МИНИСТЕРСТВООБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕАГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГОПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВСЕРОССИЙСКИЙЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО – ЭКОНОМИЧЕСКИЙ
ИНСТИТУТФИЛИАЛ В ГОРОДЕ ТУЛЕ
КАФЕДРАСТАТИСТИКИ
КОНТРОЛЬНАЯРАБОТА
подисциплине «Статистика»
ВАРИАНТ 7
Выполнил:
Проверил:
Тула2007
ИСХОДНЫЕДАННЫЕ
Имеются следующиевыборочные данные по предприятиям одной из отраслей экономики в отчетном году(выборка 20% — ная механическая):
№ пр-я
п/п
Средене –
списочная
численность
работников, чел.
Выпуск продукции,
млн.руб.
№ пр-я
п/п
Средене –
списочная
численность
работников, чел.
Выпуск продукции,
млн.руб. 1 159 37 16 137 25 2 174 47 17 171 45 3 161 40 18 163 41 4 197 60 19 145 28 5 182 44 20 208 70 6 220 64 21 166 39 7 245 68 22 156 34 8 187 59 23 130 14 9 169 43 24 170 46 10 179 48 25 175 48 11 120 24 26 184 54 12 148 36 27 217 74 13 190 58 28 189 56 14 165 42 29 177 45 15 142 30 30 194 61
ЗАДАНИЕ 1
По исходным данным:
1. Постройте статистический рядраспределения организаций (предприятий) по признаку среднесписочнаячисленность работников, образовав пять групп с равными интервалами.
2. Постройте графики полученного рядараспределения. Графически определите значения моды и медианы.
3. Рассчитайте характеристики интервальногоряда распределения:
· среднююарифметическую;
· среднееквадратическое отклонение;
· коэффициентвариации;
· моду и медиану.
4. Вычислите среднюю арифметическую поисходным данным, сравните ее с аналогичным показателем, рассчитанным в п.3 дляинтервального ряда распределения. Объясните причину их расхождения.
Сделайте выводы порезультатам выполнения задания.
РЕШЕНИЕ:
1. Статистический ряд распределения представляет собой упорядоченноераспределение единиц изучаемой совокупности на группы по определенномуварьирующему признаку. Он характеризует состав (структуру) изучаемого явления,позволяет судить об однородности совокупности, закономерности распределения играницах варьирования единиц совокупности.
Для группировок с равнымиинтервалами величина интервала:
/>,
где /> — наибольшее и наименьшеезначения признака;
n – число групп.
/>чел.
В результате получимследующий ряд распределения (табл.1.1):
Таблица 1.1.Интервальный ряд Дискретный ряд
/> - количество предприятий внутри i – той группы % 1гр.: 120 – 140
(120+140)/2=130 3 10% 2гр.: 140 – 160
(140+160)/2=150 5 16.7% 3гр.: 160 – 180
(160+180)/2=170 11 36.7% 4гр.: 180 – 200
(180+200)/2=190 7 23.3% 5гр.: 200 – 220
(200+220)/2=210 4 13.3%
2. Мода – значение признака,наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядовраспределения – вариант, имеющий наибольшую частоту.
Медиана – это вариант, который находится всередине вариационного ряда, делящий его на две равные части.
3. Рассчитаемхарактеристики интервального ряда распределения:
· Средняяарифметическая.
Если значенияосредняемого признака заданы в виде интервалов (“от – до”), т.е. интервальныхрядов распределения (табл.1.1), то при расчете средней арифметической величиныв качестве значений признаков в группах принимаются середины этих интервалов, врезультате чего образуется дискретный ряд (табл.1.1). Т.о. средняя арифметическаябудет равна:
/>,
где /> - средняя численностьработников внутри i – той группы;
/> - количество предприятий внутри i – той группы;
/>чел.
· Среднееквадратическое отклонение.
Представляет собой кореньквадратный из дисперсии. Дисперсия признака представляет собой среднийквадрат отклонения вариантов от их средней величины, она вычисляется поформуле:
/>=/>=526
Среднее квадратическоеотклонение показывает, на сколько, в среднем отклоняются конкретные варианты отих среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака ивыражается в тех же единицах, что и варианты.
/>= 23 чел.
· Коэффициентвариации.
/>13,3%
По величине коэффициентавариации можно судить о степени вариации признаков, а следовательно, ободнородности состава совокупности. Совокупность считается количественнооднородной, если коэффициент однородности не превышает 33%. Т.о., врассматриваемом варианте совокупность количественно однородная.
· Мода имедиана.
Для интервальныхвариационных рядов распределения мода рассчитывается по формуле:
/>,
где /> — мода;
/> — нижняя граница модальногоинтервала;
/> — величина модального интервала;
/> — частота модального интервала;
/> — частота интервала, предшествующегомодальному;
/> — частота интервала, следующего замодальным.
/>= 172 чел.
Модальный интервалопределяется по наибольшей частоте.
Наибольшее числопредприятий – 11 – имеют среднесписочную численность работников в интервале 160– 180 чел., который и является модальным. Итак, модальным значениемсреднесписочной численности работников по предприятиям одной из отраслейэкономики является численность равная 172 чел. В интервальных рядахраспределения медианное значение (поскольку оно делит всю совокупность на дверавные по численности части) оказывается в каком – то из интервалов признака />. Этот интервал характерентем, что его кумулятивная частота (накопленная сумма частот)равна или превышаетполусумму всех частот ряда.
Значение медианырассчитывается по формуле:
/>,
где /> — медиана;
/> — нижняя граница медианногоинтервала;
/> — величина медианного интервала;
/> — сумма частот ряда;
/> — частота медианного интервала;
/> — сумма накопленных частот ряда,предшествующих медианному интервалу.
Прежде всего, найдеммедианный интервал. Таким интервалом будет интервал среднесписочной численностиработников 160 – 180 чел., поскольку его кумулятивная частота равна 19(3+5+11),что превышает половину суммы всех частот (30/2=15).
/>=173 чел.
Полученный результатговорит о том, что из 30 предприятий одной из отраслей экономики 15 предприятийимеют среднесписочную численность работников 173 чел., а 15 предприятий –более.
4. Вычислим среднююарифметическую по исходным данным.
/>= 173 чел.
Результат расчетовсредней арифметической в п.3 совпадает с результатом расчетов в п.4. Этопроизошло потому, что при исчислении средней арифметической в интервальном рядедопускается некоторая неточность, поскольку делается предположение оравномерности распределения единиц признака внутри группы. Ошибка будет темменьше, чем уже интервал и чем больше единиц в интервале. Т.к. интервал в нашейзадаче достаточно узкий — 20, а число единиц в интервале достаточно большое,следовательно, ошибка расчетов в п.3 мала, и результаты расчетов п.3 и п.4совпадают.
ЗАДАНИЕ 2
По исходным данным:
1. Установите наличие и характер связимежду признаками среднесписочная численность работников (х – факторный)и выпуском продукции (y — результативный), образовав 5 групп по обоим признакам с равными интервалами,методами:
· аналитическойгруппировки:
· корреляционнойтаблицы.
2. Измерьте тесноту корреляционной связимежду названными признаками с использованием коэффициента детерминации и эмпирическогокорреляционного отношения.
Сделайте выводы порезультатам выполненного задания.
РЕШЕНИЕ
1. Аналитическаягруппировка.
· Основные этапыпроведения аналитической группировки – обоснование и выбор факторного ирезультативного признаков, подсчет числа единиц в каждой из образованных групп,определение объема варьирующих признаков в пределах созданных групп, а такжеисчисление средних размеров результативного показателя. Результаты группировкиоформляются в таблице. Установим наличие и характер связи между величинойсреднесписочной численности работников и выпуском продукции методом аналитическойгруппировки по данным таблицы исходных данных.
Вначале строим рабочуютаблицу (табл.2.1).
Таблица 2.1.
Распределениепредприятий по среднесписочной численности работников.
№
п.п Группы предприятий по среднесписочной численности работников
№ пред-
прия-
тия Среднесписочная численность работников, чел. Объем выпускаемой продукции, млн.руб. А Б 1 2 3 I 120 – 140
11
23
16
120
130
137
24
14
25
Итого
3
387
63 II 140 — 160
15
19
12
22
1
142
145
148
156
159
30
28
36
34
37
Итого
5
750
165 III 160 — 180
3
18
14
9
21
24
17
2
25
29
10
161
163
165
169
166
170
171
174
175
177
179
40
41
42
43
39
46
45
47
48
45
48
Итого
11
1870
484 IV 180 — 200
5
26
8
28
13
30
4
182
184
187
189
190
194
197
44
54
59
56
58
61
60
Итого
7
1323
392 А Б 1 2 3 V 200 — 220
20
7
27
6
208
215
217
220
70
68
74
64
Итого
4
860
276
Всего
30
5190
1380
Для установления наличияи характера связи между величиной среднесписочной численности работников иобъемом выпускаемой продукции по данным рабочей таблицы 2.1 строим итоговуюаналитическую таблицу 2.2.
Таблица 2.2.
Зависимость объемавыпускаемой продукции от среднесписочной численности работников.
№
п.п. Группы предприятий по среднесписочной численности работников
Число
пред –приятий Среднесписочная численность работников Объем выпускаемой продукции Всего Средняя численность работников Всего в среднем на одно предприятие А Б 1 2 3 4 5
120 – 140
140 – 160
160 – 180
180 – 200
200 – 220
3
5
11
7
4
387
750
1870
1323
860
129
150
170
189
215
63
165
484
392
276
21
33
44
56
69
Итого
30
5190
173
1380
46
Данные таблицы 2.2показывают, что с ростом среднесписочной численности работников, средний объемпродукции, выпускаемой одним предприятием, растет. Следовательно, междуисследуемыми признаками существует прямая корреляционная зависимость.
· Корреляционнаятаблица.
Для изучения структурыпредприятий по объему выпускаемой продукции, пользуясь таблицей исходныхданных, построим интервальный вариационный ряд, характеризующий распределениепредприятий по объему выпускаемой продукции. Величина интервала равна:
/>12 млн.руб.Интервальный ряд Дискретный ряд
/> - количество предприятий внутри i – той группы 1гр.: 14 – 26
(14+26)/2=20 3 2гр.: 26 – 38
(26+38)/2=32 5 3гр.: 38 – 50
(28+50)/2=44 12 4гр.: 50 – 62
(50+62)/2=56 6 5гр.: 62 – 74
(62+74)/2=68 4
По таблице исходныхданных необходимо определить, существует ли зависимость между среднесписочнойчисленностью работников (факторный признак х) и выпускаемой продукцией(результативный признак y).
Построим корреляционнуютаблицу, образовав 5 групп по факторному и результативному признакам (табл.2.3).
Таблица 2.3.
Распределениепредприятий по среднесписочной численности работников и объему выпускаемойпрдукции.Среднесписочная численность работников Выпускаемая продукция, млн.руб. 14 – 26 26 – 38 38 – 50 50 – 62 62 – 74
Итого 120 – 140
3 3 140 – 160
5 5 160 – 180
11 11 180 – 200
1
6 7 200 – 220
4 4
Итого 3 5 12 6 4 30
Как видно из данныхтабл.2.3, распределение числа предприятий произошло вдоль диагонали,проведенной из левого верхнего угла в правый нижний угол таблицы, т.е.увеличение признак “среднесписочная численность работников” сопровождалосьувеличением признака “выпускаемая продукция”.
Характер концентрациичастот по диагонали корреляционной таблицы свидетельствует о наличии прямойтесной корреляционной связи между изучаемыми признаками.
2. Теснотакорреляционной связи между названными признаками может быть измерена спомощью коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения.
· Коэффициентдетерминации равенотношению межгрупповой дисперсии к общей:
/>
Межгрупповая дисперсияравна:
/>=/>
Общая дисперсия равна:
/>=249 + 186 = 435
Средняя из групповыхдисперсий:
/>=/>=/>
Групповая дисперсия равна:
/>
/>/>
/>=/>0.428 или 42,8%
Это означает, чтовыпускаемая продукция на 42,8% зависит от среднесписочной численностиработников, а на 57,2% — от других факторов.
· Эмпирическоекорреляционное отношение.
/>
Чем значениекорреляционного отношения ближе к единице, тем теснее, ближе к функциональнойзависимости связь между признаками.
В нашем примере />, что свидетельствует (изсоотношения Чэддока) о тесной связи (0,7 – 0,9) между выпуском продукции исреднесписочной численностью работников.
ЗАДАНИЕ 3
По результатам выполнениязадания 1 с вероятностью 0,683 определите:
1. Ошибку выборки среднесписочнойчисленности работников и границы, в которых будет находиться среднесписочнаячисленность работников в генеральной совокупности.
2. Ошибку выборки доли предприятия сосреднесписочной численностью работников 180 и более человек и границы, вкоторых будет находиться генеральная доля.
РЕШЕНИЕ
1. Для определениясреднесписочной численности работников на предприятиях была произведена 20% — ная механическая выборка, в которую попало 30 предприятий. В результатеобследования было установлено, что средняя арифметическая среднесписочнойчисленности работников 173 чел. При среднем квадратическом отклонении 23 чел.
Границы, в которых будетнаходиться среднесписочная численность работников в генеральной совокупности
/>
Т.к. выборкамеханическая, предельная ошибка выборки определяется по формулам:
/>
где N – объем генеральной совокупности(число входящих в нее единиц). Т.к. выборка 20% — ная, то N=150 (5*30).
20% — ная выборкаозначает, что отбирается и проверяется каждая 5-ая единица (1:0,2).
n – объем выборки (число обследованныхединиц) = 30 предприятий.
/> — генеральная дисперсия (дисперсияпризнака в генеральной совокупности).
t = 1 (из таблицы значений интегральнойфункции Лапласа при заданной вероятности 0,683)
/>/>чел.
С вероятностью 0,683можно утверждать, что среднесписочная численность работников находится впределах />или />
2. Доля предприятий сосреднесписочной численностью работников 180 и более человек находится в пределах:/>
Выборочная доля составит:
/>=11/30=0,37,
где m – доля единиц, обладающих признаком;
n – численность выборки.
Ошибка выборкигенеральной доли составит:
/> или 7,9%
С вероятностью 0,683можно утверждать, что доля предприятий со среднесписочной численностьюработников 180 чел. и более будет находиться в пределах p = 37%/>7.9%или 29,1%/>p/>44,9%.
ЗАДАНИЕ 4
Имеются следующие данныепо двум предприятиям отрасли:
№ пр – я
п/п Выпуск продукции, тыс.руб. Среднесписочная численность рабочих, чел. Базисный период Отчетный период Базисный период Отчетный период
1
2
6400
4800
6000
6000
100
60
80
60
Определите:
1. По каждому предприятию уровни идинамику производительности труда. Результаты расчетов представьте в таблице.
2. По двум предприятиям вместе:
· индексыпроизводительности труда (переменного, постоянного состава, структурныхсдвигов);
· абсолютноеизменение средней производительности труда за счет отдельных факторов.
Сделайте выводы.
РЕШЕНИЕ
1. Для характеристикиуровня производительности труда в статистической практике используют выработку.
Выработка W характеризует количество продукции,производимой на одного работника. Она является прямым показателемпроизводительности труда – чем больше выработка, тем выше производительностьтруда.
W=П/T, где W –средняя выработка; П – количество произведенной продукции; T – численность работников.
П=WT/>/>
Результаты расчетовпредставим в таблице 4.1.
Таблица 4.1.
Характеристика уровнейпроизводительности труда
№ пр – я
п/п
Производительность
труда, тыс.руб./чел.
Численность
работников, чел. Выпуск продукции, тыс.руб.
Базисный
период
Отчетный
период Базисный период
Отчетный
период Базисный период Отчетный период
/>
/>
/>
/>
/>
/>
1
2
64
80
75
100
100
60
80
60
6400
4800
6000
6000
Итого
-
-
160
140
11200
12000
2. Рассчитаем по двумпредприятиям вместе индексы производительности труда:
· индекс переменного состава.
Для исчисления индексапроизводительности труда переменного состава по двум предприятиям вместе вначалеопределим среднюю производительность труда, тыс.руб./чел.:
в базисный период />=/>70;
в отчетный период />85.7.
Теперь исчислим индекссредней производительности труда переменного состава:
/>1.224 или 122, 4%
Следовательно, средняяпроизводительность труда по двум предприятиям вместе в отчетном периоде посравнению с базисным увеличилась на 22,4%.
· Индекс постоянного состава.
Определим, в какой мереизменение производительности труда произошло в результате изменения толькопроизводительности труда на отдельных предприятиях. Для этого сравним среднююпроизводительность труда в отчетном периоде со средней производительностьютруда в базисном периоде при одинаковой численности работников (отчетныйпериод) на основе индекса постоянного состава:
/>=1,21 или 121%
Исчисленный индексхарактеризует общее изменение производительности труда на отдельныхпредприятиях. Средняя производительность труда в отчетном периоде по сравнениюс базисным в результате изменения только производительности труда на отдельных предприятияхвыросла на 21%.
· Индекс структурных сдвигов.
Определим, в какой мереизменение средней производительности труда произошло в результате изменениятолько среднесписочной численности рабочих. Для этого сравним среднююпроизводительность труда в отчетном периоде со средней производительностьютруда в базисном периоде при производительности труда на отдельных предприятияхна уровне базисного периода, т.е. исчислим индекс структурных сдвигов:
/>=/>/>=1,012 или 101,2%
Индекс показывает, чтосредняя производительность труда в результате изменения численности рабочихвыросла дополнительно на 1,2%.
· Абсолютное изменение среднейпроизводительности труда за счет отдельных факторов.
Абсолютное изменениесредней производительности труда составило:
85.7–70=15.7тыс.руб./чел.,что привело к увеличению количества выпускаемой продукции на 800 тыс. руб.,т.е. (12000 – 11200)
Изменение среднейпроизводительности труда происходило под влиянием двух факторов: изменения производительноститруда на отдельных предприятиях и изменения среднесписочной численности рабочих.
Абсолютное изменениесредней производительности труда за счет изменения производительности труда наотдельных предприятиях составит: 85,7 – 70,9 = 14,8 тыс.руб./чел.
Абсолютное изменение среднейпроизводительности труда в результате изменения численности рабочих составило:70.86 – 70 = 0.86 тыс.руб./чел.
Общий вывод: если бы происшедшие измененияпроизводительности труда не сопровождались структурными перераспределениями напредприятиях, то средняя производительность труда по двум предприятиям возрослабы на 21%. Изменение структуры выпуска продукции на отдельных предприятиях вобщем объеме выпуска вызвало повышение средней производительности труда на1,2%. Одновременное воздействие двух факторов увеличило среднююпроизводительность труда по двум предприятиям на 22,4%.