--PAGE_BREAK--
Следствие:Если два вектора неколлинеарны, то они линейно независимы.
Теорема:Любой вектор лежащий в одной плоскости с неколлинеарными векторами и , может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов (т.е. найдутся такие вещественные числа λ и μ, что ). Такое представление единственно.
Заметим, прежде всего, что оба вектора и отличны от нуля, так как если бы хоть один из них был нулевым, то они были бы коллинеарны. Если вектор коллинеарен одному из данных векторов, то утверждение сводится к теореме из второго раздела.
В общем случае перенесем все три вектора в одну точку О (рис. 6). Через конец C вектора проведем прямые CР и CQ, параллельные векторам и . Тогда , причем векторы и коллинеарны соответственно и . В силу теоремы из второго раздела существуют и определены однозначно такие числа λ и μ, что , . Таким образом, , что и требовалось.
Допустим теперь, что существует другая линейная комбинация , равная , причем, например λ ≠ σ. Тогда , так как иначе мы имели бы две прямые, проходящие через точку C параллельно вектору . Из последнего равенства вытекает, что σ = λ, в противоречие с нашим предположением.
Следствие:Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.
В самом деле, пусть векторы , , линейно зависимы, тогда один из них есть линейная комбинация двух других. Пусть, например . Приложим векторы , , к одной и той же точке О (рис. 7), так что , , .
Предположим сначала, что векторы , не коллинеарны; тогда несущие их прямые определяют некоторую плоскость. В этой плоскости лежат и векторы и , а значит, и весь параллелограмм, на этих векторах построенный, в частности и его диагональ . Значит все три вектора , , компланарны.
Если векторы и коллинеарны, то коллинеарны как векторы , , так и их сумма - три вектора , , оказываются даже коллинеарными.
Если же векторы , , компланарны, то либо один из них, например , лежит в одной плоскости с двумя другими неколлинеарными векторами (следовательно ; или ), либо все три вектора коллинеарны (следовательно ). Тем самым следствие полностью доказано.
Следствие:Если три вектора некомпланарны, то они линейно независимы.
Теорема:Любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации трех некомпланарных векторов , и (т.е. найдутся такие числа λ, μ, ν, что ). Такое представление единственно.
Никакие два из векторов , и не коллинеарны, иначе все три были бы компланарны. Поэтому, если компланарен с какими-нибудь двумя из данных векторов, то наше утверждение вытекает из предыдущего следствия.
В общем случае перенесем все векторы в одну точку О (рис. 8) и проведем через конец D вектора прямую, параллельную вектору . Она пересечет плоскость ОЕ1Е2 в точке Р. Очевидно, что . Согласно теореме из второго раздела и предыдущему следствию существуют такие числа λ, μ и ν, что и . Таким образом, .
Единственность коэффициентов линейной комбинации доказывается так же, как и предыдущем следствии.
Следствие:Любые четыре вектора линейно зависимы
Глава 4. Понятие базиса. Свойства вектора в данном базисе
Определение: Базисом в пространственазывается любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.
Определение: Базисом на плоскостиназывается любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.
Базис в пространстве позволяет однозначно сопоставить каждому вектору упорядоченную тройку чисел – коэффициенты представления этого вектора в виде линейной комбинации векторов базиса. Наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел при помощи базиса мы сопоставим вектор , если составим линейную комбинацию .
Числа – называются компонентами (или координатами) вектора в данном базисе (записывается ).
Теорема:При сложении двух векторов их координаты складываются. При умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число.
Действительно, если и , то
.
Определение и свойства координат вектора на плоскости аналогичны. Вы легко можете сформулировать их самостоятельно.
Глава 5. Проекция вектора
Под углом между векторами понимается угол между векторами равными данным и имеющими общее начало. Если направление отсчета угла не указано, то углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит π. Если один из векторов нулевой то угол считается равным нулю. Если угол между векторами прямой то векторы называются ортогональными.
Определение: Ортогональной проекциейвектора на направление вектора называется скалярная величина , φ – угол между векторами (рис.9).
Модуль этой скалярной величины равен длине отрезка OA0.
Если угол φ острый проекция является положительной величиной, если угол φ тупой – проекция отрицательна, если угол φ прямой – проекция равна нулю.
При ортогональной проекции угол между отрезками OA0 и AA0 прямой. Существуют проекции, у которых этот угол отличен от прямого.
Проекции векторов обладают следующими свойствами:
1. (проекция суммы равна сумме проекций);
2. (проекция произведения вектора на число равна произведению проекции вектора на число).
Базис называется ортогональным, если его векторы попарно ортогональны.
Ортогональный базис называется ортонормированным, если его векторы по длине равны единице. Для ортонормированного базиса в пространстве часто используют обозначения .
Теорема:В ортонормированном базисе координаты векторов есть соответствующие ортогональные проекции этого вектора на направления координатных векторов.
Пример:Пусть вектор единичной длины образует с вектором ортонормированного базиса на плоскости угол φ, тогда .
Пример:Пусть вектор единичной длины образует с векторами , и ортонормированного базиса в пространстве углы α, β, γ, соответственно (рис.11), тогда . Причем . Величины cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора
Глава 6. Скалярное произведение
Определение:Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если один из векторов нулевой скалярное произведение считается равным нулю.
Скалярное произведение векторов и обозначается через [или ; или ]. Если φ — угол между векторами и , то .
Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1. (коммутативность).
2. (скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины).
3. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них нулевой.
4. .
5. .
6. .
Теорема:В ортогональном базисе компоненты любого вектора находятся по формулам:
; ; .
Действительно, пусть , причем каждое слагаемое коллинеарно соответствующему базисному вектору. Из теоремы второго раздела следует, что , где выбирается знак плюс или минус в зависимости от того, одинаково или противоположно направлены векторы , и . Но, , где φ — угол между векторами , и . Итак, . Аналогично вычисляются и остальные компоненты.
Скалярное произведение используется для решения следующих основных задач:
1. ; 2. ; 3. .
Пусть в некотором базисе заданы векторы и тогда, пользуясь свойствами скалярного произведения, можно записать:
Величины называются метрическими коэффициентами данного базиса. Следовательно .
Теорема:В ортонормированном базисе
;
;
;
.
продолжение
--PAGE_BREAK--