Задача 1
Динамика выпуска продукции (млн. условных единиц) представлена втабл. 1.
Таблица 1Годы Выпуск продукции, млн. усл. ед.
/>1 926 2 961 3 938 4 974 5 965 6 983 7 1015 8 1068 9 1122
1. Построить ряд динамики. Изобразить ряд в виде линейногографика. Сделать вывод о наличии тенденции изменения уровня и о ее характере(увеличение уровня, снижение уровня, переломы тенденции, периоды одинаковоготипа тенденции).
/>
Из графика видно, что тенденция изменения уровня имеет характерувеличения выпуска продукции в зависимости от года. В третьем году наблюдалсяперелом кривой выпуска (снижение).
2. Рассчитать среднюю хронологическую (ряд динамики интервальный).При разном направлении изменения уровней выделить однородные по тенденциипериоды и рассчитать частные хронологические.
3. Рассчитать систему производных показателей ряда динамики(абсолютные приросты, темпы роста и прироста, абсолютные значения одногопроцента прироста).
4. Показать взаимосвязь цепных и базисных темпов роста и прироста.
Средний уровень динамического ряда рассчитаем как среднюю хронологическуюпростую:
ycp=∑yi/n=8952/9 = 994,66
Рассчитать средний абсолютный прирост. При разном направленииизменения уровней выделить однородные по тенденции периоды и рассчитать частныесредние абсолютные приросты.
Абсолютные приросты цепные и базисные:
∆цепной=yi – yi-1; ∆базисн=yi – y0
Темпы роста цепные и базисные:
Тцепной =100*yi / yi-1; Тбазисн=100*yi / y0
Темпы прироста цепные и базисные:
∆Тцепной =100*∆цепной / yi-1 = Тцепной – 100;
∆Тбазисн=100*∆базисн / y0= Тбазисн – 100
Абсолютное содержание 1% прироста:
А=∆цепной /∆Тцепной= yi-1/100
Средний абсолютный прирост:
∆yср=∑∆цепные/(n-1)=196/8 = 24,5
5. Рассчитать средний темп роста (три методики расчета). Приразном направлении изменения уровней выделить однородные по тенденции периоды ирассчитать частные средние темпы роста.
Средний темп роста:
Трср=100 * (yконеч/ yнач)1/8=100 * (1122/926)1/8= 1,21170,125 * 100 = 102,04
Средний темп прироста:
Т∆ср =Трср-100=102,04–100 =2,04
6. Проанализировать тенденцию изменения уровня, самостоятельноизбрав метод (скользящий средний уровень, аналитическое выравнивание посоответствующей модели). Выровненные значения показать на графике.
Y = a + bt
/>/>
/> гдеn– численность совокупности (в данном случае n =9).
/>,/>, в данном случае
а= 8952/9 = 994,67 млн. ед.
b = 1223/60= 20,38 млн.ед.
Уравнениетренда: y = 994,67 + 20,38 t.
Выбираем модель изменения уровня – аналитическое выравнивание.Расчет приведен в таблице. Выровненные значения показаны на графике.
/>
7. Проанализировать сезонные колебания объема выпуска продукции затри года. Рассчитать индекс сезонности. На графике изобразить сезонную волну.
Индексы сезонности показывают, восколько раз фактический уровень ряда в момент или интервал времени t большесреднего уровня либо уровня, вычисляемого по уравнению тенденции f(t). Прианализе сезонности уровни временного ряда показывают развитие явления помесяцам (кварталам) одного или нескольких лет. Для каждого месяца (квартала)получают обобщенный индекс сезонности как среднюю арифметическую из одноименныхиндексов каждого года. Индексы сезонности – это, по либо уровень существу,относительные величины координации, когда за базу сравнения принят либо среднийуровень ряда, либо уровень тенденции.
Способы определения индексов сезонностизависят от наличия или отсутствия основной тенденции.
При наличии тренда индекс сезонностиопределяется на основе методов, исключающих влияние тенденции. Порядок расчетаследующий:
· для каждого уровня определяют выровненные значения по тренду f(t);
· рассчитывают отношения />;
при необходимости находят среднее изэтих отношений для одноименных месяцев (кварталов) по формуле:
/>, (Т – число лет).
i1 = 926/912,48 =1,01
i2 = 961/932,86 = 1,03
i3 = 938 / 953,24 = 0,98
i4 = 974/973,62 = 1,00
i5 = 965/994 = 0,97
i6 = 983/1014,38 = 0,97
i7 = 1015/1034,76 = 0,98
i8 = 1068 / 1055,14 = 1,01
i9 = 1122 / 1075,52 = 1,04
График сезонной волны приведен на рисунке:
/>
Расчет приведен в табл.
Задача 2
В табл. 2 представлено распределение покупателей по группам.Стоимость покупки, р Количество покупателей До 8 14 8–16 26 16–24 43 24–32 21 32 – 40 12 40–48 9 48 и более 3 Итого
1. Построить ряд распределения. Изобразить ряд графически в видегистограммы (полигона) и кумуляты распределения. Сделать вывод о характерераспределения.
/>
Рисунок – Кумулята распределения
/>
Рисунок – Кумулята распределения
/>
Рисунок – Полигон распределения
/>
Рисунок – Полигон распределения
2. Рассчитать моду, медиану, первый и третий квартиль, среднийуровень признака в совокупности; сравнить значение моды, медианы, средней исделать вывод об асимметрии распределения. Рассчитать отклонение вариации:размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратичноеотклонение, коэффициент вариации.
Первая квартиль (Q1) – значение признака уединицы, делящей ранжированный ряд в соотношении 1/4 и ¾, втораяквартиль равна медиане (Q2 = Ме), Третьяквартиль (Q3) – значение признака уединицы, делящей ранжированный ряд в соотношении3/4 и 1/4. Порядковый номер Q1 определяется как ∑ f/ 4, для Q3 – соответственно как 3/4∑f
Таким образом, первый квартиль равен:
Q1 = 128/4 = 32
Q3 = ¾ *128 =96
Определяем показатель размаха вариации:
R = 48 – 8 = 40
Этот показатель улавливает только крайние отклонения и не отражаетотклонений всех вариант в ряду.
xср= ∑хi* mi/ ∑mi=2800/128 = 21,875
Чтобы дать обобщающую характеристику распределению отклонений,исчисляют среднее линейное отклонение l, которое учитывает различие всех единиц изучаемой совокупности. Среднеелинейное отклонение определяется как средняя арифметическая из отклоненийиндивидуальных значений от средней, без учета знака этих отклонений:
/>.
l= 12,75/128= 0,099
Относительное линейное отклонениехарактеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от среднейвеличины.
/> = 0,099/21,875=0,455%
Дисперсия определяется следующим образом:
σ2=∑(xi – xcp)2* mi/ ∑mi=17469,28/128=136,478
Среднее квадратичное отклонение равно:
σ= √σ2=√136,478=11,68
Коэффициент вариации:
V= 100%*σ/ xср=100*11,68/21,875 = 53,405%
Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемостькрайних значений признака вокруг средней />= 40/21,875 *100 = 182,85%
Определим дисперсию другим методом:
/>136,478
Дисперсия может быть определена методом условных моментов.Момент распределения – это средняя m отклонений значений признака откакой-либо величины А: если А = 0, то момент называетсяначальным; если А = />, томоменты – центральными; если А = С, то моменты – условными.
В зависимости от показателя степени К, в которуювозведены отклонения (х – А)к, моменты называются моментами 1-го,2-го и т.д. порядков.
Расчет дисперсии методом условных моментов состоит вследующем:
1. Выбор условного нуля С;
2. Преобразованиефактических значений признака х в упрощенные х´ путемотсчета от условного нуля С и уменьшения в d раз: />
3. Расчет 1-го условногомомента: />
4. Расчет 2-го условногомомента: />
5. Расчет 1-го порядканачального момента: />
6. Дисперсии />
В качестве условного момента выбираем С=1, d = 2
Центральное значение интервала, хi
/>
/>*f
(/>)2*f 4 14 1,5 21 31,5 12 40 5,5 220 1210 20 83 9,5 788,5 7490,75 28 104 13,5 1404 18954 36 116 17,5 2030 35525 44 125 21,5 2687,5 57781,25 52 128 25,5 3264 83232
196
94,5
10415
204224,5
Расчет 1-го условного момента:
/>
/>= 10415/610 = 17,07
Расчет 2-го условного момента:
/>
/>= 334,79
Расчет 1-го порядка начального момента: />= 17,07*0,099+1 = 2,69
Расчет дисперсии:
/> = 22 (334,79 – 17,072) = 136,48
Модальный размер среднего размера покупки:
Мо=x0+h*(m2 – m1)/((m2 – m1)+(m2 – m3))
Модальный интервал (16–24), т. к. mmax=43
Мо =16+8*(43–26)/((43–26)+(43+21))=17,67
Медианный размер покупки:
Ме= x0+h*(1/2*∑mi-Sдо Ме)/mмед.инт
∑mi/2=128/2=64 – середина ряда.
Она попадает в медианный интервал (16–24).
Ме=16 +8*(1/2*128–40)/43= 20,46
Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает нахарактер распределения признака в совокупности, позволяет оценить егоасимметрию. Если M0имеет место правосторонняяасимметрия. Если же />
В данном случае M0, т.е. 17,67
3. Указать другие методы расчета среднего уровня и дисперсии.
Виды степенных средних и методы их расчета приведены в табл.
Вид степенной
средней
Показатель
степени (m) Формула расчета Простая Взвешенная Гармоническая -1
/>
/> Геометрическая
/>
/> Арифметическая 1
/>
/> Квадратическая 2
/>
/> Кубическая 3
/>
/>
Показать методику расчета дисперсии альтернативного признака.
Альтернативныйпризнак принимает только 2 значения (1 и 0) с весами р и q соответственно.
Среднеезначение альтернативного признака:
/>
Назвать виды дисперсий в совокупности, разбитой на группы,сформулировать правило их сложения и методику расчета показателя тесноты связимежду изучаемыми признаками.
Различают:общую дисперсию; межгрупповую дисперсию; внутригрупповую дисперсию; среднюю извнутригрупповых дисперсий.
Общая дисперсия (σ 2) измеряет вариацию признака во всей исследуемойсовокупности, под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию
Межгрупповая дисперсия (d 2)характеризует систематическую вариацию, то есть различия в величинеизучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, который положенв основание группировки:
Внутригрупповая дисперсия (s I2) отражает случайную вариацию, то есть часть общей вариации,происходящей под влиянием неучтенных факторов и не зависящую отпризнака-фактора, положенного в основание группировки:
Средняя из внутригрупповых дисперсий (s I2) рассчитывается по следующей формуле:
/>
Существуетзакон, связывающий три вида дисперсий: общая дисперсия равна сумме извнутригрупповых и межгрупповых дисперсий, то есть:
s 2= s I2+d 2
Логика этого закона проста:общая дисперсия, возникающая под воздействием всех факторов, должна быть равнасумме дисперсий, возникающих под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии,возникающей за счет факторов группировки.
Три направленияиспользования закона трех дисперсий:
o зная любые два вида дисперсий, всегда можно найти или проверитьправильность расчета третьего вида;
o />можно оценить удельное значениефактора, лежащего в основе группировки, во всей совокупности факторов,воздействующих на группировочный признак. Для этого исчисляется коэффициентдетерминации h 2 по формуле:
h 2показывает долю общей вариации изучаемого признака, обусловленную вариациейгруппировочного признака;
o />можно определить показатель теснотысвязи результативного и группировочного (факторного) признаков посредствомисчисления эмпирического корреляционного отношения: h Э:
Оноимеет следующие пределы: 0
Еслиh Э = 0, то группировочный признак не влияет на результативный(связь между ними отсутствует). Если же h Э = 1, то результативныйпризнак изменяется только в зависимости от группировочного признака (между нимисуществует функциональная связь).
Законсложения трех видов дисперсий используется в дисперсионном анализе.Задача 3Показатель Товар-представитель А Б В Г Цена, р. Физический объем, ед. Цена, р. Физический объем, ед. Цена, р. Физический объем, ед. Цена, р. Физический объем, ед. Базовый период 8,4 1310 15,5 800 103 250 31,5 1845 текущий 10,5 1215 17,6 833 106 207 35,9 1810 Товар-представитель А Б В стоимость, тыс. руб. индекс цен, % стоимость, тыс. руб.
индекс цен,
% стоимость, тыс. руб.
индекс цен,
% база отчет база отчет база отчет 1685 1732 101,5 672 641 106,5 815 752 98,9
1. Рассчитать индивидуальные индексы цен и физического объема.Рассчитать общий индекс цен в агрегатной форме по методу Паше, Ласпейреса.
Модель расчета общих индексов методом агрегатного индексаВид продукции 2003 г 2004 г Стоимость продукции В текущих ценах Текущего периода в сопоставимых ценах Базового периода в текущих ценах Цена, руб. Физический объем, тыс. ед. Цена, руб. Физический объем, тыс. ед. 2003 2004 Символ
p0
q0
p1
q1
p0q0
p1q1
p0q1
p 1q0 А 8,4 1310 10,5 1215 11004 12757,5 13755 10206 Б 15,5 800 17,6 833 12400 14660,8 14080 12911,5 В 103 250 106,0 207 25750 21942 26500 57015 Г 31,5 1845 35,9 1810 58117,5 64979 66235,5 70875 Итого 158,4 2360 134,1 2250 107271,5 114339,3 120570,5 151007,5
2. Рассчитать общий индекс физического объема в агрегатной форме.
1.1. Агрегатный индексфизического объема
/>
/> = 120570,5/107271,5 = 1.12
/> = 114339,3/151007,5 = 0.75
3. Рассчитать общий индекс стоимости. Показать взаимосвязьиндексов цены, физического объема и стоимости.
Общий индекс /> = 114339,3/107271,5 = 1.065
Система индексов имеет вид:
114339,32360 114339,3 120570,5 2250
107271,52360 120570,5 107271,5 2250
1,065= 0,948*1,12
Если бы произошедшие изменения цен не сопровождались структурнымперераспределением продаж, то средняя цена товара выросла бы в 0,948 раз, атолько изменение структуры продаж вызвало бы рост средней цены на 12%.Одновременное воздействие двух факторов увеличило среднюю цену продаж на 6,5%.Вид продукции 2003 г 2004 г ip iq
ip p0
iq*q0 Цена, руб. Физический объем, тыс. ед. Цена, руб. Физический объем, тыс. ед. Символ
p0
q0
p1
q1 А 8,4 1310 10,5 1215 1,25 0.93 9,45 1218.3 Б 15,5 800 17,6 833 1,135 1.041 17,59 832.8 В 103 250 106,0 207 1,03 0.828 106,09 207 Г 31,5 1845 35,9 1810 1,139 0.98 35,88 1808.1 Итого 158,4 2360 134,1 2250 4.55 3.78 169,01 4066.2
4. Рассчитать влияние факторов на изменение общей стоимоститоваров.
Абсолютная сумма прироста оборота /> 114339,3 – 107271,5 = 7067,8 – оборот торговлиувеличился на 7067,8 тыс. руб.
Абсолютная сумма прироста оборота за счет изменения цен: /> 114339,3 – 120570,5 = -6231,2 – за счет изменения цен оборот торговли снизился на6231,2 тыс. руб.
Абсолютная сумма прироста оборота за счет изменения количествапроданных товаров: /> 120570,5 – 107271,5 = 13299 – за счет изменения количества проданных товаров оборотторговли увеличился на 13299 тыс. руб.
5. Показать методику преобразования общих индексов цен (Паше,Ласпейреса) и общего индекса физического объема в средние. Рассчитать общиеиндексы цен методом среднего индекса.
Индекс физического объема/>
/> = 158,4*4066.2 / 107271,5 = 6,00
Индекс цен Пааше
/>
ip = 134,1/158,4 = 0.84
/> = 1/0,84 = 1,19
Индекс цен Ласпейреса: />
/> = 169,01* 2360 / 107271,5 = 3,71
Модельрасчета общего индекса как средней величины из индивидуальныхВид услуги 2003 г 2004 г Изменение тарифов (+, -), % Индивидуальный индекс Условная выручка в постоянных ценах (пересчет выручки 2004 г. в цены 2003 г.) А 1685 1732 +2,78 101,5 1780,49 Б 672 641 -4,61 106,5 608,95 В 815 752 -7,73 98,9 691,84
Расчет изменения тарифов:
А: (1732–1685) / 1732 * 100 = 2,78%
Б: (641–672) / 641 * 100 = -4,61%
С: (752–815) / 815* 100 = -7,73%
Индивидуальный индекс:
А: 1732/1685 = 1,028
Б: 641 / 672 = 0,95
С: 752/815= 0,92
Условная выручка в постоянных ценах (пересчет выручки 2004 г.в цены 2003 г.):
А: 1732*1,028 = 1780,49
Б: 641 * 0,95 = 608,95
С: 752 * 0,92 =691,84Задача 4 Дать определение выборочного наблюдения и видов выборки.Назвать методы расчета предельной ошибки выборки для средней и для доли свероятностью, и границы, в которые попадает генеральная или средняя доля.
Самостоятельно привести примеры расчета ошибок выборки.
Решение
Применение выборочного метода наблюдения включает следующие этапы:
· определение генеральной совокупности и единиц наблюдения,обладающих первичной информацией, необходимой для решения задач обследования;
· создание основы выборки;
· формирование выборочной совокупности путем отбора элементовосновы;
· распространение собранных по выборке данных на генеральнуюсовокупность.
Последний этап зависит от примененного способа отбора элементов ввыборку и используемой формулы оценивания характеристик генеральнойсовокупности по данным выборки.
В статистической практике выборки извлекаются из конечныхсписочных основ. Однако единица основы, единица отбора и единица наблюдениямогут отличаться. Например, это обычная ситуация при обследованиях населения исельскохозяйственного сектора.
При рассмотрении любой схемы извлечения выборки должны быть учтеныдва фактора:
а) использовалась или нет вероятностная процедура;
б) наличие или отсутствие объективности в действиях специалиста,формирующего выборку.
Смысл объективности ясен и однозначен: любой специалист,производящий отбор, получил бы ту же самую выборку, т.е. выборку с теми жесамыми свойствами. Субъективность означает, что специалисту, производящемуотбор, позволено опираться на собственное суждение или интуицию относительнотого, что является «хорошей» выборкой.
Рассматривая каждый из этих факторов на двух уровнях, можновыделить четыре типа выборок:
Роль, которую
играет специалист, осуществляющий отбор Процедура отбора Вероятностная Невероятностная Объективная Выборки, сформированные вероятностным (случайным) образом Выборки, сформированные на основе направленного отбора Субъективная Выборки, сформированные квазислучайным образом Выборки, сформированные на основе суждения эксперта
В статистической практике используются все четыре типа выборок.Однако обычно отдают предпочтение вероятностным (случайным) выборкам какнаиболее объективным, поскольку имеется хорошо обоснованная теория, позволяющаяпонимать поведение таких выборок и оценивать их свойства (качество) отображенияхарактеристик всей совокупности. Свойства и объективная ценность других выборокизвестны в меньшей мере.
Имеются два типа выборок, основывающихся на вероятностном способеотбора: выборки, отбираемые по объективным правилам вероятностного (случайного)отбора, и выборки, отбираемые, строго говоря, не по этим правилам(квазислучайные). Материалы сборника содержат значительное число примеровиспользования в статистической практике объективных вероятностных выборок. Одноиз наиболее ценных качеств вероятностных выборок состоит в том, что можнооценить точность получаемых результатов по данным самой выборки.
Вероятностные выборки
В теории выборочных обследований рассматриваются выборки,извлеченные из совокупностей (основ выборки), содержащих некоторое конечноечисло единиц N. Эти единицы различимы между собой и число различных выборокобъема n, которые могут быть извлечены из списка N единиц, равно числусочетаний />.
В выборочных статистических обследованиях в целях расчетапараметров совокупности основное внимание направлено на изучение определенныхсвойств единиц, которые измеряются и фиксируются в процессе наблюдения длякаждой единицы, включенной в выборку. Эти свойства называют признаками.
Хотя выборка используется для многих целей, обычно представляютинтерес четыре характеристики совокупности:
среднее значение признака />(например, среднее число занятыхна одном предприятии);
суммарное значение признака />(например, выпуск продукциипредприятиями промышленности);
отношение двух суммарных или средних значений (например, отношениестоимости ликвидных активов к общей стоимости активов);
доля единиц в совокупности, относящихся к некоторой определеннойгруппе (например, доля промышленных предприятий, оказывающих платные услугинаселению) или обладающих определенным значением признака.
Главным вопросом методологии выборочного наблюдения являетсяобеспечение приемлемого уровня ошибок получаемых значений характеристиксовокупности, в том числе по требуемым разрезам, например, отраслям экономики,формам собственности и регионам России.
Полученные в результате выборочного наблюдения характеристикипрактически всегда несколько отличаются от характеристик генеральнойсовокупности. Эти отличия называются ошибками выборки (или репрезентативности),которые могут быть систематическими или случайными.
Систематические ошибки имеют место в том случае, когда нарушенпринцип случайности отбора и в выборку попали единицы, обладающие какими-либосвойствами, не характерными для всех единиц генеральной совокупности. Случайныеошибки обусловлены тем обстоятельством, что даже при тщательной организациивыборка не может в точности воспроизвести генеральную совокупность. В отличиеот ошибок систематических, случайные ошибки являются вполне допустимыми, еслиони малы и могут быть оценены статистически.
Для измерения ошибки выборки, а также сравнения двух оценок, т.е.выявления более эффективной оценки, используют средний квадрат ошибки оценки(СКО), который измеряет ошибку относительно оцениваемого параметрасовокупности:
/>
гдеE - символ, заменяющий выражение «математическое ожидание величины»;
/>
оценка некоторой характеристики совокупности />, получаемая согласно некоторой схеме отбора и примененной формуле оценивания;
/>
математическое ожидание /> — среднее значение, взятое по всем возможным выборкам;
/> - смещение оценки;
/> - дисперсия оценки.
Таким образом, СКО является критериемдостоверности оценки, который характеризует величину отклонений от истинногозначения характеристики совокупности />.
В выборочных обследованиях способоценивания называется состоятельным, если оценка становится в точности равнойоцениваемому параметру для совокупности при n = N, т.е. когдавыборку составляет вся совокупность. Очевидно, что при простом случайном отборевыборочное среднее />и произведение />представляют собойсостоятельные оценки соответственно среднего и суммарного значений длясовокупности.
В данном контексте способ оцениванияназывается несмещенным, если среднее значение оценки, взятое по всемвозможным выборкам данного объема n, в точности равно истинномузначению для совокупности, и это утверждение справедливо для любой конечнойсовокупности значений />и для любого n.Например, при простом случайном отборе выборочное среднее /> — несмещенная оценкасреднего значения признака, /> — несмещенная оценка суммарногозначения Y для совокупности, где /> — среднее значение признака />по выборке.
В теории и практике выборочныхобследований часто приходится рассматривать смещенные оценки. Это обусловленоследующими причинами. Во-первых, в некоторых случаях, особенно при оцениванииотношений двух величин, смещенные оценки дают более достоверные результаты, чемнесмещенные. Во-вторых, даже в случае использования теоретически несмещенныхоценок ошибки наблюдения и неполучение ответов от респондентов могут привести ксмещениям в распространенных результатах.
Кратко опишем некоторые, наиболее частоиспользуемые в статистической практике способы формирования вероятностнойвыборки.
Простой случайный отбор. Простым случайным отбором называется способ, при которомизвлечение единиц из совокупности для обследования осуществляется методомжеребьевки или с использованием таблиц или генератора случайных чисел безделения этой совокупности на какие-либо классы или группы.
Простую случайную выборку получают,отбирая последовательно единицу за единицей. Единицы в совокупности нумеруютсячислами от 1 до N, после чего выбираетсяпоследовательность nслучайных чисел, заключенных между 1и N. Единицы совокупности, имеющие эти номера, составляютвыборку. На каждом этапе отбора такой процесс обеспечивает для всех еще невыбранных номеров равную вероятность быть отобранными. Легко показать, чторавную вероятность быть отобранными имеют все />возможных выборок.
Уже отобранные номера исключаются изсписка, иначе одна и та же единица могла бы попасть в выборку более одногораза. Поэтому такой отбор называется отбором без возвращения.Отбор с возвращением легко осуществим, но им, за исключением особых случаев,пользуются редко, поскольку нет особых оснований допускать, чтобы одна и та жеединица встречалась в выборке дважды.
При простом случайном отборе дляполучения выводов о параметрах совокупности используют выборочное среднее вкачестве оценки среднего значения признака совокупности, а дисперсию признакапо выборке – для оценки дисперсии признака совокупности. Для простой случайнойвыборки усредненные выборочные средние и дисперсии точно равны среднему идисперсии признака совокупности.
Формулы оценивания при простом случайном отбореСтатистические показатели Истинное значение Оценка Суммарное значение признака
/>
/> Среднее значение признака
/>
/> Дисперсия признака
/>
/> Дисперсия оценки суммарного значения признака
/>
/> Дисперсия оценки среднего значения признака
/>
/> Стандартная ошибка оценки суммарного значения признака
/>
/> Стандартная ошибка оценки среднего значения признака
/>
/> Коэффициент вариации оценки
/>
/>
В таблице 2 использованы следующиеобозначения:
i - номер элемента;
N - объем (количество элементов) генеральной совокупности;
yi -
значение признака y i-го элемента, i = 1, 2,…, N или i = 1, 2,…, n;
n - объем (количество элементов) выборочной совокупности.
Другие методы отбора часто оказываютсяпредпочтительнее простого случайного отбора по соображениям удобства илиповышения точности. Однако простая случайная выборка – наипростейший видобъективной вероятностной выборки, она служит основой для многих более сложныхее видов.
Расслоенный (типизированный) случайныйотбор. Расслоенный случайный отбор – это отбор,предусматривающий предварительное разделение совокупности, содержащей Nединиц, на слои и проведение простого случайного отбора в каждом слое.
Формулы оценивания при расслоенном отбореСтатистические показатели Истинное значение Оценка Суммарное значение признака
/>
/> Среднее значение признака
/>
/> Дисперсия оценки суммарного значения признака
/>
/> Дисперсия оценки среднего значения признака
/>
/> Стандартная ошибка оценки суммарного значения признака
/>
/> Стандартная ошибка оценки среднего значения признака
/>
/> Коэффициент вариации оценки
/>
/> L - число слоев; h - номер слоя; Yh - суммарное значение признака y в h-м слое генеральной совокупности; Nh - объем h-го слоя генеральной совокупности;
/> - среднее значение признака y в h-м слое выборки; N - объем генеральной совокупности;
/> - среднее значение признака y в h-м слое генеральной совокупности; nh - объем h-го слоя выборки;
/> -
истинное значение дисперсии для h-го слоя:
/> i - номер элемента внутри слоя; yhi - значение признака y i-го элемента слоя h;
/> -
несмещенная оценка дисперсии для h-го слоя:
/>
Гнездовой (кластерный или серийный)отбор. Гнездовой отбор – способ формированиявыборки, при котором единица отбора состоит из группы или гнезда более мелкихединиц, называемых элементами. Таким образом, гнездовая выборочная единица– группа элементов, которая в процессе извлечения выборки рассматривается какодна единица. В простейшем случае элементы, составляющие гнездо, либо входят ввыборку как группа, либо не входят в нее вообще.
Формулы оценивания при гнездовом отбореСтатистические показатели Истинное значение Оценка Суммарное значение признака
/>
/> Среднее значение признака по гнездам
/>
/> Среднее значение признака
/>
/> Дисперсия оценки суммарного значения признака
/>
/> Дисперсия оценки среднего значения признака
/>
/> Стандартная ошибка оценки суммарного значения признака
/>
/> Стандартная ошибка оценки среднего значения признака
/>
/> Коэффициент вариации оценки
/>
/>
i - номер гнезда;
M - количество гнезд;
Ti -
суммарное значение признака в i-м гнезде;
m - количество выбранных гнезд;
N - объем генеральной совокупности;
/> - оценка объема генеральной совокупности.
Систематический (механический) отбор. Для осуществления систематического отбора все единицы совокупностинумеруются в некотором порядке числами от 1 до N. Дляполучения выборки объемом n единиц сначала извлекается, например,случайным образом какая-либо единица из первых k = N/n единицсовокупности. После этого в выборку включается каждая k-яединица, начиная с уже извлеченной. Извлечение первой единицы определяет всювыборку. Такая выборка называется систематической выборкой каждой k-йединицы. Отношение N/n называется интервалом или шагом отбора.
Дисперсия среднего значения присистематическом отборе определяется по формуле:
/>,где
N - объем генеральной совокупности;
S2 - истинное значение дисперсии признака;
k - шаг отбора;
n - объем выборочной совокупности;
S2wsy -
дисперсия единиц, принадлежащих одной и той же систематической выборке (wsy – от английского «within» – внутри и «systematic» – систематический):
/>
yij -
значение признака j-го члена i-й систематической выборки, j =1, 2,…,n, i = 1, 2,…,k;
/> -
среднее значение признака i-й выборки.
Многоступенчатый или многошаговый отбор(подвыборки). При организациистатистических выборочных обследований широко применяется методмногоступенчатого отбора. Если исследуемая совокупность содержит некоторыегруппы и имеется информация о принадлежности элементов к той или иной группе,то в этом случае при выборочных обследованиях может быть удобным вначалеосуществить случайную выборку из этих групп, а затем в целях экономии средств ивремени не проводить обследование всех единиц отобранных групп, как пригнездовом отборе, а отобрать лишь часть элементов в каждой выбранной группе, т.е.осуществить двухступенчатый отбор. При многоступенчатом отборе извлечениеединиц наблюдения осуществляется после нескольких последовательных случайныхотборов групп.
Формулы оценивания при многоступенчатом(двухэтапном групповом отборе)Статистические показатели Истинное значение Истинное значение Суммарное значение признака
/>;
/>
/>;
/> Количество элементов в генеральной совокупности
/>
/> Среднее значение признака
/>;
/>;
/>
/>;
/>
/> Количество элементов в среднем на группу
/>
/> Дисперсия оценки суммарного значения признака
/>,
/>
/>
/>
/> Дисперсия оценки среднего значения признака
/>
/> Стандартная ошибка оценки суммарного значения признака
/>
/> Стандартная ошибка оценки среднего значения признака
/>
/> Коэффициент вариации оценки
/>
/>
N - количество групп в генеральной совокупности;
i - номер группы;
Yi -
сумма признака i-й группы совокупности;
Mi -
объем i-й группы, i=1,…, N;
j - номер элемента в группе;
yij -
величина признака для j-го элемента в i-й группе совокупности;
n - количество выбранных групп;
mi -
количество выбранных элементов в i-й выбранной группе, i =1,…., n;
/> -
суммарное значение признака по выборке в i-й выбранной группе;
/> - среднее значение признака по совокупности;
/> -
среднее значение признака в i-й группе совокупности;
/> -
несмещенная оценка для Y/>;
/> -
среднее значение признака в i-й выбранной группе;
/> -
дисперсия совокупности между группами:
/>;
/> -
дисперсия внутри i-й выбранной группы:
/>;
/> -
несмещенная оценка дисперсии совокупности между группами:
/>;
/> -
несмещенная оценка дисперсии внутри i-й выбранной группы:
/>. /> /> /> /> /> />
В выборках квазислучайного типапредполагается наличие вероятностного отбора на том основании, что специалист,рассматривающий выборку, считает это допустимым (т.е. предполагается,обстоятельства таковы, что возможно рассматривать выборку как вероятностную).Обоснованность этого решения всецело зависит от обстоятельств, поэтому делатьобобщения сложно.
Прямое использование суждения экспертаявляется наиболее общим методом намеренного включения единиц в выборку.Примером такого способа отбора является монографический метод, предполагающийполучение информации только от одной единицы наблюдения, являющейся типичной помнению организатора обследования – эксперта.
Выборки, сформированные на основенаправленного отбора, извлекаются с помощью объективной процедуры, нобез использования вероятностного механизма. Существует значительное числоразнообразных способов направленного отбора.
Список литературы
1. Статистика: Курс лекций / Под ред. В.Г. Ионина. – изд. 2-е,перераб. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2001. – 384 с.
2. Сборник задач по общей теории статистики: Учебн. пособие/ Под ред.Л.К. Серга. – М.: Филинъ, 1999. – 360 с.
3. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теориястатистики: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 1998. – 368 с.
4. Курс социально-экономической статистики: Учебник / Под ред. М.Г. Назарова.– М.: ЮНИТИ, 2000.
5. Методологические положения по статистике / Госкомстат России. –М.: Логос, 1996. Вып. 1. – 674 с.
6. Статистический словарь /Под ред. Ю.А. Юркова. – М.:Финстатинформ, 1996. – 479 с.
7. Теория статистики: Учебник / Под ред. Р.А. Шмойловой. – М.:Финансы и статистика, 2000. – 576 с.
8. Экономическая статистика: Учебник / Под ред. Ю.Н. Иванова. –М.: ИНФРА-М, 1998. – 480 с.
9. Райзберг Б.А., Лозовский Л.Ш., Стародубцева Е.Б. Современныйэкономический словарь. — М., 2003