконечная периодическая дробь. Вот толькосовершенно неправильно причислять ее к множеству рациональных чисел — да ичисел вообще. Этот процесс не может называться числом — ведь точка прямой,соответствующая пограничному узлу данного отрезка, так и не найдена. Но еслиэто не точка, то что же? Для того, чтобы найти если не ответ, то хотя бы путь кответу, проведем эти же рассуждения, но применительно к новому пространству — тому, где узлы растянуты и изображены не точками, но жирными отрезками иотделены друг от друга структурными «щелями».
*=======*-*=======*-*=======*-*=======*
1 2 3 4
*----------------------------*
Главнойособенностью предшествующих наших рассуждений была убежденность, что какой быдлины не оказался измеряемый отрезок, его граничная точка всегда в конце-концовсовпадет с точкой — именно с точкой — числовой оси. Эта убежденность базируетсяна представлении о «сплошности» прямой. Но мы знаем, что прямая,понимаемая как структура (а она не может не быть структурой), содержит элементыдвух видов, в системном контексте условно понимаемые как «узлы» и«связи» между ними. Тогда возникает вопрос: почему конец измеряемогоотрезка непременно должен совпасть с точкой эталона, а не с промежутком междуточками? С промежутком, «щелью», которая ведет в неизведанные глубиныструктуры — да, структуры модели, но в системном смысле адекватной модели мира.Может, то что мы считаем бесконечной периодической дробью и есть такой путь?
Сходнымсвойством обладает процесс, который математика определяет как иррациональноечисло. Иррациональные числа дополняют множество рациональных чисел до множествадействительных чисел. Существуют разные способы построения этого числовогомножества. Один из них основан на использовании фундаментальнойпоследовательности рациональных чисел. Множество всех действительных чисел вэтом случае получается пополнением множества рациональных чисел новымичисловыми объектами, называемыми иррациональными числами, которые являютсяпределами всевозможных фундаментальных последовательностей рациональных чисел.По поводу этого определения можно сказать, что предел — это скорее процесс, чемчисло; процесс, уводящий нас в недра структуры. Проникнуть же в недра можнолишь по какому-то каналу. Единственной кандидатурой на роль такого каналаявляется один из двух элементов, составляющих структуру пространства — промежутки между «узлами», они же «щели».
Второйспособ получения иррациональных чисел (но первый исторически) осуществляется спомощью «поворота» диагонали единичного квадрата (описание этогоспособа приведено выше). Что можно сказать по поводу этого способа? Числоваяось — это конечный объект, замкнутый относительно преобразований (всерезультаты преобразований этого объекта должны принадлежать объекту). Но что втаком случае являет собой диагональ единичного квадрата? Ее можно рассматриватькак единичный отрезок другой прямой, другого пространства, пересекающегося спервым. Но использование этого пространства опять же является произволом, т. к.никакого отношения к первому оно не имеет. И эти пространства действительнонесоизмеримы — а почему они должны быть соизмеримы? Но из факта несоизмеримостиникак не вытекает существование в структуре первого пространства (числовой оси)бесконечного количества каких-то специфических объектов, идентифицируемых какиррациональные числа.
Зададимвопрос: а существует ли (с учетом сказанного) реальная необходимость вводитькакие-то особые числа, кроме натуральных? Традиционная математика утверждает,что числовая прямая бесконечна, но реально никто и никогда не использует всюбесконечную прямую: мы всегда работаем с какой-то ее конечной частью, по сути — с отрезком. В рамках этой же математики утверждается, что самая ничтожная частьпрямой, самый малый ее отрезок, тоже бесконечны. Но если следовать этой желогике, то любой отрезок прямой мы можем рассматривать в качествесамостоятельной прямой, такой же, как и исходная (эквивалентность частицелому). А любые две соседние точки такой прямой ничто не мешает рассматриватькак концы единичного отрезка и обозначать числами натурального ряда. Отсюдаможем сделать вывод, что некоторые построенные нами числовые множества носят, вобщем-то, условный характер.
Подобныерассуждения мы могли бы привести в отношении другого математического объекта — точки. Дело в том, что математика некоppектно использует некоppектныйтеоpетический констpуктоp, каковым, по сути, в математике является точка.
Теоретическийконструктор — это некоторое базисное явление, обладающее возможностьюидеального представления. Наука, имеющая конструктор, обладает возможностью строитьразличные модельные ситуации и предсказывать новые. В науке, где естьконструктор, ее границы задаются возможностями этого конструктора: такая наукаизучает любые объекты, модели которых может построить в рамках своегоконструктора. Пример теоретического конструктора — атомно-молекулярныепредставления в химии.
Математика,как известно, начинается с постpоения числовых множеств. В качестве основногоэлемента любого такого множества используется так называемая математическаяточка. Что это за объект, каков самый главный его пpизнак? Таковым являетсябесстpуктуpность (по Эвклиду, точка есть целое без частей, а введенное позжетакое ее опpеделение как «бесконечно малый нематеpиальный объект»сути пpоблемы не меняет). А что такое бесстpуктуpный объект? Каков смысл этоготеpмина? Поскольку по-настоящему бесстpуктуpных объектов в пpиpоде попpосту несуществует, мы получаем некую замкнутую сущность, о котоpой нам pовным счетомничего неизвестно. Манипулиpовать таким объектом пpинципиально невозможно, инаши pассуждения должны были бы закончиться тотчас после деклаpациибесстpуктуpности. Но не тут-то было — в математике с этого все тольконачинается. Из точек мы стpоим пpямую, то есть неизвестно, на каком основаниипpедполагаем у совеpшенно неопpеделенных объектов наличие опpеделенных свойств,способности вести себя абсолютно конкpетным обpазом, специфическивзаимодействовать. Но математика не останавливается на этом. Получив ряд натуральных(а с введением отрицательных значений — целых) чисел, она заполняет промежуткимежду этими точками (коих бесконечно много) еще бесконечным количеством точек, образуямножество национальных чисел. Далее, обнаружив существование несоизмеpимыхотpезков, математика фоpмиpует новое бесконечное множество — множествовещественных чисел, добавляя в уже дважды бесконечное множество точек еще однобесконечное множество. Тем самым она получает плотное множество (между точкамиэтого множества «щелей» уже нет) или множество мощности континуум. Нолюбая система состоит из элементов и связей между ними, то есть междуэлементами и связями (котоpые в pавной степени являются компонентами системы)все же должно быть какое-то качественное pазличие. Тем самым любой объект,обладающий стpуктуpой, должен быть хоть в каком-то аспекте неодноpодным (качественнонеодноpодным!). Но что же в таком случае мы получаем в качестве множествамощности континуум? Да тот же самый бесстpуктуpный объект, о котоpом, по логикевещей, нельзя сказать ничего, кpоме того, что он состоит из бесконечногомножества объектов, о котоpых нельзя сказать ничего. Связность, котоpойхаpактеpизуется множество действительных чисел, носит здесь чистоискусственный, волевой хаpактеp. Неудивительно поэтому возникновение вматематике таких паpадоксов (в действительности — квазипаpадоксов), какэквивалентность части целому. Паpадокс возникает потому, что в пpинятой логикеpассуждений часть бесконечного множества также является бесконечным множестов.Но что такое множество мощности континуум? Может быть, это та же точка, толькоpассматpиваемая изнутpи? Тогда пpи коppектном pассмотpении паpадокса не частьотобpажается на целое, а один бесстpуктуpный объект отобpажается на дpугойтакой же. Скоpее всего, это точка отобpажается на точку же, и никакогопаpадокса попpосту не существует.
Подведемитоги проделанной работе. Как видим, даже поверхностный анализ позволяетобнаружить некорректность в логическом обосновании таких понятий и объектовматематики, как число, точка, числовая прямая. Эта некорректность заключается вневерном истолковании и использовании (с точки зрения современныхпредставлений) такого важнейшего свойства действительного мира, как егоструктурность. Конкретно это проявляется в произвольном присваивании точке ичисловой прямой таких свойств, как «сплошность» (иначе — бесструктурность).
Причины,обусловившие описываемое положение вещей в математике, понятны. Их корнинаходятся в самых глубоких закономерностях человеческих представлений обустройстве мира. В качестве первой такой причины можно назвать то, чтопредставления о цельности, «сплошности» материальных объектовисторически возникли намного раньше представлений о их структуре. А в тевремена, когда закладывались основы математики, они доминировали в мышлениилюдей. Левкипп лишь отодвинул представления о неделимости в глубины строенияматерии, дав понятие атома. Это оказало свое воздействие на воззрения античныхматематиков.
Вроли второй причины, повлиявшей на развитие познания в рассматриваемомконтексте, выступило следующее обстоятельство. На становление науки — в томчисле математики — оказывало существенное влияние развитие представлений опространстве. Так вот, в развитии представлений о пространстве и понятиипространства можно выделить один очень важный этап, собственно, дажекачественный скачок, сыгравший в этом процессе весьма значительную роль.
Зададимсявопросом, каков смысл категории «пространство». В своей деятельностимы обнаруживаем такие особенности структурной организации мира, что части иэлементы, из которых построены материальные объекты, определенным образом расположеныдруг относительно друга, образуют некоторые устойчивые конфигурации, что задаетграницы объекта по отношению к окружающей среде. Можно сказать, что каждыйобъект характеризуется своеобразной «упаковкой» входящих в негоэлементов, их расположенностью относительно друг друга, и это делает любыеобъекты протяженными. Кроме того, каждый объект занимает какое-то место средидругих объектов, граничит с ними.
Всеэти предельно общие свойства, выражающие структурную организацию материальногомира, — свойства объектов быть протяженными, занимать место среди других,граничить с другими объектами — выступают как первые, наиболее общиехарактеристики пространства. Кто-то когда-то решил, что если эти характеристикиабстрагировать из действительности, отделить от самих материальных объектов, томы получим представление о пространстве как таковом. Шаг, в общем-то, абсолютнозакономерный (в силу диалектичности познания), но вот, к сожалению, перечисленныххарактеристик для полноты представлений о пространстве, как таковом, явнонедостаточно.
Точкаи математическая прямая являют собой абстракцию, идеализацию именно такого рода- идеализацию несовершенных представлений человека об устройстве мира. Основныехарактеристики объекта, постигнутого очень поверхностно, были абстрагированы,отделены от материальных носителей и начали самостоятельную жизнь. Тем самымкак бы законсервировав в себе несовершенство наших представлений о мире. А этоне могло не привести к парадоксам — и не только в науке.
Обнаружившеесяположение вещей в одной из самых древних и консервативных наук — математике,это, пожалуй, повод задуматься о качестве нашего мышления в целом. И (чтоособенно актуально) связать это качество с теми негативными процессами, которыепроисходят сейчас в мире людей. Но последнее относится уже не столько кпричинам возникновения некорректных методов познания, сколько к последствиям ихприменения. О последних же нужно говорить отдельно — насколько их много инасколько они весомы. Скорее всего, все последствия можно осмыслить лишь послесоздания альтернативной математики (а эта возможность вполне реальна).
Сейчасже завершим наше исследование следующим выводом. Основные свойства реальногопространства — а значит реального мира, не соответствуют нашим представлениям онем. Но мы живем и действуем в этом мире, а действовать, опираясь на ложныепредставления — это все равно, что путешествовать, используя неверносоставленную карту. Это значит, совершать ошибки. Вся наша историясвидетельствует о том, что мы их совершаем.
Носамые крупные плоды в этом саду лишь начинают созревать.
Списоклитературы
1. Глейзер Г. И.История математики в школе. М., «Просвещение», 1983.
2. Мантуров О. В.Математика в понятиях, определениях и терминах. Киев, «Радянськашкола», 1986.
3. Ляпин Е. С. ЕвсеевА. Е. Алгебра и теория чисел. Москва, «Просвещение», 1974.
4. Бухштаб А. А. Теориячисел. Москва, «Учпедгиз», 1960.
5. Лузин Н. Н. Дифференциальноеисчисление. М., «Высшая школа», 1961.
6. Андронов И. К. Арифметикарациональных чисел. Москва, «Просвещение», 1971.
7. Соколов Э. Т.Кентавр, или как математика помогает физике. Минск, «Вышэйшая школа»,1988.
8. Фор Р. Кофман А.Современная математика. Москва, «Мир», 1966.