Введение
Основоположником теории квадратичных форм является французский математик Лагранж. Им была доказана конечность числа классов бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта.
Начинается арифметическая теория квадратичных форм с
утверждения Ферма о существовании простых чисел
Теория квадратичных форм продолжала развиваться. Гаусс также вводит много новых понятий. Гауссу сумел получить доказательства трудных и глубоких теорем теории чисел.
В данной работе исследуются предварительные общие сведения о бинарных квадратичных формах. Приведено элементарное доказательство известной оценки для числа приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта. Здесь рассмотрены периоды неопределенных квадратичных форм, также решены два вопроса о двусторонних формах. Также приведены доказательства, что диагональные формы одного и того же положительного дискриминанта не эквивалентны.
Предварительные сведения о бинарных квадратичных форм
Определим общие понятия и свойства, которые прямым образом касаются бинарных квадратичных форм.
Однородный многочлен второй степени от двух переменных называется бинарной квадратичной формой:
где
Соответственно используемые коэффициенты в данной
формуле
Для наглядности эту формулу будем обозначать через
В теории форм над кольцами и в первую очередь над
кольцом
В теории квадратичных форм над полями приведены формы,
у которых второй коэффициент без множителя
Если в бинарной квадратичной форме (1) коэффициенты
В данной работе классические квадратичные формы будем называть численными.
Если существует линейная подстановка переменных
тогда бинарные целочисленные квадратичные формы
Иначе, если целочисленная подстановка (2) с определителем
Полученные эквивалентные формы обозначим следующим
образом:
Из (2) и (3) вытекают соотношения, связывающие
коэффициенты двух эквивалентных форм
Эквивалентные бинарные квадратичные формы имеют один и
тот же дискриминант, т.е. число
Предположим, что
Эквивалентные бинарные квадратичные формы представляют одно и то же множество целых чисел.
Допустим, что формы
тогда
Предположим
Таким образом, форма
Свойствами рефлективности симметричности и транзитивности обладает отношение собственной эквивалентности бинарных квадратичных форм.
Следуя этому утверждению, можно сказать, что если для
целого числа
Множество всех бинарных квадратичных форм
эквивалентных форме
В силу предложения 2 и определения 5 можно сказать, что множество бинарных квадратичных форм данного дискриминанта распадается на классы форм, собственно эквивалентных относительно унимодулярного целочисленного преобразования переменных (2).
Далее, в зависимости от знака дискриминанта
Определение 6. Квадратичная форма
Рассмотрим теперь вкратце теорию приведения
неопределенных бинарных квадратичных форм. Суть этой теории состоит в выделении
в каждом классе так называемых приведенных форм — «стандартных» форм класса.
Рассматривая квадратичные формы положительного дискриминанта, будем считать ее
коэффициенты произвольными вещественными числами. Кроме того, будем
предполагать, что крайние коэффициенты
Назовем корень
Определение 7. Неопределенная квадратичная форма
Покажем, что у приведенной формы
Далее,
Аналогично имеем
Покажем теперь, что
Но последние два неравенства не могут одновременно
выполняться. Значит, наше допущение, что
Т.к.
Обратно, система неравенств
характеризует приведенность неопределенной формы
Определение 8. Бинарная квадратичная форма
или
Без доказательства приведем следующее свойство приведенных форм.
Предложение 4. Каждая форма дискриминанта
Доказательство см. [1,2]. В [1] используется аппарат непрерывной дроби, а в [2] понятие соседней формы.
Определение 9. Целочисленная квадратичная форма
НОД
НОД
Определение 10. Пусть
Так как
При
Возникает вопрос: конечно или бесконечно число целочисленных приведенных неопределенных форм. Ответ дает следующее.
Предложение 5. Число всех целочисленных приведенных неопределенных форм с заданным дискриминантом конечно.
Доказательство см. [2,п.185]
О периодах неопределенных бинарных квадратичных уравнений
Теория неопределенных бинарных квадратичных форм существенно отличается от теории определенных форм наличием периодов приведенных форм. Гаусс первым обнаружил это явление и глубоко вник в природу приведенных форм с положительным неквадратным дискриминантом в связи с решением основных задач этой теории (см. [1,2]). В этом параграфе мы дадим основные свойства периодов неопределенных форм.
Нашему изложению мы сначала предпошлем те основные понятия из гауссовой теории квадратичных форм, которые нам понадобятся в дальнейшем (см. [1,2]).
Определение 1. формой соседней справа к целочисленной
форме
Заметим, что при такой подстановке форма
Аналогичным образом определяется соседняя слева форма
Из определения соседних форм непосредственно следует предложение 1: соседние формы собственно эквивалентны.
С помощью процесса нахождения последовательных
соседних форм мы придем к другому важному понятию периода приведенных форм.
Именно, пусть
Так как в силу предложения 5 §1 число всех
целочисленных приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм с заданным
дискриминантом конечно, то в бесконечном ряду форм
Определение 2. Совокупность различных последовательных
соседних приведенных неопределенных форм
Приведем несколько общих замечаний об этих периодах, следующих из их определения (см. [2]).
Предложение 2. Если формы
Отсюда получается следующее свойство периодов.
Предложение 3. Количество квадратичных форм, из
которых состоит период заданной формы
Доказательство предложения 3 см. [1,2].
Заметим, что каждая форма
Отсюда получается следующее свойство периодов.
Предложение 4. Все целочисленные неопределенные бинарные квадратичные формы с одинаковым дискриминантом могут быть разбиты на периоды.
Доказательство (см. [2] разд. V , п.187) основано на том их свойстве, что периоды либо совпадают, либо они попарно не пересекаются, и каждая форма попадет только в один из периодов.
Пример. Все приведенные неопределенные формы с
дискриминантом
I.
II.
III.
IV.
V.
VI .
Видим, что в каждом периоде содержится четное число приведенных форм: в периодах I и II по четыре формы, а в остальных периодах по шесть форм.
Особы интерес представляют так называемые обратные и двусторонние формы, показывающие наряду с гауссовой композицией форм глубокий смысл различия собственной и несобственной эквивалентностью целочисленных бинарных квадратичных форм.
Определение 3. Формы
Замечание. Так как форма
Определение 4. Класс бинарных квадратичных форм, совпадающий с обратным, называется двусторонним классом.
Из этого определения с учетом сделанного выше замечания получается предложение 5: каждая форма двустороннего класса несобственно эквивалентна самой себе.
Доказательство. Пусть
Тогда форма
Предложение 5 доказано.
Определение 5. Форма
Следующие два предложения дают некоторую информацию о строении двусторонних классов.
Предложение 6. В каждом двустороннем классе содержится по крайней мере одна двусторонняя форма .
Предложение 7. В каждом двустороннем классе положительного дискриминанта содержатся две и только две приведенные двусторонние формы.
Доказательство этих предложений имеются в [1,2].
Перейдем теперь к изложению основных результатов этого параграфа. Возникает еще вопрос: всегда ли двусторонняя форма принадлежит некоторому двустороннему классу. Ответ дает следующая теорема.
Теорема 1. Каждая двусторонняя форма принадлежит некоторому двустороннему классу.
Доказательство. Пусть
определителя 1, т.е.
Теорема 1 доказана.
В связи с предложением 7 возникает еще следующий вопрос: могут ли быть в периоде форм двустороннего класса приведенные двусторонние формы соседними друг другу? Следующее утверждение дает необходимое условие того, что двусторонние приведенные формы будут соседними.
Теорема 2. Для того чтобы двусторонние примитивные
приведенные формы
Доказательство. Пусть формы
Теорема 2 доказана.
Пример. Для
При этом эти формы удовлетворяют теореме 2, т.к.
Замечание. Из полученной теоремы следует, что приведенные двусторонние формы будут соседними в очень малом числе случаев, и в большинстве случаев они не будут соседними. Вопрос о точном числе случаев, когда приведенные двусторонние формы будут соседними, по-видимому, является очень трудным, и мы его не рассматриваем.
Об оценке сверху числа приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм
О числе приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм, так и о числе классов неопределенных квадратичных форм, известно очень мало. Для числа классов бинарных квадратичных форм имеется точная формула Дирихле. Другим важным результатом являются неравенства, принадлежащие немецкому математику Зигелю.
где
Арифметическая функция
Предложение 1. Функция
Из этого предложения 1 легко выводится следующее.
Предложение 2. Если
Доказательства предложений 1 и 2 приводятся во всех учебниках по теории чисел (напр. см. [4,6]).
Предложение 3. Для числа
Доказательство. Пусть
Но так как справедливо неравенство
то неравенство (1) с учетом (2) и предложения 2 перейдет в следующие соотношения:
Предложение 3 доказано.
Предложение 4. Для
где
Доказательство. Мы следуем рассуждениям в [4,5]
(доказательство имеется также в [3]). Пусть
Рассмотрим отношение
Если
Если
Поэтому
Следовательно, полагая
Предложение 4 доказано.
Следующее предложение характеризует среднее значение
Предложение 5. Для
где
Доказательство. Имеем:
Последняя сумма геометрически представляет собой число
целых точек в первой четверти, лежащих на или под гиперболой
Оцениваем теперь сумму:
где
Здесь мы воспользовались следующим соотношением из математического анализа
где
есть так называемая постоянная Эйлера.
Предложение 5 доказано.
Перейдем теперь к элементарному доказательству следующего результата.
Теорема (Зигель). Для числа
где
Доказательство. Пусть
Оценим сверху число приведенных форм с
Применяя к последней сумме предложения 3,4,5, получим:
Теорема доказана.
О диагональных формах и оценка снизу числа классов в роде
В этом параграфе мы получим одну оценку снизу для числа классов в роде неопределенных бинарных квадратичных форм. Сначала введем соответствующие понятия.
Определение 1. Целое число
Определение 2. Символом Лежандра
Приведем некоторые основные свойства символа Лежандра, которые нам понадобятся.
Свойство 1 .
Свойство 2 . Если
Свойство 3 .
Свойство 4 .
Определим теперь понятие рода квадратичных форм,
впервые введенное Гауссом. Совокупность классов собственно примитивного порядка
данного дискриминанта
Пусть
Символ Лежандра
Тогда для данной квадратичной формы получается
некоторая определенная последовательность
Так как число всех различных последовательностей,
составленных из
Не вдаваясь в эту сложную теорию Гаусса, мы приведем его результаты о числе родов и о числе классов в каждом роде.
Каждый род собственно примитивного порядка содержит одно и то же число классов,
Если для каждого квадратного делителя
НОД
то для числа
Примем
НОД
При любом
Это говорит о том, что форма
Тогда получаем:
Такая оценка справедлива также для числа классов всех остальных родов
Предположим, что
дискриминанта
того же дискриминанта
Определим целочисленную унимодулярную подстановку
Эта подстановка заменяет форму
Получаем:
где
Преобразуя данные выражения находим
Однако необходимо форму
В связи с тем, что
и аналогично
Принимая во внимание условие, указанное выше форма (8) будет иметь вид:
Число родов бинарных квадратичных форм в данном
собственно примитивном порядке дискриминанта
при этом
Данное высказывание используется в оценке снизу числа классов в роде неопределенных бинарных квадратичных форм собственно примитивного порядка.
Список литературы
Бухштаб А. А. Теория чисел. М., 1966.
Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. Изд-во АН СССР, М., 1959.
Венков Б. А. Элементарная теория чисел. М-Л., 1937.
Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М., «Наука», 1980.
Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. М., Мир. 1974.
Виноградов И. М. Основы теории чисел. М., Наука. 1972 с. 267
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.matematika-r.info/
Дата добавления: 05.06.2008
! |
Как писать рефераты Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов. |
! | План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом. |
! | Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач. |
! | Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты. |
! | Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ. |
→ | Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре. |