--PAGE_BREAK--
§2.
Линейные уравнения.
Определение.Уравнением первой степени с одним неизвестным называется уравнение вида , где — заданные числа, причем , а — неизвестное.
При этом число называется коэффициентом при неизвестном ,
число — свободным членом уравнения.
Это уравнение равносильно уравнению, из которого получаем, что. Таким образом, уравнение первой степени всегда имеет единственный корень .
Уравнение первой степени является частным случаем линейного уравнения, где — заданные числа, а — неизвестное.
Линейное уравнение сводится к равносильному ему уравнению вида , где и — известные числа. При этом число -коэффициент при неизвестном , может оказаться равным нулю, в отличие от коэффициента при неизвестном в уравнении первой степени.
Может оказаться, что линейное уравнение не имеет корней или имеет бесконечное множество корней. [5, с.118]
Пример 1. Показать, что уравнение не имеет корней.
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению
или .
Это уравнение не имеет корней, так как левая часть равна нулю при любом , а значит, не равна 3. [1, c.34]
Пример 2.Решить уравнение.
Решение.Это уравнение содержит параметр (переменную, которая в условии данной задачи сохраняет одно и то же значение).
Если, то , т.е. — единственный корень уравнения. Если, то уравнение принимает вид и его корнем является любое действительное число. [1, c.35]
Пример 3.Решить уравнение
.
Решение.
1) После приведения дробей к общему знаменателю получим линейное уравнение, равносильное исходному, при условии, что, т.е. , .
2) После приведения подобных членов и сведения полученного уравнения к стандартному для линейного уравнения виду имеем , (*)
3)а) Если , то . Теперь необходимо исключить те значения параметра, при которых найденное значение равно , чего не может быть по области определения (ОДЗ) исходного уравнения. Приравняем дробь к :
, , .
Таким образом, при полученное в результате преобразованиялинейное уравнение имеет корень , посторонний для исходного уравнения.
б) Если , то уравнение (*)примет вид или — неверное равенство, т.е. уравнение (*)не имеет корней.
Вообще, если уравнение не имеет корней, то говорят также, что множество корней уравнения пустое, и обозначают Ø.
Ответ. 1) При , и уравнение имеет единственное решение ;
2) при данное уравнение не имеет смысла;
3) при и нет решений.
Ответ можно записать короче:
1) если , то ; 2) если , то Ø. [14, c.42]
§3.
Квадратные уравнения. Теорема Виета (прямая и обратная).
Определение.Квадратным уравнением (или уравнением второй степени) называется уравнение вида , где — заданные числа, причем , а — неизвестное. Числа называются коэффициентами квадратного уравнения: — коэффициент при квадрате неизвестного, — коэффициент при неизвестном в первой степени, — свободный член.
Квадратное уравнение называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов или равен нулю.
Неполное квадратное уравнение — это уравнение одного из следующих видов:
Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения.
1. Уравнение имеет единственный корень .
2. Уравнение равносильно уравнению . Возможны два случая.
Если , то , и поэтому уравнение не имеет действительных корней.
Если , то , и уравнение имеет два корня: , .
Действительно, перенося в уравнении величину в левую часть, получаем .
Так как , то . Поэтому .
Разложив левую часть этого уравнения на множители, получим .
Данное произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Рассматривая , получим ; рассматривая , находим .
Следовательно, уравнение при имеет два корня; , что и утверждалось. Ответ часто записывается в виде .
Например, неполное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Для неполного квадратного уравнения получаем
Это уравнение можно решить по-другому:
3. Уравнение можно решить с помощью разложения его левой части на множители. Очевидно, что , откуда , . Например, , откуда , .
В общем случае для решения квадратных уравнений применяется метод выделения полного квадрата.[5, c.120]
Применение этого метода поясним сначала на примерах.
Пример 1.Решить квадратное уравнение
Решение. Разделим обе части уравнения на :
.
Применим метод выделения полного квадрата: .
Поэтому получим
,
откуда . Следовательно,
, .
Можно выделить полный квадрат в исходном уравнении и без предварительного деления на (коэффициент при квадрате неизвестного):
.
Поэтому
и т.д. [2, c.107]
Рассмотрим теперь квадратное уравнение общего вида
. (1)
Применим метод выделения полного квадрата. Для этого запишем левую часть уравнения в следующем виде:
.Поэтому
или . (2)
Дальнейшее решение зависит от знака правой части полученного уравнения (2).
Так как , то знак правой части совпадает со знаком выражения . [15, c.163]
Определение.Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой : .
Рассмотрим три случая: .
1. .
В этом случае уравнение (2) можно записать так:
;
следовательно,
,
откуда
, (3)
или
, (4)
где -дискриминант уравнения (1).
Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при , уравнение имеет два различных корня, которые можно найти по формуле (3) или (4).
2. .
В этом случае уравнение (2) принимает вид
,
откуда , т.е. .
Таким образом, если дискриминант равен нулю, т.е. , то уравнение имеет единственный корень .
Заметим, что формула (3) или, что то же, (4) применима и в случае . В самом деле, эта формула дает единственный корень уравнения (1). Говорят также, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня: . Такое соглашение освобождает нас от специальных оговорок, относящихся к этому случаю при формулировке свойств квадратных уравнений.
3. .
В этом случае в правой части уравнения (2) стоит отрицательное число, а в левой части — неотрицательное (положительное или равное нулю). Следовательно, если , то уравнение (2), а значит, и уравнение не имеют действительных корней.
Вывод. Квадратное уравнение имеет действительные корни только при дискриминанте ; если , то корни различные; если , то корни равные. Формула корней квадратного уравнения имеет вид (3) или (4). [15, c.165]
По этой формуле можно находить и корни неполных квадратных уравнений, но проще вычислять их путем разложения левой части неполного квадратного уравнения на множители, как было показано.
Замечание1. Если коэффициент — четное число, т.е. , то формула корней квадратного уравнения примет вид
. [2, c.114]
Например, вычислим корни уравнения (заметим, что уравнение имеет действительные корни, так как ):
.
Замечание2. Если коэффициент , то квадратное уравнение принимает вид . Такое квадратное уравнение называется приведенным квадратным уравнением. Всякое квадратное уравнение можно привести к виду делением обеих частей уравнения на . [2, c.117]
Найдем корни приведенного квадратного уравнения. В формуле (3) полагаема .Тогда
— формула корней приведенного квадратного уравнения .
Например, решим уравнение :
,
Откуда
продолжение
--PAGE_BREAK--
Пример
2.Решить уравнение .
Решение. Разложив знаменатели на множители, имеем
.
После приведения дробей к общему знаменателю получим уравнение или , равносильное исходному уравнению, при условии, что , т.е. , . Находим корни приведенного квадратного уравнения:
,
откуда , . Так как не удовлетворяет ограничению (не входит в ОДЗ исходного уравнения), то, следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень . [2, c.124]
ТеоремаВиета. Если квадратное уравнение имеет действительные корни и , то их сумма равна и произведение равно :
, . (5)
Формулы (5) называются формулами Виета.
Доказательство.По условию дискриминант квадратного уравнения . Тогда по формуле (4) уравнение имеет два корня:
, .
Найдем сумму и произведение корней:
,
,
и формулы (5) получены.
Теорема Виета устанавливает связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами.
Для приведенного квадратного уравнения с дискриминантом формулы (5) принимают вид
, . (6)
Полученные для приведенного квадратного уравнения формулы Виета читаются так: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при неизвестном в первой степени, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Если корни квадратного уравнения действительные , то формулы Виета позволяют по знакам коэффициентов уравнения определить знаки корней. Например, если , , (и, следовательно, ), то и корни имеют разные знаки. Так как при этом , то отсюда следует, что больший по модулю корень отрицателен (сумма двух чисел разных знаков отрицательная!). [5, c.126]
Теорема(обратная теореме Виета). Если числа таковы, что , , то и — корни уравнения .
В теореме Виета для приведенного квадратного уравнения утверждалось, что для его корней , и коэффициентов справедливы формулы (6).
В обратной теореме Виета утверждается: если для чисел справедливы формулы (6), то и — корни приведенного квадратного уравнения .
Доказательство.Рассмотрим и получим . Очевидно, что и — корни уравнения и, значит, уравнения . [5, c.127]
Теорема Виета и теорема, обратная ей, часто применяются при решении различных задач.
Пример 3.Не решая уравнения , определить знаки его корней.
Решение. Дискриминант этого уравнения положителен, так как . Следовательно, уравнение имеет действительные корни и . По теореме Виета ; корни имеют одинаковые знаки. Так как по теореме Виста , то корни и — положительные. [2, c.119]
Пример 4.Составить приведенное квадратное уравнение, корни которого , .
Решение. По обратной теореме Виета , . Искомое уравнение . [2, c.119]
§4.
Разложение квадратного трехчлена на множители.
Рассмотрим квадратный трехчлен .
Квадратный трехчлен — это многочлен второй степени. Значения , при которых квадратный трехчлен обращается в нуль, называются корнями квадратного трехчлена.Для нахождения корней квадратного трехчлена нужно решить квадратное уравнение .
Мы уже знаем, что число действительных корней квадратного уравнения, а значит, и квадратного трехчлена зависит от знака дискриминанта . Пусть дан квадратный трехчлен с неотрицательным дискриминантом .
Теорема. Если и — корни квадратного трехчлена , то . (1)
Доказательство.Так как и — корни квадратного уравнения с дискриминантом , то по теореме Виета
, .
Поэтому
.
Полученное равенство (1) называется формулой разложения квадратного трехчлена на линейные множители. [5, c.129]
Пример 1.Упростить выражение .
Решение. Для квадратного трехчлена дискриминант . Найдем корни трехчлена, решив квадратное уравнение .Получим и . Поэтому по формуле (1) . Следовательно,
.[2, c.121]
Пример 2.Доказать, что выражение
при всех допустимых значениях есть величина постоянная.
Решение. 1) Разложим знаменатель второй дроби на линейные множители. Решив уравнение , найдем , . Получаем разложение квадратного трехчлена: .
2)
;
3) ;
4) — величина, постоянная при всех допустимых значениях (т.е. при любых значениях , для которых , , ). [5, c.130]
§5.
Уравнения, приводимые к линейным и квадратным.
Уравнение вида
(, — натуральное)
называется алгебраическим уравнением n
-йстепени. Его левая часть — многочлен n
-йстепени относительно . Уравнение первой степени и квадратное уравнение являются его частными случаями при и соответственно.
Уравнения, в которых неизвестное содержится под знаком корня, называются иррациональными.
Всякое иррациональное уравнение с помощью элементарных преобразований (умножения, деления, возведения в целую степень обеих
частей уравнения) может быть сведено к рациональному алгебраическому уравнению. При этом следует иметь в виду, что полученное
рациональное алгебраическое уравнение может оказаться не эквивалентным исходному иррациональному уравнению, а именно может
содержать «лишние» корни, которые не будут корнями исходного
иррационального уравнения. Поэтому, вычислив корни полученного
алгебраического уравнения, необходимо проверить, будут ли все они
также и корнями исходного иррационального уравнения.
В общем случае трудно указать какой-либо универсальный метод решения любого иррационального уравнения, так как желательно, чтобы в результате преобразований исходного иррационального уравнения получилось не просто какое-то рациональное алгебраическое уравнение, среди корней которого будут и корни данного иррационального уравнения, а рациональное алгебраическое уравнение, образованное из многочленов как можно меньшей степени. Желание получить рациональное алгебраическое уравнение, образованное из многочленов как можно меньшей степени, вполне естественно, так как нахождение всех корней рационального алгебраического уравнения само по себе может оказаться довольно трудной задачей, решать которую полностью мы можем лишь в весьма ограниченном числе случаев. [23, c.107]
Рассмотрим примеры решения некоторых алгебраических уравнений степени , а также иррациональных уравнений.
Пример 1.Решить уравнения:
а) ; б)
Решение. Оба уравнения можно решить разложением левой части на множители. Проще поступить по-другому:
а) ;
б) . [5, c.131]
Пример 2.Решить уравнение .
Решение. Используем разложение на множители:
или .
Поэтому , откуда и . Получим ; дискриминант квадратного уравнения ; следовательно, квадратное уравнение действительных корней не имеет.
Значит, — единственный действительный корень данного уравнения. [5, c.131]
Пример 3.Решить уравнение .
Решение.Заметим важную особенность уравнения: его левая часть содержит неизвестное в виде выражения . Поэтому для решения этого уравнения используем метод введения нового неизвестного. Пусть , где — новое неизвестное. Тогда данное уравнение приводится к квадратному уравнению относительно : .
Решая его, получаем , .
Теперь найдем . Решая уравнение или ,
получаем , .
Решая уравнение или ,
получаем , .
Итак, , , , — все корни данного уравнения.
Отметим, что без введения нового неизвестного решить данное уравнение четвертой степени было бы затруднительно. [5, c.132]
Пример 4. Решить биквадратное уравнение .
Решение. Биквадратное уравнение — важный частный случай уравнения четвертой степени. Заменой биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению , которое имеет действительные корни только в случае, когда его дискриминант неотрицательный. Тогда возможны следующие случаи, (в зависимости от корней вспомогательного квадратного уравнения):
1) , ; биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня: , .
2) , ; биквадратное уравнение имеет два действительных
корня: .
Очевидно, аналогично и при , .
3) , ; биквадратное уравнение не имеет действительных корней.
Например, решим биквадратное уравнение . Полагаем . Тогда ; дискриминант ; корни , . Решая уравнение , получаем . Уравнение действительных корней не имеет.[23, c.103]
Пример 5.Решить уравнение .
Решение. Запишем уравнение в виде и возведем обе части его в квадрат:
или , откуда , т.е. . Следовательно, , . Проверка показывает, что числа , удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ: , .[15, c.185]
продолжение
--PAGE_BREAK--
§6.
Уравнения третей степени.
Будем рассматривать уравнение третей степени вида , где , — любые коэффициенты. Левая часть – это многочлен третей степени, поэтому уравнение имеет три корня (возможно комплексные и совпадающие). Разделим данное уравнение на , тогда получим:
, (1)
Преобразуем это уравнение так, чтобы исчез член с квадратом неизвестного. Если положить
и подставить это выражение в наше уравнение, то после несложных выкладок получится более простое уравнение
, (2)
которое называется приведенным уравнением третей степени.
Таким образом, остается решить уравнение (2). Полагаем , где и – два новых вспомогательных неизвестных, и, подставляя это выражение в уравнение (2), мы получим:
или, раскрыв скобки и перегруппировав члены:
, (3)
Так как вместо одного неизвестного ввели две неизвестные и , то одно может быть выбрано произвольно, т.е. между и можем установить еще одну произвольную зависимость. Потребуем, чтобы .
Значит
Мы видим, что и являются корнями приведенного квадратного уравнения
Решая это уравнение, находим:
откуда
Итак, неполное уравнение (2) нам удалось решить алгебраически:
, (4)
Формула (4) называется формулой Кардана.
По этой формуле получается девять значений, а нас интересует только три значения. Нужные три значения найдем из условия
, (5)
Чтобы упростить систему поисков, поступим следующим образом: обозначим через одно из значений (любое), а через такое значение , чтобы или . Тогда остальные значения находятся по формулам:
, ,
, .
Таким образом, получаем все три корня уравнения (2):
(6)
Пример. Определить по формуле Кардана корни уравнения .
Здесь Следовательно,
Отсюда по формулам (6) получаем три корня уравнения:
[23, c.99].
§7.
Уравнения четвертой степени.
Перейдем к исследованию уравнения
, (1)
четвертой степени. Рассмотрим его способ.
Перенесем три последних члена уравнения (1) в правую часть и прибавим к обеим частям
Тогда получится:
Затем прибавляем к обеим частям последнего уравнения сумму
Уравнение примет вид:
, (2)
Подберем вспомогательное неизвестное так, чтобы правая часть последнего уравнения превратилась в полный квадрат. Это будет очевидно, в том случае, когда
Но
Поэтому должно быть:
Если раскрыть скобки, то после некоторых преобразований получится также уравнение третьей степени относительно y
:
Пусть какой-нибудь корень этого уравнения. Подставляя его в уравнение (2), превратим его правую часть в полный квадрат
Отсюда
или
Эти два квадратных уравнения и дадут нам все четыре корня уравнения четвертой степени. [24, c.112]
Итак, решение уравнения четвертой степени сводится к решению одного уравнения третьей степени и двух уравнений второй степени.
Пример.Найдем корни уравнения
Здесь , , , . Следовательно, yдолжно удовлетворять уравнению
Приводим последнее уравнение к трехчленному виду, полагая в нем
Получаем откуда а потому
Затем находим и .
Мы видим, что и имеют положительные знаки, так как произведение отрицательно. Поэтому полагаем , (с таким же успехом можно было взять , ). Отсюда получаются такие квадратные уравнения:
или
Решая первое уравнение, получаем
Решая второе уравнение, получаем
§8.
Уравнения, содержащие неизвестное под знаком
абсолютной величины.
Эти уравнения можно свести к уравнениям, не содержащим знака абсолютной величины, используя ее определение. Так, решение уравнения
, (1)
сводится к решению двух уравнений с дополнительными условиями.
1. Если , то уравнение (1) приводится к виду
, (2)
Решения этого уравнения: , . Условию
удовлетворяет лишь второй корень квадратного уравнения (2), и, следовательно, число 3 является корнем исходного уравнения (1).
2. Если , то уравнение (1) приводится к виду
.
Корнями этого уравнения будут числа и . Первый корень не удовлетворяетусловию и поэтому не является решением уравнения (1).
Таким образом, решениями уравнения (1) будут числа 3 и .
Заметим, что коэффициенты уравнения, содержащего неизвестное под знаком абсолютной величины, можно подобрать так, что решениями будут все, значения неизвестного, принадлежащие некоторому промежутку числовой оси. Например, решим уравнение
, (3)
Отметим на числовой оси точки 0 и 3 (нули функций, стоящих под знаком абсолютной величины). Эти точки разобьют числовую
ось на три промежутка (рис. 1):
; ;
На этих промежутках:
1) при уравнение (3) приводится к виду и в промежутке решений не имеет.
0 3 х
Рис. 1
Аналогично при уравнение (3) приводится к виду и в промежутке решений не имеет;
2) при уравнение (3) приводится к виду, т.е. обращается в тождество. Следовательно, любое значение является решением уравнения (3).[23, 110]
ГЛАВА II. Использование способов решения
алгебраических уравнений на педагогической практике.
§1. Задачи, условие и этапы организации экспериментальной работы
по внедрению алгебраических уравнений
на уроках математики в 8 классах.
При проведении теоретических исследований были получены выводы о многообразии алгебраических уравнений, а также о том, что изучение алгебраических уравнений повышает уровень знаний по математике. Поэтому для подтверждения этих выводов наше эмпирическое исследование направлено на разрешение следующих задач:
1. Провести анализ содержания школьных учебников.
2. Определить методологические условия, способствующие качественному формированию знаний, умений и навыков в решении алгебраических уравнений.
3. Практически реализовать предложенную экспериментальную программу.
4. Провести сравнительный анализ результатов.
При проведении эмпирического исследования были использованы следующие методы: наблюдение, анкетирование, педагогический эксперимент, контрольные работы.
Для осуществления эксперимента были выбраны учащиеся 8 класса, средней полной общеобразовательной школы №4, Мартыновского района, хутора Малоорловский. Всего в исследовании приняло участие 28 учеников: 18 мальчиков и 10 девочек. Учитель математики охарактеризовал данный класс, как класс со средней успеваемостью, обучающейся без уклона на какую-либо дисциплину.
Исследование мы проводили на уроках математики, и оно включало в себя три этапа:
— Констатирующий.
— Формирующий.
— Контрольный.
В ходе констатирующего этапа мы осуществили наблюдение на уроках математике в 8 классе, анализировали содержание учебников алгебры, проводили анкетирование учителей, провели контрольную работу №1.
На этом этапе мы провели анализ учебников алгебры разных авторов. По нашему мнению наиболее доступным для учащихся языком написан учебник алгебры 7 класса, авторами которого являются Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин. До того как ввести главу II, «Уравнения с одним неизвестным», авторы предлагают изучить главу I, «Алгебраические выражения», куда входят следующие параграфы:
§1. Числовые выражения.
§2. Алгебраические выражения.
§3. Алгебраические равенства. Формулы.
§4. Свойства арифметических действий.
§5. Правила раскрытия скобок.
Выше перечисленные параграфы, знакомят учащихся с темами, которые в дальнейшем помогут при изучении темы «Алгебраические уравнения». Изучив параграфы, входящих в главу I, учащиеся без труда освоят главу II:
§1. Уравнение и его корни.
§2. Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным.
§3. Решение задач с помощью уравнений.
Т.к. мы проводили наблюдение лишь в одном классе, наблюдали за деятельностью одного учителя, то наши заключения могут носить случайный характер. В связи с этим мы провели опрос учителей математики нескольких школ с тем, чтобы выявить, применяют ли они методы решения алгебраических уравнений, если применяют, то в каких случаях. Опрос проводился в форме анкеты (см. приложение 1). Шестнадцати респондентам предлагались 7 вопросов, на каждый из которых давались варианты ответов. Результаты анкетирования были занесены нами в таблицу 1.
Таблица №1. Обобщенные данные по результатам анкетирования.
Номер
позиции
Номер
вопроса
1
2
3
Всего
1
11
65%
5
35%
0%
16
100%
2
9
55%
5
32%
2
13%
16
100%
3
10
60%
1
10%
5
30%
16
100%
4
10
60%
3
20%
3
20%
16
100%
5
8
50%
3
18%
5
32%
16
100%
6
2
28,5%
4
57%
1
14,5%
7
100%
7
7
45%
5
35%
4
20%
16
100
Из таблицы видно, что из шестнадцати опрошенных учителей 65% ответили, что недостаточно времени отводится программой для обучения учащихся предмету, 35% ответили, что вполне достаточно и ни один человек не ответил, что для обучения учащихся этому предмету отводится количество часов в избытке.
Итак, на вопрос – систематизируете ли вы знания учащихся на уроках математики – 55% учителей ответили – нет, 32% — не знаю, 13% — да. Результаты опроса показали, что большинство учителей считают, что нет системы в изложении данной темы. 60% всех учителей считают важным достижение повышения качества знаний учащихся, 30% — активности школьников в учении, 10% — исключение дублирования. При построении оптимальной системы уроков по теме «Алгебраические уравнения» 60% учителей использую методические журналы, остальные – дидактическую литературу и учебные пособия. 50% учителей считают, что трудности возникают в связи с большими затратами времени на изучение материала, 18% — отсутствие необходимой литературы и 32% — сложность для восприятия учащихся. 57% учителей используют алгебраические уравнения с целью получения прочных, осознанных знаний, остальные – для развития логического мышления и формирования познавательных интересов. На вопрос о необходимости использовать систематичность в обучении для лучшего усвоения и углубления знаний математического материала были получены следующие ответы: 45% считают необходимым использовать систематичность в обучении для лучшего усвоения учебного материала, 35% — нет, и 20% — только на факультативах.
Анализируя полученные ответы на вопросы анкеты, можно сделать вывод о том, что большинство учителей преподают тему «Алгебраические уравнения» не в системе, одни по причине большой затраты времени, другие в связи с отсутствием необходимой литературы.
Для определения эффективности использования разработанной нами системы необходимо сравнить уровень успеваемости учащихся до введения системы и после. Поэтому в ходе констатирующего этапа эмпирического исследования мы провели контрольную работу №1 (см. приложение №2). Задания, подобранные в ней, соответствовали уровню знаний учащихся, были средней сложности.
На основе результатов, полученных в ходе наблюдения, можно сделать вывод о том, что решение алгебраических уравнений с одной неизвестной различными способами способствует активизации самостоятельной деятельности, повышению интереса к предмету, развитию логического мышления, приросту знаний.
На формирующем этапе мы поставили следующие цели:
1. Внедрить на уроках математики в 8 классе материал, содержание которого раскрыто в теоретической части нашей дипломной работы.
2. Провести наблюдение за процессами осмысления, восприятия и запоминания учащимися данного материала.
3. Определить какие вопросы вызвали наибольшие затруднения у учащихся.
В ходе формирующего этапа эмпирического исследования рассматривать алгебраические уравнения с одной неизвестной предлагалось учащимся в качестве дополнительного материала, а так же на факультативах. Способы решения таких уравнений подробно описаны в главе I нашей дипломной работы.
На начальных этапах введения данной темы возникло множество трудностей, связанных прежде всего с тем, что исследование проводилось в 8 классе, где тема «Алгебраические уравнения» изучалась год назад и многие навыки при решении уравнений были забыты. Уравнения довались по следующей схеме: от более простых, к более сложным. Это позволило повысить эффективность воспроизведения памяти данной темы. На уроке алгебры объяснялась тема «Дробно-рациональные уравнения», на котором был изучен алгоритм решения этих уравнений. Приведем фрагмент этого урока.
Этапы урока
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
II. Устный счет
IV. Закреп-ление.
Решить уравнения:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Как найти неизвестное уменьшаемое?
Как найти неизвестное вычитаемое?
Решим уравнение:
.
Что в этом уравнении является неизвестным?
Как найти неизвестное уменьшаемое?
Решим такое уравнение:
Что в это уравнении является неизвестным?
Как найти неизвестное вычитаемое?
Решим уравнение:
.
Что делаем в первую очередь?
Каким мы воспользовались свойством?
Каким здесь воспользовались законом?
Будут ли найденные значения являться корнями уравнения?
1) .
2) .
3) .
4) .
Нужно к разн6ости прибавить вычитаемое.
Нужно из уменьшаемого вычесть разность.
Уменьшаемое.
Вычитаемое.
Приводим дроби к общему знаменателю.
Умножим обе части уравнения на , получим
.
Свойством сократимости.
Сочетательным законом.
Решая это уравнение, находим его корни: , .
Да, так как при подстановке этих значений в знаменатель, он не обращается в 0.
В ходе практической работы было выявлено множество позитивов. Отдельно можно выделить: учащиеся начинают осознавать, что без четкого анализа уравнения не возможен выбор правильного способа решения. Это ведет к развитию мыслительной активности учащихся, повышение которых положительно сказывается на всем процессе обучения. В этом случае они осознают, воспринимают и запоминают материал не только усилиями одной памяти, а прежде всего, усилиями мыслительных способностей.
В ходе контрольного этапа эмпирического исследования мы провели контрольную работу №2 (см. приложение №3) с целью выявления эффективности разработанной нами системы. Полученные результаты сравнили с результатами контрольной работы №1, проведенной на констатирующем этапе. Результаты двух контрольных работ мы приведем в следующем параграфе. продолжение
--PAGE_BREAK--