Содержание
Введение
1 Математическое моделированиетехнических объектов
1.1 Понятие математической модели
1.2. Понятие математических моделей,их классификация и свойства
1.3 Функции системы MathCAD
1.4 Переменные в MathCAD
1.5 Решение уравнений сиспользованием функции FIND, MINER
1.6 Исследование функций на экстремум
1.7 Графики в MathCAD
1.8 Учет размерности
1.9 Программирование в MathCAD
1.10 Обработка экспериментальных данных
1.10.1. Интерполяция
1.10.2 Функции регрессии
1.11 Интернет технологии
1.12 Описание Web-сайта
2 Алгоритмический анализ в задаче
2.1 Исходные данные задачи
2.2 Постановка задачи
2.2.1 Графическая схема алгоритма
2.2.2 Схема сайта
3 Описание документа MathCad
3.1 Система MathCad
3.2Таблица используемых переменных
4. Необходимые исследованиязависимостей в MathCad
5. Аппроксимация
6 Вывод по проделанным исследованиям
Заключение
Список литературы
Приложения 1
Приложения
Введение
Изобретение и дальнейшееразвитие персонального компьютера значительно упростило жизнь человека.
Технологический скачокпоследнего десятилетия позволило разработать серию современных персональныхкомпьютеров. Микро ЭВМ постепенно начали входить в нашу повседневную жизнь.Компьютерные и информационные технологии уверенно входят в нашу жизнь.
Персональная ЭВМ давнопревратилась в предмет труда. Ни одно предприятие не обходится без электроннойбазы данных, без современных средств коммуникаций, мощных вычислительныхсредств. Он позволяет осуществлять не только производственный процесс на дому,но и целый ряд всевозможных процессов.
Огромный вклад в этотрост внесло развитие технологии математического моделирование.
Моделировaние этоизучение объектa путем построения и исследования его модели, осуществляемое сопределенной целью и состоит в зaмене экспериментa с оригинaлом экспериментомнa модели.
Модель должна строитсятак, чтобы она наиболее полно воспроизводила те качества объекта, которыенеобходимо изучить в соответствии с поставленной целью. Во всех отношенияхмодель должна быть проще объекта и удобнее его для изучения. таким образом, дляодного и того же объекта могут существовать различные модели, классы моделей,соответствующие различным целям его изучения.
Абстрактное моделированиесвязано с построением абстрактной модели. Такая модель представляет собойматематические соотношения, графы, схемы, диаграммы и т.п. Наиболее мощным иуниверсальным методом абстрактного моделирования является математическоемоделирование. Оно широко используется как в научных исследованиях, так и припроектировании.
Математических моделейпозволяет осуществить предварительный выбор оптимальных или близких к нимвариантов решений по определенным критериям. Они научно обоснованы, и лицо,принимающее решение, может руководствоваться ими при выборе окончательногорешения. Следует понимать, что не существует решений, оптимальных «вообще».Любое решение, полученное при расчете математической модели, оптимально поодному или нескольким критериям, предложенным постановщиком задачи иисследователем.
В курсовой работе яисследую математическую модель зависимости диаметра и максимального прогибабалки под действием внешних нагрузок. Математическая модель составляется в MathCad, где получатся графики зависимостисилы и момента, и в результате анализ данной задачи.
1 Математическоемоделирование технических объектов
1.1 Понятиематематической модели
Моделированиепредставляет собой процесс замещение объекта исследования некоторой его модельюи проведение исследование на модели с целью получения необходимой информации обобъекте.
Математическоемоделирование позволяет посредствам математических символов и зависимостейсоставить описание функционирования технического объекта в окружающей внешнейсреде, определить выходные параметры и характеристики, получить оценкупоказателей эффективности качества, осуществить поиск оптимальной структуры ипараметров объекта. Применение математического моделирования при проектированиив большинстве случаев позволяет отказаться от физического моделирования,значительно сократив объемы испытаний. Также математическим моделированиемназывают процесс формирования математической модели для анализа и синтеза. В качествематематических объектов выступают числа, переменные, множества, векторы,матрицы и так далее.
В конструкторскойпрактике под математическим моделированием обычно понимается процесс построенияматематической модели.
1.2 Понятиематематических моделей, их классификация и свойства
Модель – это физическийили абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведенияисследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователяфизические свойства и характеристики объекта.
Математическая модель –это совокупность математических объектов и отношений между ними, адекватноотображающая физические свойства технического объекта.
На различных этапах истадиях проектирования сложной технической системы используют различныематематические модели. Математические модели могут представлять собой системыдифференциальных уравнений, системы алгебраических уравнений, простыеалгебраические выражения, бинарные отношения, матрицы и так далее. Уравнениематематической модели связывают физические величины.
К математическим моделямпредъявляются требования адекватности, экономичности, универсальности. Модельсчитается адекватной, если отражаются исследуемые свойства с приемлемойточностью.
Математические моделитехнических объектов, используемые при проектировании, предназначены дляанализа процессов функционирования объектов и оценки их выходных параметров.Они должны отражать физические свойства объектов, существенные для решенияконкретных задач проектирования. При этом математическая модель должна быть какможно проще, но в то же время обеспечивать адекватное описание анализируемогопроцесса.
Используют следующие видыматематических моделей: детерминированные и вероятностные, теоретические иэкспериментальные факторные, линейные и не линейные, динамические истатистические, непрерывные и дискретные, функциональные и структурные.
По форме представленияматематических моделей различают:
1. Инвариантная модель –математическая модель представляющаяся системой уравнений (дифференциальных,алгебраических), вне свези с методом решения этих уравнений.
2. Алгебраическая модель– соотношение моделей связаны с выбранным численным методом решения и записаныв виде алгоритма (последовательности вычислений).
3. Аналитическая модель –представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин.Такие модели получают на основе физических законов, либо в результате прямогоинтегрирования исходных дифференциальных уравнений, используя табличныеинтегралы. К ним относятся также регрессионные модели, получаемые на основерезультатов эксперимента.
4. Графическая модель –представляется в виде графиков, эквивалентных схем,
динамических моделей,диаграмм и тому подобное. Для использования графических моделей должносуществовать правило однозначного соответствия условных изображений элементовграфической и компонентов инвариантной математической модели.
Математические моделимогут представлять собой функциональные зависимости между выходными,внутренними и внешними параметрами.
Деление математическихмоделей на функциональные и структурные определяется характером отображаемыхсвойств технического объекта.
Структурные моделиотображают только структуру объектов и используются при решении задачструктурного синтеза. Параметрами структурных моделей являются признакифункциональных или конструктивных элементов, из которых состоит техническийобъект и по которым один вариант структуры объекта отличается от другого. Такиемодели имеют форму таблиц, матриц и графиков. Они наиболее широко используютсяна метоуровне при выборе технического объекта.
Функциональные моделиописывают процессы функционирования технических объектов и имеют форму системуравнений. Их широко используют на всех иерархических уровнях, стадиях и этапахпри функциональном, конструкторском и технологическом проектировании.
По способам полученияфункциональные математические модели делятся на:
1. Теоретические модели –получают на основе описания физических процессов функционирования объекта.
2. Экспериментальныемодели – получают на основе поведения объекта во внешней среде, рассматриваяего как кибернетический «черный ящик».
При построениитеоретических моделей используют физический и формальный подходы. Физическийподход сводится к непосредственному применению физических законов для описанияобъектов. Формальный подход используется при построении как теоретические, таки экспериментальные модели.
Функциональныематематические модели могут быть:
1. Линейные модели,содержащие только линейные функции фазовых переменных и их производных.
2. Нелинейныематематические модели, включающие в себя нелинейные функции фазовых переменныхи их производных.
Если при моделированииучитывается инерциальные свойства технического объекта и (или) изменение вовремени параметров объекта или внешней среды, то модель называют динамической.В противном случаи модель статическая. Выбор динамической или
статической моделиопределяется режимом работы технического объекта. Математическое представлениединамической модели в общем случаи может быть выражено системойдифференциальных уравнений, а статической – системой алгебраических уравнений.Динамическая модель может также представлять собой интегральные уравнения,придаточные функции, а в аналитической форме – явные зависимости фазовыхкоординат или выходных параметров технического объекта от времени.
1.3 Функции системы MathCAD
Встроенные функциисистемы:
MathCAD содержит более двухсот встроенныхфункций. Все они разбиты на группы. Для вставки стандартной функции необходимона панели инструментов щелкнуть по кнопке f(x)- вставитьфункцию. Раскроется новое окно, в котором в левом списке будут представленыгруппы функции, а в правом – сами функции. Необходимо выбрать из списка нужнуюфункцию и щелкнуть по кнопке «вставить»- Insert.
Основные встроенныефункции:
1. тригонометрические функции [sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), csc(x)];
2. гиперболические [sinh(x), cosh(x),tanh(x), coth(x), csch(x), sech(x)];
3. обратные тригонометрические [asin(x), acos(x), atan(x) ит.д.];
4. обратныегиперболические [asinh(x), acosh(x) ит.д.];
5. показательные илогарифмические[exp(x), ln(x), log(x), />].
Функции пользователя в MathCAD.
ользовательские функцииприменяются если одно и то же выражение должно быть рассчитано несколько раздля разных наборов исходных данных.
Формат записи функциипользователя:
():=
где — имяфункции (задается как любой идентификатор разрешенный системой);
() — списокпараметров (в скобках через запятую указывается список функции);
— содержит доступные системе операторы и функции с аргументом указанным в спискепараметров.
1.4 Переменные В MathCAD
Переменными в MathCAD называются объекты, имеющиенекоторые значения, которые могут меняться в процессе вычисления.
В MathCAD различают три вида переменных:
1. Простые переменные в MathCAD используются в качестве операндовпри выполнении операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения встепень, а также в качестве аргументов встроенных математических функций, привычислении арифметических выражений и в операциях отношения.
Для определенияпеременной необходимо ввести имя переменной, затем знак: = далее присваиваемоезначение или выражение.
Этап определенияпеременных должен быть по ходу вычислений выше, чем этап вычислений. Однако приопределении глобальных переменных нет разницы в их местоположении. Для такихпеременных необходимо вводить знак глобального присваивания />.
2. Ранжированныепеременные берут свои значения из диапазона с заданным шагом и изменяются отначального значения до конечного. Формат записи ранжированными переменными:
: =,[]..
где ИП- имя переменной;
НЗ- начальное значениепеременной;
CЗ- первое следующее за начальнымзначение переменной;
КЗ- конечное значениепеременной;
[ ]- данный параметрможет отсутствовать. В этом случае шаг изменения переменной будет равенединице.
3. Индексированныепеременные – это известные нам массивы (матрицы).
Доступ к каждому элементумассива происходит при указании имени массива и порядкового номера элемента(индекса) в данном массиве.
Для задания массиванеобходимо:
1) ввести имя массива;
2) вести знак присвоить;
3) вызвать панель сматричными операторами;
4) щелкнуть по шаблонуматрицы;
5) ввести количествостолбцов и строк матрицы;
6) ввести значениеэлементов матрицы.
По умолчанию нумерациястрок и столбцов в матрицах, массивах и векторах начинается с нуля, т.е. первыйстолбец имеет номер 0 и т.д.
Для того чтобы измерениеначиналось с единицы необходимо в самом начале документа MathCAD встроенной переменной, отвечающей занумерацию строк и столбцов присвоить значение 1:
ORIGIN:=1
Каждая переменная имеетсвое имя (идентификатор). Имя переменной – это набор из букв, цифр или иныхсимволов системы, обязательно начинающихся с буквы.
1.5 Решение уравнений сиспользованием функции «FIND»,«Minerr»
Для решения необходимо:
1)задать начальноеприближение переменной;
2)ввести ключевое слово GIVEN;
3)записать решаемоеуравнение;
4)ввести функцию find с неизвестными в качестве параметров.
Функция find возвращает только один корень,поэтому для нахождения всех корней необходимо построить график функции и исходяиз него выбрать начальное приближение для каждого из корней.
Если уравнение не имеетточного решения, например: график функции не пересекается с осью абсцисс, можнонайти значение при котором невязка будет минимальна(в случае двух уравненийминимальным будет расхождение между двумя кривыми). Для этого используетсяфункция Minerr. Обращение к функции Minerr аналогично обращению к функции find. Только функция find даёт точное решение а Minerr- приближённое. Если точное решениесуществует, то функция Minerrпозволяет его найти также как и функция find. Если точного решения нет, то функция find указывает на ошибку а Minerr находит значение с минимум невязки.
1.6 Исследование функцийна экстремум
При помощи функций Maximize и Minimaze можно вычислить экстремумынепрерывной функции.
Поиск экстремума функцииможно проводить двумя методами:
1) Приравниватьпроизводную к нулю;
2) Используя функции Minimize, Maximize.
Отметить экстремальныеточки нужно следующим образом: войти в режим форматирования графика и впоявившихся местах ввода на оси Х и У ввести полученные значения.
1.7 Графики в MathCAD
Пакет MATHCAD предоставляет широкие графическиевозможности. Кроме того, здесь можно использовать чертежи и рисунки, полученныев других графических системах.
Нажатием буквально однойкнопки можно задать шаблон для генерации двумерного графика, причем в одних итех же осях может быть несколько графиков одновременно. В MATHCAD`e представлены следующие виды графиков: декартовый (X-Y plot), полярный (Polar plot), поверхности(Surface plot), карта линий уровня (Contour plot), векторное поле (Vector Field plot), трехмерный точечный (3D Scatter plot), трехмерная столбчатая диаграмма (3D Bar Chart). Все графики являются стандартными объектами MATHCAD`a: их можно редактировать, а при пересчете исходных данных ониавтоматически перерисовываются. Кроме того, в средствах ‘объемной’ визуализацииданных существуют возможность композиции задних планов. Существуют большое количествоопций для работы с осями, а также возможность импортировать графическиеизображения.
Построение двумерныхграфиков:
Перед построением графиканеобходимо определить исследуемую функцию и аргумент, заданный в видедиапазонной или индексированной переменной, а затем:
1) установить курсор вместо, где будет построен график;
2) на панели Graph выбрать кнопку двумерный график икнопку xy;
3) в появившемся на местекурсора шаблоне двумерного графика необходимо ввести на оси абсцисс по центру вчерном квадрате имя аргумента, а на оси ординат — имя функции;
4)щелкнуть мышью внешаблона графика.
1.8 Учет размерности
В MathCAD встроено большое количество единицизмерения. С ними можно обращаться как со встроенными переменными. Чтобысвязать единицу измерения с числом, необходимо умножить это число нанаименование единицы измерения. Перед началом работы с единицами измеренийнеобходимо установить систему размерности. В MathCAD этих систем пять:SI, MKS, CKS, US, Внесистемная.
1.9 Программирование в MathCAD
Возможности MathCAD позволяют решить большинство задачбез использования программирования, однако имеется целый класс задач, длярешения которых в
MathCAD используется панельпрограммирования.
Создание программы.Программа в MathCAD состоит из названия программы, знакаприсваивания и идущих за ним выражений в правой части записанных в столбик иобъединенных слева жирной вертикальной чертой.
Порядок созданияпрограммы:
1) ввести имя- выражениепрограммы;
2) ввести операторприсваивания;
3) щелкнуть по кнопке add line на панели программирования столько раз, сколько строкбудет содержать программа;
4) в появившееся местоввода ввести, справа от вертикальной черты, текст программы.
Условный оператор if. Условный оператор программирования IF действует в два этапа: сначалапроверяется условие, записанное справа от него, и если оно «истинно»,то выполняется выражение слева от него, а если ложно, то выполняется следующееза ним выражение.
При щелчке на операторе IF на панели программирования, кромесамого оператора IF, появляется двадополнительных места ввода. Правое предназначено для ввода условия, а левое –для выражения, когда условие принимает значение «истинно».Для вводаоператора «иначе» используется копка OTHERWISE.
1.10 Обработка экспериментальных данных
При обработкеэкспериментальных данных, как правило, возникает задача аппроксимации(приближение) результатов эксперимента аналитической зависимостью y=f(x), которую можноиспользовать в последующих расчетах. Существует три возможности аппроксимацииопытных данных:
1) аппроксимирующаяфункция должна пройти через все опытные точки. Такой способ аппроксимацииназывается интерполяцией;
2) аппроксимирующаяфункция должна сглаживать(усреднять) опытные данные. Такой способ аппроксимацииназывается регрессией или сглаживанием;
3) аппроксимирующаяфункция должна отбрасывать систематическую погрешность (шумы, наложившиеся наэкспериментальные данные). Такой способ аппроксимации называется сглаживанием сфильтрацией данных.
1.10.1 Интерполяция
Встроенные функции MathCAD позволяют при интерполяции проводитьчерез экспериментальные точки кривые разной степени сложности.
Линейная интерполяция.При линейной интерполяции аппроксимирующая функция соединяет опытные точкиотрезками прямых линий. Для проведения такой интерполяции используется функция linterp(x,y,t), где
x – вектор опытных значений аргумента;
y – вектор опытных значений функций;
t – значение аргумента, при которомвычисляется интерполирующее значение функции.
Кубическаясплайн-интерполяция. В большинстве случаев желательно соединятьэкспериментальные точки не ломаной линией, а гладкой линией, для чегоиспользуется сплайн-интерполяция.
Кубическаясплайн-интерполяция получается в результате создания ряда кубических полиномов,проходящих через набор из трех соседних точек. Кубические полиномы затемсостыковываются друг с другом, чтобы образовать единую кривую. Для кубическойинтерполяции используется функция interp(VS,x,y,t),
где VS- вектор вторых производных,созданных функцией lspline(x,y); pspline(x,y); cspline(x,y);
x- вектор опытных значений аргумента;
y- вектор опытных значений функций;
t- значение аргумента, при которомвычисляется интерполирующее значение функции.
БУТА сплайн интерполяция.Отличается от всех остальных тем, что соединение отдельных отрезков (splin-ов) осуществляется не вэкспериментальных точках Xi, ав точках, которые задает сам пользователь. Для определения коэффициентов кривойэтой интерполяции используется функция bspline(x,y,xx.t),
где X- вектор опытных значений аргумента;
y- вектор опытных значений функции;
xx- вектор значений аргумента, прикоторых вычисляются интерполирующие значения функции (точки сшива полиномов);
t- порядок полинома spline-интерполяции(принимает значения1,2,3).
1.10.2 Функции регрессии
В MathCAD имеется ряд функций, которые создаюткривые определенного типа с минимальным отклонением от имеющегося набораэкспериментальных данных. Эти кривые не проходят через точки опытных данных.
В зависимости от видауравнения различают регрессии:
-линейная;
-линейная регрессияобщего вида;
-экспоненциальная;
-степенная;
-полиномиальная;
-синусоидальная;
-логарифмическая;
-нелинейная общего вида.
Линейная регрессия.Аппроксимируется зависимостью a+b*x. Для нахождения коэффициентов a и bиспользуютсясоответственно функции intercept(x,y) и slope(x,y), где (x.y)- вектора экспериментальных данных.
Линейная регрессия общеговида. Перед определенным коэффициентом регрессии необходимо определить наборфункций, с помощью которых будут аппроксимироваться опытные данные. Выбор функцииосуществляет сам пользователь исходя из поведения исходной зависимости.
Формат записи:
linfit(X, Y, F),
X Y-вектора опытных значений аргумента и функции.
Нелинейная регрессияобщего вида. Выбор функции в этом случае осуществляет сам пользователь. Для проведениярегрессии такого вида служит функция genfit:
Формат записи:
genfit(X,Y,pribl,F),
(X,Y)-наборэкспериментальных данных;
pribl- вектор начальных приближений длякоэффициентов выбранной функции;
F-вектор, состоящий из самой функции ичастных производных этой функции по каждому из коэффициентов.
Полиномиальная регрессия.В MathCAD полиномиальная регрессия реализуетсякомбинацией встроенных функций интерполяции и регрессии.
Формат записи:
interp(Z,X,Y,t);redress(X,Y,k);
X,Y-наборы опытных данных;
t-значение аргумента, при которомвычисляется интерполирующее значение функции;
k-степень полинома;
z-вектор коэффициентов для построенияполинома, создаваемых функцией regress.
1.11 Интернет технологии
Интернет – это совокупнаявзаимосвязь компьютерных систем и служб.
Исходя от назначенияслужбы выделяем
1.WWW (worlc wide web)- всемирная паутина, гипертекст, информ.система.
2. Электронная почта Е-mail. Система пересылки.
3. Телеконференция (Usenet). Система обмена информации смножеством пользователей.
4. Файловые серверы (FTR) — комплекты хранящие данныедоступные для пользователя.
5. Общение в реальноммасштабе времени. Служба (WWW)элементы.
Главными элементамитехнологии www является :
Язык гипертекстовойразметки документов HTML;
Протокол обмена гипертекстовойинформации HTTP;
Универсальный способ адресацииресурсов сети URI и URL;
Специфическое программноеобеспечение
Средства разработкиприложений (Front Page)
Гипертекст – методпредставления текста, изображения, звука, видео, связанный друг с другом гиперссылкой.
Гиперссылка – адрес тогоресурса, которому нужно совершить переход. Гиперссылка бывает в виде текста илиграфического изображения. Щелчок мышке по гиперссылке приводит к перемещению надругой ресурс сети Интернет.
Протокол – набор правил попередаче и приему информации компьютерной сети.
Документ HTML представляет собой файл, который наряду с текстом определяет содержание документа, включает специальныеуправляющие HTML
Язык HTML обеспечивает не столькоформатирование документа, описание его логической структуры. Форматирование иотображение документа на конкретном компьютере производится специальнойпрограммой – браузером.С последней версией операционной системы Windows XP поставляется версия браузера Internet Explorer. Эта программа предоставляет единый метод доступа к локальнымдокументам компьютера, ресурсам корпоративной сети и к информации, доступной вИнтернете. Она обеспечивает работу с World Wide Web, предоставляет идентичные средстваработы с локальными папками компьютера и даёт доступ к средствам связи черезИнтернет.
1.12 Описание Web-сайта
Для просмотра WWW-документов необходимо специальноепрограммное обеспечение. Приложение, посредством которого выполняется просмотр WWW-документов, называется WWW-браузером. Наиболее популярными являютсяInternet Explorer и Opera.
Помимо WWW-документов, Web-браузеры допускают обращение к другим ресурсамИнтернета.
Гипертекст, то естьрасширенный текст, включает дополнительные элементы: иллюстрации, ссылки,вставные объекты.
Все WEB-страницы (Постановка задачи,Математическая модель, Результаты, Аппроксимация, Вывод) связаны с главной страницей, которая является титульной, и на ней отображены все элементынашей WEB-страницы. WEB-страницы(Нахождение экстремальных значенийизгибающего момента, Определение размеров сечения балки, Определениеперемещения балки, Прогиб балки и угол поворота сечения, Нахождениеэкстремальных значений прогиба балки, Необходимые исследование зависимости)связаны с WEB-страницей (Результаты).
Переход между страницамиосуществляется с помощью гиперссылок, которые позволяют нам соединить все Web-страницы между собой.
2 АЛГОРИТМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗЗАДАЧИ
2.1 Исходные данныезадачи
Исходные данные задачи
Вариант27: Материал балки — углеродистая сталь
L1=10м, L2=17m, L3=22m, L4=25m, L5=32m,L6=40m, P1=24000H, P2=34000H. P3=290000H, Q1=24000H/m, Q2=21500H, Q3=15000H, и M0=12500H*m,
/> />
Исследовать зависимостидиаметра балки от Р3, максимального прогиба балки от L4.
Схема:
/>
2.2 Постановка задачи исхема алгоритма решения этой задачи
Исследовать зависимостидиаметра балки от Р3, максимального прогиба балки от L4. В пакете MathCADпо полученной математической модели исследовать действие критических нагрузокна балку. После построить эпюру поперечной силы и крутящего момента. Понайденным критическим значениям крутящего момента определить размер сечениябалки. Построить графики угла поворота и максимального прогиба
2.2.1 Графическая схема алгоритма
/>
/>
2.2.2 Cхема сайта
/>
3 Описание документа MathCad
3.1 Система MathCad
MATHCAD — естественный математический язык, на котором формируютсярешаемые задачи. Объединение текстового редактора с возможностью использованияобщепринятого математического языка. Позволяет пользователю получить готовыйитоговый документ. Пакет обладает широкими графическими возможностями,расширяемыми от версии к версии. Практическое применение пакета существенноповышает эффективность интеллектуального труда. Особенности MATHCAD состоят втом, что он не только позволяет провести необходимые расчеты, но и оформитьсвою работу с помощью графиков, рисунков, таблиц и математических формул. Возможностисистемы объединяет в себе простой текстовый редактор, математическийинтерпретатор и графический процессор. Текстовыйредактор системы не обладает всеми возможностями специализированных редакторовтекста, однако позволяет корректировать тексты, выравнивать их по краю,перемещать текстовые блоки в любое место документа и т.д. Математическийинтерпретатор системы — наиболее интересная её часть. Математические формулы,подлежащие интерпретации, записываются в общепринятом виде.
3.2 Таблица используемыхпеременныхСимвольное обозначение
Единицы
измерения Расшифровка величины L метр Длина участка P ньютон Сила Q Н/м Распределённая нагрузка σ
Н/м2 Допустимое напряжение E
Н/м2 Модуль упругости Ra Н Опорная реакция M J Изгибающий момент W J Минимальный осевой момент инерции d м Диаметр балки j
м4 Момент инерции Ra1 Н Реакция от единичной нагрузки Ra2 Н Момент реакции от единич. момента ∆(xx) м Прогиб балки (xx) Угол поворота сечения
4. Необходимыеисследования зависимостей в MathCad
Для исследованиязависимости диаметра балки от P3,необходимо, каждый раз в новом окне MathCad, равномерно изменять значения силы P3 и соответственно полученные значения диаметра балки d.
Аналогично находимзависимости максимального прогиба балки от L4, для этого изменяем значения длины L4 и полученные при этом значения максимального прогиба балки.
Строим график зависимостисилы P3 от диаметра балки d, а также длины L4 от максимального прогиба балки.
/>/>
где:
— P3 – сила, действующая на балку;
— d – диаметр балки
/>
/>/>
где:
— L4 – длины участка;
— ∆(xmax) –максимальный прогиб балки
/>
5. Аппроксимация
Находим аппроксимирующуюфункцию для зависимостидиаметра балки от P3. Для этого нам необходимо определитьнабор функций с помощью которых будем аппроксимировать. Воспользуемся встроеннойфункцией linfit для определения вектора коэффициентов аппроксимирующей функции. Построить график.
Аналогично для зависимости максимальный прогиб балки от L4
Определяем набор функцийс помощью которых будем аппроксимировать
/>
Определяем векторкоэффициентов аппроксимирующей функции
/>
/>/>
/>
/>
где:
— P3 – сила, действующая на балку;
— d – диаметр балки
-F3(аа)–аппроксимирующая функция
-(аа) –ранжированная переменная
Определяем набор функцийс помощью которых будем аппроксимировать
/>
Определяем векторкоэффициентов аппроксимирующей функции
/>
/>/>
/>
/>м
где:
— L4 – длины участка;
— ∆(xmax) –максимальный прогиб балки
-F1(bb)–аппроксимирующаяфункция
-(bb) –ранжированная переменная
6. Вывод по проделаннымисследованиям
В результате проделанныхопытов в курсовой работе, была получена зависимость диаметра балки от силы P3, максимального прогиба балки отдлины L4.
Построен график, гдепоказано, что при увеличении силы P3 диаметр d балкиуменьшается пропорционально.
На графике зависимостиминимального прогиба балки ∆(xmax) от длинны L4 получили: научастке от 23 до 25 функция ведет себя логарифмически, на участке от 25 до 29функция ведет себя линейно, в дальнейшем функция убывает линейно.
Найдены аппроксимирующиефункции. Которые помогут нам найти аналитическую зависимость диаметра балки от P3 и максимального прогиба балки от L4.
Заключение
При разработке даннойкурсовой работы нам необходимо было изучить: математическоемоделирование, его свойства, основные понятия, классификация, алгоритмическийанализ задачи и описание исследования задачи в MathCAD.
Я научился работать спакетом MathCAD, её приложениями и компонентами.Система MathCAD является популярной программой, гдеможно строить графики, решать сложные дифференциальные, линейные и интегральныеуравнения. Таким образом, работа в среде MathCAD даёт значительное повышение точности в расчётах,облегчает процесс программирования при вычислении функций и даёт возможностьсоздания различных документов.
Список литературы
1)Макаров Инженерные расчеты в MathCAD(c.295)
2)Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов Москва1989г.
3)Винокуров Е.Ф., Балыкин М.К., Голубев И.А Справочник посопротивлению материалов –Мн.: Наука и техника,1988-464с.(с21-23).
4) ТокочаковВ. И. Практическое пособие по теме «Решение систем алгебраических идифференциальных уравнений в среде Mathcad для студентов всех специальностейдневного и заочного отделений. — Гомель: ГГТУ, 2000.
5) Яблонский А. А. Курс теоретической механики, ч.II.–М.,1966 г.
6)Тарасик В. П. Математическое моделирование технических систем:
Учебник для вузов. – Мн.: ДизайнПРО, 1997. – 640с.: ил..
7) Останина А.М. Применение математических методов и ВМ.Мн.:1985
Приложения 1
Постановказадачи.
/>
/>
Построениеэпюр поперечной силы Q
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Построениеэпюр поперечной силы М
/>
/>
Нахождениеэкстремальных значений изгибающего момента
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Определениеразмеров сечения балки
/>
Определениеперемещения балки
/>
Прогиб балки
/>
Нахождение экстремальныхзначений прогиба балки
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>/>/>
Необходимые исследованиязависимостей
/> /> /> />
/>
/>
Аппроксимация
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>