Узнать стоимость написания работы
Оставьте заявку, и в течение 5 минут на почту вам станут поступать предложения!
Реферат

Реферат по предмету "Математика, физика, астрономия"


Поле. Примеры полей. Свойства полей. Поле рациональных чисел

Поле. Примеры полей. Свойства полей. Поле рациональных чисел


Рассматривается определение поля, примеры и простейшие свойства полей, определения подполя, простого поля и поля рациональных чисел.


п.1. Определение поля.


Определение. Пусть - кольцо с единицей 1. Элемент  из множества  называется обратным в кольце , если .  называется обратным к .


Примеры.


Рассмотрим кольцо целых чисел, то есть кольцо , элемент 2 необратим в этом кольце, так как , элемент 5 необратим в кольце целых чисел. - обратимые элементы в кольце целых чисел


Рассмотрим кольцо рациональных чисел , обратимыми являются все элементы кроме .


Рассмотрим кольцо действительных чисел, то есть кольцо , обратимыми являются все элементы кроме .


Определение. Поле – это кольцо , если:


- коммутативное кольцо (операция  коммутативна)


- кольцо с единицей 1, единица .


Всякий ненулевой элемент кольца  обратим.


Примеры полей.


- поле рациональных чисел.


- поле действительных чисел.


Это поля с бесконечным числом элементов. Рассмотрим поле с конечным числом элементов.


Поле Галуа - галуафилд. ; . Определим


операции сложения и умножения:


 И   - бинарные операции, - унарная


Из этой таблицы видно, что операция - коммутативна, -бинарные операции, - унарная операция, т.к. , .


п.2. Простейшие свойства поля.


Пусть - поле. Обозначение:    .


Если , то .


Доказательство. Пусть , докажем, что , то есть , тогда  противоречие с аксиомой поля . Если , то по аксиоме полей | ,  .


Если , .  умножим равенство  справа на , то есть  .


.


Доказательство. Если , то , умножая обе части равенства  на  слева,  .


В поле нет делителей 0.


Доказательство. Следует из свойства 3, применяя законы контрапозиции: , , значит нет делителей нуля.


Каждое поле является областью целостности.


Доказательство. Следует из определения поля и области целостности.


.


Доказательство. . Умножим обе части равенства справа на  , где .


, где .


Доказательство. Выпишем правую часть    равна левой части.


, где .


Доказательство. Правая часть   равна левой части.


, .


Доказательство. Правая часть  левая часть.


, .


Доказательство. Левая часть  .


, .


Если , то .


Доказательство. Вычислим произведение   то есть  обратный элемент к .


, где .


Доказательство. Левая часть равна   равна правой части.


- коммутативная группа, которая называется мультипликативной группой не равных 0 элементов.


Доказательство. Следует из свойств поля:


1. , так как поле.


2.


3.


4. , так как поле


Так как поле – это кольцо определённого вида, то под гомоморфизмами полей понимаются гомоморфизмы полей. Аналогично для изоморфизмов.


п.3. Подполе.


Определение. Подполем поля  называется подкольцом с единицей поля , в котором всякий ненулевой элемент обратим. Всякое подполе является полем. Подполе поля , отличное от  называется собственным полем.


Определение. Поле называется простым, если оно не имеет собственных подполей.


Пример. Рассмотрим поле действительных чисел, то есть поле . Для того, чтобы найти подполе надо найти подмножества замкнутые относительно операции  и  подмножеству. Например, поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел.


п.4. Поле рациональных чисел.


Алгебраическая система  называется системой рациональных чисел, если:


Алгебра - это поле с единицей 1.


Множество  замкнуто относительно операции  и


Аксиома минимальности, если  такое, что:


а)


б)  , тогда .


Список литературы


Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002


В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.


Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000


Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000


Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000


Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001


Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://referat.ru/


Дата добавления: 06.10.2011



Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.