Министерствонауки и образования Украины
Национальный технический университет Украины
"Киевский политехнический институт"
Радиотехнический факультет
Контрольная работа
По курсу: «Основы научных исследований»
Тема: «Методика регрессионного анализа»
Киев2007
Нахождение коэффициентов регрессии модели полнофакторного эксперимента типа 23
Факторный эксперимент связан с варьированием одновременно всех факторов и проверкой достоверности результатов математико-статистическими методами. Факторы в эксперименте можно варьировать на бесконечном множестве уровней. При планировании эксперимента, чтобы получить результаты эксперимента в виде удобных для анализа полиномов, достаточно изменять факторы на двух, трех или пяти уровнях. Проведение экспериментов с многоуровневыми факторами затруднительно, поэтому они находят ограниченное применение в практике инженерного эксперимента.
Таблица 1
Номер
комбинации
Факторы
Произведения факторов
Параметры оптимизации
(экспертная оценка)
Параметр
оптимизации
_
Ф
И
С
x0
x1
x2
x3
x1x2
x1x3
x2x3
x1x2x3
y1
y2
y3
/>
1
1
-1
-1
-1
1
1
1
-1
2
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
31
28
47
35,3
3
1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
12
9
10
10,3
4
1
1
1
-1
1
-1
-1
-1
6
52
64
58,7
5
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
3
2
2
6
1
1
-1
1
-1
1
-1
-1
54
59
5
54,3
7
1
-1
1
1
-1
-1
1
-1
41
41
40
40,7
8
1
1
1
1
1
1
1
1
91
92
90
91
Среднее значение
24,8
Модель для ПФЭ типа />выглядит следующим образом:
/>
Коэффициенты уравнения регрессии по методу наименьших квадратов в матричной форме определяем следующим образом [1, с. 53-55]:--PAGE_BREAK--
/>
/>
Выражение — квадратная симметричная матрица – называется матрицей системы нормальных уравнений, или информационной матрицей (матрицей Фишера); – ковариационная матрица, или матрица дисперсий ковариаций.
Ковариация показывает величину статистической взаимосвязи между эффектами модели xiи xj:
/>
Также коэффициенты ковариаций можно определить из ковариационной матрицы:
/>
Из матрицы видно, что коэффициенты ковариаций каждого эффекта с каждым равны нулю, отсюда делаем вывод, что коэффициенты уравнения регрессии не коррелированны между собой.
Проверка многофакторных статистических моделей по основными критериям качества
Проверка на статистическую значимость получаемой математической модели [1, с. 93-94]
Проводиться проверка статистической гипотезы о силе влияния факторов плана эксперимента на фоне случайной изменчивости повторных опытов:
/>
Где – среднее значения результатов опытов в u-той строке матрицы результатов; – среднее значение по всем результатам опытов; — результат в u-той строке l-го повторного опыта; (n– количество повторных опытов (2))
/>
По таблице (приложение 3) определяем 3,73
Поскольку(53,935>3,73), то делаем положительный вывод о целесообразности получения математической модели.
Проверки предпосылок о свойствах случайных ошибок входящие в результаты экспериментов [1, с. 93]
При равномерном дублировании опытов nu= n= const(в нашем случае n= 2). Проверка однородностиряда дисперсий производиться с использованием G-критерия Кохрена:
/>
— вычисляется по формуле:
/>
Число степеней свободы, которыми обладает каждая из дисперсий: n– 1 = 1;
Количество независимых оценок дисперсий: N= 8
/>
По указанныминдексам находим значение />из таблицы «Критерий Кохрена» (приложение 1)
/>
Так как то делаем вывод, что дисперсии однородны и могут быть усреднены:
/>
Проверка на адекватность полученной модели произвольным результатам экспериментов в пределах принятых изменений факторов [1, с. 94-95]
Проверка коэффициентов уравнения регрессии на статистическую значимость проводиться с помощью t-критерия:
/>
Для значения α= 0,05, получим α/2 = 0,025 и />значение t-критерия Стьюдента равно />. Поскольку в матрице дисперсий-ковариаций не нулевые только диагональные элементы и равны между собой (/>), то все доверительные интервалы равны между собой:
/>
Теперь проверим все коэффициенты на статистическую значимость исходя из условия: если – то коэффициент статистически значим, если – то коэффициент статистически не значим.
коэффициент
b
b1
b2
b3
b4
b5
b6
b7
/>
36,542
23,292
13,625
10,458
1,375
2,375
5,208
1,875
Статистически значим
+
+
+
+
-
+
+
-
Таким образом мы получили, что коэффициенты b4и b7– статически не значимы, поэтому мы не будем вносить их в нашу модель. И окончательный вид модели будет таким:
/>
Число = 6 – количество эффектов, которые вошли в структуру модели, то есть статистически значимые.
Значения откликов, полученных с помощью последней модели:
Отклик
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8
/>
-3.25
38.584
13.584
55.418
2.5 продолжение
--PAGE_BREAK--
53.834
40.166
91.5
/>
3.25
3.251
3.251
3.249
0.5
0.499
0.501
0.5
Проверка модели на адекватность производиться с использованием F-критерия Фишера:
/>
Где – числа степеней свободы для />и :
/>
/>
Просчитаем экспериментальное значение:
/>
По таблицам значения критерия Фишера (приложения 3) для q= 0,05 находим:
/>
Так как выполняется условие значит модель адекватна.
Так как у нас />, то нет необходимости определять значимость обратного отношения дисперсий.
Проверка на информативность [1, с. 97-99]
Коэффициент множественной корреляции Rопределяется по формуле:
/>
Посчитанное значение R= 0,997 которое очень близко к единице.
Гипотезу о значимости множественного коэффициента корреляции проверяют по F-критерию:
/>
Где – суммы квадратов отклонений – связанная с коэффициентом модели и остаточная; />– числа степеней свободы для />и .
В нашем случае:
/>
/>
/>
По таблицам значения критерия Фишера для q= 0,05 находим:
/>
Поскольку , то гипотеза о статистической незначимости Rне принимается – это значит, что коэффициент множественной корреляции Rявляется статистически значимым.
Проверка на устойчивость коэффициентов математической модели к случайным составляющим в исходной информации [1, с. 99-101]
Коэффициенты математической модели должны быть устойчивы к малым случайным изменениям в исходных данных, полученных в процессе эксперимента. Для количественно показателя устойчивости коэффициентов математической модели будем использовать меру обусловленности матрицы по Нейману-Голдстейну.
Для определения меры обусловленности по Нейману-Голдстейну Pнеобходимо найти собственные числа для матрицы Фишера , решая уравнение:
/>
Где – собственные числа для информационной матрицы Фишера
Поскольку коэффициенты b4и b7статистически незначимы, тога соответствующие столбцы матрицы Xотбрасываются и размер матрицы становится />, размер обратной матрицы — />, а размер матрицы Фишера — />:
/>
Так как все эффекты в матрице Фишера ортогональны друг другу и нормированы, то:
/>
/>
Находят – максимальное и минимальное собственное число для информационной матрицы Фишера :
/>
Мера обусловленности по Нейману-Голдстейну:
/>
Другая мера обусловленности матрицы />обозначается латинским сокращением cond:
/>
/>— обозначение нормы матрицы. При этом предполагается, что матрица невырождена.
Известны несколько видов норм для матрицы А. Каждой из векторных норм соответствует своя подчиненная норма матрицы. Будем использовать следующую форму:
/>
что означает выбор по всем столбцам jмаксимальной суммы абсолютных значений элементов по строкам i(m– число строк матрицы А).
Так как все эффекты в расширенной матрице Xортогональны друг другу, то:
/>
Для матрицы каждая по столбцам />. Для матрицы каждая по столбцам />.
Число обусловленности в этом случае будет:
/>
Что подтверждает результат, полученный предыдущим методом.
Проверка фактической эффективности извлечения полезной информации из исходных данных [1, с. 101-102]
Косвенным показателем эффективности может быть число обусловленности cond для полученной модели. Так как значит эффективность можно считать хорошей.
Проверка правильности описания полученной математической модели по всей области моделирования [1, с. 102]
Полученную математическую модель желательно проверить по контрольной выборке. С использованием ПС ПРИАМ можно построить трехмерное изображение поверхности отклика, и проанализировать полученную поверхность, сравнивая минимальные и максимальные расчетные значения />с допустимыми физическими значениями отклика. Возможен также поиск минимума и максимума по модели />с использованием ЛПτравномерно распределенных последовательностей и сравнения с физически возможными значениями отклика.
Оценка семантичности по полученным коэффициентам математической модели [1, с. 102-103]
Семантичность достигается, если эффекты статистической модели ортогональны друг другу, нормированы и план эксперимента равномерный. Выбор структуры модели должен быть проведен с использованием алгоритма RASTA3 и ПС ПРИАМ.
В нашем случае все эффекты полученной модели ортогональны друг другу и нормированы, план эксперимента мы выбрали равномерный, следовательно семантичность достигается.
Проверка свойств остатков [1, с. 103, 364-366]
Анализ основных графиков остатков
/>
Общая оценка свойств полученной математической модели и возможностей ее использования для достижения поставленной цени
Из вышеприведенных расчетов и проверок можно сделать вывод, что данная математическая модель является адекватной для ее использования в поставленных задачах.
Литература
Рядченко С.Г. Устойчивые методы оценивания статистических моделей. Монография. – К.: ПП «Санспарель», 2005. – 504 с.
Большов Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики
Приложения
Значение критерия Кохрена G1-qдля q = 0,05. Все значения G1-q меньше единицы, поэтому в таблице приведены лишь знаки, следующие после запятой.
/>
Значения критерия Стьюдента (t — критерия)
/>
Значения критерия Фишера F1-qдля q = 0,05
/>