Пусть функция z = f(х, у) в критической точке М0(х0, у0) и некоторой
её окрестности имеет непрерывные частные производные второго
порядка. Положим
.
Тогда:
1) если ∆ > 0, то функция z = f(х, у) имеет экстремум в точке
М0(х0, у0): максимум, если А< 0 и минимум, если А > 0;
2) если ∆<0, то функция z=f(х, у) в точке М0(х0,, у0) экстремума не имеет;
3) в случае, если ∆ = 0, то в точке М0(х0, у0) экстремум может быть,
может не быть. Необходимы дополнительные исследования.
Пример 4. Исследовать на экстремум функцию z = 3xy – x2y – xy2 .
Решение. Областью определения функции является множество точек на плоскости XОY, т.е. (х, у) Î R2. Найдем частные производные функции:
; .
Точки, в которых частные производные не существуют, отсутствуют.
Следовательно, критические точки найдем, решая систему уравнений:
.
Отсюда получим точки: М1(0, 0), М2(3, 0), М3(0, 3), М4(1, 1).
Найдем частные производные второго порядка данной функции:
, ,
.
В точке М1(0, 0) имеем: А1 = 0, В1 = 3, С1 = 0, ∆1 = АС – В2 = –9 < 0.
Т.к. ∆1 < 0, то в точке М1(0, 0) функция экстремума не имеет.
В точке М2(3, 0) имеем: А2 = 0, В2 = –3, С2 = –6, ∆2 = –9 < 0. Также
экстремума нет.
В точке М3(0, 3) имеем: А3 = –6, В2 = –3, С3 = 0, ∆3 = –9 < 0. Функция
экстремума не имеет.
В точке М4(1, 1) имеем: А4 = –2, В4 = –1, С4 = –2, ∆4 = 3, т.е. ∆4 > 0.
Т.к. А4<0, то в точке М4 функция имеет максимум: zmax=z(1; 1)=3 –1 – 1 =1.