Пусть функция описывает изменение производительности некоторого производства в зависимости от времени t. Найдем объем продукции U, произведенной за промежуток времени .
Если производительность не изменяется с течением времени, то за промежуток времени объем произведенной продукции может быть найден по формуле: .
Для нахождения объема продукции U, произведенной за промежуток времени при меняющейся во времени производительности , поступим следующим образом.
Разобьем отрезок на n произвольных промежутков времени точками: . Выберем на каждой из полученных частей произвольным образом по точке . Будем считать, что производительность на каждом промежутке времени постоянна и равна ее значению в выбранной точке, т.е. . Тогда величина объема продукции , произведенной за промежуток времени , равна , где .
Объем всей произведенной продукции будет приближенно равен сумме :
.
При стремлении , к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому
. (16)
Обобщением решения этих задач и многих им подобных является понятие определенного интеграла.