Метод «переноса краевых условий в произвольную точку» для решения краевых задач.
Метод Алексея Юрьевича Виноградова (1970 года рождения, красный диплом МГТУ им. Баумана, кандидат физ-мат наук 1996 года).
Метод был впервые печатно предложен в 1995 году. По нему защищена в 1996 году кандидатская физ-мат диссертация приминительно к тонкостенным оболочкам, например, оболочкам в ракето и самолёто-строении.
После этого метод многократно опубликован и в том числе опубликован в «Докладах Академии наук».
По методу защищена ещё одна физ-мат диссертация.
Пожалуйста, пишите на адрес AlexeiVinogradov@yandex.ruо том, где может найти применение метод А.Ю.Виноградова: например, в каких областях он может быть сопоставлен с методом С.К.Годунова помимо тонкостенных оболочек J.
Хорошо было бы составить на этой страничке перечень задач разных областей знаний, где нужно преодолевать трудности неустойчивого компьютерного численного решения краевых задач: то есть хорошо было бы собрать координаты специалистов (и описания их задач), которые сейчас пользуются методом С.К.Годунова потому, что им можно предложить попробовать простенький и элегантно-эффективный метод А.Ю.Виноградова J.
Пишите: если Вы захотите, то Ваши сообщения будут выложены на прилинкованных страничках Jили будут даны ссылки на Ваши странички или специализированные сайты J.
Дополнительно хотелось бы узнать в каких вузах-университетах читаются соответствующие численные методы, чтобы предложить студентам и аспирантам пробовать проводить расчёты методом А.Ю.Виноградова (в сравнении, например, с методами Годунова или Абрамова или Гельфанда-Локуциевского и т.п.) J.
1. Далее идёт краткое изложение основных матрично-векторных понятий в их классическом виде вне рамок метода Алексея Юрьевича Виноградова, а как это принято для любых краевых задач. Изложение составлено так, чтобы оно было понятно выпускникам вузов.
В матричном виде система линейных дифференциальных уравнений записывается так:
Y(x)’=A·Y(x),
где Y(x) — вектор-столбец искомых функций, Y(x)’ — вектор-столбец производных искомых функций, A — квадратная матрица коэффициентов.
Условия на левом крае записываются в виде:
L·Yleft = L,
где Yleft — вектор-столбец значений функций Y(x) на левом крае x=x_left, L — вектор-столбец «правой части» краевых условий левого края, L — прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края.
Условия на правом крае записываются в виде:
R·Yright = R,
где Yright — вектор-столбец значений функций Y(x) на правом крае x=x_right, R — вектор-столбец «правой части» краевых условий правого края, R — прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края.
Из теорий решений дифференциальных уравнений известно, что можно разными способами получить многообразие решений системы дифференциальных уравнений вне зависимости от краевых условий. При наложении краевых условий на многообразие решений получается решение задачи.
Многообразие всех возможных линейно независимых решений системы дифференциальных уравнений в матричном виде выглядит как квадратная матрица, которая называется матрицей Коши или интегралом Коши и для обозначения можно использовать просто букву К.
Суть (объяснение) матрицы К: она состоит из векторов типа Y, но эти векторы типа Y имеют принципиально различные варианты поведения, то есть они являются «линейно независимыми»:
K = [ Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 ]
При помощи матрицы Коши (то есть матрицы К) можно (на основе дифференциальных уравнений) установить связи между левым краем задачи и правым краем задачи:
K(x_left → x_ right).
То есть вычислив некоторым из известных способов матрицу К можно записать, что:
Yright= K(x_right ← x_left) · Yleft
Далее для краевых задач решение находится привнесением краевых условий в совместное рассмотрение с полученной матрицей К:
L·Yleft = L
R·Yright = R
Yright= K(right←left) · Yleft
Обычно в краевых задачах традиционно требуется найти либо искомый вектор левого края Yleftлибо искомый вектор правого края Yright, чтобы привести краевую задачу как бы к задаче не краевой, а к задаче Коши (не к матрице Коши, а задаче Коши – к задаче с начальными, а не краевыми условиями). То есть чтобы можно было искать решение задачи в какой-либо точке по формуле решения задачи Коши: Y(x) = K(x←0) · Y(0) то естьY(x) = K(x←left) · Yleft.
Это можно делать следующим образом.
Можно подставить Yright= K(right←left) · Yleftв R·Yright = Rи тогда можем записать:
L· Yleft = L
R· K(right←left) · Yleft = R,
откуда можно получить искомый вектор левого края Yleft и далее можно вычислять решения в произвольной точке по формуле: Y(x) = K(x←left) · Yleft.
Или иначе можем записать — не Yright= K(right←left) · Yleft, а Yleft= K(left← right) · Yrightи можем тогда записать:
L·Yleft = L
R·Yright = R
Yleft= K(left← right) · Yright
и подставив одно в другое можем записать:
L· K(left← right) · Yright = L
R · Yright = R,
откуда можно получить искомый вектор правого края Yright и далее можно вычислять решения в произвольной точке по формуле: Y(x) = K(x← right) · Yright.
Приблизительно 10 лет назад Алексеем Юрьевичем Виноградовым было сформулировано, что можно делать иначе, был предложен новый простенький в своей элегантности (J) метод, который излагается далее.
Было показано, что можно не приводить краевую задачу к задаче Коши, а можно вычислять решение краевой задачи в произвольной рассматриваемой точке при помощи переноса в эту точку краевых условий.
2. Метод «переноса краевых условий в произвольную точку» А.Ю.Виноградова можно сформулировать следующим образом.
Известно, что можно выполнять численное интегрирование в любом направлении изменения координаты интервала интегрирования системы дифференциальных уравнений.
Поэтому можно не только традиционно интегрировать слева на право и обратно от края и до края, а можно как это предложено А.Ю.Виноградовым интегрировать от некоторой внутренней точки x интервала краевой задачи в разные стороны к краям (lefи right) интервала краевой задачи:
Yleft = K(left←x) · Y(x)
Yright= K(right←x) · Y(x)
Это означает, что можно вычислить не одну матрицу Коши на всю длину участка рассматриваемой задачи K(right←left), а можно вычислить независимо отдельно две матрицы Коши.
Вычисляться будут две матрицы Коши, но это не дольше, так как каждая из двух матриц вычисляется не на всём участке задачи, а на своём отдельном участке общей задачи: K(left←x) и K(right←x).
Тогда при совместном рассмотрении краевых условий:
L·Yleft = L
R·Yright = R
и матриц Коши
K(left←x) и K(right←x)
можно записать:
L·K(left←x) · Y(x) = L
R· K(right←x) · Y(x) = R
Отсюда получаем систему обыкновенных линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов для вычисления вектора искомого решения Y(x) краевой задачи в любой точке x:
| L·K(left←x) | | L|
|--------------------------| · Y(x) = |----|
| R·K(right←x) | | R|
Для нахождения решения задачи в окрестности точки x (то есть при x+∆ или x-∆) то есть для нахождения решений задачи в окрестности найденного вектора Y(x) можно использовать формулы начальной задачи, то есть формулы задачи Кош