Матрицы
Матрица — прямоугольная (в частном случае квадратная) таблица с числами.
Матрица m × n — это таблица из m строк и n столбцов. Если m = n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n.
Пример матрицы 4×3 :
a1,1
a1,2
a1,3
a2,1
a2,2
a2,3
a3,1
a3,2
a3,3
a4,1
a4,2
a4,3
Определитель матрицы
Определитель матрицы A (обозначается как det A) это число, которое ставится в соответствие матрице A по определенному правилу.
Определитель существует (определен) только для квадратной матрицы.
Определителем квадратной матрицы A порядка n называется число:
det(A)=
/>
=
/>
где M1,j — определитель квадратной матрицы порядка n -1, полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и j -го столбца, называемый минором элемента a1,j.
Выражение
det A =
/>
называется формулой вычисления определителя разложением по первой строке.
Число (-1) j+1 M1,j называется алгебраическим дополнением элемента a1,j.
Если вас пугает это формула, то она значит следующее:
Определитель вычисляется как сумма n слагаемых, где n — порядок матрицы.
Знак, с которым каждое слагаемое входит в сумму, определяется как (-1)1+k.
Каждое слагаемое представляет собой произведение двух чисел: элемента первой строки матрицы на минор — определитель матрицы, получаемой из исходной путем вычеркивания 1 строки и j столбца.
Обратите внимание, что порядок минора на 1 меньше, чем у исходной матрицы!!!
Умножение матриц
Произведением матриц A размером m × n и матрицы B размера n × k называется матрица размера m × k, элементы которой определяются формулой
ci,j =
n
a i,q · b q,j
∑
q=1
i=1,…, m
j=1, ..., k
Произведение матриц записывается как C=A·B.
Произведение матриц определено, если число столбцов матрицы A равняется числу строк матрицы B!!!!
Для более легкого запоминания формулы умножения матриц существует простое правило: строка на столбец. Берем элементы из строки матрицы А и они умножаются на соответствующие элементы столбца матрицы B. Потом все произведения складываются и мы получаем значение элемента матрицы C.
Координаты элемента в результирующей матрице определяется как номер строки матрицы A и номер столбца матрицы B.
Транспонирование матриц
Транспонирование матрицы — это такая операция над матрицей, когда первая строка становится первым столбцом, вторая строка становится вторым столбцом и так далее...
В результате получается транспонированная матрица, обозначаемая как AT.
Обратная матрица
Матрица A-1 — называется обратной к матрице A, если выполняется условие A ·A-1 = A-1·A=E.
Для квадратной матрицы A обратная матрица существует тогда, когда det A ≠ 0.
Обратную матрицу находим следующим образом:
/>
где Ai,j — алгебраические дополнения элементов матрицы A.