ФЕДЕРАЛЬНОЕАГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Курсовая работа
По курсу«Подземная гидромеханика»
Тема: «Выводуравнения Лапласа. Плоские задачи теории фильтрации»
2009
Содержание
Введение
1. Дифференциальныеуравнения движения сжимаемой и несжимаемой жидкости в пористой среде. Выводуравнения Лапласа.
2.Плоские задачи теории фильтрации
2.1Приток к совершенной скважине
2.1.1Фильтрационный поток от нагнетательной скважины к эксплуатационной
2.1.2Приток к группе скважин с удаленным контуром питания
2.1.3Приток к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания
2.1.4Приток к скважине, расположенной вблизи непроницаемой прямолинейной границы
2.1.5Приток к скважине в пласте с произвольным контуром питания
2.1.6Приток к бесконечным цепочкам и кольцевым батареям скважин
2.1.6.1Приток к скважинам кольцевой батареи
2.1.6.2Приток к прямолинейной батареи скважин
2.1.7Метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений
Вывод
Литература
Введение
Подземная гидромеханика — наука о движении жидкостей,газов и их смесей в пористых и трещиноватых горных породах — теоретическаяоснова разработки нефтяных и газовых месторождений, одна из профилирующихдисциплин в учебном плане промыслового и геологического факультетов нефтяныхвузов.
В основе подземной гидравлики лежит представление о том,что нефть, газ и вода, заключенные в пористой среде, составляют единуюгидравлическую систему.
Теоретической основой ПГД является теория фильтрации — наука, описывающая данное движение флюида с позиций механики сплошной среды,т.е. гипотезы сплошности (неразрывности) течения.
Особенностью теории фильтрации нефти и газа в природныхпластах является одновременное рассмотрение процессов в областях, характерныеразмеры которых различаются на порядки: размер пор (до десятков микрометров), диаметрскважин (до десятков сантиметров), толщины пластов (до десятков метров),расстояния между скважинами (сотни метров), протяженность месторождений (досотен километров).
В данной курсовой работе выводится основное уравнениеЛапласа и рассматриваются плоские задачи теории фильтрации, а так же ихрешение.
1. Дифференциальные уравнения движения сжимаемой инесжимаемой жидкости в пористой среде. Вывод уравнения Лапласа
При выводе дифференциального уравнения движения сжимаемойжидкости исходными уравнениями являются следующие:
закон фильтрации жидкости; в качестве закона фильтрациипринимаем линейный закон фильтрации, выражающийся формулами (3.1)
/>, (3.1)
уравнение неразрывности (3.2)
/>, (3.2)
уравнение состояния. Для капельной сжимаемой жидкостиуравнение состояния может быть представлено в виде (3.3)
/>, (3.3)
где /> - плотность жидкости приатмосферном давлении />.
Подставляя в уравнение неразрывности (3.2) вместопроекций скорости фильтрации vx, vy и vz их значения из линейного закона,выражающегося формулой (3.1), получим:
/>, (3.4)
уравнения состояния (3.3) имеем:
/>, (3.5)
Откуда
/>,
/>,
/>. (3.6)
Подставляя эти значения частных производных />, /> и /> в уравнение (3.4),получим:
/>
Вводя оператор Лапласа
/>
уравнение (3.7) более кратко можно написать в виде
/>, (3.8)
Учитывая, что
/>, (3.9)
уравнение (3.7) можно приближенно представить в виде:
/>,(3.10)
Уравнение (3.7) или приближенное заменяющее его уравнение(3.10) есть искомое дифференциальное уравнение неустановившегося движениясжимаемой жидкости в пористой среде. Упомянутые уравнения имеют вид «уравнениятеплопроводности», интегрирование которого при различных начальных и граничныхусловиях рассматривается в каждом курсе математической физики.
Решение различных задач о неустановившемся движенииоднородной сжимаемой жидкости в пористой среде, основанное на интегрированииуравнения (3.7) при различных начальных и граничных условиях, дается в книгахВ. Н. Щелкачева, И. А. Чарного и М.Маскета. При установившемся движениисжимаемой жидкости /> и вместо уравнения (3.7) имеем:
/>, (3.11)
Уравнение (3.11) называется уравнением Лапласа.
При установившейся и неустановившейся фильтрациинесжимаемой жидкости плотность жидкости постоянна следовательно, величина,стоящая в правой части уравнения (3.4), равна нулю. Сокращая левую часть этогоуравнения на постоянную /> и выполнив дифференцирование,получим:
/>, (3.12)
Таким образом, установившаяся и неустановившаясяфильтрация несжимаемой жидкости описывается уравнением Лапласа (3.12).
2. Плоские задачи теории фильтрации
При разработке нефтяных и газовых месторождений (НГМ)возникает два вида задач:
1. Задаётся дебит скважин и требуется определитьнеобходимое для этого дебита забойное давление и, кроме того, давление в любойточке пласта. В данном случае величина дебита определяется значением предельнойдля имеющихся коллекторов депрессией, при которой ещё не наступает ихразрушение, или прочностными характеристиками скважинного оборудования, илифизическим смыслом. Последнее означает, например, невозможность установлениянулевого или отрицательного забойного давления.
2. Задаётся забойное давление и требуется определитьдебит. Последний вид условия встречается наиболее часто в практике разработкиНГМ. Величина забойного давления определяется условиями эксплуатации. Например,давление должно быть больше давления насыщения для предотвращения дегазациинефти в пласте или выпадения конденсата при разработке газоконденсатныхместорождений, что снижает продуктивные свойства скважин. Наконец, есливозможен вынос песка из пласта на забой скважины, то скорость фильтрации настенке скважины должна быть меньше некоторой предельной величины.
/>
Замечено, что при эксплуатации группы скважин водинаковых условиях, т.е. с одинаковым забойным давлением, дебит всегоместорождения растёт медленнее увеличения числа новых скважин с теми жезабойными условиями (рис.4.1). Увеличение дебита при этом требует понижениязабойного давления.
Для решения поставленных задач решим задачу плоскойинтерференции (наложения) скважин. Предположим, что пласт — неограниченный,горизонтальный, имеет постоянную мощность и непроницаемые подошву и кровлю.Пласт вскрыт множеством совершенных скважин и заполнен однородной жидкостью илигазом. Движение жидкости — установившееся, подчиняется закону Дарси и являетсяплоским. Плоское движение означает, что течение происходит в плоскостях,параллельных между собой и картина движения во всех плоскостях идентична. Всвязи с этим разбирается течение в одной из этих плоскостей — в основнойплоскости течения.
Решение задач будем строить на принципе суперпозиции(наложения) потоков. Основанный на этом принципе метод суперпозиции заключаетсяв следующем.
/>
При совместном действии в пласте нескольких стоков(эксплуатационных скважин) или источников (нагнетательных скважин)потенциальная функция, определяемая каждым стоком (источником), вычисляется поформуле для единственного стока (источника). Потенциальная функция,обусловленная всеми стоками (источниками), вычисляется путём алгебраическогосложения этих независимых друг от друга значений потенциальной функции.Суммарная скорость фильтрации определяется как векторная сумма скоростейфильтрации, вызванная работой каждой скважины (рис.4.2b).
Пусть в неограниченном пласте действует n стоков сположительным массовым дебитом G и источников с отрицательным дебитом (рис.4.2a)… Поток в окрестности каждой скважины в этом случае плоскорадиален ипотенциал
/>,(4.1)
где i — номер скважины; ri — расстояние между некоторойточкой пласта М и центром скважины под номером i.
Пользуясь методом суперпозиции, определим потенциалсложного потока
/>,(4.2)
где
/>.
Зависимость (4.2) физически означает, что фильтрационныепотоки от работы каждого источника-стока накладываются друг на друга. Т.к.пласт предполагается неограниченным, то потенциал на бесконечности равенбесконечности. В центрах стоков-источников (ri=0) потенциал также равенбесконечности.
Если жидкость несжимаема, то вместо массовых дебитовможно использовать объёмные дебиты Q в зависимости (4.2).
Для определения уравнений эквипотенциальных поверхностей(изобар) следует иметь в виду, что во всех точках этих кривых значениепотенциала (давления) должно оставаться неизменным. Т.о. приравнивая (4.2) кнекоторой постоянной получим
/>,(4.3)
где П — знак произведения; С1 — постоянная.
Если дебиты всех скважин равны по величине, то
/>,(4.4)
Линии тока образуют семейство кривых, ортогональныхизобарам.
Метод суперпозиции можно использовать не только вбесконечных пластах, но и в пластах, имеющих контур питания или непроницаемуюграницу произвольной формы. В этом случае для выполнения тех или иных условийна границах вводятся фиктивные стоки или источники за пределами пласта.Фиктивные скважины в совокупности с реальными обеспечивают необходимые условияна границах и задача сводится к рассмотрению одновременной работы реальных ификтивных скважин в неограниченном пласте. Данный метод называется методомотображения источников и стоков.
2.1 Приток к совершенной скважине
Формула (4.2) основная в решении задач интерференциискважин. Рассмотрим применение этой формулы в случаях: фильтрационного потокаот нагнетательной скважины к эксплуатационной; пласта с произвольным контуромпитания, но удалённым от скважин и пласта с прямолинейным контуром питания.
2.1.1 Фильтрационный поток от нагнетательной скважины кэксплуатационной
Пусть сток О1 и источник О2 равнодебитны, т.е. имеютодинаковые по модулю массовые дебиты G. Расстояние между источником и стокомравно 2а. Исследуем поток от источника к стоку.
/>
Проведём ось 0 х через точки О1 и О2 таким образом, чтобыточка О1 находилась от начала координат 0 на расстоянии а1, а точка О2 нарасстоянии а2 (рис. 4.3).
По формуле (4.2) определим потенциальную функцию потока.При этом учтем знаки дебитов: источник G 1= — G, а сток G 2= + G. Послеподстановки получим:
/>,(4.5)
где r1 и r2 — расстояния любой точки пласта до стока иисточника, соответственно.
Уравнение изобар (4.4) при этом будет иметь вид
/> (4.6)
и соответствует окружностям, центры которых расположенына оси 0х. Если поместим начало координат в центре какой-либо окружностисемейства, то радиус данной окружности определится выражением
/>,(4.7)
а коэффициент
/>. (4.8)
Подставляя С1 в (4.7) найдем
/>. (4.9)
Из (4.9) видно, что a1 R >a2; следовательно, все окружности пересекают ось между стоком и источником, азначит, одна из особых точек находится внутри окружности данного радиуса R,другая — вне этой окружности. Точки О1 и О2, положения которых на прямой 0хопределяются равенством (4.7), называются взаимосимметричными относительноокружности радиуса R.
Допустим, что радиус R=¥,т.е. берём ту эквипотенциальную линию, которая является прямой. Из (4.7)следует, что в этом случае С1=1 и, как следует из (4.6), r1=r2. Последнееравенство означает, что в числе эквипотенциальных линий есть прямая 0у, котораяделит расстояние между стоком и источником пополам и параллельна оси 0у(рис.4.3).
Итак, эквипотенциальные линии (изобары) при совместномдействии одной эксплуатационной и одной нагнетательной скважин в неограниченномпласте представляют собой окружности, центры которых расположены на прямой,проходящей через центры скважин (рис.4.4)… Среди окружностей есть одна,имеющая бесконечно большой радиус — прямая, которая делит расстояние междускважинами и всю плоскость течения пополам. Половина всех окружностей конечногорадиуса R расположена по одну сторону от этой прямой, остальные окружности — подругую.
/>
Семейство линий тока ортогонально изобарам и,следовательно, в данном случае тоже окружности. Все линии тока проходят черезсток и источник. Центры всех окружностей линий тока расположены на прямой,делящей расстояние между стоком и источником пополам (рис.4.4).
Массовый дебит эксплуатационной и нагнетательной скважинпри их совместной деятельности определяется на основе соотношения (4.5),расписанного для каждой скважины при учете отношений радиусов (рис.4.3): наконтуре эксплуатационной скважины — />; на контуре нагнетательнойскважины — />.Решая, полученную систему уравнений, имеем
/>. (4.10)
Массовая скорость фильтрации в любой точке пласта М(рис.4.2) находится по правилу суперпозиции сложения векторов скорости отдействия источника и стока
/>. (4.11)
Величина корня есть расстояние между источником и стоком2а и, следовательно, формула (4.11) перепишется в виде
/>, (4.12)
Для поддержания пластового давления часто используетсянагнетание воды в пласт. Определим для однородной несжимаемой жидкости времядвижения частицы по кратчайшему пути между нагнетательной и эксплуатационнойскважинами, т.е. по оси 0х. При жестководонапорном режиме решается при этомвопрос о времени, протекшем от начала закачки воды в пласт до начала её прорывав эксплуатационную скважину.
Чтобы решить указанную задачу выразим скорость в (4.12)через производную расстояния по времени и, поместив начало координат в сток О1, проинтегрируем полученное уравнение по х от х0 до х. Тогда время движениячастицы от некоторой точки х0 до точки х определится зависимостью
/>. (4.13)
Время обводнения Т, т.е. прохождения частицы расстоянияО1О2= 2а определится из (4.13), если принять х=0; х0=2а
/>, (4.14)
где m — пористость; Q — объёмный дебит.
Зная Т можно найти площадь обводнения w, приравнивая объёмы TQ и mhw. Откуда
/>,(4.15)
Анализ формул (4.13) и (4.14) показывает, что расстояние,пройденное частицей за время Т от нагнетательной скважины до эксплуатационной,вдвое больше расстояния пройденного другой частицей за это же время вположительном направлении оси х.
4.1.2 Приток к группе скважин с удаленным контуромпитания
В большинстве практических случаев контур питаниянаходится довольно далеко. Поэтому решения данной задачи позволяют провестипредварительную оценку однородных участков месторождений.
Пусть в пласте расположена группа из n скважин (рис. 4.5)с различными для общности дебитами Gi, забойными потенциалами pi и радиусамискважин ri. Расположение скважин задано и на достаточно большом удалениинаходится контур питания, форма которого неизвестна, но известен порядокрасстояния rк от контура питания до группы скважин При этом rк на много большерасстояния между скважинами. Считаем, что дан потенциал контура j к и забойные потенциалы скважин j i.
/>
Для определения дебитов используем формулу (4.2) припомещении точки М на забое каждой скважины, что позволяет записать n — уравнений вида
/>, (4.16)
где rci — радиус скважины на которую помещена точка М;rji — расстояние между i — ой и j — ой скважинами; jci — забойный потенциал i — ой скважины.
Неизвестных же — n+1, так как константа тоже неизвестна.Для нахождения константы С воспользуемся условием j=jк на удалённомконтуре питания:
/>, (4.17)
Приближение заключается в том, что для удаления точекконтура питания от скважин принимаем одно и тоже расстояние rк, чтосправедливо для достаточного удаления контура, учитывая что оно находится подзнаком логарифма. Уравнение (4.17) и будет (n+1 ) уравнением.
Таким образом плоская задача интерференции при удалённомконтуре питания сводится к решению алгебраической системы уравнений первойстепени (4.16),(4.17).
При помощи данной системы можно находить или депрессиюпри заданном дебите, или получить значения дебитов при заданных депрессиях. Принайденных дебитах можно определить пластовое давление в любой точке по (4.2),причем результат будет тем точнее, чем дальше эта точка отстоит от контурапитания.
2.1.3 Приток к скважине в пласте с прямолинейным контуромпитания
Пусть в полосообразном пласте пробурена одна скважина сцентром в точке О1 на расстоянии а от прямолинейного контура (ось у )бесконечного протяжения, на котором поддерживается постоянный потенциал jк. На скважине радиуса rc поддерживаетсяпостоянный потенциал jс. Найдём дебитскважины G и распределение функции j.
Так как контур питания пласта 0у являетсяэквипотенциальной линией, то все линии тока, сходящиеся в центре скважины О1,должны быть перпендикулярны к прямой 0у (рис.4.6). Для определения поля течениядобьёмся выполнения граничных условий на контуре введением фиктивного источникаО2 с дебитом, равным дебиту стока О1, путём зеркального отображения данногостока относительно прямой 0у.Т.о. используем ранее упомянутый метод отображенияи задачу о потоке в пласте с прямолинейным контуром питания и с одиночнойэксплуатационной скважиной сведём к ранее рассмотренной в разделе 4.1.1. задачео совместном действии источника и стока равной производительности. Отличиеданных задач только в постановке граничных условий: в задаче раздела 4.1.1.источник питания — нагнетательная скважина, а в данном случае — прямолинейныйконтур, а источник О2 фиктивный.
/>
Т.о. используем для определения дебита выражение (4.10),но со следующей заменой граничных условий: j=jк при r1=r2, т.е. при r1/r2=1; j=jспри r1=rс, r2»2а, т.е. при r1/r2» rс /2а;
Подставляя последовательно соответствующие граничныезначения j, r1 и r2 в равенство (4.10)получим два уравнения, определяющих потенциалы на контуре и забое. Из этихуравнений легко находится массовый дебит одиночной скважины в пласте спрямолинейным контуром
/>/>.(4.18)
Если бы в пласте была нагнетательная скважина, то вформуле (4.18) достаточно только изменить знак правой части.
2.1.4 Приток к скважине, расположенной вблизинепроницаемой прямолинейной границы
Данная задача может возникнуть при расположениидобывающей скважины вблизи сброса или около границы выклинивания продуктивногопласта. В этом случае реальную скважину-сток зеркально отображают относительнонепроницаемой границы, и дебиту скважины — отображения приписывают тот же знак,что и дебиту реальной скважины. При притоке к двум равнодебитным скважинамскорость фильтрации на непроницаемой границе будет направлена вдоль границы,т.е. граница является линией тока и фильтрация через неё отсутствует. Дебитскважины определяется из уравнений (4.16) и (4.17) для n=2 в пласте с удалённымконтуром питания:
/>/>.(4.19)
2.1.5 Приток к скважине в пласте с произвольным контуромпитания
В естественных условиях контур питания имеет произвольнуюформу и её не всегда удаётся определить. Кроме того, часто не удаётсяопределить достаточно точно и расстояние а от скважины О1 до контура. Можно лив этом случае пользоваться формулой предыдущего раздела? Любой произвольныйконтур В находится между прямолинейным Впр и круговым Вкр. (рис.4.7).
/>
Расчеты дебитов проведенные для этих двух крайнихразновидностях контуров показали:
При вычислении дебита скважины форма внешнего контурапласта не имеет сколько-нибудь существенного значения.
Чем дальше от внешнего контура пласта находится скважина,тем меньший дебит она имеет. Однако, так как величина расстояния входит подзнаком логарифма, то даже значительное изменение этого расстояния мало влияетна величину дебита
В случае расположения скважины эксцентрично относительноконтура поток можно считать плоско-радиальным и дебит рассчитывать по формулеДюпюи если rк.>103 rc и эксцентриситет а1
Таким образом, для практических расчетов точное знаниеформы и расстояния до контура питания необязательно, но порядок расстояния доконтура питания должен быть известен.
2.1.6 Приток к бесконечным цепочкам и кольцевым батареямскважин
Рассмотрим многорядные батареи скважин. Решение задачи обинтерференции скважин в пласте с удаленным контуром питания показывает, что вобщем случае приходится решать столько уравнений, сколько имеется скважин.Следовательно, для получения точного решения необходимо использование ЭВМ, т.к.на месторождениях имеется десятки и сотни скважин, но можно воспользоваться сдостаточной для практики точностью приближенным решением данной задачи.
При рациональной системе разработки скважины располагаютобычно в виде рядов, расставленных вдоль контура нефте-газоносности и контурапитания. Эти линии называются батареями или рядами скважин. Без большойпогрешности можно считать дебит скважин в каждом ряду одинаковым, если в каждомряду скважины находятся в одинаковых условиях. Дебиты же скважин в разных рядахбудут отличаться друг от друга. Наибольший дебит имеет первый ряд, ближайший кконтуру питания, а по мере удаления дебит уменьшается. Поэтому число одновременноработающих рядов редко превышает двух-трёх и последующие ряды включаются помере приближения контура нефте-газоносности. Когда вода подошла к первому ряду,то он выключается и включается один из следующих рядов и т.д.
В этом случае число неизвестных уменьшается от числаскважин n до числа рядов N (обычно число рядов не превышает 2-4), а это ужегораздо более простая задача.
2.1.6.1 Приток к скважинам кольцевой батареи
Пусть центры скважин располагаются в вершинах правильногоn-угольника, т.к. что скважины образуют кольцевую батарею радиуса а (рис. 4.8).Контур питания удалён от скважин на расстояние, значительно превышающее радиусбатареи и тогда можно считать, что все скважины равноудалены от контура питанияна расстояние rк. Будем считать, что на контуре питания поддерживаетсяпостоянное значение потенциала jк и наконтуре скважин потенциал постоянен и равен jс.В данной постановке следовательно надо решить задачу о плоском течении к nточечным стокам, размещённым равномерно на окружности радиуса а. Для полученияформулы дебита скважин воспользуемся формулой (4.2)