Министерство образования и науки РФ
Федеральное агентство по образованиюГОУ ВПО
Всероссийский заочный финансово-экономическийинститут
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по Эконометрике
вариант № 6
К.ф. – м.н., доцент кафедры: Василенко В.В.
Студент: Чмиль А.А., ФиК, 3 Курс
Краснодар, 2009
По предприятиям легкой промышленности региона полученаинформация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн.руб.) от объема капиталовложений(X, млн.руб.).Xi Yi 33 43 17 27 23 32 17 29 36 45 25 35 39 47 20 32 13 22 12 24
Исходные данные.Табл.1n Xi Yi Yi*Xi Xi2 Yi2 Y(xi) Yi — Y(xi) (Yi — Y(xi))2 A 1 33 43 1419 1089 1849 42,23428 0,765721183 0,5863289 1,78% 2 17 27 459 289 729 27,69234 -0,692335546 0,4793285 2,56% 3 23 32 736 529 1024 33,14556 -1,145564273 1,3123175 3,58% 4 17 29 493 289 841 27,69234 1,307664454 1,7099863 4,51% 5 36 45 1620 1296 2025 44,96089 0,03910682 0,0015293 0,09% 6 25 35 875 625 1225 34,96331 0,036692818 0,0013464 0,10% 7 39 47 1833 1521 2209 47,68751 -0,687507544 0,4726666 1,46% 8 20 32 640 400 1024 30,41895 1,581050091 2,4997194 4,94% 9 13 22 286 169 484 24,05685 -2,056849728 4,2306308 9,35% 10 12 24 288 144 576 23,14798 0,852021726 0,725941 3,55% сумма 235 336 8649 6351 11986 336 0,00 12,019795 31,93% средняя 23,5 33,6 864,9 635,1 1198,6 33,6 0,00 1,2019795 3,19% δ 9,102198 8,345058 - - - - - - -
δ2 82,85 69,64 - - - - - - -
Вспомогательная таблица для расчетов параметров линейнойрегрессии. Табл.2
Задание 1
Найти параметры уравнения линейной регрессии, датьэкономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
После проведенных расчетов линейная модель имеет вид:
Y = 12,24152 + 0,908871x, коэффициент регрессии составил 0,908871. Экономическийсмысл параметра регрессии заключается в следующем: с увеличениемкапиталовложений на 1 единицу выпуск продукции увеличивается на 0,908871единиц.
Задание 2
Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценитьдисперсию остатков; построить график остатков.
Вычисленные остатки приведены в таблице 2. Остаточная суммаквадратов составила 12,02. Дисперсия остатков составила:
Dост = ((Y- Yср.)2 — (Y(xi) — Yср.)2)/ (n – 2) = 1,502474351.
/>
График остатков. Рис.1
Задание 3
Проверить выполнение предпосылок МНК.
Остатки гомоскедастичны, автокорреляцияотсутствует (корреляция остатков и фактора Х равна нулю, рис.1), математическоеожидание остатков равно нулю, остатки нормально распределены.
/>
Корреляция остатков и переменной Х. Рис2.
Задание 4
Осуществить проверку значимостипараметров уравнения регрессии с помощью t – критерияСтьюдента (α = 0,05).
Найдем стандартную ошибку коэффициентарегрессии:
mb = (Dост. / ∑(x – xср.) 2) ½ = 0,042585061
Теперь проведем оценку значимости коэффициента регрессии:
tb = b / mb = 21,3424949
При α = 0,05 и числе степенейсвободы (n – 2) tтабл. = 2,3060. Так как фактическоезначение t – критерия больше табличного, то гипотезу онесущественности коэффициента можно отклонить. Доверительный интервал длякоэффицента регрессии определяется как b ± t* mb. Длякоэффициента регрессии b границы составят: 0,908871 – 2,3060*0,042585061 ≤b ≤ 0,908871+2,3060*0,042585061
0,81067 ≤ b ≤1,0070722
Далее определим стандартную ошибку параметра a:
ma = (Dост.*( ∑x2 / (n*∑(x – xср.)2 ))1/2 = 1,073194241
ta = a / ma = 11,4066218
Мы видим, что фактическое значение параметра а больше, чемтабличное, следовательно, гипотезу о несущественности параметра а можноотклонить. Доверительный интервал составит: a ± t* ma. Границы параметрасоставят:
12,24152 ± 2,3060*1,073194241
9,766735 ≤ a ≤ 14,716305
Проверим значимость линейного коэффициента корреляции наоснове ошибки коэффициента корреляции:
mr = ((1 – r2)/ (n – 2))1/2 = 0,046448763
Фактическое значение t – критерия Стьюдента определяется:
tr = (r / (1 – r2))* (n – 2)1/2 = 21,3424949
Значение tr фактическое больше табличного, следовательно при уровне значимости α = 0,05 и степени свободы (n – 2),коэффициент корреляции существенно отличен от нуля и зависимость являетсядостоверной.
Задание 5
Вычислить коэффициент детерминации,проверить значимость уравнения регрессии с помощью f – критерияФишера (α = 0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации.Сделать вывод о качестве модели.
R2 = Rxy2 = 0,98274 – детерминация.
F = (R2/(1 – R2))*((n – m – 1)/m) = 455,5020887
Fтабл. 5,32
Средняя ошибка аппроксимации А = 3,19%. Это говорит о том,что качество уравнения регрессии хорошее. Расчетные значения отклоняются от фактическихна 3,19%.
Задание 6
Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α = 0,1,если прогнозное значение фактора Xсоставит 80% от максимального значения.
Если прогнозируемое значение Хр = 0,8Хmax = 0,8*39 = 31,2 млн.руб., тогдапрогнозное значение объема капиталовложений составит:
Yр = 12,24152 + 0,908871*31,2 = 40,598295 млн.руб.
Ошибка прогноза составит:
myр = Dост.*(1+(1/n)+((xk – xср)2 / ∑(x – xср)2 )1/2 =1,502474351*(1+(1/10)+ ((31,2 – 23,5)2 / 828,50))1/2 = 1,6262596млн.руб.
Предельная ошибка прогноза, которая в 90% случаев не будетпревышена, составит:
Δyp = tтабл * myр = 2,3060 * 1,6262596 = 3,7501546
Доверительный интервал прогноза:
γур = Yр ± Δyp
γурmin = 40,598295 – 3,7501546 = 36,848141млн.руб.
γурmax = 40,598295 + 3,7501546 = 44,348449млн.руб.
Среднее значение показателя составит:
Yp = (36,848141 + 44,348449) / 2 =40,598295 млн.руб.
Задание 7
Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза
/>
График фактических и прогнозируемых параметров. Рис.3
Задание 8
Составить уравнения нелинейной регрессии:
· Гиперболической
· Степенной
· Показательной
Построить графики построенных уравнений регрессии.
Y(x) = 54,1842 +(-415,755) * 1/x – гиперболическоеуравнение регрессии.
Y(x) = 4,746556 * X0,625215– степенное уравнение регрессии.
Y(x) = 17,38287 *1,027093Xпоказательное уравнение регрессии.
Графикимоделей представлены ниже на рисунках 4,5и 6.
/>
Рис.4
/>
Рис.5
/>
Рис.6
Задание 9
Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициентэластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели поэтим характеристикам и сделать выводы.
Коэффициенты (индексы) детерминации:
R2гип = Rxy = 0,869064776
R2степ = Rxy = 0,978207122
R2показ = Rxy = 0,959136358
Коэффициенты эластичности:
Эгип = -b / (a * x + b) = 0,484804473
Эстеп = b = 0,625215
Эпоказ = x * lnb = 0,628221
Средние относительные ошибки аппроксимации:
А = 1/n * ∑ |y – yxi| * 100%
Агип = 7,26%
Астеп = 3,40%
Апоказ = 3,82%
Как мы видим, степенная регрессия наиболее интересна вэкономическом смысле, потому что у нее самый низкий показатель средней ошибкиаппроксимации, самый высокий показатель эластичности и детерминации. Этоговорит о том, что у степенной регрессионной модели высокое качество, онапредлагает наибольшую прибыль и более зависима от фактора Х (капиталовложений).
Список использованной литературы
1. Практикум поэконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курашева, Н.М. Гордеенко идр.; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 192.: ил.
2. Эконометрика.Учебник для вузов.; Под ред. чл. – кор. РАН И.И. Елисеевой. – М.: Финансы истатистика, 2002. – 344.