інтегральні характеристики векторних полів
1.Диференціальні операції другого порядку
Нехай в області /> заданіскалярне поле /> і векторне поле />, причому функції /> мають вобласті /> неперервнічастинні похідні другого порядку. Тоді /> і /> є диференційовними векторнимиполями, а /> –диференційовним скалярним полем.
До векторних полів/> і /> можназастосувати операції обчислення дивергенції і ротора, а до скалярного поля /> – операціюобчислення градієнта. Таким чином, отримуємо повторні операції:
/>.
Операцію /> називаютьоператором Лапласа і позначають також символом />:
/>.
З допомогоюоператора Гамільтона оператор Лапласа записується у вигляді
/>.
Враховуючи, що
/>,
дістаємо
/>.
Функція />, яказадовольняє в деякій області рівняння Лапласа />, називається гармонічною в ційобласті. Наприклад, лінійна функція /> є гармонічною в довільнійобласті. Оператор Лапласа широко застосовується в рівняннях математичноїфізики. Відзначимо, зокрема, що потенціал електричного поля точкового зарядуабо поля тяжіння точкової маси, який має вигляд />, при /> задовольняє рівняння Лапласа:
/>
(потенціальневекторне поле /> є безвихровим) і
/>
(векторне поле /> єсоленоїдальним).
1. Дві іншіповторні операції /> і /> пов’язані співвідношенням
/>, (1)
де />–вектор-функція, координатами якої є результати застосування оператора Лапласадо функцій />.
2. Розкладаннявекторного поля на суму потенціального і соленоїдального полів
Довільненеперервно диференційовне векторне поле /> може бути зображено у вигляді
/>, (2)
де /> – потенціальне поле, /> –соленоїдальне поле.
Дійсно, заозначенням потенціальне векторне поле /> є градієнтом деякого скалярногополя />: />. Тому длявектора /> ізрівності (2) маємо
/>. (3)
Щоб векторне поле/> булосоленоїдальним, воно має задовольняти умову />, звідси, враховуючи рівність (3),знаходимо
/>.
Таким чином, дляскалярного потенціала поля /> отримуємо рівняння
/>, (4)
де /> – відома функція даногополя />.
Отже, якщофункція /> єрозв’язком рівняння (4), то, поклавши />, />, отримаємо зображення поля /> у вигляді (2),де /> –потенціальне поле, /> – соленоїдальне поле.
Рівняння (2) – неодноріднерівняння в частинних похідних другого порядку, яке називається рівняннямПуассона:
/>.
Відзначимо, що церівняння має (нескінченну) множину розв’язків, тому зображення поля /> у вигляді (2)не є єдиним.
2. Потік векторногополя
Розглянемовекторне поле />, визначене в просторовій області />, і деякукусково-гладку орієнтовну поверхню />. Нехай /> – полеодиничних нормалей на обраній стороні поверхні />.
Як буловідзначено в п. 4.2, поверхневий інтеграл
/> (5)
називаєтьсяпотоком векторного поля /> через поверхню /> в сторону, якавизначається вектором /> (кажуть також «потік через обранусторону поверхні />»).
Якщо взяти іншусторону поверхні (змінити орієнтацію), то вектор /> змінить напрям на протилежний;тому скалярний добуток />, а отже, і потік (поверхневийінтеграл (5)) змінить знак.
Якщо /> – швидкістьрухомої рідини, то /> є кількістю (об’ємом) рідини, якапротікає через поверхню /> у напрямі нормалі /> за одиницю часу. Цявеличина називається у фізиці (гідродинаміці) потоком рідини через поверхню />. Тому і увипадку довільного векторного поля /> інтеграл (5) називається потокомвекторного поля через поверхню />.
Розглянемоелектричне поле /> точкового заряду />, який міститься в точці/>. Знайдемопотік векторного поля /> через зовнішню сторону сфери /> радіуса /> з центром уточці />.Нехай /> (/>– точка насфері />);тоді />.Тому
/>,
де /> – діелектричнапроникність середовища, />.
Якщо в системікоординат /> />, а />, то вираз (5)для потоку векторного поля /> можна записати у вигляді
/>. (6)
Кожен доданок управій частині рівності (6) залежить від вибору системи координат, проте їхсума, тобто потік />, очевидно, не залежить від виборусистеми координат.
3. ФормулаОстроградського-Гаусса в векторній формі
Нехай в області /> визначеновекторне поле />; /> – замкнена поверхня, яка обмежуєобласть />; /> – одиничнийвектор зовнішньої нормалі до поверхні /> у точці />.
Нехай, далі, /> та їхнічастинні похідні /> неперервні в області />. Тодісправедлива формула Остроградського-Гаусса:
/>. (7)
Підінтегральнафункція в потрійному інтегралі є />, а поверхневий інтеграл – потіквекторного поля /> через поверхню />. Тому формулу (7) можназаписати у векторній формі:
/>. (8)
Фізичний зміст формулиОстроградського-Гаусса: потік векторного поля /> через замкнену поверхню в сторонузовнішньої нормалі дорівнює потрійному інтегралу по області, обмеженій цієюповерхнею, від дивергенції векторного поля />. Щоб потік був відмінним віднуля, всередині області /> мають бути джерела (або стоки)поля. Із формули Остроградського-Гаусса випливає, що тоді /> є відмінною від нуля.Таким чином, /> характеризує джерела поля. Самовекторне поле як би розходиться від джерел. Звідси і походить назва«розбіжність» або «дивергенція».
4. Властивостісоленоїдального поля
Як відомо,векторне поле />, яке задовольняє в області /> умову />, називаєтьсясоленоїдальним в цій області. Нехай область /> є об’ємно однозв’язною. Цеозначає, що, якщо кусково-гладка замкнена поверхня /> лежить в області />, то і область, якаобмежує поверхню />, цілком належить області />. Прикладамиоб’ємно однозв’язних областей є куля, паралелепіпед, тор. Відзначимо, що тор неє поверхнево однозв’язною областю. Область, яка знаходиться між двома сферами,не є об’ємно однозв’язною (але є поверхнево однозв’язною).
Із формулиОстроградського-Гаусса випливає, що соленоїдальне поле в взаємно однозв’язнійобласті має таку властивість: потік соленоїдального поля через довільнузамкнену поверхню, яка знаходиться в цій області, дорівнює нулю.
Відзначимо, що,якщо область не є об’ємно однозв’язною, то потік соленоїдального (в ційобласті) поля через замкнену поверхню, яка знаходиться в області, може бутивідмінним від нуля. Так електричне поле /> точкового заряду, який міститьсяв точці />,є соленоїдальним в кулі з викинутим центром (/>при />).
Слово«соленоїдальне» означає «трубасте». Для соленоїдального поля є справедливимзакон збереження інтенсивності векторної трубки. З’ясуємо суть цього закону.
Нехай /> –соленоїдальне поле. Розглянемо відрізок «векторної трубки», тобто область,обмежену двома перерізами /> і /> та боковою поверхнею />, якаскладається із векторних ліній (рис. 1). Застосуємо до такої області формулуОстроградського-Гаусса (8). Оскільки всоленоїдальному полі />, то потік векторного поля /> через поверхнюобласті дорівнює нулю: /> (/>– одиничний вектор зовнішньоїнормалі). На боковій поверхні /> маємо />, тому />.
Отже,
/>.
/>
Рисунок 1 –Відрізок «векторної трубки»
Змінимо наперерізі /> напрямнормалі /> напротилежний (/>– внутрішня нормаль до />). Тодіотримаємо
/>,
де обидва потокичерез перерізи /> і /> обчислюються в напрямі векторнихліній.
Таким чином, усоленоїдальному (трубчастому) векторному полі /> потік через будь-який перерізвекторної трубки набуває одного й того самого значення. Це і є закон збереженняінтенсивності збереження векторної трубки.
5. Інваріантнеозначення дивергенції
Нехай в області />, обмеженійповерхнею />,визначено векторне поле />. Запишемо формулу (8) длявекторного поля /> в області />. Застосовуючи до лівоїчастини цієї формули теорему про середнє, отримаємо
/>
або
/>,
де /> – об’єм області />, а /> – деяка точкаобласті />.
Зафіксуємо точку /> істягуватимемо область /> до точки /> так, щоб /> залишалася внутрішньою точкоюобласті />.Тоді />, а /> прямуватиме до/>.Внаслідок неперервності /> значення /> прямуватиме до />. Таким чином, отримуємо
/>. (9)
У праву частинуформули (9) входять величини, інваріантні відносно вибору системи координат(потік векторного поля через поверхню і об’єм області). Тому формула (9) даєінваріантне означення дивергенції векторного поля. Отже, дивергенція векторногополя залежить тільки від самого поля і не залежить від вибору системикоординат.
6. Циркуляціявекторного поля
Розглянемовекторне поле />, визначене в просторовій області />, і деякукусково-гладку криву />, на якій вказано напрям обходу(вибір напряму обходу називають також орієнтацією кривої). Нехай /> – одиничний дотичнийвектор до кривої /> у точці />, напрямлений в сторону обходукривої.
Криволінійнийінтеграл
/> (10)
називаєтьсяциркуляцією векторного поля /> вздовж кривої /> у заданому напрямі.
Якщо взяти іншийнапрям обходу кривої (змінити орієнтацію), то вектор /> змінить напрям на протилежний,тому скалярний добуток />, а, отже, і циркуляція(криволінійний інтеграл (10)) змінить знак.
Якщо /> – силовевекторне поле, тобто /> – вектор сили, то циркуляція /> визначаєроботу силового векторного поля вздовж кривої /> в заданому напрямі.
Якщо впрямокутній системі координат /> />, а />, то вираз (10) для циркуляціївекторного поля /> можна записати в вигляді
/>. (11)
Кожний доданок управій частині (11) залежить від вибору системи координат, проте їхня сума,тобто циркуляція />, очевидно, не залежить від виборусистеми координат.
Якщо ввестивектор />,то циркуляцію можна записати у вигляді /> (порівняйте з правою частиноюрівності (11)).
7. ФормулаСтокса у векторній формі
Нехай в області /> визначеновекторне поле />; /> – замкнений контур, який лежить вобласті />; /> – довільнаповерхня, межею якої є контур />; /> («поверхня /> натягнута на контур />»); /> – одиничнийвектор нормалі на обраній стороні поверхні />.
Нехай функції /> та їхнічастинні похідні першого порядку неперервні на поверхні />. Тоді справедливаформула Стокса
/>,
де орієнтаціяконтуру /> узгодженаз орієнтацією поверхні />. Ліва частина формули Стокса єциркуляцією векторного поля /> вздовж контура />, а права частина визначаєпотік через поверхню /> векторного поля з координатами />, тобто потік /> через поверхню/>. Томуформулу Стокса можна записати у векторній формі:
/> (12)
або
/>. (13)
Фізичний змістформули Стокса: циркуляція векторного поля /> вздовж замкненого контурудорівнює потоку ротора векторного поля /> через поверхню, натягнуту на цейконтур.
8. Властивостіпотенціального поля
Як відомо,векторне поле />, яке задовольняє в області /> умову />, називаєтьсяпотенціальним у цій області (/>– скалярний потенціал поля />). Якщо поле /> потенціальнев області />,то /> івираз /> єповним диференціалом функції /> в області />. Це означає, щовиконана умова незалежності криволінійного інтеграла від шляху інтегрування впросторі.
Таким чином,потенціальне в області /> поле має такі властивості.
1. Циркуляціяпотенціального поля /> вздовж довільного замкненогоконтуру /> дорівнюєнулю:
/>.
2. Для довільнихточок /> і /> області /> циркуляціяпотенціального поля /> вздовж кривої /> не залежить від виборукривої /> ідорівнює різниці значень потенціала /> в точках /> і />:
/>.
У випадкусилового потенціального поля ця властивість означає, що робота такого полявздовж кривої /> не залежить від вибору кривої, азалежить тільки від початкової і кінцевої точок /> і />.
3. Потенціальнеполе /> єбезвихровим, тобто />.
Нехай тепер дановекторне поле />, яке задовольняє в області /> умову />. Чи випливаєзвідси, що поле /> є потенціальним в області />? Відповідь наце запитання залежить від форми області />. Якщо область /> є поверхневооднозв’язною, то із умови /> випливає, що існує функція /> така, що
/>.
Отже, />, тобто поле /> єпотенціальним в області />.
Таким чином,умова /> єнеобхідною і достатньою умовою потенціальності поля /> у поверхнево однозв’язнійобласті.
Потенціал /> потенціальногополя /> уповерхнево однозв’язній області можна обчислити за формулою:
/>
/>. (14)
Якщо область /> не єповерхнево однозв’язною, то умова /> не є достатньою дляпотенціальності поля /> в області />.
9. Інваріантнеозначення ротора
Нехай в області /> визначеновекторне поле />. Зафіксуємо точку /> і деяку площину, якапроходить через цю точку. Нехай /> – одиничний вектор нормалі доплощини, /> –замкнений контур, який лежить в площині і обмежує область /> таку, що /> – внутрішня точкаобласті />.Запишемо формулу (12) для векторного поля /> в області />. Застосовуючи до правоїчастини цієї формули теорему про середнє, отримуємо
/>,
диференціальневекторне поле формула соленоїдальне
звідки
/>,
де /> – площа області />, /> – деяка точкаобласті />.
Стягуватимемообласть /> доточки /> так,щоб /> залишаласявнутрішньою точкою області />. Тоді />, а /> прямуватимемо до />. Внаслідокнеперервності /> значення /> прямуватимемо до />. Таким чином, отримуємо
/>.
У праву частинуформули входять величини, інваріантні відносно вибору системи координат(циркуляція векторного поля вздовж замкненого контура і площа плоскої області).Тому дана формула дає інваріантне означення проекції /> в точці /> на напрям, який виражаєтьсязаданим вектором />.
Отже, проекціяротора векторного поля на довільний напрям, а отже, і сам /> залежить тільки відвекторного поля /> і не залежить від вибору системикоординат.
Для означеннявектора /> вищезазначенимспособом достатньо розглянути в заданій точці /> проекції /> на три довільних некомпланарнихнапрями. Такими трьома проекціями /> визначається однозначно.
Размещено на www.