Вариант 11
Для проверки 7 групп студентов назначается 2 инспектора, один из которых проверяет 3 группы, а второй -4 группы. Чему равна вероятность того, что при случайном распределении групп между инспекторами ваша группа будет проверена инспектором, которому выделены три группы для проверки.
Решение:
Вероятность выигрыша можно рассчитать по формуле классической вероятности
/>, где m – число благоприятных исходов, n – число полных исходов.
Все билеты различные, значит число полных исходов определяется по формуле сочетаний:
/>, где k=100, r=3, т.е.
/>.
Имеются две одинаковые урны, в одной из которых все шары белые, а в другой 2-белых и 2 черных шара. Вы подошли к одной из урн и извлекли белый шар, затем его возвратили обратно и снова наудачу извлекли шар из этой урны, и он оказался белым. Подобный опыт провели в третий раз и получили тот же результат. Определить вероятность того, что вы подошли к урне с белыми шарами.
Решение:
Задача 5
. В одном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другом ящике – 6 белых и 4 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.
Решение. Событие A={хотя бы из одного ящика вынут белый шар} можно представить в виде суммы />, где события />и />означают появление белого шара из первого и второго ящика соответственно. Вероятность вытащить белый шар из первого ящика равна/>, а вероятность вытащить белый шар из второго ящика />. Кроме того, в силу независимости />и />имеем: />. По теореме сложения получаем: />
.
В розыгрыше первенства по футболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируются две группы по 9 команд в каждой. Среди участников соревнований 5 команд экстра-класса. Найти вероятность того, что: а) все команды экстра-класса попадут в одну и ту же группу; б) две команды экстра-класса попадут в одну группу, а три – в другую.
Решение:
Для решения этой задачи воспользуемся формулами комбинаторики. В обоих случаях число возможных вариантов распределений 18-ти командам на 2 группы по 9 человек считается как число сочетаний без повторений:
/>
Вычислим число благоприятных исходов, в зависимости от искомых вероятностей:
а: Нарисуем схему состава благоприятной группы:
э
э
э
э
э
X
Х
Х
X
5 мест в группе должны занимать команды экстра-класса (э), а 4 оставшихся места X займут 13 нераспределённых команд, т.е. число таких распределений будет таким: />Следовательно, вероятность благоприятных исходов определяется отношением их количественного значения к количеству всех возможных исходов: />
б: Нарисуем схемы состава благоприятных групп:
э
э
Х
Х
Х
X
Х
Х
X
и
э
э
э
Х
Х
X
Х
Х
X
Рассмотрим первую группу. В ней 2 команды экстра-класса и 7 свободных мест, по которым и необходимо рассчитать распределение оставшихся 13-ти команд не экстра-класса: />. Но на месте двух команд экстра-класса в первой группе могли бы быть каждая из 3-х, которые в другой группе, т. е. всего таких взаимных расположений может быть />. Таким образом, число благоприятных исходов: />Вероятность этих исходов: />
Ответ: />,/>.
Доходы некоторой категории семей распределены по нормальному закону со средним значением a=15000 р. И дисперсией 10000. Рассматривается часть этой категории семей, у которой доходы больше 14000 р. Найти закон распределения дохода у этой части и его среднее значение. (Определение характеристик усеченного распределения.)
Решение:
В ящике 20 деталей, из которых 7 деталей бракованных. Из ящика извлекается 9 деталей. Определить закон распределения числа бракованных деталей в выборке. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение:
Решается!!!!!!
Закон распределения случайного вектора (X,Y) определяется таблицей
X
Y
-1
0
1
2
1
0.05
0.10
0.15
0.10
2
0.05
0.15
0.15
0.05
3
0.10
0.05
0
0.05
а) Определить безусловные и условные законы распределения X и Y,
б) Определить математическое ожидание и дисперсию этих величин, а также коэффициент корреляции между ними.
Решение:
Задача 3. Совместный закон распределения случайных величин x и h задан c помощью таблицы
x h
1
2
–1
1/16
3/16
0
1/16
3/16
1
1/8
3/8
Вычислить частные законы распределения составляющих величин x и h. Определить, зависимы ли они. Вычислить вероятность />.
Решение. Частное распределение для x получается суммированием вероятностей в строках:
/>;
/>;
/>.
Аналогично получается частное распределение для h:
/>;
/>.
Полученные вероятности можно записать в ту же таблицу напротив соответствующих значений случайных величин:
x h
1
2
px
–1
1/16
3/16
1/4
0
1/16
3/16
1/4
1
1/8
3/8
1/2
ph
1/4
3/4
1
Теперь ответим на вопрос о независимости случайных величин x и h. С этой целью для каждой клетки совместного распределения вычислим произведение />(т.е. сумм по соответствующей строке и столбцу) и сравним его со значением вероятности />в этой клетке. Например, в клетке для значений x=-1 и h=1 стоит вероятность 1/16, а произведение соответствующих частных вероятностей 1/4×1/4 равно 1/16, т.е. совпадает с совместной вероятностью. Это условие так же проверяется в оставшихся пяти клетках, и оно оказывается верным во всех. Следовательно, случайные величины x и h независимы.
Заметим, что если бы наше условие нарушалось хотя бы в одной клетке, то величины следовало бы признать зависимыми.
Задача 8. Случайные приращения цен акций двух компаний за день x и h имеют совместное распределение, заданное таблицей:
x h
-1
+1
-1
0,3
0,2
+1
0,1
0,4
Найти коэффициент корреляции.
Решение.Прежде всего вычисляем Mxh=0,3-0,2-0,1+0,4=0,4. Далее находим частные законы распределения x и h:
x h
-1
+1
px
-1
0,3
0,2
0,5
+1
0,1
0,4
0,5
ph
0,4
0,6
Определяем Mx=0,5-0,5=0; Mh=0,6-0,4=0,2; Dx=1; Dh=1–0,22=0,96; cov(x,h)=0,4. Получаем
/>.
Бла
Задача 2
. Пусть двумерный случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри треугольника />. Вычислить вероятность неравенства x>h.
Решение. Площадь указанного треугольника />равна />(см. рис. 7.1). В силу определения двумерного равномерного распределения совместная плотность случайных величин x, h равна
/>
Событие />соответствует множеству />на плоскости, т.е. полуплоскости. Тогда вероятность
/>
/>
Рис. 7.1.
На полуплоскости B совместная плотность />равна нулю вне множества />и 1/2 – внутри множества />. Таким образом, полуплоскость B разбивается на два множества: />и />. Следовательно, двойной интеграл по множеству B представляется в виде суммы интегралов по множествам />и />, причем второй интеграл равен нулю, так как там совместная плотность равна нулю. Поэтому
/>.
Если задана совместная плотность распределения />случайной пары (x,h), то плотности />и />составляющих x и h называются частными плотностями и вычисляются по формулам:
/>
Для непрерывно распределенных случайных величин с плотностями рx(х), рh(у) независимость означает, что при любых х и у выполнено равенство
/>.
Бла
Бла
/>
/>
Бла
Бла
/>
/>
/>
/>