Пошукова робота на тему:
Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами. Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці. Поняття про різницеві методи. Модель ділового циклу Самуельсона-Хікса.
План
Лінійна однорідна система диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами
Лінійна неоднорідна система диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами
Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці
Модель природного випуску продукції
Ріст випуску продукції в умовах конкуренції
Динамічна модель Кейнса
Неокласична модель росту
Поняття про різницеві методи. Модель ділового циклу Самуельсона-Хікса
12.11. Лінійна однорідна система диференціальних
рівнянь першого порядку із сталими коефіцієнтами
Лінійна система диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами має такий вигляд:
/> (12.59)
Така система називається неоднорідною системою. Відповідна їй однорідна система лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами має вигляд
/> (12.60)
Для запису нормальної системи диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами зручно користуватися матричними позначеннями.
Позначимо />, />
/>.
Тоді
/>,
і система (12.59) в матричних позначеннях набуває форми
/> (12.61)
Відповідна їй однорідна система має вигляд
/> (12.62)
Користуючись методом виключення, переходимо від системи рівнянь першого порядку до одного диференціального рівняння вищого порядку. Виявляється, що лінійне рівняння />-го порядку завжди можна звести до системи рівнянь першого порядку. Нехай наприклад, диференціальне рівняння />-го порядку дано у вигляді
/>. (12.63)
Введемо такі позначення:
/>.
Тоді з рівняння (12.103) випливає, що
/>.
Рівняння (12.103) можна подати у вигляді
/>,
де />,/>, /> — матриця розміру /> виду
/>
Приклад . Записати диференціальне рівняння
/>
у вигляді системи.
Введемо позначення: />, />, />.
Тоді в силу умови маємо: />. Рівняння зводиться до системи вигляду
/>
/> Розглянемо однорідну систему диференціальних рівнянь (12.60), де коефіцієнти /> — сталі числа. Систему (12.60) можна звести до диференціального рівняння />-го порядку з сталими коефіцієнтами. Але це робити не обов’язково. Є загальний метод розв’язування системи (12.60), який дозволяє наочніше досліджувати її розв’язки .
Ейлер запропонував шукати розв’язок системи (12.60) у вигляді
/>/> (12.64)
де /> /> — поки що невідомі сталі. Підставляючи в систему (12.60) рівності (12.64) та їх похідні й скоротивши на />отримаємо
/> (12.65)
Зауважимо, що (12.65) — однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь відносно />
Головний визначник системи
/>.
З лінійної алгебри відомо, що у випадку, коли />, система (12.65) має лише єдиний тривіальний (тобто нульовий) розв’язок.
Нетривіальні (ненульові) розв’язки існують лише тоді, коли />.
Прирівняємо />до нуля :
/> (12.66)
Рівняння (12.66) називається характеристичним рівнянням системи (12.60), а його корені — коренями характеристичного рівняння.
Можливі такі випадки.
1. Корені характеристичного рівняння — дійсні й різні числа. Позначимо їх через />. Для кожного кореня />запишемо систему (12.65) і розв’яжемо її (можна довести, що одне з чисел /> можна вибрати довільним відмінним від нуля, а інші будуть через нього однозначно виражені).
Отже кореню />відповідають розв’язки
/> /> />--PAGE_BREAK--
кореню /> — розв’язки
/> />
кореню /> — розв’язки
/> />
Тоді загальний розв’язок системи рівнянь (12.60) записується як лінійна комбінація (за стовпчиками) знайдених розв’язків:
/>
/>
/>;
/>
За допомогою матричних позначень розв’язок системи подають у вигляді
/>=/>/>
або
/> (12.67)
де /> />
/>
/> називається фундаментальною матрицею системи (12.60).
Фундаментальна матриця /> задовольняє матричне рівняння />Це випливає із рівняння (12.62) та правил множення матриць.
Приклад 5. Розв’язати систему />
Р о з в ‘ я з о к. Складемо характеристичне рівняння (12.66)
/> або />
Розв’язки цього рівняння />Система (12.65) при />
/>
Друге рівняння цієї системи є наслідком першого. Покладемо, наприклад, />Тоді маємо />Тому/>/>
Система (12.65) у разі, коли />набуває вигляду
/>
Ця система зводиться до одного рівняння. Поклавши, наприклад, /> дістанемо /> Запишемо розв’язки, що відповідають другому кореню /> />
Тоді загальний розв’язок системи має вигляд
/> />
2. Корені характеристичного рівняння різні, але серед них є комплексні.
Нехай парі комплексних спряжених коренів /> /> відповідають розв’язки
/> />,…, /> />
та
/> /> />
причому коефіцієнти />та /> визначаються із системи рівнянь(12.65). Можна довести, що дійсні й уявні частини цих розв’язків також є розв’язками системи рівнянь. Записавши окремо дійсні й уявні частини даних виразів (в двох рядках), використовуємо їх для запису загального розв’язку системи аналогічно тому, як це було зроблено вище (складаємо лінійну комбінацію з коефіцієнтами/>/>по стовпчиках). Зауважимо, що вирази (/>) комплексно спряжені відносно функцій (/> ); їх можна не виписувати.
Приклад 6. Розв’язати систему рівнянь
/>
Р о з в ‘ я з о к. Складемо характеристичне рівняння
/>
або />Його корені />
При /> відносно />та /> отримаємо систему
/>
Один з її ненульових розв’язків
/> />
При /> розв’язок комплексно спряжений відносно знайденого.
Тому систему при />можна не розглядати. Знайдемо розв’язки вигляду (/>)
/> , />
Виконуємо елементарні перетворення:
/>
/>(формула Ейлера).
Дійсні частини розв’язків /> /> а уявні частини - /> />Отже, загальним розв’язком системи буде
/>
/> продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
3. Корінь /> характеристичного рівняння має кратність />.
Тоді:
а) якщо ранг системи (12.65) такий, що />то розв’язуємо цю систему й знаходимо /> лінійно незалежних розв’язків; кожному такому розв’язкові відповідає стрічка розв’язків вихідної системи, аналогічно тому, як це було зроблено в п.1;
б) якщо /> то функції /> />…., /> слід шукати у виглядів добутків виду /> де />многочлен з невизначеними коефіцієнтами, порядок якого дорівнює /> Щоб знайти ці коефіцієнти, розв’язки /> підставляють у вихідну систему. Зауважимо, що невизначені коефіцієнти будуть знаходитися з системи алгебраїчних рівнянь, у якій рівно /> змінних вільні, а інші змінні через них виражаються.
Приклад 7. Розв’язати систему рівнянь
/>
Р о з в ‘ я з о к. Як звичайно, функції /> та />шукаємо у вигляді: />/> />
Характеристичне рівняння системи
/> або />
Розклавши вираз зліва на множники, отримаємо />Отже, />простий корінь, а />кратний корінь , причому />
При /> система (12.65) матиме вигляд
/>
Ранг цієї системи дорівнює двом, а тому зведемо її до такої рівносильної системи />
Поклавши, знайдемо: /> />Отже, кореню /> відповідають розв’язки /> /> />
При /> (/>) ранг матриці системи (12.65) дорівнює одиниці:
/>
Отже, /> і /> (маємо випадок 3а). Система (12.65) зводиться до одного рівняння />або />(/>вільні змінні ).
Щоб знайти лінійно незалежні розв’язки, покладемо спочатку /> /> Тоді /> Далі покладемо /> /> Тоді /> Це дозволяє записати ще два рядки розв’язків:/>/> /> і /> /> />
Склавши лінійну комбінацію одержаних розв’язків ( за стовпчиками), отримаємо шуканий загальний розв’язок системи
/>
Зауваження.Аналогічно розв’язуються системи лінійних диференціальних рівнянь вищих порядків з постійними коефіцієнтами. Такі рівняння виникають, наприклад, при дослідженні коливань конструкції літака, в теорії електричних кіл, квантовій механіці тощо.
12.12. Лінійна неоднорідна система диференціальних
рівнянь із сталими коефіцієнтами
Лінійна неоднорідна система диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами в матричній формі має вигляд (12.61)
/>
де />причому /> неперервні на />функції, />, /> постійні числа.
Загальний розв’язок неоднорідної системи (12.61) дорівнює сумі загального розв’язку />однорідної системи (12.62) і частинного розв’язку /> неоднорідної системи
/> (12.68)
Доведення цього твердження аналогічне доведенню для лінійного диференціального рівняння /> — го порядку.
Метод знаходження загального розв’язку однорідної системи розглядався в п.12.11.
Нехай />загальний розв’язок системи (12.62). Тоді частинний розв’язок /> неоднорідної системи (12.61) будемо шукати за методом варіації довільних сталих
/> (12.69)
Диференціюючи рівність (12.118), одержимо
/>
Підставляємо даний вираз в рівняння (12.61)
/>
Але фундаментальна матриця задовольняє однорідне рівняння /> тому /> і ми одержимо рівняння
/>з якого знаходимо />
Інтегруючи останню рівність, будемо мати
/> (12.70) продолжение
--PAGE_BREAK--
Інтегрування матриці означає інтегрування кожного її елемента. Підставляючи знайдену матрицю-стовпець в (12.118), знайдемо /> а за формулою (12.117) і загальний розв’язок неоднорідної системи.
Приклад 8. Розв’язати систему
/>
Р о з в ‘ я з о к. Розглянемо однорідну систему
/> />легко перевірити, що її загальний розв’язок буде />
В матричній формі цей розв’язок виглядає так:
/>
де
/> Крім того, />
Знайдемо обернену до />матрицю:
/>
/>
/>
Тоді
/>
Інтегруючи одержану матрицю, знаходимо />
/>
Тоді за формулою (12.69) маємо
/>/>
Отже, частинний розв’язок має вигляд />
Загальний розв’язок системи можна записати у формі
/>
/>
12.13. Застосування теорії диференціальних рівнянь
в економіці
Розглянемо деякі приклади застосування теорії диференціальних рівнянь першого порядку в неперервних моделях економіки, де незалежною змінною є час />Такі моделі досить ефективні при дослідженні еволюції економічних систем на тривалих проміжках часу; вони є предметом дослідження економічної динаміки.
12.13.1. Модель природного росту випуску продукції
Нехай деяка продукція продається за фіксованою ціною /> Позначимо через /> кількість реалізованої продукції за час />тоді на цей момент часу одержаний дохід дорівнює /> Частина вказаного доходу витрачається на інвестиції у виробництво, тобто:
/> (12.71)
де />норма інвестиції (постійне число), причому />
Якщо виходити із припущення про не насиченість ринку (або про повну реалізацію випущеної продукції), то в результаті розширення виробництва буде отриманий приріст доходу, частина котрого знову буде використана для розширення випуску продукції. Це приведе до росту швидкості випуску (акселерації), причому швидкість випуску пропорційна збільшенню інвестицій, тобто
/> (12.72)
де />норма акселерації. Підставивши в (12.71) формулу (12.72). одержимо
/>/> (12.73)
Це диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Його загальний розв’язок /> а частинний розв’язок. Нехай в початковий момент часу /> заданий об’єм випуску продукції /> /> звідки />
Тоді одержимо частинний розв’язок, що задовольняє початкову умову,
/> (12.74)
12.13.2. Ріст випуску в умовах конкуренції
В цій моделі ми не будемо припускати, що ринок не насичується. Нехай />спадна функція, тобто із збільшенням об’єму продукції на ринку ціна на нього не падає (/>). Тепер із формул (12.71)-(12.73) одержимо нелінійне диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними
/> (12.75)
Оскільки всі члени в правій частині цього рівняння додатні, то /> тобто функція /> зростаюча. Характер зростання функції визначається за допомогою похідної другого порядку
/>
Цю рівність можна перетворити, ввівши еластичність попиту
/>звідки />або, оскільки />а, значить і /> одержимо
/> (12.76)
Із рівняння (12.76) випливає, що при еластичному попиті, тобто коли /> і графік функції /> має випуклість вниз, що означає прогресуючий ріст; при нееластичному попиті />напрям випуклості функції /> вверх, що означає сповільнений ріст (насичення).
Для простоти візьмемо залежність /> лінійну (рис.12.3), тобто
/>
Тоді рівняння (12.75) приймає вигляд
/> (12.77) продолжение
--PAGE_BREAK--
звідки
/> (12.78)
Із співвідношень (12.77) і (12.78) одержимо: /> і при /> при /> і /> при /> />точка перегину графіка функції /> Приведений на рис.12.4 графік цієї функції (однієї із інтегральних кривих диференціального рівняння (12.77) ) – це логістична крива .
/>
Рис. 12.3 Рис.12.4
Аналогічні криві характеризують і інші процеси, наприклад розмноження бактерій в органічному середовищі, динаміку епідемій всередині обмеженої спільності біологічних організмів тощо.
12.13.3. Динамічна модель Кейнса
Розглянемо найпростішу балансову модель, що включає в себе основні компоненти динаміки витратної та дохідної частин економіки. Нехай /> відповідно національний дохід, державні витрати, споживання і інвестиції. Всі ці величини розглядаються як функції часу />. Тоді справедливі такі співвідношення:
/> (12.79)
де />коефіцієнт нахилу до споживання (/>); />автономне (кінцеве) споживання; />норма акселерації. Всі функції, що входять в систему (12.79), додатні.
Будемо вважати, що функції /> і /> задані – вони є характеристиками функціонування і еволюції даної держави. Потрібно знайти динаміку національного доходу або /> як функцію часу />
Підставляючи вираз для /> із другого рівняння (12.79) і /> із третього рівняння в перше, одержимо лінійне диференціальне рівняння першого порядку
/>
Будемо вважати, що основні параметри задачі /> і /> постійні. Тоді рівняння стає лінійним диференціальним рівнянням з постійними коефіцієнтами
/> (12.80)
Загальний розв’язок дорівнює сумі загального розв’язку однорідного рівняння /> і якого-небудь частинного розв’язку />неоднорідного рівняння. В якості частинного розв’язку рівняння (12.133) візьмемо так званий рівноважний розв’язок, коли /> тобто
/> (12.81)
Неважко замітити, що ця величина додатна. Загальний розв’язок однорідного рівняння />так що загальний розв’язок рівняння (12.80) має вигляд
/> (12.82)
Інтегральні криві рівняння (12.80) показані на рис.12.5. Якщо в початковий момент часу /> то />і криві йдуть вниз від рівноважного розв’язку (12.81), тобто національний дохід з часом падає при заданих параметрах задачі />і /> оскільки показник в експоненти додатний. Якщо ж /> то />і національний дохід росте – інтегральні лінії йдуть вверх від рівноважного розв’язку />Для автономного диференціального рівняння (12.80) стаціонарна точка (12.81) є точкою нестійкої рівноваги.
12.13.4. Неокласична модель росту
Нехай />національний дохід, де />однорідна виробнича функція першого порядку, />об’єм капіталовкладень (виробничих фондів), />об’єм затрат праці. Якщо />величина фондоозброєності, то продуктивність праці виражається формулою
/> (12.83)
Будемо вважати, що виконуються наступні припущення:
1) має місце природний приріст в часі трудових ресурсів
/>
2) інвестиції витрачаються на збільшення виробничих фондів і на амортизацію, тобто
/>
де />норма амортизації.
Тоді, якщо />норма інвестицій, /> або
/>
/>
Рис.12.5 Рис.12.6
Із визначення фондоозброєності />випливає, що
/>
Диференціюючи дану рівність по /> і підставляючи вирази />і /> одержимо рівняння відносно невідомої функції /> продолжение
--PAGE_BREAK--
/> (12.84)
де /> визначається за формулою (12.83).
Стаціонарний розв’язок цього рівняння />має вигляд
/>
Розглянемо конкретну задачу: для виробничої функції /> знайти інтегральні криві рівняння (12.84) і стаціонарний розв’язок. Із (12.83) випливає, що />і тоді рівняння (12.84) має вигляд
/> (12.85)
Стаціонарний розв’язок цього рівняння випливає із рівності
/>
звідки ми отримаємо ненульовий частинний розв’язок рівняння (12.137): />
Відокремлюючи змінні в рівнянні (12.85), одержимо
/>
Інтегруючи це рівняння (заміною />), одержимо загальний розв’язок рівняння
/> (12.86)
Сімейство інтегральних кривих збігається зверху і знизу до стаціонарного розв’язку (рис.12.6): тобто при /> />Отже, при незмінних вхідних параметрах задачі /> і /> функція фондоозброєності стійко прямує до стаціонарного значення незалежно від початкових умов. />є точкою стійкої рівноваги.
12.13.5. Поняття про різницеві рівняння.
Модель ділового циклу Самуельсона-Хікса
Рівняння виду
/> (12.87)
де />фіксоване, а />довільне натуральне число, />члени деякої числової послідовності, називається різницевим рівнянням />го порядку.
Розв’язати різницеве рівняння означає знайти всі послідовності />що задовольняють рівняння (12.87). Різницеві рівняння часто використовуються в моделях економічної динаміки з дискретним часом, а також для наближеного розв’язку диференціальних рівнянь.
Означення. Різницеве рівняння виду
/> (12.88)
де />деякі функції від /> називається лінійним різницевим рівнянням />го порядку.
У випадку, коли коефіцієнти />є сталими, методи розв’язування такого класу рівнянь багато де в чому аналогічні
розв’язуванню лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. Проілюструємо це на прикладі різницевих рівнянь другого порядку:
/> (12.89)
Загальний розв’язок рівняння (12.89) визначається за формулою
/>
де />загальний розв’язок однорідного рівняння />а />деякий частинний розв’язок неоднорідного рівняння (12.89). Для знаходження загального розв’язку однорідного рівняння складаємо характеристичне рівняння
/>
1) Якщо корені характеристичного рівняння />/>дійсні і різні, то загальний розв’язок знаходиться за формулою
/>
2) Якщо корені дійсні і рівні />то
/>
2) У випадку комплексних спряжених коренів /> загальний розв’язок має вигляд
/>
Приклад. Розв’язати рівняння />
Р о з в ‘ я з о к. Корені характеристичного рівняння
/>
/>Тому загальний розв’язок однорідного рівняння
/>
Частинний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді />Підставляючи цей вираз в наше рівняння, одержимо
/>
Отже, /> і />
Таким чином, загальний розв’язок рівняння має вигляд:
/>
В якості прикладу, що ілюструє застосування різницевих рівнянь, розглянемо модель ділового циклу Самуельсона-Хікса (динамічний варіант моделі Кейнса). В цій моделі використовується так званий принцип акселерації, тобто припущення, що масштаби інвестування прямо пропорційні приросту національного доходу. Дане припущення характеризується рівнянням
/> (12.90)
де коефіцієнт />фактор акселерації, />величина інвестицій в період /> />величини національного доходу відповідно в />му і />му періодах. Припускаємо також, що споживання на цьому етапі залежить від величини національного доходу на попередньому етапі, тобто
/> (12.91)
Умова рівності попиту і пропозиції має вигляд:
/> (12.92)
Підставляючи в (12.92) вирази /> та />знаходимо
/> (12.93)
Рівняння (12.93) називається рівнянням Хікса. Воно представляє собою лінійне неоднорідне різницеве рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами (якщо припустити, що на протязі розглядуваних періодів величини /> і />постійні).
Зауваження. Якщо припустити, що
/> (12.94)
можна легко знайти частинний розв’язок (12.93). В силу (12.94) із (12.93) одержимо
/>
звідки
/> (12.95)
Вираз />в формулі (12.95) називається мультиплікатором Кейнса і є одновимірним аналогом матриці повних затрат.