Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=4
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Аn+ Вn= Сn (1)
где n — целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:
Аn= Сn — Вn (2)
Пусть показатель степени n=4. Тогда уравнение (2) запишется следующим образом:
А4 = С4 -В4 (3)
Уравнение (3) запишем в следующем виде:
А4 = (С2) 2 — (В2)2 = (С2 -В2) ∙ (С2 +В2) (4)
Пусть: (С2 -В2) = N4 (5)
Уравнение (5) рассматриваем как параметрическое уравнение 4 — ой степени с параметром N и переменными B и С. Преобразуем уравнение (5):
N4 = (С -В) · (С +В) (6)
Для доказательства используем метод замены переменных. Обозначим:
C-B=M (7)
Из уравнения (7) имеем:
C=B+M (8)
Из уравнений (6), (7) и (8) имеем:
N4=M∙ (B+M+B) =M∙ (2B+M) = 2B∙M+M2 (9)
Из уравнения (9) имеем:
N4 — M2= 2B∙M (10)
Отсюда:
B =/> (11)
Из уравнений (8) и (11) имеем:
C= /> (12)
Из уравнений (11) и (12) следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа N4 на число M, т.е. число M должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа N4.
Из уравнений (11) и (12) также следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является также одинаковая четность чисел N и M: оба числа должны быть четными или оба нечетными.
Из уравнений (11) и (12) также следует:
С2 +В2= /> (13)
Обозначим:
С2 +В2 = K (14)
Пусть:
N=P∙S; M=S2
Тогда:
K = С2 +В2 = /> (15)
Из уравнений (4), (5) и (15) следует:
A4 = N4∙ K=N4· S4∙/> (16)
Отсюда следует:
A = N· S∙/> (17)
Очевидно, что:
/> — дробное число.
То есть:
С2 + В2 ≠ R4; A4 ≠ N4∙R4
Следовательно, в соответствии с формулой (17) число А — дробное число.
Другими словами, определенные по формулам (11) и (12) значения чисел B и С удовлетворяют только уравнению (5) и не удовлетворяют предполагаемому равенству:
С2 + В2 = R4
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах для показателя степени n=4.