Олег Лытнев
Усвоивбазовые понятия финансовых расчетов, можно заметить, что все дальнейшиерассуждения строятся по довольно универсальному алгоритму. Определяетсяматематическая природа понятия и основные ограничения, накладываемые на негопри практическом использовании. Например, сложные проценты наращиваются вгеометрической прогрессии. Они применяются по большей части в расчетах по долгосрочнымфинансовым операциям. Затем находится решение основных задач, связанных сданным понятием – начисление и дисконтирование по сложным процентным и учетнымставкам. После этого разрабатывается методика расчета остальных параметровуравнений, описывающих данное понятие, и решается проблема нахожденияэквивалентных значений отдельных параметров. При этом основным методом решениязадач является преобразование или приравнивание друг к другу множителейнаращения (дисконтирования) различных показателей. Поняв эти закономерности,можно отказаться от заучивания всех возможных формул и попытаться применитьданную методику для решения конкретных финансовых задач, держа при этом впамяти лишь полтора-два десятка основополагающих выражений (например, формулы расчетадекурсивных и антисипативных процентов и т.п.).
Используемданный алгоритм для финансового анализа денежных потоков, в частности, длярасчета отдельных параметров финансовых рент. Например, предприятию через тригода предстоит погасить задолженность по облигационному займу в сумме 10 млн.рублей. Для этого оно формирует погасительный фонд путем ежемесячногоразмещения денежных средств на банковский депозит под 15% годовых сложныхпроцентов с начислением 1 раз в год. Чему должна быть равна величина одноговзноса на депозит, чтобы к концу третьего года в погасительном фонде вместе сначисленными процентами накопилось 10 млн. рублей?
Планируемыепредприятием взносы представляют собой трехлетнюю p-срочную ренту, p = 12, m =1, будущая стоимость которой должна быть равна 10 млн. рублей. Неизвестнымявляется ее единственный параметр – член ренты R. В качестве базовой используемформулу (6) из табл. 3.3.3. Данное уравнение следует решить относительно R / 12(так как планируются ежемесячные взносы) Обозначим r = R / 12. Преобразовавбазовую формулу, получим
/>
Тоесть, размер ежемесячного взноса должен составить примерно 225 тыс. рублей(более точная цифра 224,908).
Размердолга по займу (10 млн. рублей) был задан как условие предыдущего примера. Насамом деле, часто данный параметр также является вычисляемой величиной, т.к.наряду с основной суммой займа должник обязан выплачивать проценты по нему.Предположим, что 10 млн. рублей – это основная задолженность по облигационномузайму, кроме этого необходимо ежегодно выплачивать кредиторам 10% основнойсуммы в виде процентов. Чему будет равна сумма ежемесячного взноса впогасительный фонд с учетом процентных выплат по займу? Так как проценты должнывыплачиваться ежегодно и их годовая сумма составит 1 млн. рублей (10 млн.рублей * 10%), нам опять следует рассчитать член ренты r (R / 12) по рентесроком n = 1 год, p = 12, m =1, i = 15%. По базовой формуле (6) его величинасоставит:
/>
Ежемесячнов погасительный фонд будет необходимо вносить около 78 тыс. рублей (болееточная цифра 78,0992) для ежегодной выплаты процентов в сумме 1 млн. рублей.Таким образом общая сумма ежемесячных взносов в погасительный фонд составит 303тыс. рублей (225 + 78).
Условиямизайма может быть предусмотрено присоединение суммы начисленных за год процентовк основному долгу и погашение в конце срока наращенной величины займа. То естьв конце срока эмитенту займа придется возвратить 13 млн. 310 тыс. рублей (10 *(1 + 0,1)3). Величину ежемесячного взноса в погасительный фонд найдем,используя все ту же базисную формулу (6):
/>
Тоесть ежемесячно необходимо вносить на банковский депозит около 300 тыс. рублейболее точно – 299,35).
Аналогичныйподход может быть применен к формированию амортизационного фонда. Известно, чтоамортизация основных фондов – важнейшая составная часть чистого денежногопотока предприятия, остающаяся в его распоряжении. В каждом рубле получаемойпредприятием выручки содержится доля амортизационных отчислений. Поэтому нетничего противоестественного в том, чтобы предприятие, “расщепляя” поступающуювыручку, перечисляло на банковский депозит сумму амортизации по каждому платежуот покупателя. В этом случае накопление амортизационного фонда происходило бызначительно быстрее за счет начисления процентов. Предположим, что по основнымфондам первоначальной стоимостью 50 млн. рублей предприятие начисляетамортизацию по годовой ставке 12,5% (линейный метод). Срок службы оборудования8 лет. Ежегодно начисляется 6,25 млн. рублей амортизационных отчислений. Ноесли предприятие располагает возможностью размещения денежных средств хотя быпод 10% годовых, то для накопления 50 млн. рублей в течение 8 лет емупонадобится ежегодно размещать на депозите лишь по 4, 37 млн. рублей:преобразовав формулу (2) из предыдущей главы, получим:
/>
Еслиже взносы на депозит производить ежемесячно (p = 12), то, снова применяяформулу (6), и деля полученный результат на 12, найдем:
/>
Ежемесячныйвзнос на депозит должен составить около 350 тыс. рублей (более точно – 348,65).При этом ежемесячные амортизационные отчисления по линейному методу составят520,8 тыс. рублей (6,25 / 12). Задачу можно сформулировать иначе: за скольколет предприятие возместит первоначальную стоимость основных средств, размещаяна депозите сумму амортизационных отчислений по линейному методу (520,8 тыс.рублей в месяц или 6,25 млн. рублей в год). Для решения этой задачи (нахождениесрока ренты n) снова понадобится формула (6), но теперь она будет преобразованаследующим образом:
/>
Полученноедробное число лет в соответствии с правилами выполнения финансовых расчетовдолжно быть округлено до ближайшего целого. Однако, при p > 1, округляетсяпроизведение np, в нашем случае оно составляет 71,52 (5,96 * 12). Округлив егодо 71 и разделив на 12, получим n = 5,92 года. При любых способах округления,полученное значение на 2 года меньше, чем срок амортизации основных фондов полинейному методу. То есть предприятие таким способом может накопить сумму длязамены изношеного оборудования на 2 года быстрее.
Необходимостьвыплачивать проценты кредитору на остаток банковской ссуды или коммерческогокредита ставит перед предприятиями задачу разработки оптимального планапогашения долга. Дело в том, что оставляя неизменной сумму основнойзадолженности в течение всего срока займа, предприятие будет вынужденовыплатить максимально возможную сумму процентов по этому займу. Если же онопериодически будет направлять часть средств на погашение основного долга, тосможет сэкономить на процентах, которые начисляются на остаток задолженности.Возможны различные стратегии амортизации займов. Например, предприятие можетпериодически уплачивать фиксированную сумму в погашение основной задолженности.Тогда в каждом новом периоде ему понадобится меньше денег на оплату процентов,то есть общие расходы по обслуживанию долга за период (срочная уплата) будутснижаться. Погашая ежегодно 2 млн. рублей из общей суммы 3-летнего займа 6 млн.рублей, выданного под 20 процента годовых, предприятие в 1-й год выплатит 1200тыс. рублей процентов (6000 * 0,2). Срочная уплата за этот период составит 3200тыс. рублей (2000 + 1200). За второй год проценты составят уже 800 тыс. рублей(4000 * 0,2), срочная уплата – 2800 тыс. рублей (2000 + 800) и т.д. Суммавыплачиваемых процентов будет снижаться в арифметической прогрессии с первымчленом 1200 тыс. рублей (p*i) и разностью -400 тыс. рублей (-p * i / n), nозначает число членов прогрессии, в данном примере оно равно 3. Сумма этойпрогрессии будет равна 2400 тыс. рублей (3 * 1200 – 2 * 3 * 400 / 2), а этозначительно меньше суммы процентов, которую пришлось бы уплатить предприятию вслучае единовременного погашения основного долга в конце срока ссуды – 4368тыс.рублей (6000 * (1 + 0,2)3 — 6000).
Возможендругой вариант, когда величина срочной уплаты на протяжении всего срока займаостается неизменной, но постепенно меняется ее структура – уменьшается доля,идущая на погашение процентов и увеличивается доля, направляемая в уплату поосновному долгу. В этом случае сначала необходимо определить размер срочнойуплаты, которая рассчитывается как величина члена ренты, текущая стоимостькоторой равна первоначальной сумме долга при дисконтировании по процентнойставке, установленной по займу. Преобразовав формулу приведения аннуитета (4)из предыдущей главы, найдем значение R:
/>
Дляполного погашения задолженности по ссуде понадобится произвести 3 погасительныхплатежа по 2848 тыс. рублей каждый. Не вдаваясь в подробности расчета структурысрочной уплаты по каждому году, отметим, что в сумме предприятию придетсязаплатить по займу 8544 тыс. рублей, т.е. общая сумма процентов составит 2544тыс. рублей (8544 – 6000), что заметно выше, чем по первому варианту.
Сопоставлениеразличных вариантов погашения займа только по критерию общей величинывыплаченных процентов, не вполне корректно – сравниваются различные денежныепотоки, для которых кроме абсолютных сумм имеет значение, в каком конкретнопериоде времени деньги были уплачены или получены. Рассмотрим подробнее, что изсебя представляет каждый из этих потоков (табл. 2.4.1). Вследствие действияпринципа временной ценности денег сложение членов этих потоков являетсябессмысленной операцией – платежи, производимые с интервалом 1 год,несопоставимы. Поэтому в стр. 5 табл. 2.4.1 рассчитана дисконтированная поставке 20% величина каждого из потоков. Так как в последней графе этой таблицыпредставлен аннуитет, то его расчет произведен по формуле (4) из предыдущегопараграфа. Два остальных потока состоят из неравных членов, их дисконтированиепроизведено по общей формуле (3). Как видно из результатов расчетов, наибольшуюотрицательную величину (-6472,2) имеет приведенная сумма платежей по первомупотоку, она даже превышает сумму полученного зацма. То есть, погашая долг на такихусловиях, предприятие реально несет финансовые потери. Два последних вариантане ухудшают финансового положения предприятия.
Таблица2.4.1
Сравнениевариантов выплаты займа Члены потока Варианты погашения займа, тыс. руб. возврат основного долга в конце срока фиксированная выплата основного долга фиксированная срочная уплата 1. Получение займа +6000 +6000 +6000 2. Платеж в конце 1 года -1200 -3200 -2848,4 3. Платеж в конце 2 года -1440 -2800 -2848,4 4. Платеж в конце 3 года -7728 -2400 -2848,4 5. Приведенная к моменту получения займа сумма выплат -6472,2 -6000 -6000
Сравниваямежду собой приведенные величины денежных притоков и оттоков по финансовойоперации, определяют важнейший финансовый показатель чистая приведеннаястоимость (NPV – от английского net present value). Наиболее общая формулаопределения этого показателя:
/>, (1)
гдеI0 – первоначальные инвестиции в проект (оттоки денег),
PV– приведенная стоимость будущих денежных потоков по проекту.
Прииспользовании этой формулы все денежные притоки (доходы) обозначаютсяположительными цифрами, оттоки денежных средств (инвестиции, затраты) –отрицательными.
Внашем примере первоначально предприятие получало приток денежных средств (суммазайма 6 млн. рублей), а затем в течение 3 лет производило денежные расходы,т.е. оттоки средств. Поэтому к первоначальному моменту приводились не поступления,а затраты. Обычно при реализации инвестиционных проектов наблюдается обратнаякартина: сначала предприятие вкладывает средства, а затем получаетпериодические доходы от этих вложений. Поэтому, преобразуя (1) с учетом правилдисконтирования денежных потоков (формула (4) из предыдущей главы), получаем:
/>, (2)
гдеn – общий срок финансовой операции (проекта),
Rk– элемент дисконтируемого денежного потока (член ренты) в периоде k,
k– номер периода.
Подпроцентной ставкой i (в данном случае ее называют ставкой сравнения) понимаетсягодовая сложная эффективная ставка декурсивных процентов. Срок операции n вобщем случае измеряется в годах. Если же реальная операция не отвечает этимусловиям, т.е. интервалы между платежами не равны году, то в качестве единицыизмерения срока принимаются доли года, измеренные как правило в месяцах,деленных на 12. Например, инвестиции в сумме 500 тыс. рублей принесут в первыймесяц 200 тыс. рублей дополнительного дохода, во второй 300 тыс. рублей и втретий – 700 тыс. рублей. Ставка сравнения равна 25%. Чистая приведеннаястоимость данного проекта составит 1 млн. 147 тыс. руб.:
/>
Довольнораспространенной является ошибка, когда в подобных случаях пытаются рассчитатьмесячную процентную ставку делением годовой ставки на 12, а срок проектаизмеряют в целых месяцах (вместо 1 / 12 года берут 1 месяц. вместо 2 / 12 – 2 ит.д.). В этом случае будет получен неправильный результат, т.к. возникнетэффект ежемесячного реинвестирования начисляемых сложных процентов. Чтобыполучить эквивалентный результат, для нахождения месячной ставки необходимопредварительно пересчитать годовую эффективную ставку i в номинальную j при m =12 по формуле j = m * ((1 + i)1/m – 1) (см. гл. 2.2). В данном случаеэквивалентной является номинальная годовая ставка 22,52% ставка, разделивкоторую на 12 можно получить значение для помесячного дисконтирования денежногопотока.
Еслиденежный поток состоит из одинаковых и равномерно рапределенных выплат (то естьпредставляет собой аннуитет), можно упростить расчет NPV, воспользовавшисьформулами дисконтирования аннуитетов из табл. 3.3.3 предыдущего параграфа.Например, если бы в рассматриваемом проекте было предусмотрено получение втечение трех месяцев по 400 тыс. рублей дохода ежемесячно (то есть R = 4800),то следовало рассчитать приведенную стоимость аннуитета сроком 3 / 12 года ичислом выплат p = 3. Применив формулу (12) из предыдущего параграфа, получим
/>
Кромеправильного вычисления чистой приведенной стоимости, необходимо понимать еефинансовый смысл. Положительное значение этого показателя указывает нафинансовую целесообразность осуществления операции или реализации проекта.Отрицательная NPV свидетельствует об убыточности инвестирования капитала такимобразом. В примере с проектом получено очень хорошее значение NPV, свидетельствующеео его инвестиционной привлекательности. Возвратившись к данным табл. 2.4.1,можно видеть, что два последних варианта погашения долга дают нулевую NPV, тоесть в финансовом плане само по себе пользование заемными средствами непринесет предприятию ни вреда ни пользы. Если же оно изберет первый вариант(возврат основной суммы долга по окончании его срока), то получит отрицательнуюNPV –472,2 тыс. рублей, следовательно такой план погашения задолженностипринесет ему финансовые потери.
Одостоинствах и особенностях чистой приведенной стоимости будет очень подробноговориться в последующих главах. Остается только заметить, что значение ее дляфинансового менеджмента настолько высоко, что многократно окупает затраты трудапо изучению и осмыслению всех вышеприведенных формул финансовых вычислений.Вторым столь же важным финансовым показателем является внутренняя нормадоходности (IRR – от английского internal rate of return). Рассмотрим еще одининвестиционный проект. Внедрение новой технологии требует единовременных затратв сумме 1,2 млн. рублей. Затем в течение 4 лет предприятие планирует получатьдополнительный денежный поток от этих инвестиций в размере: 1-й год – 280 тыс.рублей, 2-й год – 750 тыс. рублей, 3-й год – 1 млн. рублей и 4-й год – 800 тыс.рублей. Рассчитаем NPV этого проекта при ставке сравнения 30% годовых:
/>
Реализацияпроекта может принести предприятию 194,4 тыс. рублей чистой приведеннойстоимости при условии использования ставки сравнения 30%. А при какойпроцентной ставке проект будет иметь нулевую NPV, то есть, какой уровеньдоходности приравняет дисконтированную величину денежных притоков к суммепервоначальных инвестиций? Взглянув на формулу расчета NPV, можно сделатьвывод, что увеличение ставки i снижает величину каждого члена потока и общую ихсумму, следовательно, чем больше будет уровень ставки, приравнивающей NPV кнулю, тем более мощным будет сам положительный денежный поток. Иными словами,мы получаем характеристику финансовой эффективности проекта, которая как бызаложена внутри него самого. Поэтому данный параметр и получил названиевнутренняя норма доходности (иногда используется термин внутренняя нормарентабельности, внутренняя процентная ставка и др.). Итак IRR это такая годоваяпроцентная ставка, которая приравнивает текущую стоимость денежных притоков попроекту к величине инвестиций, т.е. делает NPV проекта равным нулю.
Изопределения IRR следует, что для ее расчета можно использовать формулуопределения NPV (2), решив это уравнение относительно i. Однако данная задачане имеет прямого алгебраического решения, поэтому найти величину IRR можно илипутем подбора значения или используя какой-либо итерационный способ (например,метод Ньютона-Рафсона). Широкое распространение вычислительной техникиупростило решение подобных задач, поэтому в настоящем пособии не будетрассмотрен математический аппарат расчета IRR “вручную”. Наличие ПК с пакетомэлектронных таблиц практически снимает проблему. Подберем с помощью компьютеразначение i, отвечающее заданным требованиям, оно составит около 37,9%. То естьданный инвестиционный проект обладает доходностью 37,9%. Сравнивая полученноезначение с доходностью альтернативных проектов, можно выбрать наиболееэффективный из них.
Список литературы
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта www.cfin.ru/