Поле. Примеры полей. Свойства полей. Поле рациональных чисел
Рассматривается определение поля, примеры и простейшие свойства полей, определения подполя, простого поля и поля рациональных чисел.
п.1. Определение поля.
Определение. Пусть - кольцо с единицей
1. Элемент
из множества
называется обратным в кольце
, если
.
называется обратным к
.
Примеры.
Рассмотрим кольцо целых чисел, то есть кольцо , элемент 2
необратим в этом кольце, так как
, элемент 5
необратим в кольце целых чисел.
- обратимые
элементы в кольце целых чисел
Рассмотрим кольцо рациональных чисел , обратимыми
являются все элементы кроме
.
Рассмотрим кольцо действительных чисел, то есть кольцо
, обратимыми
являются все элементы кроме
.
Определение. Поле – это кольцо , если:
- коммутативное
кольцо (операция
коммутативна)
- кольцо с
единицей 1, единица
.
Всякий ненулевой элемент кольца обратим.
Примеры полей.
- поле
рациональных чисел.
- поле
действительных чисел.
Это поля с бесконечным числом элементов. Рассмотрим поле с конечным числом элементов.
Поле Галуа - галуафилд.
;
. Определим
операции сложения и умножения:
И
- бинарные
операции,
- унарная
Из этой таблицы видно, что операция -
коммутативна,
-бинарные
операции,
- унарная
операция, т.к.
,
.
п.2. Простейшие свойства поля.
Пусть - поле.
Обозначение:
.
Если , то
.
Доказательство. Пусть , докажем, что
, то есть
, тогда
противоречие с аксиомой поля
. Если
, то по
аксиоме полей
|
,
.
Если ,
.
умножим равенство
справа на
, то есть
.
.
Доказательство. Если , то
, умножая обе
части равенства
на
слева,
.
В поле нет делителей 0.
Доказательство. Следует из свойства 3, применяя законы
контрапозиции: ,
, значит нет
делителей нуля.
Каждое поле является областью целостности.
Доказательство. Следует из определения поля и области целостности.
.
Доказательство. . Умножим обе
части равенства справа на
, где
.
, где
.
Доказательство. Выпишем правую часть
равна левой части.
, где
.
Доказательство. Правая часть
равна левой части.
,
.
Доказательство. Правая часть
левая часть.
,
.
Доказательство. Левая часть
.
,
.
Если , то
.
Доказательство. Вычислим произведение
то есть
обратный элемент к
.
, где
.
Доказательство. Левая часть равна
равна правой части.
-
коммутативная группа, которая называется мультипликативной группой не равных 0
элементов.
Доказательство. Следует из свойств поля:
1. , так как
поле.
2.
3.
4. , так как поле
Так как поле – это кольцо определённого вида, то под гомоморфизмами полей понимаются гомоморфизмы полей. Аналогично для изоморфизмов.
п.3. Подполе.
Определение. Подполем поля называется подкольцом с единицей поля
, в котором
всякий ненулевой элемент обратим. Всякое подполе является полем. Подполе поля
, отличное от
называется собственным полем.
Определение. Поле называется простым, если оно не имеет собственных подполей.
Пример. Рассмотрим поле действительных чисел, то есть
поле . Для того,
чтобы найти подполе надо найти подмножества замкнутые относительно операции
и
подмножеству. Например, поле рациональных
чисел является подполем поля действительных чисел.
п.4. Поле рациональных чисел.
Алгебраическая система называется системой рациональных чисел, если:
Алгебра - это поле с
единицей 1.
Множество замкнуто относительно операции
и
Аксиома минимальности, если такое, что:
а)
б)
, тогда
.
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://referat.ru/
Дата добавления: 06.10.2011