Контрольнаяработа
Краткиесведения и задачи по курсу векторной илинейной алгебры
Векторная алгебра
Вариант №21
1. Найти скалярноепроизведение />.
/>
/>
2. При какомзначении α векторы />и />ортогональны?
/>;/>;/>;
/>;/>;/>;
Два вектора ортогональны,когда их скалярное произведение равно нулю.
/>
3. Для прямой М1М2написать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение.Начертить график прямой. М1(0,-3) М2(2,1).
Общий вид уравненияпрямой с угловым коэффициентом записывается в виде:
y-y1=k(x-x1),
значит для прямой М1М2
у+3=kx
Общий вид уравненияпрямой, проходящей через две точки записывается в виде:
/>,
значит для прямой М1М2
/>
Общий вид уравненияпрямой в отрезках записывается в виде:
/>,
Здесь
/>
Уравнения прямой вотрезках для прямой М1М2
/>;/>
/>
4. В треугольнике М0М1М2найти уравнение медианы, высоты, проведенных их вершины М0, а такжеуравнение средней линии EF, параллельнойоснованию М1М2.(М0(-1,-2); М1(0,-3);М2(2,1)).
Найдём координаты точки М3,координаты середины стороны М1М2:
/>
уравнения прямой,проходящей через две точки записывается в виде:
/>,
уравнение для высоты М0М3:
/>
Найдём уравнение прямой М1М2:
/>
Из условияперпендикулярности (k2=-1/k1) следует, что k2=1/2.
Уравнения прямой сугловым коэффициентом записывается в виде:
y-y1=k(x-x1),
тогда уравнение длявысоты примет вид:
y+1= (x+2)/2
или
x+2y=0.
Расстояние от точки М(x0,y0) до прямой Ax+By+c=0 находится по формуле:
/>
Чтобы найти длину высоту,найдём расстояние от точки М0(-3,-5) до прямойМ1М2,уравнение которой имеет вид -x+2y-4=0. Подставим данные в формулу(1):
/>
Найдём координаты точек ЕиF.
Для точки Е: x=-1/2; y=-5/2; E(-1/2;-5/2).
Для точки F: x=1/2; y=-1/2;F(1/2;-1/2).
Уравнение прямой EF:
y+5/2=-2x-1 или 2x+y+3,5=0.
5. По каноническомууравнению кривой второго порядка определить тип кривой, начертить её график.Найти координаты фокусов, вершин и центра (для центральной кривой).
/>
/>
/>
/>
/> (1)
Воспользуемсяпараллельным переносом (O’(-3,-1))
/> (2)
Подставим (2) в (1),получим
/>/>
кривая второго порядкаявляется эллипсом.
F1(c;0); F2(-c;0).
/>
т.к./>
/>
Координаты центра: O’(-3,-1).
/>
6. Преобразовать кполярным координатам уравнения линии./>
/>
/>
/>
/>
1)/>
2) />
Первое уравнениепредставляет собой (при любых значениях φ) полюс О. Второе – дает всеточки линии, в том числе полюс. Поэтому первое уравнение можно отбросить. Следовательно,получаем:
/>
Линейная алгебра
Матрицы
Ответы на вопросы
1. Дайтеопределение обратной матрицы. Какие вы знаете способы вычисления обратнойматрицы?
Матрица В называетсяобратной для матрицы А, если выполняется условие АВ=ВА=Е, где Е – единичнаяматрица. Способы вычисления обратной матрицы: 1) использование алгебраическихдополнений; 2) привести исходную матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса,после чего необходимо преобразовать её в единичную />.
2. Какзаписывается система уравнений в матрично-векторной форме? Как найти решениесистемы уравнений при помощи обратной матрицы?
Система уравнений вматрично-векторной форме записывается в виде: />.
Решение системы уравненияпри помощи обратной матрицы:
/>
3. Сформулируйте,в чем состоит процедура Гаусса и для решения каких линейных задач применяется?
Процедура Гауссаиспользуется для решения систем линейных уравнений и состоит в следующем:
Выполняются элементарныепреобразования, вследствие чего можно получить два исхода:
1. получаетсястрочка, в которой до черты стоят нули, а после – ненулевое число, тогдарешения нет;
2. системаприводится к лестничному виду.
Если в системелестничного вида число уравнений совпадает с числом неизвестных, то решениеединственное.
Если число уравненийменьше чем число неизвестных, то решений бесконечное множество. В этом случаенеизвестные разделяются на зависимые и свободные. Число зависимых неизвестныхсовпадает с числом уравнений.
Задача 1.
/>/>
/>/>
/>/>
/>/>
/>
X4-свободная переменная
r = 3
система совместима.
/>/>
Задача 2
/>
/>
т.к. detA/>0, то матрица является невырожденной.
А11=3; А12=-1; А13= -10; А21=0; А22=0; А23= -1; А31=0; А32=-1; А33= -1.
/>;
/>.
/>
/>/>
/>/>
/>/>.
/>.
5. Найти скалярное произведение />.
/>
/>
6. При какомзначении α векторы />и />ортогональны?
/>;/>;/>;
/>;/>;/>;
Два вектора ортогональны,когда их скалярное произведение равно нулю.
/>
7. Для прямой М1М2написать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение.Начертить график прямой. М1(2,-2) М2(1,0).
Общий вид уравненияпрямой с угловым коэффициентом записывается в виде:
y-y1=k(x-x1),
значит для прямой М1М2
у+2=k(x-2)
Общий вид уравненияпрямой, проходящей через две точки записывается в виде:
/>,
значит для прямой М1М2
/>
Общий вид уравненияпрямой в отрезках записывается в виде:
/>,
здесь />
Уравнения прямой вотрезках для прямой М1М2
/>;/>
y=-2x+2
/>
8. В треугольнике М0М1М2найти уравнение медианы, высоты, проведенных их вершины М0, а такжеуравнение средней линии EF,параллельной основанию М1М2.(М0(-3,-5); М1(2,-2);М2(1,0)).
Найдём координаты точки М3,координаты середины стороны М1М2:
/>
уравнения прямой,проходящей через две точки записывается в виде:
/>,
уравнение для высоты М0М3:
/>
Найдём уравнение прямой М1М2:
/>
Из условияперпендикулярности (k2=-1/k1) следует, что k2=-1/2.
Уравнения прямой сугловым коэффициентом записывается в виде:
y-y1=k(x-x1),
тогда уравнение длявысоты примет вид:
y+5= -(x+3)/2
или
x+2y+13=0.
Расстояние от точки М(x0,y0) до прямой Ax+By+c=0 находится по формуле:
/>
Чтобы найти длину высоту,найдём расстояние от точки М0(-3,-5) до прямойМ1М2,уравнение которой имеет вид 2x+y-2=0. Подставим данные в формулу(1):
/>
Найдём координаты точек ЕиF.
Для точки Е: x=-1/2; y=-7/2; E(-1/2;-7/2).
Для точки F: x=-1; y=-5/2;F(-1;-5/2).
Уравнение прямой EF:
y+7/2=-2x-1 или 2x+y+4,5=0.
9. По каноническому уравнению кривойвторого порядка определить тип кривой, начертить её график. Найти координатыфокусов, вершин и центра (для центральной кривой).
/>
/>
/>
/>
/> (1)
Воспользуемсяпараллельным переносом (O’(-2,2))
/> (2)
Подставим (2) в (1),получим
/>/>
кривая второго порядкаявляется эллипсом.
F1(c;0); F2(-c;0).
/>
т.к./>
/>
Координаты центра: O’(-2,2).
/>
10. Преобразовать кполярным координатам уравнения линии./>
/>
/>
/>
/>
1) />
2) />
Первое уравнениепредставляет собой (при любых значениях φ) полюс О. Второе – дает всеточки линии, в том числе полюс,. Поэтому первое уравнение можно отбросить.Следовательно получаем:
/>
Ответы на вопросы
4. Дайте определениеобратной матрицы. Какие вы знаете способы вычисления обратной матрицы?
Матрица В называетсяобратной для матрицы А, если выполняется условие АВ=ВА=Е, где Е – единичнаяматрица. Способы вычисления обратной матрицы: 1) использование алгебраическихдополнений; 2) привести исходную матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса,после чего необходимо преобразовать её в единичную />.
5. Как записываетсясистема уравнений в матрично-векторной форме? Как найти решение системыуравнений при помощи обратной матрицы?
Система уравнений вматрично-векторной форме записывается в виде:
/>.
Решения системы уравненияпри помощи обратной матрицы:
/>
6. Сформулируйте, вчем состоит процедура Гаусса и для решения каких линейных задач применяется?
Процедура Гауссаиспользуется для решения систем линейных уравнений и состоит в следующем:
Выполняются элементарныепреобразования, вследствие чего можно получить два исхода:
3. получаетсястрочка, в которой до черты стоят нули, а после – ненулевое число, тогдарешения нет;
4. системаприводится к лестничному виду.
Если в системелестничного вида число уравнений совпадает с числом неизвестных, то решениеединственное.
Если число уравненийменьше чем число неизвестных, то решений бесконечное множество. В этом случаенеизвестные разделяются на зависимые и свободные. Число зависимых неизвестныхсовпадает с числом уравнений.
Задача 1.
/>/>/>
/>/>/>
/>/> r=2; система совместима.
х 3,x 4 – свободные переменные
/>
/>;/>.
Задача 2.
/>
/>
т.к. detA/>0, то матрица невырождена.
А11=-1; А12=-3;А13=-1; А21=-3; А22=1; А23=2; А31=2; А32=-1; А33=-3.
/>
/>
/>/>/>/>/>/>/>
/>
/>.