Министерство Образования Российской Федерации
Алтайский Государственный УниверситетЭкономическийФакультетЗаочноеотделениеКафедра«Информационные системы в экономике»
Контрольнаяработа по предмету:
«Эконометрика»
Выполнилстудент
3 курса 211 группы
Неклюдов А.А.
Барнаул2003 г.
Выборочная ковариация
Выборочная ковариация являетсямерой взаимосвязи между двумя переменными. Данное понятие может бытьпродемонстрировано на простом примере. Просматривая табличные данные,помещенные в приложении книги: «Введение в эконометрику», Кристофера Доугертиможно увидеть, что в период между 1963 и 1972 гг. потребительский спрос набензин в США устойчиво повышался. Эта тенденция прекратилась в 1973 г., а затемпоследовали нерегулярные колебания спроса с незначительным его падением вцелом. В табл. 1.1 приведены данные о потребительском спросе и реальных ценахпосле нефтяного кризиса. (Реальная цена вычисляется путем деления индексаноминальной цены на бензин, на общий индекс потребительских цен и умножениемрезультата на 100, из таблицы дефляторов цен для личных потребительскихрасходов(1972 = 100%)). Индексы из таблицы дефляторов основаны на данных 1972г.; таким образом, индекс реальной цены в таблице 1.1 показывает повышение ценыбензина относительно общей инфляции начиная с 1972 г.
Таблица 1.1Потребительские расходы на бензин и его реальная цена в США Год
Расходы
(млрд. долл., цены 1972 г.) Индекс реальных цен (1972=100) 1973 26,2 103,5 1974 24,8 127,0 1975 25,6 126,0 1976 26,8 124,8 1977 27,7 124,7 1978 28,3 121,6 1979 27,4 179,7 1980 25,1 188,8 1981 25,2 193,6 1982 25,6 173,9
Можно видетьнекоторую отрицательную связь между потребительским спросом на бензин и егореальной ценой. Показатель выборочной ковариации позволяет выразить даннуюсвязь единичным числом. Для его вычисления сначала необходимо найти средниезначения цены и спроса на бензин. Обозначив цену через p и спрос – через y, находим средниезначения pи y, затем для каждоговычисляем отклонение величин p и y от средних и перемножаем их. Проделаем это для всех годоввыборки и возьмем среднюю величину, она и будет выборочной ковариацией (Таблица1.2). Таблица 1.2 Наблюдение
Цена
p
Спрос
y
_
(p-p)
_
(y-y)
_ _
(p-p)(y-y) 1973 103,5 26,2 -39,86 -0,07 2,79 1974 127,0 24,8 -16,36 -1,47 24,05 1975 126,0 25,6 -17,36 -0,67 11,63 1976 124,8 26,8 -18,56 0,53 -9,84 1977 124,7 27,7 -18,66 1,43 -26,68 1978 121,6 28,3 -21,76 2,03 -44,17 1979 149,7 27,4 6,34 1,13 7,16 1980 188,8 25,1 45,44 -1,17 -53,16 1981 193,6 25,2 50,24 -1,07 -53,76 1982 173,9 25,6 30,54 -0,67 -20,46 Сумма: 1433,6 262,7 -162,44 Среднее: 143,36 26,27 -16,24
Итак, приналичии nнаблюдений двух переменных (x и y) выборочная ковариация задается формулой:
Cov(x,y) = 1/n*S(xi-x)(yi-y) = 1/n{(xi-x)(yi-y)+…+(xn-x)(yn-y)}
Следует отметить, что в данномпримере ковариация отрицательна. Так это и должно быть. Отрицательная связь вданном примере выражается отрицательной ковариацией, а положительная связь –положительной ковариацией.
Так,например, в наблюдении за 1979 г. (p-pсредн.) = 6,34, (y-yсредн.) = 1,13, а поэтому и ихпроизведение положительно и равно 7,16, в этом наблюдении значения реальнойцены и спроса выше соответствующих средних значений следовательно, наблюдениедает положительный вклад в ковариацию.
В наблюденииза 1978 г. реальная цена ниже средней, а спрос выше среднего, поэтому (p-pсредн.) отрицательно, (y-yсредн.) положительно, ихпроизведение отрицательно, и наблюдение вносит отрицательный вклад вковариацию.
В наблюденииза 1974 г., как реальная цена, так и спрос, ниже своих средних значений, такимобразом, (p-pсредн.) и (y-yсредн.) оба являютсяотрицательными, а их произведение положительно следовательно, наблюдение вноситположительный вклад в ковариацию.
И, наконец, внаблюдении за 1981 г. цена выше средней, а спрос ниже среднего. Таким образом (p-pсредн.) положительно, (y-yсредн.) отрицательно, поэтому (p-pсредн.)(y-yсредн.) отрицательно, и вковариацию, соответственно, вносится отрицательный вклад.
Несколько основных правил расчета ковариации.
· Правило1
Если y = v+w, то Cov(x,y) =Cov(x,v)+Cov(x,w).
· Правило2
Если y = az, где a – константа, то Cov(x,y) = aCov(x,z)
· Правило3
Если y = a, где a – константа, то Cov(x,y) = 0Демонстрация правила 1
Возьмемданные по шести семьям (домохозяйствам), приведенные в таблице 1.3: общийгодовой доход (x); расходы на питание и одежду (y); расходы на питание (v) и расходы на одежду (w). Естественно, y равняется сумме v и w. Указанную в таблицевеличину zрассмотрим для демонстрации правила 2.
Таблица 1.3 Семья
Доход семьи
(x)
Расходы на питание и одежду
(y)
Расходы на питание
(v)
Расходы на одежду
(w)
Вторая выборка: расходы семьи на питание и одежду
(z) 1 3000 1100 850 250 2200 2 2500 850 700 150 1700 3 4000 1200 950 250 2400 4 6000 1600 1150 450 3200 5 3300 1000 800 200 2000 6 4500 1300 950 350 2600 Сумма: 23300 7050 5400 1650 14100 Среднее: 3883 1175 900 275 2350
В таблице 1.4 величины (x-x), (y-y), (v-v) и (w-w) вычисляютсядля каждой семьи. Отсюда получаем (x-xсредн.)(y-yсредн.), (x-xсредн.)(v-vсредн.) и (x-xсредн.)(w-wсредн.) для каждой семьи. Cov(x,y) получаетсякак среднее из величин (x-xсредн.)(y-yсредн.) и равняется 266250. Cov(x,v) равна 157500и Cov(x,w) = 108750. Следовательно, Cov(x,y) являетсясуммой Cov(x,v) и Cov(x,w).
Таблица 1.4Семья
_
x-x
_
y-y
_ _
(x-x)(y-y)
_
(v-v)
_ _
(x-x)(v-v)
_
(w-w)
_ _
(x-x)(w-w) 1 -883 -75 66250 -50 44167 -25 22083 2 -1383 -325 449583 -200 276667 -125 172917 3 117 25 2917 50 5833 -25 -2917 4 2117 425 899583 200 529167 175 370416 5 -583 -175 102083 -100 58333 -75 43750 6 617 125 77083 50 30833 75 46250 Сумма: 1597500 945000 652500 Среднее: 266250 157500 108750
Демонстрацияправила 2
В таблице 1.3последняя колонка (z) дает расходы на питание и одежду для второго множества из 6семей. Каждое наблюдение z фактически представляет собой удвоенное значение y. Предполагается, чтозначения величины x для второго набора семей являются такими же, как и ранее. Длявычисления Cov(x,z) необходимы значения (x-xсредн.), а также (z-zсредн.)
Таблица 1.5Семья (x-x) (z-z) (x-x)(z-z) 1 -883 -150 132500 2 -1383 -650 899167 3 117 50 5833 4 2117 850 1700167 5 -583 -350 204167 6 617 250 154167 Сумма: 3195000 Среднее: 532500
Из таблицы1.5 можно видеть, что Cov(x,z) равна 532500, что в точности равно удвоенной Cov(x,y).Демонстрация правила 3
Допустим, чтокаждая семья в выборке имеет по два взрослых человека, и предположим, что понедоразумению мы решили вычислить ковариацию между общим доходом (x) и числом взрослых всемье (a).Естественно, что a1=a2=…=a6=2. Таким образом, aсредн .= 2. Отсюда для каждой семьи (a-aсредн.) = 0 и, следовательно, (x-xсредн.)(a-aсредн.) = 0. Поэтому Cov(x,a) = 0.
Теоретическая ковариация
Если x и y – случайные величины,теоретическая ковариация sxyопределяется какматематическое ожидание произведения отклонений величин от их средних значений:
pop.cov(x,y) =xy= E{(x)(y-y)}
Еслитеоретическая ковариация неизвестна, то для ее оценки может использованавыборочная ковариация, вычисленная по ряду наблюдений. К сожалению такая оценка, будет иметь отрицательное смещение.
Если x и y независимы, то ихтеоретическая ковариация равна нулю, поскольку:
E{(xx)(yy)}= E(xx)(yy) = 0*0
Выборочная дисперсия.
Для выборкииз n наблюдений x1,…,xn выборочная дисперсияопределяется как среднеквадратичное отклонение в выбоке:
Var(x) = 1/nS(x-x)2
Замечание. Определеннаятаким образом выборочная дисперсия представляет собой смещенную оценкутеоретической дисперсии s2, которая определяется как:
1/(n-1)S(x-x)2, являетсянесмещенной оценкой s2. Отсюда следует, что ожидаемое значение величиныVar(x) равно [(n-1)/n]s2 и, следовательно, онаимеет отрицательное смещение. Отметим, что если размер выборки n становится большим, то (n-1)/n стремится к единице и,таким образом, математическое ожидание величины Var(x) стремится к s2.
Правила расчета дисперсии.
· Правило1
Если y = v+w, то Var(y) =Var(v)+Var(w)+2Cov(v,w)
· Правило2
Если y = az, где a является постоянной, то Var(y) = a2Var(z)
· Правило3
Если y = a, где a является постоянной, то Var(y) = 0
· Правило4
Если y = v+a, где a является постоянной, то Var(y) = Var(v)
Следуетзаметить, что дисперсия переменной x может рассматриваться как ковариация между двумявеличинами x:
Var(x)= 1/n*(xi-x)2 = 1/n*(xi-x)(xi-x) =Cov(x,x)
Учитывая эторавенство, можно воспользоваться правилами расчета выборочной ковариации, чтобывывести правила расчета дисперсии.
Коэффициент корреляции
Рассматривая ковариациюнельзя не отметить, что она является не особенно хорошим измерителемвзаимосвязи между величинами. Более точной мерой зависимости является тесносвязанный с ней коэффициент корреляции. Подобно дисперсии и ковариации,коэффициент корреляции имеет две формы – теоретическую и выборочную.
Дляпеременных xи y теоретическийкоэффициент корреляции определяется как:
/>/>/>/>x,y = pop.cov(x,y)/ pop.var(x)pop.var(y) = x,y / x2y2var(y)
Если x и y независимы, то r равно нулю, т.к. равнанулю теоретическая ковариация. Если между переменными существует, то sx,y, а следовательно rx,y будут положительными.Если существует строгая положительная линейная завистмость, то rx,y примет максимальноезначение равное 1. Аналогичным образом при отрицательной зависимости rx,y будет отрицательным сминимальным значением –1.
Выборочныйкоэффициент корреляции r равен:
/>
/>/>rx,y =(n/(n-1))Cov(x,y) / (n/(n-1))Var(x)(n/(n-1))Var(y)
Множители n/(n-1) сокращаются, поэтомуможно определить выборочную корреляцию как:
/>
/>/>rx,y =Cov(x,y) / Var(x)Var(y)
Подобновеличине r, r принимает максимальное значение, равное единице, котораяполучается при строгой линейной зависимости между выборочными значениями x и y. Аналогичным образом r принимает минимальноезначение –1, когда существует линейная отрицательная зависимость. Величина r = 0 показывает, чтозависимость между наблюдениями x и y в выборке отсутствует. Однако, тот факт, что r = 0, необязательноозначает, что, и наоборот.
Длявычисления выборочного коэффициента корреляции используем пример о спросе набензин. Данные представлены в таблице 1.1.
Cov(p,y) = – 16,24 (см. табл.1.2), поэтому теперь необходимо найти значения Var(p) и Var(y) (см. табл. 1.6 наследующей странице). В последних двух колонках таблицы 1.6 можно найти, что Var(p)=888,58 Var(y)=1,33. Следовательно:
/>/>r = –16.24 / 888,58 * 1,33= – 16,24 / 34,38 = – 0,47
Таблица 1.6Наблюдение p y (p-p)
(y-y)2
(p-p)2
(y-y)2 1 103,5 26,2 -39,86 -0,07 1588,82 0,01 2 127,0 24,8 -16,36 -1,47 267,65 2,16 3 126,0 25,6 -17,36 -0,67 301,37 0,45 4 124,8 26,8 -18,56 0,53 344,47 0,28 5 124,7 27,7 -18,66 1,43 348,20 2,05 6 121,6 28,3 -21,76 2,03 473,50 4,12 7 149,7 27,4 6,34 1,13 40,20 1,28 8 188,8 25,1 45,44 -1,17 2064,79 1,37 9 193,6 25,2 50,24 -1,07 2524,06 1,15 10 173,9 25,6 30,54 -0,67 932,69 0,45 Сумма: 1433,6 262,7 8885,75 13,30 Среднее: 143,36 26,27 888,58 1,33
Почему ковариация не является хорошей меройсвязи?
Коэффициенткорреляции является более подходящим измерителем зависимости, чем ковариация.Основная причина этого заключается в том, что ковариация зависит от единиц, вкоторых измеряются переменные x и y, в то время как коэффициент корреляции есть величинабезразмерная.
Возвращаясь кпримеру со спросом на бензин, если при вычислении индекса реальных цен вкачестве базового года взять 1980 г. вместо 1972 г., то в этом случаековариация изменится, а коэффициент корреляции – нет.
Прииспользовании 1972 г. вкачестве базового года индекс реальных цен для 1980 г.составил 188,8. Если теперь принять этот индекс за 100 для 1980 г., то нужнопересчитать ряды путем умножения на коэффициент 100/188,8 = 0,53. Новые рядыпредставлены во второй колонке таблицы 1.7 и будут обозначены через P. Величина P численно меньше, чем p.
Так какотдельное наблюдение ряда цен было пересчитано с коэффициентом 0,53 то отсюдаследует, что и среднее значение за выборочный период (Pсредн.) пересчитывается с этимкоэффициентом. Следовательно, в году t:
Pt– P = 0,53pt – 0,53p = 0,53(pt – p)
Это означает,что в году t:
(P – P)(y – y) = 0,53(p – p)(y – y),
и, следовательно, Cov(P,y) = 0,53Cov(p,y). Однако накоэффициент корреляции это изменение не повлияет. Коэффициент корреляции для P и y будет равен:
/>
/>/>rp,y = Cov(P,y) / Var(P)Var(y)
Таблица 1.7Наблюдение P y P-P y-y
(P-P)2
(y-y)2 (P-P)(y-y) 1973 54,82 26,2 -21,11 -0,07 445,73 0,01 1,48 1974 67,27 24,8 -8,67 -1,47 75,09 2,16 12,74 1975 66,74 25,6 -9,20 -0,67 84,55 0,45 6,16 1976 66,10 26,8 -9,38 0,53 96,64 0,28 -5,21 1977 66,05 27,7 -9,88 1,43 97,68 2,05 -14,13 1978 64,41 28,3 -11,53 2,03 132,84 4,12 -23,40 1979 79,29 27,4 3,36 1,13 11,28 1,28 3,80 1980 100,00 25,1 24,07 -1,17 579,26 1,37 -28,16 1981 102,54 25,2 26,61 -1,07 708,10 1,15 -28,47 1982 92,11 25,6 16,18 -0,67 261,66 0,45 -10,84 Сумма: 759,32 262,7 2492,28 13,30 -86,04 Среднее: 75,93 26,27 249,23 1,33 -8,60