ОСНОВНІПОЛОЖЕННЯ СТАТИСТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ СИСТЕМ ЗВ'ЯЗКУ
1. Процедури та особливості моделювання системзв’язку наЕОМ
Моделювання – це методнаукового пізнання, при використанні якого досліджуваний об'єкт заміняєтьсябільш простішим об'єктом (його математичною моделлю) і як результат вивченнямоделі виникає нова інформація про оригінал. У залежності від способуреалізації математичної моделі розрізняють математичне, фізичне (натурне) танапівнатурне моделювання. Фізичне моделювання – це спосіб дослідження, згідно зяким система заміняється фізично реалізованими елементами, зокрема, макетомсистеми. При напівнатурному моделюванні частина системиреалізується у вигляді фізичної моделі, а інша її частина — у виглядіматематичної моделі.
Математичне моделювання — цеспосіб дослідження, згідно з яким модель системи реалізується у виглядіматематичних співвідношень, що характеризують структуру системи та перетвореннясигналів і завад у реальній системі. Можливе використання як аналітичних, так ічислових методів математичного моделювання. При використанні аналітичнихметодів необхідні розв’язки та залежності одержуються із математичної моделісистеми шляхом послідовного застосування математичних правил та перетворень.Труднощі застосування аналітичних методів пов'язані з відсутністю повнихапріорних даних для проведення перетворень, а також складний характер цихперетворень. Однак в останній час появились програми аналітичних перетворень наЕОМ, що розширює можливості цих методів. Застосування чисельних методівзводиться до заміни математичних операцій відповідними обчислювальнимиопераціями на математичній моделі, реалізованій на ЕОМ. Хоча числові методидають можливість вирішувати значно більше коло задач, але для них характерназначна трудомісткість обчислень та в ряді випадків нестійкі розв’язки щодопохибок апроксимації та округлення.
Серед методів дослідженьсистеми на ЕОМ широке застосування знаходять методи імітаційного моделювання,які основані на реалізації та дослідженні математичної моделі у форміалгоритмів та програм, що відображають як структуру системи, так і процеси їїфункціювання у часі. В ряді випадків можливості алгоритмічних мов дозволяютьодержати гнучкіші та доступніші засоби опису складних систем порівняно з мовоюматематичних функціональних співвідношень. При ймовірнісному підході домоделювання систем на ЕОМ використовується наближений чисельний методдосліджень — метод статистичного моделювання. При цьому математична модельсистеми реалізується програмно на ЕОМ, а необхідні характеристики системиодержуються шляхом проведення статистичних випробувань системи на вибіркахреальних чи модельних сигналів та завад, а також опрацювання результатівдосліджень методами математичної статистики. Позитивна властивість цього методу- це універсальність, що гарантує принципову можливість аналізу системидовільної складності і з довільною деталізацією. Негативнм є трудомісткістьпроцесів моделювання та частинний характер результатів, одержаних дляконкретних визначених умов роботи системи.
Для проведення дослідженьсистеми методом стастичного моделювання на ЕОМ характерним є виконання такихпроцедур:
-формулювання задачімоделювання, що включає в себе сукупність відомостей, які необхідно одержати врезультаті моделювання;
-визначення меж системи, щопідлягає моделюванню, а також сукупності обмежень і допущень, згідно з якимибуде проводитись моделювання;
-збір і оцінка апріорноїінформації про досліджувану систему, обсяг якої повинен бути достатнім дляпобудови її математичної моделі;
-вибір критерію длякількісної оцінки результатів дослідження системи методом моделювання на ЕОМ;
-формування математичноїмоделі системи, яка включаєнеформальний і формальний опис об'єкту моделювання;
-програмне втіленняматематичної моделі та її реалізаціяна ЕОМ;
-оцінювання адекватностівибраної моделі, тобто визначення коректності функціонування моделі і їївідповідності реальній системі;
-планування досліджень,тобто така організація процесу статистичного моделювання таким чином, щоб за мінімальний час одержати необхіднуінформацію про систему з заданою достовірністю;
-проведення статистичнихвипробувань системи на відповідних вибірках сигналів та завад;
-знаходження оцінки критерію, якийхарактеризує якість роботи досліджуваної системи;
-інтерпретація результатівмоделювання системи, отриманих врезультаті моделювання;
-прийняття рішень зарезультатами моделювання.
Отримана в результаті моделювання інформація зіставляєтьсяз поставленою метою моделювання. Якщозіставлення задовільне, то результати моделювання фіксуються в підсумковомупротоколі чи документі. Якщо результати незадовільні, то коректуються деякіпроцедури і процес моделювання повторюється.
1.1 Формальний опис та оцінювання ефективностісистеми
Формальний опис системивизначається математичною моделью — наближеним описом роботи системи з використаннямвідповідних математичних співвідношень. Щоб скласти формальний опис системи,необхідно задати множину параметрів і операторів />, які характеризують систему.
Оператор системи — цеправило, згідно з яким кожному елементу /> множини вхідних фазових змінних /> однозначно чивзаємнооднозначно зіставляється елемент /> множини вихідних фазовихзмінних />. При цьому має місце операторне рівняння />, де /> -операторсистеми. В системах зв'язку маємомісце з повідомленнями, сигналами та завадами, що є функціями часу. Якщо ціфункції розглядати як елементи відповідних множин, то оператор системи визначаєправила перетворення вхідних сигналів у вихідні сигнали /> системи.
Під параметрами системирозуміють сталі чи змінні у часівеличини, які характеризують стансистеми в даний момент часу і задають її властивості та характеристики. Усямножина параметрів системи /> розбивається на чотири підмножини: підмножину фазових змінних />;підмножину зовнішніх параметрів />; підмножину внутрішніх параметрівсистеми />;підмножину вихідних параметрів системи />.
Фазові змінні системи – це деякі функції часу, що визначають стан системи вбудь-який заданий момент часу.Наприклад, якщо розглядати систему передавання повідомлень, то в ролі фазових змінних можуть виступати: повідомлення />, модульований сигнал на виходімодулятора />,завада в КЗ />, адитивна суміш сигналу та завадина вході приймального пристрою />.
Зовнішні параметри системи /> - це фізичні величини,значення яких визначають характеристики вхідних фазових змінних />. Внутрішні параметри системи /> - це фізичнівеличини, значення яких визначає внутрішні фазові змінніта характеризують властивості функціональних ланок та системи в цілому />. Вихідні параметри системи />– це фізичні величини, значенняяких характеризує якість роботи системи. Множина вихіднихпараметрів дає можливість кількісно оцінювати правильність роботи системи таякість виконання системою поставленої задачі. Часто вихідні параметри називаютьпоказниками якості системи. Вектор вихідних параметрів /> оцінюється за результатами роботи системи, зокрема, за вихіднимифазовими змінними />. У загальному випадку не вдаєтьсяодержати аналітичний вираз для показників якості складної системи. Тому вихідніпараметри (показники якості) оцінюють за результатами моделювання системи наЕОМ.
Як правило, робота системиносить стохастичний характер. Тому ефективність системи варто оцінювати звикористанням імовірнісних показників якості. Зокрема, цетакі показники як імовірність настання такої події />, що система виконає поставленузадачу повністю />; математичне сподіваннядеякої випадкової величини (ВВ) чи випадкового процессу (ВП) на виході системи />; дисперсія ВВабо ВП />.
Для прикладу розглянемо передавання системою повідомлення /> в умовах дії завад />. При цьому показником ефективності системи може служити середньоквадратична похибка передаванняповідомлення
/>, (1)
що оцінюється шляхом порівняння переданого та прийнятого повідомлення,одержаних шляхом моделювання системи зв’язку на ЕОМ.
При моделюванні системипередавання дискретних повідомлень в умовах дії завад показником ефективностісистеми служить середня імовірність похибки передавання, що оцінюється увигляді
/>, (2)
де /> - число випробувань, в яких відбулася похибка передавання; /> — загальна кількість статистичних випробувань, що вибирається із умовизабезпечення необхідної достовірності оцінки (2).
При моделюванні систем наЕОМ можуть бути вирішені різні задачі проектування, зокрема:
-дослідження систем векстремальних умовах роботи;
-оптимізація структури іпараметрів системи за заданим критерієм оптимальності;
-вибір кращого варіантусистеми з множини допустимих варіантів;
-аналіз характеристик вихіднихфазових змінних для різних видів вхідних фазових змінних;
-оцінка окремих показниківякості та ефективності роботи системи в цілому.
Щоб побудувати формальнийопис при моделюванні системи зв'язку на ЕОМ можна скористатися її функціональною схемою, яка включає інформацію прооператор системи, а також про фазовізмінні. У випадку складних системзв'язку записати вираз для оператора системи в цілому /> складно.Тому виконується декомпозиція системи, при якій розриваються несуттєві динамічні, інформаційні та конструктивні зв'язки. Декомпозиція динамічних зв'язків базується натому, що процес роботи системи може бути розділений на ряд процесів, які протікають у часі послідовно чи паралельно. Інформаційнізв'язки характеризують взаємодії окремих елементів системи. При цьому системарозділяється на окремі функціональні блоки. Кожен з них виконує окремі операціїнад внутрішніми фазовими змінними. Як приклад можна навести декомпозиціюцифрової системи зв'язку на окремі функціональні блоки: джерело повідомлення;блок дискретизації та квантування неперевних сигналів; блок завадостійкогокодування; модулятор; передавач; канал зв'язку, оптимальний приймач дискретнихсигналів; декодер; цифро-аналоговий перетворювач; споживач повідомлень.
Шляхом подальшоїдекомпозиції окремих функціональних блоків їх можна зобразити та описати черезфункціональні ланки.
1.2 Особливості цифрового зображення сигналів
Сигнали/> всистемах зв'язку мають, як правило, неперервний характер зміни у часі, а цифрові ЕОМ працюють з дискретним часом і з дискретними значеннямивеличин. Тому при моделюванні систем зв’язку на ЕОМ доводитьсявиконувати дискретизацію та квантування сигналів та завад. При дискретизації здіснюється перехід до відліків сигналів у дискретні моменти часу />, де /> - інтервал дискретизації сигналів за часом; /> - дискретний інтервал часу спостереження сигналів.
Якщо вибрано інтервалдискретизації />, де /> - верхня частота у спектрісигналу, то при цьому сигнал може бути відновлений по дискретним відлікамзгідно з рядом Котельникова
/>. (3)
моделюваннязв’язок цифровий математичний
При такому інтервалідискретизації на періоді найбільш високочастотної гармоніки у спектрі сигналубереться по два відліки. Звичайно, при моделюванні для точнішого відтворення форми сигналу дискретизація здійснюється з меншим інтервалом часу
/>. (4)
Післядискретизації сигналів виконується квантування, що означає заміну істиннихзначень неперервних відліків сигналу найближчими рівнямиквантування />. При цьомумає місце похибка квантування, яка залежить від шагу квантування />. Величина /> визначаєтьсямаксимальним значенням сигналу /> і числом рівнів квантування />.
Таким чином, квантуваннясигналу приводить до виникнення шуму квантування. Якщо число рівнів квантування/> достатньовелике, то дисперсія шуму квантування визначається виразом
/> (5)
2. Побудова математичних моделей системзв’язку
Застосування математичнихметодів та обчислювальної техніки при автоматизації проектування систем зв`язкуможливе лише у тому випадку, якщо є їх адекватні математичні моделі. Томурозглянемо деякі особливості та методи побудови математичних моделей систем тамереж зв'язку.
2.1Классифікація методів побудови математичних моделей
При переході до формального опису системиза допомогою її математичної моделі дотримуються певних загальних принципів:спеціалізація математичної моделі; декомпозиція системи;обмеження діапазону зміни параметрів і вхідних фазових змінних; еквівалентування,тобто заміна складного математичного опису окремих складних блоків (ланок)системи їхніми статистичними еквівалентами; вибірматематичних моделей, що відтворюють перетворення тільки інформаційногопараметра; використання для побудови математичних моделей їхніхсхемних і функціональних елементів.
Розглянемо деякі з принципівдокладніше. Відповідно до першого принципу будується така модель системи, щодає змогу оцінити ефективність дослідження системи згідно з вибранимипоказниками якості. Декомпозиція системи є засобом будувати простіші моделі,які описують роботу системи на окремих етапах її функціонування чи роботуокремих її блоків. Відповідно до наступних принципів в порівнянні зі змінамипараметрів у реальній системі вибираються менші діапазони змін цих параметрів.Це дає можливість розглядати і будувати моделі окремих елементів системи більшпростішими, зокрема, з лінійними характеристиками. Окрім того, заданийформальний опис системи спрощують, зберігаючи усі функціональні зв'язки міжелементами. При цьому окремі функціональні блоки заміняються еквівалентом, абоіз функціональної схеми видаляють один чи кілька блоків, заміняючи їхеквівалентними впливами. Під методами побудови математичних моделей системрозуміють методи описуванняалгоритмів їхньої роботи з використанням деяких математичних співвідношень.Для класифікації методів побудови математичних моделей систем зв’язку використовуютьсятакі ознаки:
-тип схеми, на основі якоїбудується алгоритм: функціональна, структурна, принципова, еквівалентна;
-тип обраних моделей пристроїв (ланок) системи: лінійних(стаціонарних чи нестаціонарних) і нелінійних (інерційних ібезінерційних);
-метод математичного описуперетворень сигналів у системі: методдиференціальних рівнянь, спектральний метод на базі перетворень Лапласа іФур'є, часовий метод на базі інтеграла Дюамеля та ортогональних розкладів;
-метод зображення сигналів і завад при їх проходженні по ланкам системи: метод несучої,метод комплексної обвідної,формульний метод;
-метод статистичнихеквівалентів, коли опис ланки замінюється вхідним впливом та вихідним ефектом;
-метод структурних схем, щозводиться до побудови математичних моделей системи іззаміною високочастотної частини низькочастотнимеквівалентом.
2.2Математичні моделі на рівніфункціональних ланок системи
Розглянемо деякі особливостіматематичного опису функціональних ланок на прикладі лінійних інерційних ланок. Для їх опису часто використовуються: імпульсна характеристики, перехідна характеристики, комплексна частотна характеристики ланки.
При використанні імпульсноїхарактеристики лінійної інерційної ланки /> вихідний сигнал /> через вхідний сигнал /> записується увигляді інтегралу Дюамеля
/>. (6)
Для опису лінійноїінерційної ланки може бути також використана перехідна характеристика, щозв'язана з імпульсною характеристикою наступним співвідношенням
/>. (7)
Поряд з часовим описом можетакож використовуватися частотнийопис ланки у вигляді частотної характеристики (частотного коефіцієнту передачі)/>,яка однозначно зв'язана з імпульсною характеристикою /> перетворенням Фур'є
/>. (8)
При цьому спектр вихідногосигналу визначається через спектр вхідного сигналу тачастотну характеристику ланки
/>. (9)
При переході до дискретногочасу та кінечного інтервалу спостереження сигналів зв'язок між входом і виходомлінійної системи описується дискретною згорткою, яка фактично визначає роботунерекурсивного цифрового фільтру
/>. (10)
де /> — відліки вхідногодискретного сигналу, /> - відліки імпульсноїхарактеристики.
У випадку спектральногозображення сигналів відповідні перетворення у функціональних ланках виконуютьсязгідно (9). Для сигналів з дискретним часом спектр визначається через дискретнеперетворення Фур'є (ДПФ)
/>. (11)
Відліки спектру сигналуобчислюються для дискретних значень частот
/>. (12)
Перехід до відліків спектру /> сигналупроводиться за допомогою оберненого дискретного перетворення Фур'є
/>. (12)
При моделюванні сигналівзначної розмірності /> доцільно використовувати швидкіалгоритми перетворення Фур'є, які дають можливість суттєво зменшити обсягобчислення на ЕОМ при виконанні прямого та оберненого ДПФ.
В системах зв'язку використовуються багато різних видів лінійних та нелінійних,інерційних та безінерційних ланок. Для прикладу можна навести приклади типовихланок: генератори сигналів заданої форми; амплітудний, фазовий, частотниймодулятор та детектор; інтегратор; корелятор; низькочастотний, високочастотний,полосовий, узгоджений фільтр; перемножувач частоти сигналів та інші. В табл. 1приведено опис деяких функціональних ланок. Для описуванняланок необхідно знати вид функційного перетворення />. Якщо вид функціонального перетворення досить складний, його апроксимуютьпростими функціями. В ряді випадківцю функціюперетворення розкладають в ряд Фур'є, Тейлора, а потім виконують необхідні перетворення.
Слід зазначити, що примоделюванні можуть бути використані також ймовірнісні моделіфункціональних ланок та системи в цілому, що описують функціювання у реальнихумовах роботи систем зв’язку.
Таблиця 1 — Деякі основні типи функційних ланок Назва ланки Оператор перетворення Назва перетворення Зображення на функційній схемі 1 2 3 4 1. Лінійні безінерційні ланки
/>
/>
/>
Повторення
інвертування
підсилення
/>/>/>/>2. Лінійні інерційні ланки
/>
/>
/>
/>
затримка сигналу на інтервал />
інтегрування
диференціювання
фільтрування
/>3. Нелінійні безінерційні ланки
/> Нелінійне функційне перетворення
/> Генератори
/>
Генерування сигналу />
/>5. Модулятор
/>
моделювання сигналу-носія /> повідомленням />
3.Математичний опис сигналів примоделюванні систем зв’язку
При моделюванні системзв’язку важливим є опис реальних сигналів і завад їх математичними моделями, щобазуються на основних положеннях теорії сигналів. В системах зв'язкузустрічаються різного виду детерміновані та випадкові сигнали. Зокрема, це такісигнали: сигнал-повідомлення /> (низькочастотний, як правило,випадковий сигнал), сигнал-переносчик /> (як правило, детермінованийсигнал у вигляді гармонічного коливання), модульований сигнал /> (як правило,високочастотний вузькосмуговий сигнал), завада /> (як правило, випадковийширокосмуговий сигнал). Таким чином, для математичного опису сигналів та заваду системах зв’язку необхідно використовувати різні детерміністські таймовірнісні моделі. Розглянемо деякі математичні моделі детермінованих тавипадкових сигналів.
3.1 Математична модель вузькосмугових детермінованих сигналів
Якщо переносчиком єгармонійний сигнал, то модульований сигнал може розглядатися при певних умовахяк вузькосмуговий сигнал і тоді можна використати відповідне зображення сигналуу виді />,
де /> - оператор модуляції гармонійногосигналу-переносчика;
/> (13)
Цей вираз дає можливість одержати зображенням сигналу за допомогою квадратурних компонент
/>, (14)
де /> - квадратурні компоненти.
Через квадратурні компоненти можна записати вираз для амплітуди та фази комплексної обвідної сигналу у виді:
/>. (15)
Конкретний вид комплексноїобвідної модульованого сигналу залежить від вибраного вигляду операторамодуляції /> тавигляду повідомлення />
/>. (16)
При амплітудній модуляціїбуде мати місце зміна амплітуди комплексної обвідної, при кутовій (частотнійабо фазовій) модуляції — зміна фази відповідно до переданого повідомлення.Наприклад, при амплітудній модуляції вираз для амплітуди обвідної визначаєтьсятак
/>, (17)
де /> - коефіцієнт амплітудноїмодуляції.
Зображення сигналів черезквадратурні компоненти, зокрема, співвідношення (15) дає можливість такожбудувати математичні моделі демодуляторів систем зв’язку з різними видамимодуляції.
3.2 Математичні моделі низькочастотних детермінованих сигналів
Для опису періодичнихсигналів широко використовується ряд Фур'є
/>, (18)
/> , (19)
де /> – період повторення сигналу, />.
Спектральне зображення неперіодичних абсолютно інтегрованихсигналів визначається перетворенням Фур'є
/>, />. (20)
На практиці часто длязображення сигналів використовують узагальнений ряд Фур'є
/>, (21)
де /> - ортонормована система базиснихфункцій; /> — коефіцієнтирозкладу.
Поряд з базисомтригонометричних функцій використовуються також базисні функції Лежандра,Лагерра, Ерміта, Чебишова, Уолта, Хаара та інші.
Такимчином, моделювання детермінованих сигналів та їхніх перетворень у різних ланкахсистеми зводиться до обчислення на ЕОМ детермінованих функцій, заданих удискретні моменти часу. Як правило, це не викликає складності ні принципового,ні обчислювального характеру при проведенні моделювання систем на сучасних ЕОМ.
3.3 Математичні моделі випадкових сигналів
Однак,крім детермінованих сигналів і перетворень, при моделюванні систем зв’язкувиникає необхідність реалізувати на ЕОМ різного роду випадкові елементи — випадкові величини, випадкові сигнали і поля. Зокрема, уканалах зв'язку діють випадкові завади різного типу: флуктуаційні та імпульсні;адитивні та мультиплікативні, вузькосмугові та широкосмугові; активні тапасивні. Вони відрізняються структурою та механізмом виникнення, а також своїмиімовірнісними характеристиками. Окрім того повідомлення, як правило, такожносять стохастичний характер. Тому сигнали, що передаються та приймаються всистемах зв’язку в загальному випадку треба розглядати як випадкові сигнали.Для побудови їх математичних моделей необхідно використовувати ймовірніснімоделі, тобто випадкові процеси з різними імовірнісними характеристиками.Випадкові процеси описуються математичним апаратом, який суттєво відрізняєтьсявід апарату детермінованих сигналів. Сучасний математичний аппарат, якийвикористовується для опису випадкових елементів, базується на теорії множин,теорії міри, теорії функцій дійсної змінної та функціональному аналізі.
Cигналяк фізичний процес, що використовується для передавання інформації в системахзв'язку, може описуватися випадковою функцією. Випадковафункція — це суттєво інший випадковий математичний об'єкт порівняно здетермінованою функцією. Її можна визначити як параметричну множину випадковихвеличин, що задовольняє певні умови
/>, (22)
де /> - параметр з множини />; /> - елементарнаподія з множини елементарних подій />.
Параметр /> може мати різнетлумачення. Якщо /> - має сенс часу />, то випадкова функція /> - цевипадковий процес
/>. (23)
Коли /> - зліченна множина />, тоді функцію(23) називають випадковим процесом з дискретним часом або часовоюпослідовністю. У кожному випадку маємо множину випадкових величин, заданих наймовірнісному просторі />, де /> - />-алгебра; /> - імовірнісна міра.
На основі (23) може розглядатисядекілька визначень випадкового процесу. Так множину (23) можна розглядати порізному: як упорядковану відносно параметра /> сукупність випадкових величин; яксукупність числових функцій часу, кожна з яких розглядається як елементарнаподія; як функцію, що залежить від двох змінних />.
Існує протиріччя між необхідністюповного опису випадкового процесу та достатньою простотою, яка визначаєтьсянеобхідністю розв’язання прикладних задач. Тому при розв’язанні багатьохприкладних задачах зв’язку ідуть на спрощений опис випадкового процесу,зокрема, в рамках кореляційної теорії, коли використовуються тільки двімоментні функції випадкового процесу – кореляційна функція та математичнесподівання. Кореляційна теорія випадкових процесів містить у собі декільказображень процесів в інтегральному вигляді та у вигляді рядів. Це, насамперед,відповідні поширення на випадкові процеси інтегрального перетворення Фур’є,рядів Фур’є і Котельникова та зображення аналітичних та вузькосмуговихсигналів, що широко використовуться для зображення детермінованих сигналів.
Кореляційна теорія набулаширокого поширення, проте у галузі зв’язку існують задачі, які не можуть бутирозв’язані в її рамках. Такими є задачі оптимального приймання сигналів, задачітеорії інформації, декодування сигналів. Для їх розв’язання необхіднозастосовувати повніший опис випадкового процесу з використанням функційрозподілу. Розглянемо деякі класи випадкових процесів, що можуть бутивикористовані в ролі математичних моделей реальних фізичних процесів у системахзв’язку.
Вузькосмуговівипадкові процеси. За аналогією з описомвузькосмугових детермінованих сигналів може бути використана математична модельу виді вузькосмугового випадкового процесу
/> (24)
де /> -це комплексна обвідна випадкового процесу. При цьому аналогічно до детермінованих сигналів розглядаютьсяквадратурні складові />, які також євипадковими процесами. Через квадратурні складові вводяться поняття амплітудита фази випадкового процесу
/>.
Математична модель у виглядівузькосмугового випадкового процесу може бути використана, наприклад, дляописування флуктуаційної модульованих випадковим повідомленням сигналів, атакож завади у вузькій смузі частот існування сигналів, що передаються.
Білі шуми. Одним із найбільш відомих і поширених класів випадкових процесів єбілий шум. Білий шум – це випадковий процес з незалежними або некорельованимизначеннями. Для дискретного часу білий шум — це послідовність незалежних абонекорельованих випадкових величин. В залежності від імовірностних властивостейрозглядають стаціонарний і нестаціонарний, гаусовий і негаусовий білий шум.Згідно з означенням білого шуму, він повністю визначається через одновимірніфункції чи щільності розподілу. Зокрема, багатовимірна щільність ймовірностівизначається як добуток одновимірних щільностей ймовірності.
Наприклад, для стаціонарногобілого шуму з дискретним часом багатовимірна щільність ймовірності визначаєтьсяу вигляді
/>. (24)
Білий шум є /> — корельованим (урозумінні />-функціїКронекера) випадковим процесом, кореляційна функція якого має вигляд
/> (25)
На підставі теоремиВінера-Хінчина спектральна густина білого шуму з дискретним часом рівномірна усмузі частот /> і має значення />.
Для описування реальнихфізичних процесів в системах зв'язку використовують також «негаусові»білі шуми — випадкові процеси, які мають такі ж властивості кореляційноїфункції та спектральної щільності, а щільність розподілу ймовірностейвідрізняється від гаусової.
Математична модель у виді білогошуму може бути використана для описування завад у системах зв'язку.
Марківські процеси. Модель у виді білих шумів не враховує зв’язків суміжних значень, якірозглядаються як статистично незалежні або некорельовані. Модель у видімарківських процесів враховує такі зв’язки, які поширюються тільки на один крок(або на фіксоване число кроків). Це відповідно прості та багатозв’язнімарківські процеси.
Зокрема, випадковий процес здискретним часом називають простим стаціонарним марківським процесом, багатовимірнащільність розподілу ймовірностей якого визначається одновимірною щільністюймовірностей та щільністю ймовірностей переходів
/>. (26)
Співвідношення (26) визначаємарківську властивість випадкового процесу.
Для описування реальнихпроцесів у системах зв'язку використовується також математична модель у виглядімарківських ланцюгів — випадкових процесів з дикретним часом, що приймаютьзчисленну множину значень. При цьому замість щільності ймовірності, притаманноїдля марківського процесу, основні характеристики процесу описуютьсяймовірностями відповідних подій. Марківська властивість для таких процесівописується співвідношенням
/>, (27)
де />.
Марківські ланцюги можутьбути використані для математичного опису джерела дискретних, зокрема,телеграфних повідомлень, а також процесів обслуговуванння у системах комутації.
Лінійні випадкові процеси. Існують різні означення лінійних випадкових процесів. Розглянемо однеіз них, що основане на інтегральному зображенні
/>, (28)
де /> - імпульсна характеристикалінійного фільтру;
/> - білий шум.
Тут лінійний процес /> розглядаєтьсяяк перетворення білого шуму /> лінійним фільтром з імпульсноюхарактеристикою />. При цьому можуть бути одержанілінійні процеси з різними ймовірнісними характеристиками, які визначаютьсявидом функції />, а також видом білого шуму.Зокрема, білий шум може бути гаусовим, пуасоновим, їх сумішшю або іншими білимишумами. Лінійний фільтр у виразі (28) має назву формуючого фільтра, а білий шум- породного процесу.Для лінійних процесів з дискретним часом математична модельвизначається відповідним співвідношенням
/> (29)
де /> - дискретні відліки імпульсноїхарактеристики фільтру, /> - білий шум з дискретним часом.
Лінійний процес можна такожзобразити у виді авторегресії на минулі значення. При цьому можна одержатипроцеси авторегресії, ковзного середнього та змішані процеси авторегресії таковзного середнього. Зокрема, процес авторегресії />-го порядку описується рівнянням
/>. (30)
Лінійні процеси можуть бутивикористані як математичні моделі, зокрема, при описі джерела мовнихповідомлень, кодера мовних повідомлень, джерела корельованих завад.
Існує такожбагато інших математичних моделей, що мають свої характерні властивості і даютьможливість враховувати особливості різних фізичних процесів в системах зв'язкупри їх моделювані на ЕОМ. Зокрема, це математичні моделі, що описують негаусівхарактер сигналів за допомогою сумішей розподілу, сукупності моментних такумулянтних функцій, а також нестаціонарний характер сигналів — за допомогоюперіодично-корельованих випадкових процесів.
Систематизованийопис різних ймовірносних моделей приведений у роботах. Деякі специфічніматематичні моделі сигналів описані у наступному розділі, де розглядаєтьсяалгоритми моделювання на ЕОМ різних випадкових елементів — випадкових величин,векторів та випадкових процесів.