Модель авторегрессии вкорреляционной теории
1. Принципы построениямодели авторегрессии
В основу модели АРположена корреляция отсчета случайного процесса в текущий момент времени снекоторым конечным или бесконечным числом отсчетов в предыдущие моментывремени. Корреляционные связи позволяют осуществить регрессию текущего отсчетана предшествующие отсчеты.
Такой вид регрессииназывается авторегрессией. В уравнении АР текущий отсчет представляетсявзвешенной суммой предыдущих с некоторыми коэффициентами веса
/>, (1)
где /> — коэффициенты АР, /> — некоррелированныеслучайные отсчеты, /> — порядок моделиАР.
Величина
/>, (2)
называется предсказаниемслучайной величины />. Разность междутекущим значением отсчета и его предсказанием называется ошибкой предсказания
/>. (3)
Величина /> характеризует, посуществу, максимальную точность предсказания текущего отсчета, а ее статистическиесвойства определяют выбор порядка модели АР.
Из (1) видно, чтопостроение АР модели случайного процесса сводится к нахождению коэффициентов АРи определению порядка />.
Умножив правую и левую части(1) на />, а затемусреднив, можно получить систему /> уравнений
/>, />,(4a)
/>, (4б)
где /> — значения функции корреляциислучайного процесса
/> — дисперсия ошибокпредсказания модели АР, />-дисперсия случайного процесса />. Наборуравнений (4а) и (4б) называется полной системой уравнений Юла – Уокера.
Решением этой системыявляются коэффициенты АР и дисперсия ошибок предсказания. При выводе уравнений(4а) было учтено, что
/>, />, />, (5a)
/>, />, />. (5б)
Соотношения (5) следуютиз некоррелированности ошибок предсказания />.Решение системы уравнений (4а) можно представить в матричном виде
/>, (6a)
где
/>,/>,/>. (6б)
Как видно из (4а),уравнение не изменится, если вместо /> использоватьнормированные значения функции корреляции />,которые называются коэффициентами корреляции. Очевидно, что при этом параметры моделиАР останутся прежними.
Как следует из (6а, б),для первого порядка модели АР
/>. (7)
Для модели АР второгопорядка коэффициенты АР равны
/>,
/>. (8)
Отметим важное свойство коэффициентовАР, на котором основано использование моделей предсказания в качестве обеляющихфильтров. Коэффициенты АР, рассчитанные с помощью уравнений Юла-Уокера (4а) минимизируютдисперсию ошибки предсказания
/>. (9)
В этом легко убедиться, продифференцировав(9) по />, и приравнявпроизводную к нулю. При этом полученная система уравнений совпадает с (4а).
Достоинством модели АРявляется ее конструктивность, заключающаяся в возможности синтеза довольно простымобразом алгоритмов обработки случайных процессов.
На рис. 1представлен АР фильтр предсказания (обеляющий фильтр), алгоритм действиякоторого описывается выражением (3). Он состоит из линий задержки, усилителей скоэффициентами усиления />,/>и сумматора.
Ошибки предсказания навыходе этого фильтра будут отсчетами белого шума, а точнее некоррелированнымпроцессом. Дисперсия ошибки предсказания на выходе фильтра будет иметь минимальноезначение, если коэффициенты АР найдены из уравнения (4а).
Порядок процесса АРопределяется с использованием различных критериев, как правило, основанных наминимизации некоторой теоретико-информационной функции. Для определения порядкамодели пользуются методами Бартлетта, Акайке, Парзена.
Порядок модели можнонаходить из условия не убывания дисперсии ошибки предсказания при дальнейшемповышении порядка. Довольно эффективным методом определения порядка модели АР являетсяметод, основанный на проверке близости корреляционной функции случайногопроцесса на выходе обеляющего АР фильтра к корреляционной функции белого шума.
/>/>
/> /> />
/>
Рисунок 1. АР фильтрпредсказания
Процессы АР можнохарактеризовать конечным числом значений функции, определяемой корреляционнойфункцией.
Такая функция носитназвание частной автокорреляционной функции. Ее можно выразить через коэффициентыАР, порядок которых изменяется от единицы до />.
Т.к. коэффициент АР сномером /> полагается равным нулю, топроцесс АР можно характеризовать конечным набором не равных нулю коэффициентов АР,с номером равным р для моделей АР с порядками от единицы до />-/>, />.
Поэтому значения частной автокорреляционнойфункции полагаются равными />, />. Можно показать, чтопервые три значения частной автокорреляционной функции описываются выражениямивида
/>,
/>,
/>. (10)
Достоинством частнойавтокорреляционной функции по сравнению с автокорреляционной функцией являетсяее конечная длина.
Как показал Бартлетт, значениечастной автокорреляционной функции можно полагать равным нулю, если оно меньше />, где /> — длина реализации, покоторой производилась оценка значений функции корреляции. Таким образом, посуществу, производится оценка порядка модели АР.
2. Спектрпроцесса авторегрессии
Формула для нахожденияспектра модели АР лежит в основе параметрического спектрального оценивания.
Для ее вывода будемрассматривать процесс АР как реакцию формирующего фильтра />, на вход которого подаютсянекоррелированные отсчеты />.
Можно показать, что />-преобразованиепередаточной функции АР фильтра имеет вид
/>, (11)
где
/>, />.(12)
/>-преобразования СПМвыходного и входного процессов связаны соотношением
/>. (13)
Чтобы найти СПМ выходногоАР процесса необходимо в (13) сделать замену /> иположить, что для белого шума /> – постояннаявеличина.
Тогда из (13) следуетвыражение для параметрической оценки СПМ
/>. (14)
Выражение (14) широкоиспользуется в параметрическом методе спектрального оценивания.
В качестве параметров,полностью характеризующих спектральную оценку случайного процесса, выступаюткоэффициенты АР и порядок модели.
Параметрическоеспектральное оценивание обладает рядом преимуществ по сравнению с традиционнымиметодами спектрального оценивания. К ним относятся: более высокое спектральноеразрешение при использовании коротких выборок, отсутствие боковых лепестков.
С помощью модели АР можнополучать спектральные оценки случайных процессов со сложной формой СПМ.
Для этого может бытьпридется использовать модели АР большого порядка. На основе модели АР легкосинтезируются оптимальные фильтры подавления, согласованные не только почастоте и полосе спектра, но и по форме спектра случайного процесса.
Достоинством формулы (14)является возможность анализировать СПМ в аналитическом виде, что невозможносделать при использовании традиционных методов спектрального оценивания наоснове преобразования Фурье.
Например, можно найтиформулы для определения частоты максимумов и минимумов СПМ.
Чтобы определитьположение максимума или минимума АР оценки СПМ, нужно взять производную от (14)по /> и приравнять ее к нулю.Корни полученного уравнения определяют положение экстремумов функции СПМ.
При />, можно показать, что
/>, (15)
где /> – частота на которойнаходится максимум СПМ.
3. Характеристическоеуравнение модели авторегрессии
Модель АР, описываемая уравнением(1), может быть представлена в операторной форме
/>, (16)
где оператор АР /> имеет вид
/>. (17)
Действие оператора сдвигаz на текущий отсчет описывается следующим образом
/>. (18)
Из условия устойчивости формирующегоАР фильтра с рациональной передаточной функцией (11), следует условиестационарности АР процесса. Для проверки стационарности случайного АР процессаиспользуется характеристическое уравнение
/>. (19)
Если корнихарактеристического уравнения (19) лежат внутри единичного круга на комплекснойплоскости, то процесс АР удовлетворяет условию стационарности и егокорреляционная функция стационарна. Характеристическое уравнение (19) можно представитьтакже в виде
/>. (20)
Тогда условиестационарности заключается в том, что корни характеристического уравнения (20) /> должны лежать внеединичного круга на комплексной плоскости.
Используя (19) или (20) операторАР (17) можно представить в виде
/>. (21)
Из (21) следует, чтоуравнение АР (1) можно записать следующим образом
/>. (22)
Сравнивая (1) и (22)найдем связь между коэффициентами АР и корнями /> характеристическогоуравнения (20).Приведемсоответствующие формулы для />:
/>, (23a)
/>;
/>, (23б)
/>;
/>;
/>, (23в)
/>;
/>;
/>;
/>, (23г)
где первый индекс в квадратныхскобках указывает на соответствующий порядок модели.
Полученные формулы оказываютсявесьма полезными для определения коэффициентов АР по заданным характеристикамслучайного процесса.
Отметим, что корнихарактеристического уравнения полностью описывают модель АР.
Свойства модели зависятпараметров, через которые они выражаются. Если корень действительный, то егоможно представить в виде экспоненциальной функции
/>, (24а)
где />– коэффициентдемпфирования равный />, а />-ширина полосы />-го пика СПМ.
Тогда действительныекорни характеристического уравнения принимают вид
/>. (24б)
Комплексные корнихарактеристического уравнения описываются выражениями
/>, />, (25)
где /> – собственная частотамодели АР с поправкой на демпфирование, соответствующая />-тому пику СПМ.
4. Генерация коррелированного случайногопроцесса
В задачах статистического моделированиячасто возникает необходимость генерации случайного процесса с заданнойкорреляционной функцией или с заданной формой и характеристиками СПМ. Для этихцелей эффективно использовать генератор процесса АР, показанный на рис. 2.
Генерация случайного процессаосуществляется методом порождающего случайного процесса.
Порождающий процесс в виде белого шума,обычно с гауссовой функцией распределения, пропускается через формирующийфильтр, параметры которого определяются соответствующей моделью АР.
/>/> />
/> /> />
Рисунок 2. Генераторпроцесса АР
Для генерации процесса нужно выбратьнеобходимое количество пиков СПМ. Тогда порядок модели АР равен удвоенномучислу пиков. Так, для СПМ с одним пиком на ненулевой частоте, порядок моделиравен 2. Для СПМ с двумя пиками порядок модели равен 4.
Затем выбирают частоту пика и его ширинуполосы. Вычисленные значения корней характеристического уравнения по формулам(24), используются для нахождения коэффициентов АР.
Для этого корни подставляются всоответствующие выражения (23). Генерация процесса осуществляется с помощьюрекуррентного выражения (1) с использованием порождающего белого шума a[t].
Функция распределения a[t] может быть любой, но, как правило,используют нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием иединичной дисперсией. Белый шум с нормальным распределением получают из белогошума с равномерным распределением.