Глава 1. Уравнения, системы уравнений.
1.Линейные уравнения.
1. Уравнение первойстепени вида />, называется линейным уравнением. Где/>-переменные, числа /> и /> стоящие перед переменныминазываются коэффициентами, а />и /> - свободные члены. Запишем линейноеуравнение
/> (1)
Длярешения уравнения (1) перенесем переменные содержащие коэффициенты, в левуючасть уравнения с положительным знаком, а свободные члены в правую частьуравнения с отрицательным знаком, получим уравнение вида
/> (2)
Пусть/>, а />, тогдауравнение (2) будет иметь вид
/> (3)
Примеры.
1)Решить уравнение />
Перенесем неизвестные скоэффициентами в левую часть уравнения, а свободные члены в правую часть,получим
/>
Используя уравнение (3)получим
/>
Ответ: />
2) Решить уравнение />
Видно, что в этомуравнении есть один отрицательный свободный член – 4. Но, перенося его вправую часть уравнения еще с одним отрицательным знаком, получим />, тогда
/>
Отсюда
/>
Ответ: />
3) Решить уравнение />
В этом уравнении одинкоэффициент отрицательный, перенося его и еще с положительным знаком в левуючасть нет смысла, т.к. />, тогда
/>
Отсюда
/>
Ответ: />
4) />
Используя объяснения куравнению 2), получим
/>
Отсюда
/>
Ответ: />
5) />
Используя объяснения,приведенные к уравнениям 1), 2), 3), 4), получим
/>
Отсюда
/>
Ответ: />
4
2. Пусть данолинейное уравнение вида
/> (4)
В отличие от уравнения(1) переменные, содержащие коэффициенты, переносятся в левую часть сотрицательным знаком, в правую часть свободные члены переносятся тоже со знакомотрицательным. Но свободный член /> в уравнении (4) и так стоит вправой части, поэтому он не будет менять знак, поменяет знак только член />. И так, решимуравнение (4).
Перенесем переменные скоэффициентами в левую часть с отрицательным знаком, а член /> в правую часть тоже сотрицательным знаком, получим
/> (5)
Отсюда
/>
Если />, то />
Решение уравнения (4)можно записать в виде системы
/> (6)
Пример. Решить уравнение />
Перенесем неизвестные скоэффициентами в левую часть с отрицательным знаком, а член /> в правую часть сознаком «минус», тогда
/>
Отсюда
/>
Ответ: />
3. Линейноеуравнение с двумя переменными имеет вид:
/> (7)
Для решения уравнения (7)выразим переменную /> через переменную />, т.е. получим уравнениевида
/> (8)
Для нахождения решения уравнения(7) в уравнении (8) выбирается произвольное (любое) значение />. Таким образом,уравнение (7) обладает множеством решений.
Пример. Решить уравнение />
Воспользуемся формулой(8), тогда
/>
Теперь выберем абсолютнолюбое значение икса, например, при
/> , получим
/>/>
Ответ: />
2. Квадратныеуравнения.
Уравнениевторой степени вида /> называется квадратным. Длярешения такого уравнения воспользуемся следующими формулами:
/> и /> (9)
Где /> и /> - корниквадратного уравнения
Пусть/>, тогдаесли />, томожно записать
/> (10)
Если />, то уравнениене имеет решений.
Пример.Решить уравнение />
Пользуясьформулами (9) получим
/>
Ответ: /> и />
3. Уравнение третей степени.
Уравнение третей степенивида /> называетсякубичным уравнением. Для решения такого уравнения заменим неизвестное — /> на коэффициент/> и вводяподстановку />
Получим более упрощенноеуравнение третей степени
/> (11)
Поскольку уравнение втретей степени, то соответственно решениями этого уравнения будут три корня,которые сейчас определим из следующей системы
/> (12)
Корни /> — есть решенияуравнения, где /> - комплексное число.
4. Уравнения высшихстепеней сводящиеся к квадратным.
1.Рассмотримуравнение, у которого одна переменная находится в четвертой степени, т.е. даноуравнение вида
/> (13)
Длярешения такого уравнения, выразим />через />, получим,
/> (14)
Решаяэто уравнение по следующим формулам, имеем
/> и /> (15)
Пример.Решить уравнение. />
Выразим/>через />, получим />, решая этоуравнение по формулам (19) получим
/>
/>
Отсюдаполучаем множество корней (решений) />
Ответ:/>
2.Рассмотрим уравнение, у которого одна степень находится в пятой степени, т.е.имеется уравнение вида
/> (16)
Длярешения такого уравнения выберем переменную, у которой степень самая меньшая,по сравнению с другими степенями, это будет переменная />, вынося ее за скобку получим
/> (17)
Отсюда/>, т.е. мыполучили некоторое множество нулей. Уравнение />, решается через дискриминант.
Пример.Решить уравнение />
Вынесем/> заскобку, получим />, отсюда />, который имеет множество корней(0; 0; 0). Далее, решая уравнение /> получим /> и />. Таким образом, получилимножество решений (0; 0; 0; -2; />).
5. Системы уравнений.
Пустьдана система уравнений
/> (18)
где /> - коэффициентыпри неизвестных /> и />, /> и /> - свободные члены.
Система(18) решается тремя способами 1) Графический способ; 2) Способ подстановки; 3)Способ сложения. Первый способ рассматривать не будем. Остальные способырассмотрим при решении следующих систем уравнений.
1) Способподстановки.
/>
Возьмемпервое уравнение системы /> и из этого уравнения выразим />через />, получим
/>
Подставивэто выражение во второе уравнение системы, получим
/>
Отсюда,
/>
Запишемпоследнее уравнение и решим его
/>
Подставивтеперь найденное значение /> в выражение, стоящее выше,получим
/>
Ответ:/> и />
2) Способ сложения.
/>
Умножимпервое и второе уравнения система на 2, получим
/>
Затем,сложив почленно уравнения системы, получим />. Найдем значения игрека, дляэтого найденное значение икса подставим в любое уравнение исходной(первоначальной) системы, получим
/>
3) Способ сложения.
Запишем систему
/>
Умножим первое уравнениена 2, а второе на 2, получим:
/>
Сложим 6x и 8x, получим 14x и12+6=18, отсюда />. Подставив теперь значение x в любое уравнение системы, получим
/>
Ответ: />
7.Система трех уравнений с тремя переменными.
/> (19)
где /> — коэффициентыпри неизвестных />, /> - свободные члены.
Длярешения системы (19) составим определитель
/> (20)
Первоечисло у индекса указывает число (номер) строки, второе число – номер столбца.Сам определитель обозначается буквой d.
Длявычисления определителя пользуются правилом Крамера, т.е.
d=/>=/>
Корни системы (24)находятся по формулам
/>
Где /> - числа, которыеследует определить по следующему правилу
/>
Таким же методомопределяются остальные определители
/>