Реферат по предмету "Математика"


Курс лекций по математике (1 семестр)

Линейная алгебра
 
Основные определения
 
Определение.Матрицей  размера m´n, где m — число строк, n — число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i — номер строки, а j — номер столбца.
А = /> 
 
Сложение и вычитаниематриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:
Определение.Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.
cij= aij±bij 
С = А + В = В + А.
 
Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к  умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.
/> 
 
a(А+В) =aА ±aВ
А(a±b) = aА ±bА
 
 
Пример.Даны матрицы А = />; B= />, найти 2А + В.
2А = />,                                 2А + В = />.
 
 
Операция умножения матриц
         
Определение:Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:
A×B= C;
/>.
          Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.
 
Свойства операции умножения матриц
 
1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.
Самым характерным примером может служить единичнаяматрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.
Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.А×Е = Е×А = А
          Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:
A×O= O;  O×A= O,
где О – нулевая матрица.
          2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:
(АВ)С=А(ВС).
          3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения  А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:А(В + С) = АВ + АС
(А + В)С = АС + ВС.
          4) Если произведение АВ определено, то для любого числа aверно соотношение:
a(AB) = (aA)B= A(aB).
 
          5) Если определено произведение АВ, то определено произведение ВТАТ и выполняется равенство:
(АВ)Т = ВТАТ, где
индексом Т обозначается транспонированная матрица.
          6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB.
          Пример. Найти произведение матриц А = /> и В = />.
АВ = />×/> = />.
ВА = />×/> = 2×1 + 4×4 + 1×3 = 2 + 16 + 3 = 21.
          Пример. Найти произведение матриц А=/>, В = />
АВ = />×/>= />= />.
 
Определители (детерминанты)
          Определение.Определителем квадратной матрицы А=/> называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы  по формуле:
detA= />,     где
М1к– детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k– го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.
Предыдущая формулапозволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:
det  A= /> 
          Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:
 
detA= />,     i= 1,2,…,n.
          Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.
Определитель единичной матрицы равен 1.
          Для указанной матрицы А число М1к называется дополнительным минором  элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.
          Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij  равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
         
          Пример. Вычислить определитель матрицы А = />
/>
= -5 + 18 + 6 = 19.
 
          Пример:. Даны матрицы А = />, В = />.  Найтиdet (AB).
1-й способ: det A = 4 – 6 = -2;      det B = 15 – 2 = 13;          
det (AB) = det A ×det B = -26.
 
2- й способ:  AB= />,      
det(AB) = 7×18 — 8×19 = 126 – 152  = -26.
 
Миноры
 
          Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено sстрок и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.
          Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным.
          Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором.
 
Алгебраические дополнения
 
          Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется  его дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы.
          В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его дополнительный минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.
          Теорема Лапласа. Если выбрано sстрок матрицы с номерами i1, … ,is, то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения.
 
Обратная матрица
 
Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.
          Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:
XA = AX = E,
где Е — единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1.
          Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.
          Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.
Исходя из определения произведения матриц, можно записать:
AX = E Þ/>, i=(1,n), j=(1,n),
eij = 0,                      i ¹j,
eij = 1,                       i = j .
Таким образом, получаем систему уравнений:
/>,
Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.
 
          Пример. Дана матрица А = />, найти А-1.
/>
 
/>              /> 
 
 
Таким образом, А-1=/>.
 
Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:
 
/>,
 
где Мji — дополнительный минорэлемента аji матрицы А.
 
          Пример. Дана матрица А = />, найти А-1.
det A = 4 — 6 = -2.
 
M11=4;       M12= 3;        M21= 2;        M22=1
   x11= -2;      x12= 1;       x21= 3/2;      x22= -1/2
 
Таким образом, А-1=/>.
 
Пример.  Дана матрица А = />, найти А3.
А2 = АА = />/> = />;            A3= />/>= />.
 
          Отметим, что матрицы /> и /> являются перестановочными.
 
 
          Пример.    Вычислить определитель />.
 
/> = -1/>
 
/> = -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.
 
/> = />= 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.
 
/>= /> = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.
Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.
 
Базисный минор матрицы
Ранг матрицы
 
Определение.  В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.
Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.
          В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.
          Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А.
           
          Пример.   Определить ранг матрицы.
 
/>~/>~/>,       />  RgA= 2.
 
            Пример: Определить ранг матрицы.
 
/>~/>~/>~/>,   /> Rg= 2.
Пример.Определить ранг матрицы.
 
/>~/>, />ÞRg= 2.
 
Матричный метод решения систем линейных уравнений
 
          Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.
          Метод удобен для решения систем невысокого порядка.
          Метод основан на применении свойств умножения матриц.
 
          Пусть дана система уравнений: 
/>
Составим матрицы:   A= />;             B= />;           X= />.
 
Систему уравнений можно записать:
A×X= B.
 
Сделаем следующее преобразование: A-1×A×X= A-1×B,
 
т.к.   А-1×А = Е, то  Е×Х = А-1×В
Х = А-1×В
          Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.
 
          Пример.Решить систему уравнений:
/> 
Х =


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Гео-информационные системы и эпидемии гриппа
Реферат Ценности и идеалы средневековой культуры Западной Европы
Реферат Іван Мазепа
Реферат Механизм формирования корпоративной культуры
Реферат Лабораторная диагностика инфекций, передаваемых половым путём
Реферат Курортна інфраструктура господарства Автономної республіки Крим
Реферат Солдат генерал дипломат КМ Деревянко
Реферат Роль подвижных игр в жизни школьника младшего возраста
Реферат Writing Technique Of Phyllis Wheatley Essay Research
Реферат Man S Search For Meaning Essay Research
Реферат MY Hopes And Fear Essay Research Paper
Реферат Marketing Initiative Essay Research Paper Marketing InitiativeMarketing
Реферат Анализ систем адресации
Реферат Методическое руководство по проведению занятия по русскому языку в рамках аудиовизуального курса для студентов-иностранцев с использованием видеозаписи мультфильма "Мороз Иванович".
Реферат Способность обвиняемого с психическим расстройством предстать перед судом. Американская модель