Содержание
Глава 1.Введение в дифференциальную геометриюповерхностей. Основные понятия
1.1 Первая квадратичная форма поверхности
1.2 Внутренняя геометрия поверхности
1.3 Вторая квадратичная форма поверхности
1.4 Классификация точек регулярной поверхности
1.5 Средняя и гауссова кривизны поверхности
Глава 2. Понятие поверхности Каталана
2.1 Общие положения
2.2 Примеры поверхностей Каталана
2.3 Виды поверхностей Каталана
Глава 3. Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана
3.1 Первая и вторая квадратичные формы линейчатой поверхности
3.2 Первая и вторая квадратичные формы поверхности Каталана
3.3 О коноидах
Глава 4. Специальные поверхности Каталана (поверхности классаКА)
4.1 Вывод уравнения поверхности класса КА
4.2 Вывод уравнения поверхности класса КА по заданным кривыми нормальному вектору порождающей плоскости
Глава 5. Дифференциальная геометрия поверхностей класса КА
5.1 Первая и вторая квадратичные формы линейчатой поверхности
5.2 Первая квадратичная форма поверхности класса КА
5.3 Вторая квадратичная форма поверхности класса КА
Глава 6. О программе визуализации и анализа поверхностей
6.1 Общие положения и возможности программы
6.2 Примеры работы
Выводы
Список литературы
Глава 1. Введение вдифференциальную геометрию поверхностей.
Основные понятия
1.1 Перваяквадратичная форма поверхности
Пусть /> - гладкая поверхность, /> – ее векторноепараметрическое уравнение и />.
Определение 1.1.
Первой квадратичнойформой на поверхности /> называется выражение
/> (1)
Распишем это выражениеподробнее.
/>,
/>
Откуда /> (2)
Выражение (2) в каждойточке поверхности /> представляет собой квадратичнуюформу от дифференциалов /> и />. Первая квадратичная формаявляется знакоположительной, так как ее дискриминант
/> и />.
Для коэффициентов первойквадратичной формы часто используют следующие обозначения (и мы в своихисследованиях будем придерживаться именно их) ([1].[2],[3]):
/>,
/>,
/>.
Так что выражение (2) дляформы /> можнопереписать в виде
/> (3)
Соответственно,
/>.
1.2 Внутренняягеометрия поверхности
Известно, что, знаяпервую квадратичную форму поверхности, можно вычислять длины дуг кривых наповерхности, углы между кривыми и площади областей на поверхности. В самомделе, если рассмотреть формулы, определяющие вышеуказанные величины, можнозаметить, что туда входят только лишь коэффициенты />, />, /> первой квадратичной формы.Поэтому если известная первая квадратичная форма поверхности, можно исследоватьгеометрию на поверхности, не обращаясь к ее уравнениям, а лишь используя еепервую квадратичную форму.
Совокупностьгеометрических фактов, относящихся к поверхности, которые можно получить припомощи ее первой квадратичной формы, составляет так называемую внутреннююгеометрию поверхности.
Поверхности, имеющиеодинаковые первые квадратичные формы и потому имеющие одинаковую внутреннююгеометрию, называются изометричными.
Рассмотрим простойпример.
Пусть задана поверхность
/>
Это цилиндрическаяповерхность с синусоидой в качестве направляющей.
/>
Имеем:
/>, />
Поэтому
/>,
/>,
/>
Следовательно,
/>.
Если сделать замену,вводя новые параметры /> и /> таким образом
/>,
/>.
Тогда первая квадратичнаяформа поверхности примет, очевидно, вид
/>.
Мы видим, что в новыхпеременных первая квадратичная форма рассматриваемой цилиндрической поверхностисовпадает с первой квадратичной формой плоскости /> и поэтому внутренняя геометрияэтой поверхности совпадает с внутренней геометрией плоскости. Т.е.синусоидальный цилиндр изометричен плоскости. Этот важный факт мы еще получимнесколько другим способом.
Чисто геометрически этосвойство понятно: синусоидальный цилиндр получается изгибанием (т.е.деформацией без сжатий и растяжений) обычной плоскости. При такой деформациивнутренняя геометрия не изменяется.
Более того, можнопоказать, что если одна поверхность получается из другой путем изгибания, товнутренние геометрии этих поверхностей совпадают.
1.3 Втораяквадратичная форма поверхности
1.3.1. Определениевторой квадратичной формы.
Основным объектомрассмотрения в этой части изложения станет /> - регулярная поверхность />, заданнаясвоим радиус-вектором.
/>, />
В каждой точке такойповерхности помимо единичного вектора нормали
/> (1)
Определен и второйдифференциал радиус вектора
/> (2)
Определение 1.2.
Второй квадратичнойформой поверхности /> называется скалярное произведениевекторов /> и/>.
/> ([1],[3],[4],[5]) (3)
Нетрудно заметить, что вкаждой точке поверхности /> квадратичная форма (3) являетсяквадратичной формой относительно дифференциалов /> и />.
Для коэффициентов второйквадратичной формы приняты (и мы также в дальнейшем будем пользоваться этим)следующие обозначения
/> (4)
Это позволяет записать еев следующем простом виде
/> (5)
Покажем еще один способвычисления коэффициентов второй квадратичной формы поверхности.
Заменим в формулах (4)единичный вектор нормали /> на его выражение (1), получим,
/> (6)
Для подробного выводанужно знать тождество:
/>.
Продолжим рассуждения.
Так как векторы /> и /> ортогональны (первый,разумеется лежит в касательной плоскости к поверхности, а второй лежит вплоскости нормального сечения).
Поэтому
/>.
Откуда
/>
Отсюда, дифференцируя,получим:
/> (7)
Это дает еще один способрасчета второй квадратичной формы.
/>([5],[6]) (8)
Отсюда же можно получитьновые формулы для вычисления коэффициентов второй квадратичной формы. Впрочем,удобнее продифференцировать по /> и по /> очевидные равенства
/> и />.
Воспользовавшисьсоотношениями (4), получаем, что
/> (9)
Вторая квадратичная формаэффективна при выяснении графических свойств регулярной поверхности.
1.4 Классификацияточек регулярной поверхности
Пусть /> – регулярнаяповерхность и /> – ее параметрическое задание.
Выберем на поверхности /> некоторуюточку /> ирассмотрим плоскость />, которая касается поверхности /> в этой точке.
Отклонение произвольнойточки /> поверхности/> отплоскости /> определимпо формуле
/> (1)
В этой формуле /> – единичныйвектор нормали к поверхности в точке />. Это отклонение, взятое поабсолютной величине, равно расстоянию от точки /> до плоскости />. Отклонениеположительно, если точка /> и конец вектора /> лежат по одну сторонуот касательной плоскости, соответственно, оно отрицательно, если они лежат поразные стороны от касательной плоскости в точке />.
Рассмотрим формулу (1).
Разность /> допускает следующуюинтерпретацию
/> (2)
Где
/>, при />.
Умножим обе частиравенства (2) скалярно на вектор /> и положив
/>, />.
Получим, что
/> (3)
Разумеется, вдумчивый(или хотя бы немного читающий эти выкладки) читатель поймет, что коэффициенты
/>,
/>,
/>
указанные в формуле (3)вычислены в точке />, в окрестности которой мы ирассматриваем исходную поверхность />.
Из курса линейной алгебрыизвестно, что свойства квадратичной формы во многом определяются еедискриминантом. А скорее даже знаком квадратичной формы.
Вычислим дискриминантвторой квадратичной формы в точке />.
/>
Рассмотрим все возможныеслучаи.([7],[8],[9],[10],[11])
Случай 1.
/>
Т.е. вторая квадратичнаяформа поверхности в заданной точке является знакоопределенной.
Зафиксируем в точке /> некотороенаправление на поверхности. Пускай />.
Тогда любое другоенаправление на поверхности в точке /> можно задавать при помощи угла />, который онообразует с уже выбранным направлением.
Положим
/>, />
Тогда
/> (4)
Нетрудно показать, что
/>,
где постоянная
/>
а в силу условия
/> положительна.
Таким образом неравенство
/>
выполняется независимо отвыбора угла />.
Так как порядокстремления к нулю при /> второго слагаемого /> в правой части формулы(3) выше двух, то из последней оценки можно сделать следующий вывод.
Отклонение /> сохраняет знак(совпадающий со знаком второй квадратичной формы />) для всех достаточно малыхзначений />независимоот выбора направления на поверхности.
Это означает, что всеточки поверхности />, достаточно близкие к точке />, располагаютсяпо одну сторону от касательной плоскости поверхности />в этой точке. Такая точкаповерхности называется эллиптической точкой.
Например, все точки сфер– эллиптические.([6],[8])
/>
Случай 2.
/>.
Вторая квадратичная формаявляется знакопеременной.
Покажем, что в этомслучае, в точке /> можно указать два неколлинеарныхнаправления на поверхности, обладающие следующими свойствами:
— для значенийдифференциалов, определяющих эти направления, вторая квадратичная формаповерхности, вычисленная в точке />, обращается в нуль,
— все остальныенаправления на поверхности в точке /> разбиваются на два класса – длядифференциалов, определяющих направления одного из этих классов, втораяквадратичная форма положительна и для другого отрицательна.
Пусть некотороенаправление /> положительногокласса задается углом />. В соответствии с формулой (4)имеем
/>, ([1],[4],[11])
где />
Как видно из формулы (3),знак отклонения /> для всех достаточно малыхзначений /> врассматриваемом направлении /> совпадает со знаком второйквадратичной формы />. Следовательно, если точка /> поверхности /> достаточноблизка к точке />, то это отклонение положительно.
Рассуждая аналогично,можно указать точки на поверхности, близкие к точке />, для которых отклонение /> будетотрицательным.
Приведенные рассужденияпоказывают, что вблизи точки /> поверхность /> располагается по разныестороны от касательной плоскости. При этом проекции точек поверхности,отклонения которых расположены на касательный плоскости заполняются множество«между» этими направлениями…
В этом случае точканазывается гиперболической точкой поверхности.
/>
Случай 3.
/>.
Но отличен от нуля хотябы один из коэффициентов, />, />.
Пусть для определенности />. Тогда втораяквадратичная форма поверхности /> в точке /> может быть записана в следующемвиде
/>
Тем самым в зависимостиот знака /> форма/> либонеотрицательна, либо неположительна. При этом на поверхности /> в точке /> можно указатьнаправление />, такое, что определяющие егодифференциалы /> и /> обращают вторую квадратичнуюформу /> внуль.
Для всех другихнаправлений на поверхности в точке /> форма имеет один и тот же знак(совпадающий со знаком />)
/>
В этом случае точка /> называетсяпараболической точкой поверхности />.
Случай 4. ([1],[11],[12])
/>
Такая точка /> называетсяточкой уплощения поверхности. Расположение поверхности, близ таких точек можетбыть самым разнообразным.
Например, все точкиплоскости являются точками уплощения.
1.5 Средняя и гауссовакривизны поверхности
Нам осталось рассмотретьеще немного понятий, прежде чем приступить к исследованиям. Рассмотрим наповерхности /> произвольную/> - регулярнуюкривую, проходящую через точку /> в направлении />.
Пусть
/>
— естественнаяпараметризация кривой. Вычислим в точке /> три вектора
— единичный векторкасательной к кривой
/>,
— единичный векторнормали к поверхности
— и вектор
/>
Эта тройка векторовлинейно независима. Это позволяет представить вектор
/>
в виде линейнойкомбинации
/>
Так как />, то
/>.
Коэффициенты /> и /> имеютспециальные названия.
/> – нормальная кривизна кривой
/> – геодезическая кривизна кривой.
Примем без доказательстваследующую формулу для вычисления нормальной кривизны поверхности в заданномнаправлении
/> (1)
Как видно из этой формулынормальная кривизна поверхности в данной точке зависит от направления наповерхности.
Определение 1.3.
Направление наповерхности называется главным, если нормальная кривизна в этом направлении достигаетэкстремального значения.
Покажем, что в каждойточке />-регулярнойповерхности найдется не мене двух различных главных направлений.
Пусть /> – произвольноенаправление в точке /> на поверхности />. Тогда
/> (2)
(2) – дифференцируемаяфункция переменных /> и />. Отметим, что функции коэффициентоввторой и первой квадратичных форм определяются только выбором точки /> и отпеременных /> и/> независят.
Полагая
/>,
/>
получим, что
/>
/>
Так как функция
/> непрерывна и />, то на отрезке /> она либопостоянна, либо имеет хотя бы один максимум. Это и означает, что в каждой точке/> - регулярнойповерхности есть два различных главных направления.
Определение 1.4.
Экстремальные значениянормальных кривизн в главных направлениях называются главными кривизнамиповерхности в данной точке.
Укажем способ вычисленияглавных кривизн в данной точке регулярной поверхности.
Из формулы (2) вытекаеттождество относительно переменных /> и />
/> (3)
Продифференцируем этотождество по />. Учитывая, что производнаянормальной кривизны в главном направлении обращается в нуль, получим дляглавного направления />
/> (4)
/> (5)
Здесь /> – главная кривизна внаправлении />.
Рассматривая полученныесоотношения (4) и (5) как систему линейных алгебраических уравненийотносительно неизвестных /> и />, получим, что эта система всегдаимеет ненулевое решение, так как в данной точке регулярной поверхности всегдаесть главные направления.
Из этого вытекает, что
/>
Вычисляя определитель, мыполучим квадратное уравнение для искомой функции /> (внимание… мы его будем использоватьпри некоторых выкладках далее).
/> (6)
Возможны два случая.
Случай 1.
Квадратное уравнениеимеет два различных корня /> и />.
Этим корням наповерхности соответствует два различных главных направления.
Случай 2.
Уравнение (6) имеет одинкорень кратности 2 />.
Это могут быть толькоточки уплощения /> или омбилические точки (точкиокругления) (/>).
Определение 1.5.
Средней кривизной /> поверхности вданной точке называется полусумма ее главных кривизн в этой точке.
/> (7)
Определение 1.6.
Гауссовой кривизной /> поверхностиназывается произведение ее главных кривизн.
/> (8)
В виду уравнения (6)можно показать, что
/> (9)
/> (10)
Этих основных понятий нампока хватит для рассмотрения специального класса поверхностей.
Глава 2. Понятие поверхностиКаталана
2.1 Общие положения
Определение 2.1.
Поверхность Каталана – линейчатая поверхность,прямолинейные образующие которой параллельны одной и той же плоскости.
Определение 2.2.
Плоскость, которойпараллельны образующие поверхности Каталана, называется плоскостьюпараллелизма.
Определение 2.3.
Поверхность Каталана, всеобразующие которой пересекают одну прямую, называется Коноидом.
Замечание 2.1.
Обычно предполагают, чтоуравнение поверхность Каталана:
/>, причем />.
Мы, однако, не будемучитывать это условие, а ограничимся указанным выше определением. И те, идругие поверхности мы будем для краткости называть поверхностями Каталана.
Замечание 2.2.
Из определенияповерхности Каталана следует, что, если ее уравнение:
/>, то />.
Это очевидно, так как всетри вектора (вычисленные при одном и том же значении параметра), участвующие всмешанном произведении лежат в одной плоскости, – плоскости параллелизма, т.е.они компланарны.
Для обратного утверждениясправедлива теорема.
Теорема 2.1.
Достаточное условие того,что данная линейчатая поверхность является поверхностью Каталана.
Пусть задана линейчатаяповерхность
/>,
причем вектор-функция /> триждынепрерывно дифференцируема (здесь и далее мы говорим о каком-либо простом кускеповерхности, которому отвечают некоторые промежутки параметров). Тогда если />и /> неколлинеарен /> ни в однойточке то данная поверхность является поверхностью Каталана.
Доказательство.
Рассмотрим два случая:когда кривая, описываемая вектором /> – плоская и когда она неплоская.
1) Предположим, чтокривая /> – плоская.Тогда равенство /> просто следует из этого факта.Очевидно, что все тройки векторов (при любом значении параметра) лежат вплоскости кривой />. Поэтому и все образующие лежат вэтой плоскости, значит и поверхность является по определению поверхностьюКаталана.
2) Предположим, чтокривая /> – неплоская.По условию теоремы />. Продифференцируем это равенствоодин раз по параметру:
/>
/>.
Если /> коллинеарен вектору /> в некоторойточке. Тогда
/>
/>
/>
Значит /> коллинеарен />, а значит, /> коллинеарен и />, а мыпредположили противное, значит, этот случай невозможен, т.е. /> неколлинеарен вектору />.
Посмотрим на картинку:
/>
Так как />, то все эти три векторалежат в одной плоскости – плоскости />. А в силу того, что />, эти векторытоже лежат в одной плоскости – плоскости /> (в первом случае плоскость обозначенадвумя дугами, во втором, одной дугой). Так как векторы /> и /> неколлинеарны, то они в обоихслучаях определяют плоскость, т.е. плоскости /> и /> – совпадают, а значит, все четыревектора: />, />, />, /> лежат в однойплоскости, а значит: />.
Напомним, что если данакривая />.То кручение кривой в точке /> вычисляется по формуле:
/> (*)
Т.к. /> – то кривая /> – плоская, аэто противоречит предположению пункта два. Т.е. рассматриваемая ситуацияневозможна.
Таким образом, кривая /> (в условияхтеоремы) может быть только плоской кривой и при этом поверхность являетсяповерхностью Каталана ч.т.д.
Замечание 2.3. Если в теореме убрать предположениео тройной непрерывной дифференцируемости вектор-функции />. То можно построитьпример поверхности, такой что />, но при этом поверхность неявляется поверхностью Каталана.
Красивый пример можнополучить следующим образом.
Нам хочется, чтобыфункция /> «развернула»плоскость прямых или разворачивала ее постоянно. Как следует из теоремы,соответствующую функцию следует искать среди функций, 3-яя производная которыхтерпит в какой-либо точке разрыв.
Например, можно задатьсяследующим уравнением: />.
Здесь /> – функция Хэвисайда.
Проинтегрируем этоуравнение.
/>
/>
/>
/>.
Теперь уже гораздо прощеподобрать необходимый пример.
Итак, рассмотримповерхность.
/>
Проверим, что в каждойточке выполняется равенство: />.
/>
/>
/>
Замечание 4. Строго говоря, мы тут допустилинеточность. А именно: />. Т.е. производная тета-функции Хэвисайда– дельта-функция Дирака. Поэтому,
/>.
Однако, простоегеометрическое рассуждение может убедить нас, что вторым слагаем можнопренебречь. Действительно, посмотрим на график функции:
/>
Очевидно, что в нуленаклон касательной к графику функции равен нулю, а функция /> равна нулю всюду,кроме, быть может, нуля, следовательно, вклад в значение производной этафункция не вносит. Таким образом, Наше выражение для производной вполне корректно.
/>.
Проверим условиеколлинеарности векторов /> и />.
/>
Как мы видим, ониколлинеарны в каждой точке.
Теперь нам надо отыскатьтри прямые, которые вместе не лежат в параллельных плоскостях.
Для этого найдем тризначения направляющего вектора этих прямых.
/>,
/>,
/>
Если эти три векторанекомпланарны, то отвечающие им прямые (для которых они являются направляющимивекторами) не лежат в параллельных плоскостях, т.е. являются искомыми.
/>.
Т.е. эти прямыедействительно не лежат в параллельных плоскостях.
Ниже на рисунке изображенпример такой поверхности. Мы отчетливо видим, как на этой поверхности есть прямы,соответствующие данным векторам.
/>
Более простой примерможно построить, убрав требование о том, что /> неколлинеарен />.
Найдем вектор, который вкаждой точке обладает свойством, обратным к данному.
Пусть /> коллинеарен вектору /> при каждомзначении параметра. Например:
/>
/>
Пусть />.
Решим уравнение,например, для координаты />.
/>
Сделаем замену: />.
/>
/>.
/>.
Подставим в />.
/>
/>
/>. Т.е. /> имеет вид:
/>
Вычислим производные дляпроверки.
/>,
/>.
Теперь видно, что вкаждой точке векторы /> и /> коллинеарные, поэтому смешанноепроизведение будет заведомо равно нулю (другого и быть не могло, собственно).
Теперь нам надо сделатьтак, чтобы нашлись 3 вектора /> не лежащие в одной плоскости (присоответствующих значениях параметра).
Т.е.
/>,
/>,
/>.
И при этом: />.
Поскольку сдвиг впространстве всех этих трех векторов не повлияет на равенство (или неравенство) нулю смешанного произведения, то достаточно рассматривать векторы:
/>,
/>,
/>.
А эти векторы, очевидно,лежат в одной плоскости. Так что добиться выполнения утверждения околлинеарности векторов /> и /> в каждой точке, при выполнении,которого поверхность не будет являться поверхностью Каталана – нельзя.
Значит, стоит подумать опримере, который обеспечивает выполнение этого условия в одной точке, вкоторой, разумеется, мы должны «повернуть» плоскость образующих линейчатойповерхности.
Рассмотрим вектор:
/>
Очевидно:
/>,
/>
/>
Очевидно, что /> в каждой точке(есть нулевой столбец). Также, за исключением точки, соответствующей параметру /> кручениевектора /> такжеравно нулю (/>).Причем, в каждой точке промежутка: /> /> неколлинеарен /> (т.е. мы имеем правопользоваться формулой (*) для расчета кручения кривой на указанном промежутке).
Действительно:
Если />: />, />.
/>
График ординаты имеетвид:
/>
И мы видим, что он нигдекроме 1 в нуль не обращается (это видно и непосредственно из аналитического выражения).
Если />: />, />.
/>
Аналогично – график наданном полуинтервале:
/>
Теперь мы уже поняли, что/> коллинеарен/>в точке />.Следовательно, вычислять кручение кривой в этой точке по формуле (*) нельзя.Как мы сейчас увидим, в результате – кривая /> не будет плоской.
Действительно, возьмемтри вектора:
/>,
/>,
/>.
Проверим, лежат ли они водной плоскости.
/>.
Действительно, онинекомпланарны, а следовательно, и соответствующие этим векторам прямые не лежатв одной плоскости, значит, поверхность не является поверхностью Каталана.
Теперь осталось написатьявно хороший пример такой поверхности.
Пусть
/>
Примерный вид такойповерхности изображен ниже на рисунке.
/>
2.2 Примерыповерхностей Каталана
поверхностькаталан линейчатый квадратичный
1. Очевидно, все цилиндрыявляются поверхностями Каталана.
Так как направляющийвектор образующих цилиндрической поверхности не зависит от параметра.
Например, – прямойкруговой цилиндр.
/>
2. Прямой архимедовгеликоид (является также и коноидом)
/>
2.3 Виды поверхностейКаталана
Напомним, что средилинейчатых поверхностей имеет место следующая классификация.
/>
Теорема 2.1
Поверхность Каталанаможет быть либо косой линейчатой поверхностью, либо цилиндрическойповерхностью, и не может быть конической поверхностью (имеется в видуневырожденный случай, т.е. когда все образующие конуса не лежат в однойплоскости).
Доказательство
Примеры цилиндрический икосой линейчатой поверхности мы уже видели. Осталось показать, что поверхностьКаталана не может быть ни конической поверхностью, ни поверхностью касательных.
1. Конус. Очевидно, что если имеет местоневырожденный случай (не все образующие лежат в одной плоскости), то этопротиворечит определению поверхности Каталана.
2. Поверхность касательных. Рассмотримпроизвольную поверхность касательных:
/>.
Т.е. />.
Так как очевидно, что двавектора /> и/> всегдалежат в одной плоскости, а все векторы (при различных значениях параметра) />, также лежат водной плоскости (так как это поверхность Каталана), тои все векторы /> также лежат вэтой плоскости. Поэтому поверхность касательных вырождается в плоскость.
Замечание 2.1.
Очевидно, не все косыелинейчатые поверхности являются поверхностями Каталана,
Например, Лист Мёбиуса иоднополостный гиперболоид – не являются (см. рис. ниже)
/> />
Глава 3. Дифференциальнаягеометрия поверхностей Каталана
Так как поверхности Каталанаявляются линейчатыми поверхностями, то чтобы выделить некоторые их особые,отличные от всех линейчатых поверхностей свойства, мы для начала рассчитаемнекоторые характеристики линейчатых поверхностей.
3.1 Первая и втораяквадратичные формы линейчатой
поверхности
Понятное дело, насинтересуют лишь коэффициенты, однозначно определяющие саму форму.
/>, />, />
/>,
/>,
/>,
/>
/>
/>(5)
/>. (6)
/>. (7)
Определитель длякраткости обозначим так (ибо непосредственное покоординатное вычисление не даетудобочитаемого результата).
/>.
/>, />, />.
1. Расчет />.
/>
/> (8)
2. Расчет M.
/>.
/>. (9)
3. Расчет N.
/>.
/> (10)
Итак, мы рассчиталикоэффициенты первой и второй квадратичных форм линейчатой поверхности. Сделаемнекоторые замечания.
Замечание 3.1.
Из формулы (9) очевидно,что необходимое и достаточное условие того, что данная линейчатая поверхностьявляется развертывающейся, может быть переписано в виде: />.
Замечание 3.2.
О различных точкахлинейчатой поверхности.
Вычислим дискриминантвторой квадратичной формы для линейчатой поверхности.
/>. (11)
В связи с этим, проведемклассификацию точек линейчатой поверхности.
1. Так как />, то на линейчатойповерхности нет эллиптических точек.
2. Пусть />, т.е. втораяквадратичная форма поверхности является знакопеременной. Таким образом, в точке/>, длякоторой это справедливо можно указать два неколлинеарных направления,обладающих следующими свойствами:
а) Для значенийдифференциалов, определяющих эти направления, вторая квадратичная форма,вычисленная в точке />, обращается в нуль.
б) все остальныенаправления на поверхности в точке /> разбиваются на два класса – длядифференциалов, определяющих направления одного из этих классов, втораяквадратичная форма положительна, а для другого отрицательна.
Другими словами вокрестности точки /> поверхность лежит по разныестороны от касательной плоскости в заданной точке.
Такие точки, какизвестно, называются гиперболическими.
В силу замечания 1,гиперболическими точками среди линейчатых поверхностей обладают только косыелинейчатые поверхности (например, все точки архимедова геликоида –гиперболические).
3. Пусть /> и />. Такие точки называютсяпараболическими.
Такими точками обладаютразвертывающиеся поверхности.
4. />. Такие точки называютточками уплощения поверхности.
Очевидно, что улинейчатых поверхностей могут быть точки уплощения.
Поверхность в окрестноститочки уплощения может выглядеть самым разным образом, вот один из примеров…
/>
3.2 Первая и втораяквадратичные формы поверхности Каталана
Итак, из формулы (5),(6), (7):
/>. (5)
/>. (6)
/>. (7)
Для поверхности Каталанамы имеем дополнительное условие />. Тут мы не получим никакихсущественных изменений.
Определитель
/>,
индекс /> говорит о том, что онвычислен для поверхности Каталана.
Расчет />.
/> (8)
Расчет M.
/>.
/>. (9)
Расчет N.
/>.
/> – средняя кривизна поверхности взаданной точке.
В нашем случае:
/>. (10)
/>. (11)
/>.
/>
Можно считать, что
/>
Тогда: />.
Аналогичная величина дляпроизвольной линейчатой поверхности имеет вид:
/>
Как мы видим, – последнееслагаемое обращается в нуль />.
Очевидно, что дляповерхности Каталана:
/>.
Подставим это выражениедля />, />,/>для поверхности Каталана.
Итак, пересчитаемкоэффициенты второй квадратичной формы для поверхности Каталана.
/> (12)
/> - без изменений
/> – без изменений.
Теперь средняя кривизна.
/> (13)
Попробуем найти всеминимальные поверхности Каталана.
/>
/>
/> (14)
Рассмотрим два случая.
1. ПоверхностьКаталана является развертывающейся поверхностью (т.е. цилиндром).
Тогда, очевидно: />, />.
Уравнение примет вид:
/>. (15)
Пусть />. Также, можно положить />. Тогдауравнение запишется в виде:
/> (16)
Предположим, что функция /> известная(ситуация абсолютно симметрична, как мы видим).
/>
Сделаем замену искомойфункции:
/>. Получим:
/>
Предположим, что />. Быть может заисключением какого-то множества точек, которое мы исключим из рассмотрения (таккак нас интересуют общие, регулярные свойства поверхности, то на общностьрассмотрения это не повлияет).
/>
/>.
Далее: />
/>.
Таким образом, всецилиндры вида:
/> (17)
являются минимальнымиповерхностями.
Заметим, что
/>, поэтому.
/>
Также может выполняться,если />,т.е. если />,то выполняется система:
/>
причем /> (нигде, кроме бытьможет, каких-то точек). Проинтегрируем, например первое уравнение.
/>
Сделаем замену искомойфункции: />.
Получим:
/>
/>.
/>
/>.
Откуда />.
В результате получаемболее приемлемое выражение, описывающее все минимальные цилиндры (с точностьюдо ориентации в пространстве).
Пусть для удобства записифункция
/>, тогда: />.
Итак, цилиндры, вида:
/>
являются минимальнымиповерхностями.
Однако, как легко видеть– это только плоскости…
Теорема 3.1. О минимальных цилиндрах.
Среди цилиндров толькоплоскости являются минимальными поверхностями.
Доказательство
Пусть дан цилиндр.
/>,
/>,
/>,
/>
/>,
/>
Тогда />,
/>
/>,
/>,
/>,
/>
Поэтому уравнение дляопределения главных кривизн
/>,
примет вид.
/>
/>, т.е.
/>
/>
Вспомним формулу длясредней кривизны, а именно:
/>
В нашем случае, этовозможно только если />. А это означает, чтоцилиндрическая поверхность сплошь состоит из точек уплощения. Т.е. являетсяплоскостью.
Вернемся к рассмотрениюуравнения (14)
/>
/>
Рассмотрим случай, когда /> (т.е.поверхность Каталана является косой линейчатой поверхностью).
Улучшений здесь не видно,особенно.
Рассмотрим одинспециальный случай: />.
Т.е. />, />.
Получим:
/>,
/>
Теорема 3.3. О минимальных поверхностях Каталана.
Если имеет месторазложение: /> для поверхности Каталана />, то онаявляется минимальной, если верно уравнение
/>
Рассмотрим примерминимальной поверхности Каталана.
/>.
Это прямой архимедовгеликоид. Т.е.
/>,
/>,
/>,
/>,
/>,
/>.
Имеет место разложение:
/>, т.е.
/>, />.
/>,
/>,
/>,
/>,
/>,
/>
/>, получим />.
Действительно, прямойархимедов геликоид – минимальная поверхность Каталана.
Еще раз напомним, как онвыглядит.
/>
3.3 О коноидах
Выведем условие, прикотором поверхность Каталана будет являться коноидом.
Т.е. задана поверхностьКаталана
/>.
Определим, когда естьпрямая, пересекающая все образующие данной поверхности.
Пусть есть кривая на этойповерхности:
/>
Причем она не совпадаетни с одной из образующих, т.е. />.
Уравнение этой кривой впространстве имеет вид:
/>
Если в каждой точке кривизнаравно нулю – то это связное множество точек, которое лежит на прямой.
/>.
/>.
Рассмотрим векторноепроизведение:
/>
Как мы видим, это неочень удобная запись. Попробуем использовать соотношение:
/>
/>
Сгруппируем члены привекторах.
/> (18)
Умножим это равенствовекторно на /> справа.
/>
/>
А теперь умножим скалярнона />.
/>
Так как мы рассматриваемповерхности Каталана, то />. В результате получим.
/> (19)
Дифференциальноеуравнение (19) дает необходимое условие того, чтобы поверхность Каталанаявлялась коноидом.
Рассмотрим специальныйпростой случай, а именно, когда поверхность Каталана является цилиндром (/>) в этом случаеуравнение (19) примет вид: />. Т.е. вырождается. Это и понятно,поскольку мы делали неравносильные преобразования уравнения, а выводилиследствия путем соответствующих преобразований.
И действительно:
Если имеется равенство: />, очевидно, чтоесли его справа или слева умножить векторно на какой-то вектор, то оносохраниться. Например:
/>.
Однако из этой записивышеуказанное равенство не следует. Ибо если />, то это тождество… Аналогично соскалярным произведением… А если /> то />, а мы как раз умножали скалярнона />.Отсюда и вырождение уравнения…
Очевидно, мы пока неполучили достаточно удовлетворительного уравнения для характеризации коноидовсреди линейчатых поверхностей. Воспользуемся тем фактом, что для прямой верно,что />, иобратно, если для кривой этой выполняется, – то она прямая. Это справедливо всилу того, что параметрическое уравнение прямой:
/>, />.
Итак /> (20)
Рассмотрим снова дваслучая.
1. />. Т.е. поверхностьКаталана является цилиндром. В таком случае:
/> (21)
Т.е. если уравнение (21)в указанных в начале продолжениях имеет решение, то оно определяетпараметрическое уравнение прямой, через которую проходят все образующиецилиндра.
Умножим уравнение справана /> векторно.
/>.
Откуда очевидно, что:
/> (22)
Рассмотрим уравнение (22)для какой-нибудь одной координаты. Пусть
/>, />.
/>
/>
/>.
Другими словами:
/>.
Возвращаясь к уравнению /> и имея в виду:/>, получим,что />, азначит, />.
Т.е. всякий цилиндрявляется коноидом, если существует такая функция />, что
/>,
при этом, общая прямая,через которую проходят все образующие цилиндра имеет вид:
/>
Естественно – это целоесемейство прямых.
Попробуем сразувоспользоваться найденным приемом для уравнения (21).
/>
Это можно переписать так:
/>,
/>
/> (23)
Откуда также можносделать вывод, что /> – иначе равенство невозможно. Также,очевидно, что и />. Другими словами существует такаязамена переменного параметра />, что выполнится указанное вышесоотношение.
Если проанализировать эторавенство для одной из координат:
/>.
Тогда, если существуетобратная функция />, то:
/>.
Проверим наши выкладки напримере.
Рассмотрим два цилиндра:
1) />
/>
Проверим, является лиэтот цилиндр коноидом:
/>.
Допустим, что локальноможно положить:
/>
С другой стороны,
/>.
Естественно, выполнениеэтих двух условий в системе возможно только в каких-то определенных точках, чтонас не устраивает. Очевидно, это не коноид. Результат тем более очевиден, чтоесли />, толини /> – этосинусоиды, а не прямые.
2) />.
Очевидно:
/>,
остальные равенствавыполняются при равенстве нулю коэффициентов линейной функции.
Очевидно, чтокоэффициенты в данном случае влияют лишь на динамику обхода линий />.
Данная поверхностьКаталана является коноидом.
Итак, данный цилиндр,является коноидом, тогда и только тогда, когда существует такая заменапеременного />,что
/>. (24)
При этом найдется целоесемейство прямых, каждый член которого не совпадет ни с одной образующей икоторый все образующие пересекают.
Из (24) легко понять, чтоесли такая замена существует, то поверхность является просто плоскостью.Другими словами, справедлива теорема.
Теорема 3.2.О кониодных цилиндрах.
Среди всех цилиндровтолько плоскость является коноидом.
Вернемся к рассмотрениюобщего случая соотношения (20). Напомним.
/>
Перепишем это уравнение вследующем виде:
/>
/>
/>
Константу можно «убрать»в функцию />.
/>.
Рассмотрения возможныхслучаев, когда данное уравнение имеет невырожденное решение мы оставим заграницами нашего рассмотрения.
Глава 4. Специальныеповерхности Каталана (поверхности
класса КА)
Рассмотрим двепространственные кривые:
/> (1)
и />, (2)
плоскость /> с нормальным вектором />. Причем будемполагать, что для любых /> плоскость с нормальных вектором />, проходящаячерез точку /> пересекает кривую /> ровно в одной точке.Это условие мы будем для краткости называть условием согласованности кривыхотносительно плоскости />. Соответственно, две таких кривыхмы будем называть согласованными относительно плоскости />.
Определение 4.1.
Пусть кривые (1) и (2)согласованны относительно плоскости />. Тогда множество прямых,опирающихся на эти кривые и параллельных плоскости /> называется поверхность класса КА.Плоскость /> вданном случае называется плоскостью параллелизма.
Эту поверхность можносебе представить следующим образом. Пусть в пространстве расположены двекривые, согласованные относительно некоторой плоскости />. Пусть плоскость сначала проходитчерез точку />первойкривой и точку /> второй кривой. Прямая /> принадлежитмножеству, описываемому в определении 2. Двигаясь параллельно самой себе,плоскость будет пересекать новые пары точек, лежащих на заданных кривых – онитакже будут принадлежать формируемой таким образом поверхности. Можно сказать,что плоскость «отстраивает» поверхность, проходя через данные кривые.
Первым нашим шагов визучении данного вида поверхностей будет вывод уравнения данной поверхности.
4.1 Вывод уравнения поверхностикласса КА
Итак, пусть задано двекривые и вектор (нормальный вектор порождающей плоскости).
Выберем систему координаттак, чтобы ось />совпадала по направлению сзаданным вектором.
Имеем:
/> – первая кривая.
/> – вторая кривая.
/>,
/>,
/>.
Дополнительно требуем,чтобы первая и вторая кривые были согласованны относительно плоскости />.
Возьмем точку />, лежащую на оси/>.Плоскость, проходящая через данную точку и имеющая нормальный вектор />, согласноусловию согласованности пересекает каждую из кривых ровно в одной точке.
Кривую I в точке />.
Кривую II в точке />.
Становиться очевидным,что в качестве параметра кривых удобно выбрать />. При переходе к параметру /> (Это можносделать ввиду условия согласованности), уравнения кривых приобретают вид:
/> – первая кривая,
/> – вторая кривая.
Тогда при выбранной точке/> порождающаяплоскость пересечет первую кривую в точке />, а вторую кривую в точке />.
Таким образом,направляющий вектор прямой, порожденной данной плоскостью и лежащей наповерхности есть вектор
/>.
Тогда легко понять, чтовся поверхность описывается уравнением:
/> (3)
Так как разность /> – сновафункция параметра />, то иногда будет удобно использоватьследующую запись уравнения:
/> (3*)
Уравнение (3) будемназывать уравнением поверхности класса КА в параметрической форме. Еще раззаметим, что уравнения (3) и (3*) взаимозаменяемы при рассмотрении общегослучая.
4.2 Вывод уравненияповерхности класса КА по заданным кривым
и нормальному векторупорождающей плоскости
Выше, мы вывели уравнениеквазицилиндрической поверхности в каноническом виде, предполагая, чтонормальный вектор порождающей плоскости направлен по оси />.
Однако, интересно бы былополучить параметрическое (или общее уравнение) такой поверхности без такогодопущения (т.е. в случае, когда вектор нормали порождающей плоскости направленпроизвольно).
Для этого мывоспользуемся простым соображением. Чтобы воспользоваться каноническимуравнением поверхности в форме (3) нам надо повернуть поверхность так, чтобынормальный вектор порождающей плоскости стал сонаправлен направляющему векторуоси />.
/>
Нам достаточно вывестиматрицу такого поворота. Для этого поворот будем осуществлять в два этапа:
1. Поворот относительно оси />, так, чтобыпроекция вектора /> на плоскость />оказалась бы в плоскости/>.
2. Поворот вокруг нового положения оси /> (послеоперации 1) до совпадения нового положения оси />с самим вектором />.
Рассмотрим плоскость />.
/>
Очевидно:
/>.
Т.е. нам надо повернутьповерхность на угол /> относительно оси />. Однако, тут есть дваважных момента:
1) Если мы будем вращатьв положительном направлении, то угол следует брать со знаком +, если вотрицательном, – со знаком минус. Таким образом, выражение для угла поворотаотносительно оси /> примет вид:
/>.
2) Полученное в п. 1выражение для угла поворота также не является точным, поскольку в случае /> становитьсянекорректным.
Очевидно, в этом случаемвектор лежит на оси /> и вращать относительно ее поверхностьне требуется. Решить проблему можно так: вместо /> подставить функцию:
/>.
Такую функцию легкозаписать аналитически:
/>
Итак, мы получимвыражение для угла поворота относительно оси />:
/> (4)
После первого поворота,нам надо осуществить второй – относительно оси /> (эта ось направлена «вглубь»рисунка.
/>
Откуда очевидно:
/>.
Этот поворот нам придетсяделать либо в положительном, либо в отрицательном направлении, поэтому формуладля второго угла поворота примет вид:
/>.
Тут важно отметить, чтопервым поворотом мы всегда придем к картине, когда угол между направляющимвектором оси /> и вектором /> (нового его положения)всегда будет лежать на отрезке /> (это происходит из-за правильноговыбора знака угла первого поворота).
Осталось отметить одиннеприятный частный случай, а именно, когда вектор />лежит на оси />. В этом случае />, а значит />, что неверно,когда вектор направлен в отрицательном направлении оси /> (в этом случае, нам требуетсяосуществить поворот на угол /> или />). Пользуясь приемом, примененнымв пункте 1 мы уточним нашу формулу:
/> (5)
Дополнительных уточнений,тут, вероятно, уже не нужно.
Как известно, матрицаповорота относительно оси />имеет вид:
/>.
Относительно оси />(в нашемслучае, – нового ее положения):
/>.
Суммарно поворотописывается произведением этих матриц:
/>
Подставлять значенияуглов в эту матрицу, – сущее безумие, поэтому просто поймем, как будутвыглядеть уравнения для направляющих кривых квазилинейчатой поверхности притаком повороте.
Пусть
/> – первая кривая, /> – вторая кривая доописанного поворота. Очевидно, после поворота они преобразуются так:
/>
/>
Для первой и второйкривой соответственно. Т.е.
/>,
/>
Запишем теперьканоническое уравнение в поверхности в параметрической форме.
/>
Итак, если заданы двекривые />, />,согласованные относительно плоскости с нормальным вектором />, то параметрическоеуравнение соответствующей поверхности определяется следующими соотношениями (6)и (7)
/> (6)
где
/> (7)
Это кажущаяся сложность.В дальнейшем, для изучения внутренней геометрии поверхности мы будемпользоваться, как правило, каноническим ее заданием.
Мы можем рассмотретьдругой подход к параметризации поверхностей класса КА.
А именно.
Теорема 4.1.Всякая поверхность класса КА является поверхностьюКаталана. Обратное неверно: есть поверхности Каталана, не являющиеся поверхностямикласса КА.
Доказательство
Первое утверждениетеоремы – очевидно, в силу определения поверхности класса КА.
Для доказательствавторого – достаточно привести пример.
Таким примером можетслужить прямой круговой цилиндр – плоскость параллелизма будет пересекатькаждую из этих кривых, за исключением двух точек ровно по двум точкам.
Замечание 4.1.
Следует отметить, чтоповерхность Каталана всегда можно разбить на куски, каждый из которых будетпредставлять из себя поверхность класса КА.
Теорема 4.2. Поверхность класса КА являетсяцилиндрической, тогда и только тогда, когда разности между радиус-вектораминаправляющих кривых при согласованных значениях параметров для каждой из нихявляются коллинеарными векторами.
Глава 5. Дифференциальнаягеометрия поверхностей класса КА
Определим основныехарактеристики поверхностей класса КА. Нам будет интересно, в частности,рассматривать различные понятия и свойства этих поверхностей в разрезенаправляющих кривых, так, что мы будем использовать (3) форму записи уравнения поверхности.
Сделаем предварительноезамечание относительно обозначений. Для удобства записи и наглядности индексы,обозначающие принадлежность координатных функций к первой или ко второй кривойбудут указывать в слева вверху относительно символа, в отличие от предыдущихглав.
Так как поверхностикласса КА являются линейчатыми поверхностями, то чтобы выделить некоторые ихособые, отличные от всех линейчатых поверхностей свойства, мы для началарассчитаем некоторые характеристики линейчатых поверхностей.
5.1 Первая и втораяквадратичные формы линейчатой
поверхности
Понятное дело, насинтересуют лишь коэффициенты, однозначно определяющие саму форму.
/>, />, />
/>,
/>,
/>,
/>
/>
/>.
/>.
/>.
Определитель длякраткости обозначим так (ибо непосредственное покоординатное вычисление не даетдостаточно удобочитаемого результата).
/>.
/>, />, />.
1. Расчет />.
/>
/> (8)
4. Расчет M.
/>.
/>. (9)
5. Расчет N.
/>.
/> (10)
Итак, мы рассчиталикоэффициенты первой и второй квадратичных форм линейчатой поверхности. Сделаемнекоторые замечания.
Замечание 5.1.
Из формулы (9) очевидно,что необходимое и достаточное условие того, что данная линейчатая поверхностьявляется развертывающейся, может быть переписано в виде: />.
Замечание 5.2. О различных точках линейчатойповерхности.
Вычислим дискриминант второйквадратичной формы для линейчатой поверхности.
/>. (11)
В связи с этим, проведемклассификацию точек линейчатой поверхности.
1. Так как />, то на линейчатойповерхности нет эллиптических точек.
2. Пусть />, т.е. втораяквадратичная форма поверхности является знакопеременной. Таким образом, в точке/>, длякоторой это справедливо можно указать два неколлинеарных направления,обладающих следующими свойствами:
а) Для значенийдифференциалов, определяющих эти направления, вторая квадратичная форма,вычисленная в точке />, обращается в нуль.
б) все остальныенаправления на поверхности в точке /> разбиваются на два класса – длядифференциалов, определяющих направления одного из этих классов, втораяквадратичная форма положительна, а для другого отрицательна.
Такие точки, какизвестно, называются гиперболическими.
В силу замечания 1,гиперболическими точками среди линейчатых поверхностей обладают только косыелинейчатые поверхности (например, все точки архимедова геликоида –гиперболические).
3. Пусть /> и />. В окрестности такойточки поверхность лежит по одну сторону от касательной плоскости. Такие точкиназываются параболическими.
Такими точками обладаютразвертывающиеся поверхности.
4. />. Такие точки называютточками уплощения поверхности.
5.2 Перваяквадратичная форма поверхности класса КА
Ограничимся вычислениемлишь коэффициентов.
/>.
/>
/>
/>,
/>,
/>
Вычислим определитель.
/>
5.3 Втораяквадратичная форма поверхности класса КА
/>, />, />.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Т.е.
/>,
/>,
/>.
Мы могли бы и сразувоспользоваться результатами 3.1. Т.е. для всякой поверхности Каталана верно.
/>
В нашем случае:
/>,
/>,
/>,
/>,
/>
/>,
/>
/>
/>
/>
/>
/>,
/>
При расчете второйквадратичной формы мы не получим дополнительных улучшений.
Итак, окончательнозафиксируем результат. Производные функции для удобства будем обозначать далеештрихами.
/>,
/>,
/>
/>,
/>,
/>.
Где />
Глава 6. О программевизуализации и анализа поверхностей
6.1 Общие положения ивозможности программы
Ввиду поставленнойзадачи, а также для наличия удобного инструмента исследования дифференциальнойгеометрии поверхностей была разработана компьютерная программа визуализациипараметрически заданных поверхностей, кривых, кривых на поверхности.
Данная программапозволяет легко и наглядно представлять себе геометрию поверхностей, задав еепараметрическое уравнение, границы параметров и мелкость сетки.
Имеется также возможностьраскрашивать поверхность, задавать текстуру, выводить сеть заданной толщины имногое другое.
В программе есть средствадля численного расчета всех дифференциальных характеристик, необходимых авторуработы.
В программе встроено дваалгоритма проверки произвольной поверхности на линейчатость: вращением сети иметодом нормального сечения.
При разработкеиспользовалась среда.NET,язык C# и технология OpenGL ([13],[14],[15]).
Нашей целью не ставитьсяописывать тут алгоритмы этой программы. Она представляет собственный интерес идовольно сложна.
Приведем далее примерыработы этой программы.
6.2 Примеры работы
Это простая визуализацияповерхности.
/>
Это пример анализа налинейчатость.
/>
На этом мы закончим свою работу.
Выводы
1. Проведен подробныйанализ поверхностей Каталана с точки зрения дифференциальной геометрии,получены важные необходимые и достаточные условия, отделяющие этот класс откласса линейчатых поверхностей. Получены уравнения для определения минимальныхповерхностей Каталана. Для частных случаев сформулированы и доказаны теоремы.Как и ожидалось поверхности Каталана обладают своими, отличными от всехлинейчатых поверхностей свойствами, которые и отражены в этой работе.
2. Рассмотрен особыйподкласс поверхностей Каталана – поверхности класса КА. Независимо выведеноуравнение этого класса поверхностей, получены формулы для сведения произвольнозаданной поверхности к уравнению найденного типа. Выведены формулы для расчетапервой и второй квадратичных форм поверхностей класса КА, сформулирован и доказанряд утверждений о влиянии вида кривых на тип поверхности класса КА.
3. Разработана программавизуализации и анализа параметрически заданных поверхностей, которая успешнорешает задачу определения линейчатости поверхности для широкого спектрапроизвольно заданных уравнений поверхности. Позволяет наблюдать как результат –итоговые найденные прямые, так и промежуточные результаты (кривые нормальногосечения).
4. Таким образом,поставленные перед автором задачи были полностью и успешно решены, однако,остались неохваченными некоторые полученные в ходе исследования новыеуравнения, требующие дополнительного исследования (в частности, определениянахождения прямой на поверхности, имеющей общие точки со всеми образующими).
Список литературы
1. Рашевский П.К. Курс дифференциальнойгеометрии. – М.: Едиториал УРСС, 2003. – 432 с. – ISBN 5-354-00294-Х (Книгавключает сведения о кривых на плоскости, по теории плоских и пространственныхкривых и применении к ней дифференцирования вектор-функций, а такжепервоначальные сведения по теории поверхностей с изложением свойств иприменений линейчатых и развертывающихся поверхностей и внутренней геометрииповерхностей. Рекомендуется математикам и механикам – студентам, аспирантам инаучным работникам. Может служить в качестве учебного пособия).
2. Позняк Э.Г., Шикин Е.В.Дифференциальная геометрия: Первое знакомство. – Изд. 2-е исправл. и доп. – М.:Едиториал УРСС, 2003. – 488 с. – ISBN 5-354-0034301 (Книга знакомит с основнымипонятиями теории кривых и поверхностей, элементами тензорно исчисления, римановойгеометрии и гладких многообразий, а также с некоторыми их приложениями вматематике, физике, технике. Материал подробно проиллюстрирован примерами ирисунками. Книга рассчитана на математиков-прикладников, физиков, механиков,инженеров. Предполагается знакомство читателя с аналитической геометрией,линейной алгеброй, дифференциальным и интегральным исчислением).
3. Сизый С.В. Лекции подифференциальной геометрии. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 376 с. – ISBN 978-5-9221-0742-6(Настоящее учебное пособие представляет собой переработанный конспект лекций покурсу «Теория чисел» для студентов третьего курсамеханико-математического факультета Уральского государственного университета. Впособии представлены следующие разделы теории чисел: теория делимости целых чисел,цепные дроби, мультипликативные функции, теория сравнений, трансцендентныечисла. Большинство пунктов пособия снабжено задачами для самостоятельногорешения. Рекомендовано к изданию Научно-методическим советом по математике имеханике УМО университетов России в качестве учебного пособия дляматематических специальностей и направлений подготовки в университетах).
4. Фиников П.С. Курс дифференциальнойгеометрии. – М.: КомКнига, 2007. – 344 с. – ISBN 5-484-00355-5 (Вниманиючитателя предлагается курс дифференциальной геометрии, написанный известнымотечественным математиком С.П.Финиковым. Во введении даются основныеопределения и рассматриваются простейшие свойства простой дуги кривой ипростого куска поверхности. В первой части излагается теория кривых, описываютсянатуральные уравнения кривой и теория огибающих. Во второй части подробнорассматривается теория поверхностей. Также в книгу включен краткий историческийочерк развития дифференциальной геометрии от Лейбница до наших дней. Рекомендуетсяматематикам, механикам, физикам-теоретикам – студентам, аспирантам,преподавателям и научным работникам).
5. Тайманов И.А. Лекции подифференциальной геометрии. – М.: Институт компьютерных исследований,Регулярная и хаотическая динамика, 2006. – 256 с. – ISBN 5-93972-467-1 (Изложеныосновы дифференциальной геометрии кривых и поверхностей, а также несколькодополнительных разделов, посвященных теории групп Ли и элементам теориипредставления. Книга возникла из курса лекций, прочитанных автором намеханико-математическом факультете Новосибирского государственногоуниверситета. Несмотря на компактность книги, все вопросы разобраны достаточнодоступно, имеются задачи для самостоятельного решения. Может служить учебнымпособием для студентов механико-математических и физических специальностейуниверситетов).
6. Шварц Дж. Дифференциальнаягеометрия и топология. – Новокузнецк: ИО НФМИ, 2003. – 222 с. – ISBN 5-80323-307-2(Книга представляет собой курс лекций, прочитанных известным американскимматематиком Дж. Шварцем. Лаконичность и сравнительная простота изложенияпозволяют читателю быстро ознакомиться с основными понятиями дифференциальнойгеометрии и топологии. Начиная с общей теории многообразий, выясняя далее связьтопологических инвариантов с инвариантами римановой метрики и переходя кК-теории, автор завершает изложение теоремой о векторных полях на сферах. Книгапредставляет интерес для широких кругов математиков. Ее могут использоватьстуденты, аспиранты и преподаватели университетов и пединститутов).
7. Торп Дж. Начальные главыдифференциальной геометрии. – М.: Платон, 2000. – 360 с. – ISBN 5-80100-284-7 (Книгаамериканского ученого, знакомящая с основными понятиями и методамидифференциальной геометрии. В ней использован довольно общий алгебраическийподход, изложение богато иллюстрировано графическим материалом, имеется около300 задач).
8. Бюшгенс С.С. Дифференциальнаягеометрия. – М.: КомКнига, 2006. – 304 с. – ISBN 5-484-00450-0 (Предлагаемаявниманию читателя книга, написанная известным отечественным математиком С.С. Бюшгенсом,представляет собой учебник по дифференциальной геометрии. Автор рассматриваетследующие темы: исследование плоской кривой по ее уравнению, соприкосновениеплоских кривых и кривизна кривой, пространственные кривые, поверхности,кривизна поверхностей, метод подвижного репера для поверхностей. Книга содержитбольшое количество упражнений и задач, которые сопровождаются либо полнымирешениями, либо достаточными указаниями для проведения этих решений. Рекомендуетсястудентам, аспирантам и преподавателям математических вузов, а такжеспециалистам – математикам и физикам, применяющим в своих исследованиях методыдифференциальной геометрии).
9. Гусейн-Заде С.М. Дифференциальнаягеометрия. Современные лекционные курсы. М.: МЦНМО, 2004. – 80 с. – SBN 5-900916-93-6(Настоящий текст представляет собой записи лекций, читавшихся С.М. Гусейн-Задев Независимом Московском Университете в 1994/95 и в 1995/96 учебных годах длястудентов 3 курса (во II семестре) с минимальными изъятиями и дополнениями.Лекции являлись продолжением части курса, читавшейся в первом семестре С.П. Новиковым,и основывались на нем. Текст публикуется в авторской редакции).
10. Блашке В. Введение вдифференциальную геометрию. – У.: Издательство Удмуртского университета,Регулярная и хаотическая динамика, 2005. – 232 с. – ISBN 5-7029-0342-0 (В этойкниге излагается в элементарной форме основы теории кривых и поверхностей спомощью метода внешних форм Картана. Идеи этого метода изложены в объеме,достаточном для понимания основного материала. В конце каждой главы приведенызадачи и вопросы. В комментариях В.А. Александрова отражено современносостояние обсуждаемых вопросов. Книга рассчитана на студентов и аспирантов,специализирующихся в области математики).
11. Корн Г., Корн Т. Справочник поматематике для научных работников и инженеров. – М.: Лань, 2003. – 832 с. – ISBN5-8114-0485-9 («Справочник» содержит сведения по следующим разделам:высшая алгебра, аналитическая и дифференциальная геометрия, математическийанализ (включая интегралы Лебега и Стилтьеса), векторный и тензорный анализ,криволинейные координаты, функции комплексного переменного, операционноеисчисление, дифференциальные уравнения обыкновенные и с частными производными,вариационное исчисление, абстрактная алгебра, матрицы, линейные векторныепространства, операторы и теория представлений, интегральные уравнения, краевыезадачи, теория вероятностей и математическая статистика, численные методыанализа, специальные функции. Справочник рассчитан на студентов старших курсов математическихспециальностей, научных работников и инженеров).
12. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курсдифференциальной геометрии и топологии. – М.: Издательство «Факториал Пресс»,2000. – 448 с. – ISBN: 5-88688-048-8 (Книгапредставляет собой курс дифференциальной геометрии, читаемый в течение двухсеместров на математических факультетах университетов. Она содержит основнойпрограммный материал по общей топологии, нелинейным системам координат, теориигладких многообразий, теории кривых и поверхностей, группам преобразований,тензорному анализу и римановой геометрии, теории интегрирования и гомологиям,фундаментальным группам поверхностей, вариационным принципам в римановойгеометрии. Изложение иллюстрируется большим количеством примеров исопровождается задачами, часто содержащими дополнительный материал. Дляматематиков и физиков – студентов, аспирантов, преподавателей и научныхработников).
13. Эйнджел Э. Интерактивнаякомпьютерная графика. – М.:Издательский дом «Вильямс», 2001. – 592 с. – ISBN5-8459-0209-6 (Книга представляет собой вводный курскомпьютерной графики, в котором основной упор сделан на вопросах прикладногопрограммирования. Она включает описание структуры графических систем иобсуждение основных концепции формирования изображений трехмерных объектов исцен. Рассматривается взаимодействие освещения и материалов, также приводятсяосновные сведения о методах тонирования освещенных поверхностей, принципахиерархической организации графических моделей и новых возможностях современныхаппаратных графических средств. В книгу включены те разделы линейной алгебры игеометрии, которые необходимы для понимания основ компьютерной графики.Обсуждаются методы построения кривых и поверхностей, языковые модели, фракталыи системы частиц, а также методика применения графических средств длявизуализации результатов научных расчетов. Весь теоретический материал в книгеиллюстрируется программами на OpenGL. Книга адресована в основном студентамстарших курсов и аспирантам первого года обучения, специализирующимся в областиинформатики и вычислительной техники, но будет также полезна и многимпрофессионалам).
14. Шрайнер Д. OpenGL. Официальный справочник. – СПб: ООО«ДиаСофтЮП», 2002. – 512 с. – ISBN 0-201-65765-1, 5-93772-048-2 (Эта книгаявляется первым русским изданием третьей редакции официального справочника поOpenGL, подготовленным Наблюдательным Советом по Архитектуре OpenGL и компаниейSGI. Материал в книге расположен так, что позволяет читателю быстро иэффективно найти в огромной графической библиотеке OpenGL нужную команду иликонстанту, познакомиться с основными идеями и принципами реализации той илииной команды, понять, как работает та или иная команда, а также разобраться собщей архитектурой OpenGL. Книга написана достаточно строго, но понятно, и рассчитанана широкий круг читателей – от новичков до специалистов, уже работающих сOpenGL).
15. М. Ву, Т. Девис, Дж. Нейдер, Д. Шрайнер. OpenGL. Руководство попрограммированию. – СПб: «Питер», 2006. – 624 с. – ISBN 5-94723-827-6, 0-3211-7348-1 (Это4-е издание признанного бестселлера, посвященного OpenGL и его библиотекеинструментов. В книге описаны все возможности OpenGL и самые значительныеприложения, содержится описание базовых методов компьютерной графики, таких какпостроение и воспроизведение трехмерных моделей, интерактивный просмотробъектов с различных точек наблюдения, использование тонирования, освещения иэффектов текстурирования. Представлено углубленное описание дополнительныхметодов компьютерной графики: наложение текстур, сглаживание, «туман»и имитация других атмосферных эффектов, сплайны, конвейерная обработкаизображений и другие ключевые темы, такие как повышение производительностипрограмм, расширения OpenGL и создание кросс-платформных приложений).